বীজগাণিতিক রাশি

দ্রুত দেখে নাও — অঙ্ক করার সময় খোলা রাখতে পারো।

• যোগ ও বিয়োগের বর্গ

  $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

  প্রথম ও শেষ বর্গ, মাঝে দ্বিগুণ গুণফল। বিয়োগে মাঝের চিহ্ন মাইনাস।

• বর্গের যোগ

  $$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$$$$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$$

  যোগফল বা গুণফল জানা থাকলে বর্গের যোগ। দুই বর্গের অন্তর ৪ab।

• বর্গের অন্তর

  $$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$

  যোগ আর বিয়োগের গুণ। বর্গের যোগ এভাবে ভাঙে না।

• তিন রাশির বর্গ

  $$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$$

  প্রতি জোড়ার দ্বিগুণ যোগ। কোনো চিহ্ন মাইনাস হলে ঐ জোড়ার চিহ্ন বদলায়।

• যোগ ও বিয়োগের ঘন

  $$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$$$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$

  চার পদ। বিয়োগে চিহ্ন পরপর প্লাস, মাইনাস, প্লাস, মাইনাস।

• ঘনের যোগ ও বিয়োগ

  $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

  দুই পদই ঘন হলে এই সূত্র। বিয়োগে মাঝের চিহ্ন যোগ।

• দুই দ্বিপদীর গুণ

  $$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$$

  মধ্যপদ দুই সংখ্যার যোগ, শেষ পদ তাদের গুণ।

• ভাগশেষ উপপাদ্য

  $$f(x)=(x-a)q(x)+f(a)$$

  (x − a) দিয়ে ভাগের ভাগশেষ f(a)। f(a) = ০ হলে (x − a) উৎপাদক।

• উৎপাদক উপপাদ্য

  $$f(a)=0\Rightarrow (x-a)\mid f(x)$$

  ভাগশেষ শূন্য হলে (x − a) উৎপাদক। উল্টোটাও সত্য।

• চার পদের বর্গ

  $$(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)$$

  প্রতি পদের বর্গ, আর প্রতি জোড়ার গুণফলের দ্বিগুণ।

• সরল মুনাফা

  $$I=\dfrac{Pnr}{100}$$

  P মূলধন, r বছরে শতকরা হার, n বছর। সুদাসল P + I।

• চক্রবৃদ্ধি

  $$A=P\left(1+\dfrac{r}{100}\right)^n$$

  প্রতি বছর সুদ মূলধনে যোগ হয়। r শতকরা হার।

প্রতিটি অঙ্কে তিন লাইন: প্রশ্ন, তারপর শর্টকাটটা প্রশ্নের ঠিক কোন জায়গায় লাগছে, তারপর উত্তর।

1. ১

   ১০০ এর কাছে বর্গ

   ৯৯৬² কে (১০০০ − ৪)² ধরে বিয়োগের বর্গ বসাও। কাছের গোল সংখ্যা বাছো।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      $98$ এর বর্গ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে $98$, $100$ এর কাছে। শর্টকাট: $98=100-2$, তাই বিয়োগের বর্গ $$(100-2)^2=10000-2\times 100\times 2+4=9604$$।

      উত্তর

      $9604$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      $102$ এর বর্গ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে $102$, $100$ এর কাছে। শর্টকাট: $102=100+2$, তাই যোগের বর্গ $$(100+2)^2=10000+400+4$$।

      উত্তর

      $10404$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      $99$ এর বর্গ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে $99$, $100$ এর কাছে। শর্টকাট: $99=100-1$, তাই বিয়োগের বর্গ $$(100-1)^2=10000-200+1$$।

      উত্তর

      $9801$

2. ২

   পদ গুনে সূত্র

   দুই পদ ঘন হলে ঘনের যোগ বা বিয়োগ। চার পদ হলে আগে পূর্ণঘন মেলাও।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      $8+x^3$ কোন সূত্রে ভাঙবে?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে দুই পদ, $8$ আর $x^3$। শর্টকাট: দুটোই ঘন। $2^3+x^3$, ঘনের যোগ।

      উত্তর

      $(2+x)(4-2x+x^2)$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      $a^3-27$ কোন সূত্রে ভাঙবে?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে দুই পদ, $a^3$ আর $27$, মাঝে বিয়োগ। শর্টকাট: $$27=3^3$$। ঘনের বিয়োগ।

      উত্তর

      $(a-3)(a^2+3a+9)$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      $x^3+3x^2+3x+1$ কোন ঘন?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে চার পদ। শর্টকাট: পূর্ণঘন $(x+1)^3$ এর সঙ্গে মেলে।

      উত্তর

      $(x+1)^3$

3. ৩

   মধ্যপদ ভাঙা

   দুই সংখ্যা খোঁজো যাদের যোগ মধ্যপদ, গুণ শেষ পদ। চিহ্ন দুটোকে আলাদা রাখো।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      $x^2+5x+6$ এর উৎপাদক কী?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে মধ্যপদ $5x$, শেষ পদ $6$। শর্টকাট: যোগ ৫, গুণ ৬। সংখ্যা $2$ আর $3$।

      উত্তর

      $(x+2)(x+3)$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      $x^2-5x+6$ এর উৎপাদক কী?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে মধ্যপদ $-5x$, শেষ পদ $6$। শর্টকাট: যোগ $-5$, গুণ $6$। সংখ্যা $-2$ আর $-3$।

      উত্তর

      $(x-2)(x-3)$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      $x^2+x-6$ এর উৎপাদক কী?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে মধ্যপদ $x$, শেষ পদ $-6$। শর্টকাট: যোগ $1$, গুণ $-6$। সংখ্যা $3$ আর $-2$।

      উত্তর

      $(x+3)(x-2)$

4. ৪

   ভাগশেষে বসানো

   ভাগ না করে x = a বসাও। f(a) ই ভাগশেষ।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      $x^2+x$ কে $(x-1)$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভাজক $(x-1)$। শর্টকাট: ভাগ না করে $x=1$। $1+1=2$।

      উত্তর

      $2$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      $x^3-8$ কে $(x-2)$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভাজক $(x-2)$। শর্টকাট: $x=2$। $8-8=0$।

      উত্তর

      $0$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      $x^2+1$ কে $(x+1)$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভাজক $(x+1)$। শর্টকাট: $$x=-1$$। $1+1=2$।

      উত্তর

      $2$

5. ৫

   শতকরায় ১০০ ধরো

   লাভ-ক্ষতির অঙ্কে ক্রয়মূল্য ১০০ ধরে শুরু করলে শতাংশ সরাসরি টাকায় মেলে।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা, লাভ ২০%। বিক্রয়মূল্য কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ক্রয় ১০০। শর্টকাট: ১০০ ধরলে লাভ সরাসরি ২০ টাকা। বিক্রয় $100+20$।

      উত্তর

      $120$ টাকা

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা, ক্ষতি ১৫%। বিক্রয়মূল্য কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ক্রয় ১০০। শর্টকাট: ক্ষতি ১৫ টাকা। বিক্রয় $100-15$।

      উত্তর

      $85$ টাকা

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      দুই জিনিসের ক্রয় ১০০ টাকা করে। একটায় ১০% লাভ, একটায় ১০% ক্ষতি। মোট লাভ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে দুই ক্রয়ই ১০০, হার ১০%। শর্টকাট: লাভ ১০, ক্ষতি ১০। মোট $10-10=0$।

      উত্তর

      $0$

6. ৬

   ছোট মান দিয়ে বাদ

   MCQ তে a = ১, b = ১ বসিয়ে অপশন মেলাও। যে অপশন মেলে না, সেটা বাদ।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      $(a+b)^2$ আর $a^2+b^2$ সমান কি? $a=1$, $b=1$ বসাও।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে $a=1$, $b=1$। শর্টকাট: বাম $$(2)^2=4$$, ডান $1+1=2$। মেলে না, বাদ।

      উত্তর

      সমান নয়

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      $a^2-b^2$ আর $(a-b)^2$ সমান কি? $a=2$, $b=1$ বসাও।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে $a=2$, $b=1$। শর্টকাট: বাম $4-1=3$, ডান $1$। মেলে না, বাদ।

      উত্তর

      সমান নয়

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      $(a+b)^2-(a-b)^2$ কি $4ab$? $a=2$, $b=1$ বসাও।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে $a=2$, $b=1$। শর্টকাট: বাম $9-1=8$, ডান $8$। মেলে, রাখো।

      উত্তর

      হ্যাঁ, $8$

প্রতিটি অঙ্কে আগে একটা লেখা উত্তর, তারপর যাচাইটা সেই উত্তরের ঠিক কোন জায়গায় লাগছে।

1. ১

   খুলে আবার গুণ

   উৎপাদককে গুণ করে মূল রাশি ফিরে আসে কি না দেখো।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $$(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$$। গুণ করে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: বাম পাশের গুণ। গুণ $x^2+5x+6$। মূল রাশি ফিরে এল। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $$(x-2)(x+3)=x^2+5x-6$$। গুণ করে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: বাম পাশের গুণ। গুণ $x^2+x-6$। $5x$ মেলে না। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, $x^2+x-6$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $(3-1)(3+1)=8$, আর $3^2-1^2$ ও $8$। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দুই পাশের গুণ। গুণ $$2\times 4=8$$। $9-1=8$। মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, $8$

2. ২

   একটা সংখ্যা বসাও

   দুই পাশে a = ২ বসাও। সংখ্যা না মিললে চিহ্ন বা পদ বাদ পড়েছে।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $$(a+b)^2=a^2+b^2$$। $a=2$, $b=1$ বসিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দুই পাশে একই সংখ্যা বসাও। বাম $$(2+1)^2=9$$, ডান $4+1=5$। ৯ আর ৫ মেলে না, তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$। $a=3$, $b=2$ বসিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দুই পাশে $a=3$, $b=2$। বাম $9-4=5$, ডান $$1\times 5=5$$। মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, $5$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $$(a-b)^2=a^2-2ab-b^2$$। $a=2$, $b=1$ বসিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দুই পাশে $a=2$, $b=1$। বাম $1$, ডান $4-4-1=-1$। মেলে না, তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল

3. ৩

   বিয়োগের মাঝের চিহ্ন

   বিয়োগের বর্গে মাঝে মাইনাস। বিয়োগের ঘনের যোগে মাঝে প্লাস ab।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $(3-1)^2$ মাঝের চিহ্নসহ $9-6+1=4$। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: বিয়োগের বর্গের মাঝের চিহ্ন। বিয়োগের বর্গে মাঝে মাইনাস। $9-6+1=4$। $$(2)^2=4$$। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, $4$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $$a^3-b^3=(a-b)(a^2-ab+b^2)$$। $a=2$, $b=1$ বসিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: মাঝের $ab$ এর চিহ্ন। মাঝে প্লাস $ab$ হওয়া উচিত। ডান $$1\times 3=3$$, বাম $7$। মেলে না, তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, মাঝে $+ab$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $2^3-1^3$ মাঝে $+ab$ দিয়ে $7$। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: মাঝের $+ab$। $(2-1)(4+2+1)=7$। বাম $7$। মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, $7$

4. ৪

   ঘনে চার পদ

   ঘন খুললে পদ চারটে। তিন পদ থাকলে একটা গুণফল বাদ গেছে।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $(1+1)^3$ চার পদে $1+3+3+1=8$। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: ঘনের চার পদ। চার পদ $1+3+3+1=8$। $$(2)^3=8$$। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, $8$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $$(a+b)^3=a^3+3ab+b^3$$। $a=b=1$ বসিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: পদ কয়টা। পদ তিনটা। ডান $5$, বাম $8$। একটা গুণফল বাদ। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $(2-1)^3$ চার পদে $8-12+6-1=1$। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: চার পদ আছে কি না। $8-12+6-1=1$। চার পদই আছে। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, $1$

5. ৫

   ভাগশেষ যাচাই

   ছোট বহুপদীতে সরাসরি ভাগ করে f(a) এর সঙ্গে মিলাও।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, $$f(x)=x^2+x$$ কে $(x-1)$ দিয়ে ভাগের ভাগশেষ $f(1)=2$। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: ভাগশেষ $2$। $$(x-1)(x+2)+2=x^2+x$$। ভাগশেষ ২। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, $2$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, $x^2-1$ কে $(x-1)$ দিয়ে ভাগের ভাগশেষ ১। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা ভাগশেষ ১। $$(x-1)(x+1)=x^2-1$$, ভাগশেষ ০। $f(1)=0$। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, $0$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, $$f(x)=x+3$$ কে $(x-2)$ দিয়ে ভাগের ভাগশেষ $f(2)=5$। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: ভাগশেষ $5$। $$(x-2)+5=x+3$$। ভাগশেষ ৫। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, $5$