পাঠ ৯গণিত

ঘন রাশির উৎপাদকে বিশ্লেষণ

পাঠের সারাংশ

ঘনের যোগ-বিয়োগ ও পূর্ণঘন রাশি চিনে সঠিক সূত্রে উৎপাদকে ভাঙব।

আগে পড়ে নাওঘনের যোগফল ও বিয়োগফলউৎপাদকে বিশ্লেষণের চার পথ

MCQ ও সৃজনশীল শর্টকাট

প্রতিটি অঙ্কে তিন লাইন: প্রশ্ন, তারপর শর্টকাটটা প্রশ্নের ঠিক কোন জায়গায় লাগছে, তারপর উত্তর।

  1. ১০০ এর কাছে বর্গ

    ৯৯৬² কে (১০০০ − ৪)² ধরে বিয়োগের বর্গ বসাও। কাছের গোল সংখ্যা বাছো।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      9898 এর বর্গ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে 9898, 100100 এর কাছে। শর্টকাট: 98=100−298=100-2, তাই বিয়োগের বর্গ (100−2)2=10000−2×100×2+4=9604(100-2)^2=10000-2\times 100\times 2+4=9604।

      উত্তর

      96049604

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      102102 এর বর্গ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে 102102, 100100 এর কাছে। শর্টকাট: 102=100+2102=100+2, তাই যোগের বর্গ (100+2)2=10000+400+4(100+2)^2=10000+400+4।

      উত্তর

      1040410404

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      9999 এর বর্গ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে 9999, 100100 এর কাছে। শর্টকাট: 99=100−199=100-1, তাই বিয়োগের বর্গ (100−1)2=10000−200+1(100-1)^2=10000-200+1।

      উত্তর

      98019801

  2. পদ গুনে সূত্র

    দুই পদ ঘন হলে ঘনের যোগ বা বিয়োগ। চার পদ হলে আগে পূর্ণঘন মেলাও।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      8+x38+x^3 কোন সূত্রে ভাঙবে?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে দুই পদ, 88 আর x3x^3। শর্টকাট: দুটোই ঘন। 23+x32^3+x^3, ঘনের যোগ।

      উত্তর

      (2+x)(4−2x+x2)(2+x)(4-2x+x^2)

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      a3−27a^3-27 কোন সূত্রে ভাঙবে?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে দুই পদ, a3a^3 আর 2727, মাঝে বিয়োগ। শর্টকাট: 27=3327=3^3। ঘনের বিয়োগ।

      উত্তর

      (a−3)(a2+3a+9)(a-3)(a^2+3a+9)

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      x3+3x2+3x+1x^3+3x^2+3x+1 কোন ঘন?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে চার পদ। শর্টকাট: পূর্ণঘন (x+1)3(x+1)^3 এর সঙ্গে মেলে।

      উত্তর

      (x+1)3(x+1)^3

  3. মধ্যপদ ভাঙা

    দুই সংখ্যা খোঁজো যাদের যোগ মধ্যপদ, গুণ শেষ পদ। চিহ্ন দুটোকে আলাদা রাখো।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      x2+5x+6x^2+5x+6 এর উৎপাদক কী?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে মধ্যপদ 5x5x, শেষ পদ 66। শর্টকাট: যোগ ৫, গুণ ৬। সংখ্যা 22 আর 33।

      উত্তর

      (x+2)(x+3)(x+2)(x+3)

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      x2−5x+6x^2-5x+6 এর উৎপাদক কী?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে মধ্যপদ −5x-5x, শেষ পদ 66। শর্টকাট: যোগ −5-5, গুণ 66। সংখ্যা −2-2 আর −3-3।

      উত্তর

      (x−2)(x−3)(x-2)(x-3)

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      x2+x−6x^2+x-6 এর উৎপাদক কী?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে মধ্যপদ xx, শেষ পদ −6-6। শর্টকাট: যোগ 11, গুণ −6-6। সংখ্যা 33 আর −2-2।

      উত্তর

      (x+3)(x−2)(x+3)(x-2)

  4. ভাগশেষে বসানো

    ভাগ না করে x = a বসাও। f(a) ই ভাগশেষ।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      x2+xx^2+x কে (x−1)(x-1) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভাজক (x−1)(x-1)। শর্টকাট: ভাগ না করে x=1x=1। 1+1=21+1=2।

      উত্তর

      22

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      x3−8x^3-8 কে (x−2)(x-2) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভাজক (x−2)(x-2)। শর্টকাট: x=2x=2। 8−8=08-8=0।

      উত্তর

      00

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      x2+1x^2+1 কে (x+1)(x+1) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভাজক (x+1)(x+1)। শর্টকাট: x=−1x=-1। 1+1=21+1=2।

      উত্তর

      22

  5. শতকরায় ১০০ ধরো

    লাভ-ক্ষতির অঙ্কে ক্রয়মূল্য ১০০ ধরে শুরু করলে শতাংশ সরাসরি টাকায় মেলে।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা, লাভ ২০%। বিক্রয়মূল্য কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ক্রয় ১০০। শর্টকাট: ১০০ ধরলে লাভ সরাসরি ২০ টাকা। বিক্রয় 100+20100+20।

      উত্তর

      120120 টাকা

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা, ক্ষতি ১৫%। বিক্রয়মূল্য কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ক্রয় ১০০। শর্টকাট: ক্ষতি ১৫ টাকা। বিক্রয় 100−15100-15।

      উত্তর

      8585 টাকা

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      দুই জিনিসের ক্রয় ১০০ টাকা করে। একটায় ১০% লাভ, একটায় ১০% ক্ষতি। মোট লাভ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে দুই ক্রয়ই ১০০, হার ১০%। শর্টকাট: লাভ ১০, ক্ষতি ১০। মোট 10−10=010-10=0।

      উত্তর

      00

  6. ছোট মান দিয়ে বাদ

    MCQ তে a = ১, b = ১ বসিয়ে অপশন মেলাও। যে অপশন মেলে না, সেটা বাদ।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      (a+b)2(a+b)^2 আর a2+b2a^2+b^2 সমান কি? a=1a=1, b=1b=1 বসাও।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে a=1a=1, b=1b=1। শর্টকাট: বাম (2)2=4(2)^2=4, ডান 1+1=21+1=2। মেলে না, বাদ।

      উত্তর

      সমান নয়

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      a2−b2a^2-b^2 আর (a−b)2(a-b)^2 সমান কি? a=2a=2, b=1b=1 বসাও।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে a=2a=2, b=1b=1। শর্টকাট: বাম 4−1=34-1=3, ডান 11। মেলে না, বাদ।

      উত্তর

      সমান নয়

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      (a+b)2−(a−b)2(a+b)^2-(a-b)^2 কি 4ab4ab? a=2a=2, b=1b=1 বসাও।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে a=2a=2, b=1b=1। শর্টকাট: বাম 9−1=89-1=8, ডান 88। মেলে, রাখো।

      উত্তর

      হ্যাঁ, 88

উত্তর যাচাইয়ের কৌশল

প্রতিটি অঙ্কে আগে একটা লেখা উত্তর, তারপর যাচাইটা সেই উত্তরের ঠিক কোন জায়গায় লাগছে।

  1. খুলে আবার গুণ

    উৎপাদককে গুণ করে মূল রাশি ফিরে আসে কি না দেখো।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (x+2)(x+3)=x2+5x+6(x+2)(x+3)=x^2+5x+6। গুণ করে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: বাম পাশের গুণ। গুণ x2+5x+6x^2+5x+6। মূল রাশি ফিরে এল। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (x−2)(x+3)=x2+5x−6(x-2)(x+3)=x^2+5x-6। গুণ করে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: বাম পাশের গুণ। গুণ x2+x−6x^2+x-6। 5x5x মেলে না। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, x2+x−6x^2+x-6

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (3−1)(3+1)=8(3-1)(3+1)=8, আর 32−123^2-1^2 ও 88। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দুই পাশের গুণ। গুণ 2×4=82\times 4=8। 9−1=89-1=8। মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 88

  2. একটা সংখ্যা বসাও

    দুই পাশে a = ২ বসাও। সংখ্যা না মিললে চিহ্ন বা পদ বাদ পড়েছে।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (a+b)2=a2+b2(a+b)^2=a^2+b^2। a=2a=2, b=1b=1 বসিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দুই পাশে একই সংখ্যা বসাও। বাম (2+1)2=9(2+1)^2=9, ডান 4+1=54+1=5। ৯ আর ৫ মেলে না, তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b)। a=3a=3, b=2b=2 বসিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দুই পাশে a=3a=3, b=2b=2। বাম 9−4=59-4=5, ডান 1×5=51\times 5=5। মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 55

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (a−b)2=a2−2ab−b2(a-b)^2=a^2-2ab-b^2। a=2a=2, b=1b=1 বসিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দুই পাশে a=2a=2, b=1b=1। বাম 11, ডান 4−4−1=−14-4-1=-1। মেলে না, তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল

  3. বিয়োগের মাঝের চিহ্ন

    বিয়োগের বর্গে মাঝে মাইনাস। বিয়োগের ঘনের যোগে মাঝে প্লাস ab।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (3−1)2(3-1)^2 মাঝের চিহ্নসহ 9−6+1=49-6+1=4। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: বিয়োগের বর্গের মাঝের চিহ্ন। বিয়োগের বর্গে মাঝে মাইনাস। 9−6+1=49-6+1=4। (2)2=4(2)^2=4। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 44

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল a3−b3=(a−b)(a2−ab+b2)a^3-b^3=(a-b)(a^2-ab+b^2)। a=2a=2, b=1b=1 বসিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: মাঝের abab এর চিহ্ন। মাঝে প্লাস abab হওয়া উচিত। ডান 1×3=31\times 3=3, বাম 77। মেলে না, তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, মাঝে +ab+ab

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 23−132^3-1^3 মাঝে +ab+ab দিয়ে 77। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: মাঝের +ab+ab। (2−1)(4+2+1)=7(2-1)(4+2+1)=7। বাম 77। মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 77

  4. ঘনে চার পদ

    ঘন খুললে পদ চারটে। তিন পদ থাকলে একটা গুণফল বাদ গেছে।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (1+1)3(1+1)^3 চার পদে 1+3+3+1=81+3+3+1=8। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: ঘনের চার পদ। চার পদ 1+3+3+1=81+3+3+1=8। (2)3=8(2)^3=8। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 88

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (a+b)3=a3+3ab+b3(a+b)^3=a^3+3ab+b^3। a=b=1a=b=1 বসিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: পদ কয়টা। পদ তিনটা। ডান 55, বাম 88। একটা গুণফল বাদ। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (2−1)3(2-1)^3 চার পদে 8−12+6−1=18-12+6-1=1। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: চার পদ আছে কি না। 8−12+6−1=18-12+6-1=1। চার পদই আছে। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 11

  5. ভাগশেষ যাচাই

    ছোট বহুপদীতে সরাসরি ভাগ করে f(a) এর সঙ্গে মিলাও।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, f(x)=x2+xf(x)=x^2+x কে (x−1)(x-1) দিয়ে ভাগের ভাগশেষ f(1)=2f(1)=2। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: ভাগশেষ 22। (x−1)(x+2)+2=x2+x(x-1)(x+2)+2=x^2+x। ভাগশেষ ২। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 22

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, x2−1x^2-1 কে (x−1)(x-1) দিয়ে ভাগের ভাগশেষ ১। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা ভাগশেষ ১। (x−1)(x+1)=x2−1(x-1)(x+1)=x^2-1, ভাগশেষ ০। f(1)=0f(1)=0। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, 00

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, f(x)=x+3f(x)=x+3 কে (x−2)(x-2) দিয়ে ভাগের ভাগশেষ f(2)=5f(2)=5। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: ভাগশেষ 55। (x−2)+5=x+3(x-2)+5=x+3। ভাগশেষ ৫। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 55

এই পাঠের সূত্রপত্র

অঙ্ক করার সময় এই সূত্রগুলো খোলা রাখো।

  • যোগ ও বিয়োগের বর্গ

    (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

    প্রথম ও শেষ বর্গ, মাঝে দ্বিগুণ গুণফল। বিয়োগে মাঝের চিহ্ন মাইনাস।

  • বর্গের যোগ

    a2+b2=(a+b)2−2aba^2+b^2=(a+b)^2-2ab(a+b)2−(a−b)2=4ab(a+b)^2-(a-b)^2=4ab

    যোগফল বা গুণফল জানা থাকলে বর্গের যোগ। দুই বর্গের অন্তর ৪ab।

  • বর্গের অন্তর

    a2−b2=(a+b)(a−b)a^2-b^2=(a+b)(a-b)

    যোগ আর বিয়োগের গুণ। বর্গের যোগ এভাবে ভাঙে না।

  • তিন রাশির বর্গ

    (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca

    প্রতি জোড়ার দ্বিগুণ যোগ। কোনো চিহ্ন মাইনাস হলে ঐ জোড়ার চিহ্ন বদলায়।

  • যোগ ও বিয়োগের ঘন

    (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

    চার পদ। বিয়োগে চিহ্ন পরপর প্লাস, মাইনাস, প্লাস, মাইনাস।

  • ঘনের যোগ ও বিয়োগ

    a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

    দুই পদই ঘন হলে এই সূত্র। বিয়োগে মাঝের চিহ্ন যোগ।

  • দুই দ্বিপদীর গুণ

    (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab

    মধ্যপদ দুই সংখ্যার যোগ, শেষ পদ তাদের গুণ।

  • ভাগশেষ উপপাদ্য

    f(x)=(x−a)q(x)+f(a)f(x)=(x-a)q(x)+f(a)

    (x − a) দিয়ে ভাগের ভাগশেষ f(a)। f(a) = ০ হলে (x − a) উৎপাদক।

  • উৎপাদক উপপাদ্য

    f(a)=0⇒(x−a)∣f(x)f(a)=0\Rightarrow (x-a)\mid f(x)

    ভাগশেষ শূন্য হলে (x − a) উৎপাদক। উল্টোটাও সত্য।

  • চার পদের বর্গ

    (a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)

    প্রতি পদের বর্গ, আর প্রতি জোড়ার গুণফলের দ্বিগুণ।

  • সরল মুনাফা

    I=Pnr100I=\dfrac{Pnr}{100}

    P মূলধন, r বছরে শতকরা হার, n বছর। সুদাসল P + I।

  • চক্রবৃদ্ধি

    A=P(1+r100)nA=P\left(1+\dfrac{r}{100}\right)^n

    প্রতি বছর সুদ মূলধনে যোগ হয়। r শতকরা হার।

দুই ঘন রাশির তফাত কী?

দুই পদ আর চার পদ, দুই আলাদা গল্প

দুটো রাশি পাশাপাশি রাখো: x3+8x^3 + 8 আর x3+6x2+12x+8x^3 + 6x^2 + 12x + 8। দুটোতেই x3x^3 আছে আর শেষে ৮ (=23= 2^3) আছে। তবু ভাঙার পথ আলাদা!

প্রথমটায় দুই পদ, দুটোই ঘন, মাঝখানে যোগ: এটা ঘনের যোগফল। দ্বিতীয়টায় চার পদ, আর এটা পুরো একটা ঘন: (x+2)3(x + 2)^3।

আজকের পাঠে শুধু এই চেনার অভ্যাস করব: পদ গুনি, ঘন চিনি, সূত্র বাছি।

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

দুই পদ না চার পদ

চারটা সূত্র একসঙ্গে

আগের দুই পাঠের সূত্রগুলো পাশাপাশি রাখি:

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a + b)^3

a3−3a2b+3ab2−b3=(a−b)3a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a - b)^3

নিজে দেখে বুঝো

নিজে বদলে দেখো

লেখার নিয়ম: গুণ লিখতে পাশাপাশি বসাও (2x, (x+1)(x-1)), ঘাত লিখতে ^ (x^2) বা ², বিয়োগে -।

খুলে লিখলে: x² + 5x + 6

যেকোনো ভাঙা উত্তর “তোমার উত্তর” ঘরে লিখে খুলে মিলিয়ে নাও। যেমন x^3+8 আর (x+2)(x^2-2x+4)।

দুটো ঘর: রাশি আর তার ভাঙা রূপ। বোর্ড দুটোই খুলে সমান কি না বলে।

কোন সূত্র কখন

দুই পদ, দুটোই ঘন: যোগ বা বিয়োগের সূত্র। চার পদ, প্রথম আর শেষ ঘন, আর মাঝের দুই পদ 3a2b3a^2b, 3ab23ab^2 মেলে: পূর্ণঘন। চার পদের রাশি পূর্ণঘন না হলে জোড়া করে দেখো।

আগে পদ গোনো

প্রথম প্রশ্ন: কয় পদ? দুই পদ হলে প্রথমে দেখো দুটোই ঘন কি না (সংখ্যার ঘন মুখস্থ রাখলে সুবিধা: ১, ৮, ২৭, ৬৪, ১২৫, ২১৬, ৩৪৩, ৫১২, ৭২৯, ১০০০)।

একসাথে করি ১

x³ + 8 ভাঙি

x3+8x^3 + 8 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

  1. পড়ি

    দুই পদ, মাঝে যোগ।

  2. আঁকি

    x3x^3 একটা ঘন, আর 8=238 = 2^3। দুটোই ঘন।

  3. ভাবি

    ঘনের যোগফল: a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2), a=xa = x, b=2b = 2।

  4. করি

    a2=x2a^2 = x^2, ab=2xab = 2x, b2=4b^2 = 4। তাই (x+2)(x2−2x+4)(x + 2)(x^2 - 2x + 4)।

  5. মেলাই

    x=1x = 1: বাম 99, ডান 3×3=93 \times 3 = 9 ✓।

একসাথে করি ২

x³ + 6x² + 12x + 8 ভাঙি

x3+6x2+12x+8x^3 + 6x^2 + 12x + 8 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

  1. পড়ি

    চার পদ। জোড়া করার আগে দেখি পূর্ণঘন কি না।

  2. আঁকি

    প্রথম পদ x3x^3, শেষ পদ 8=238 = 2^3। তাই a=xa = x, b=2b = 2 হতে পারে।

  3. ভাবি

    মাঝের পদ দুটো মেলাই: 3a2b=3x2×2=6x23a^2b = 3x^2 \times 2 = 6x^2 ✓, 3ab2=3x×4=12x3ab^2 = 3x \times 4 = 12x ✓।

  4. করি

    চার পদই (a+b)3(a + b)^3 এর সঙ্গে মিলল, তাই (x+2)3(x + 2)^3।

  5. মেলাই

    বোর্ডে (x+2)3(x+2)^3 খুলে মিলিয়ে নাও।

ঘন রাশির চার রূপ

চার ধরন: ঘনের যোগ-বিয়োগ ভাঙা, পূর্ণঘন চেনা, মিশ্র রাশি, আর সংখ্যা ও বিভাজ্যতার অঙ্ক।

ধরন ১

ঘনের যোগ-বিয়োগ ভাঙা

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

দুই পদের রাশি, দুটোই ঘন (বা সাধারণ উৎপাদক নিলে ঘন), মাঝে যোগ বা বিয়োগ।

সমাধানের ধাপ

  1. সাধারণ উৎপাদক থাকলে আগে নাও
  2. দুই পদ কার কার ঘন, তা বের করো (a ও b)
  3. সূত্র বসাও, a², ab, b² আলাদা করো
  4. ফল আবার ভাঙে কি না দেখো; খুলে মেলাও
অঙ্ক ১.১সহজ

x³ + 8 ভাঙো

x3+8x^3 + 8 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

বসাই

(x+2)(x2−2x+4)(x + 2)(x^2 - 2x + 4)।

যাচাই

x=0x = 0: 8=2×48 = 2 \times 4 ✓

অঙ্ক ১.২মাঝারি

27a³ − 64b³ ভাঙো

27a3−64b327a^3 - 64b^3 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

বসাই

(3a−4b)(9a2+12ab+16b2)(3a - 4b)(9a^2 + 12ab + 16b^2)।

যাচাই

a=1a = 1, b=1b = 1: −37-37, আর (−1)×37=−37(-1) \times 37 = -37 ✓

অঙ্ক ১.৩কঠিন

x⁶ − 1 ভাঙো

x6−1x^6 - 1 কে যতটা সম্ভব ভাঙো।

সমাধান

দুই ধাপে

বর্গের অন্তর

(x3−1)(x3+1)(x^3 - 1)(x^3 + 1)।

ঘনের সূত্র

(x−1)(x2+x+1)(x+1)(x2−x+1)(x - 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1)।

যাচাই

x=2x = 2: বাম 6363, ডান 1×7×3×3=631 \times 7 \times 3 \times 3 = 63 ✓

অঙ্ক ১.৪কঠিন

2x⁴ + 16x ভাঙো

2x4+16x2x^4 + 16x কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

দুই ধাপে

সাধারণ উৎপাদক

2x(x3+8)2x(x^3 + 8)।

ঘনের সূত্র

2x(x+2)(x2−2x+4)2x(x + 2)(x^2 - 2x + 4)।

যাচাই

x=1x = 1: বাম 1818, ডান 2×3×3=182 \times 3 \times 3 = 18 ✓

ধরন ২

পূর্ণঘন রাশি চেনা

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

চার পদের রাশি যার প্রথম ও শেষ পদ ঘন, আর মাঝের দুই পদ 3A2B3A^2B, 3AB23AB^2 আকারের।

সমাধানের ধাপ

  1. প্রথম ও শেষ পদের ঘনমূল বের করো (A, B)
  2. মাঝের দুই পদ 3A²B আর 3AB² এর সঙ্গে মেলাও
  3. চিহ্ন দেখো: সব + হলে (A + B)³, একটা পরপর হলে (A − B)³
  4. খুলে মেলাও
অঙ্ক ২.১সহজ

x³ + 6x² + 12x + 8 ভাঙো

x3+6x2+12x+8x^3 + 6x^2 + 12x + 8 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

মিলিয়ে

মেলাই

3×x2×2=6x23 \times x^2 \times 2 = 6x^2 ✓, 3×x×4=12x3 \times x \times 4 = 12x ✓

উত্তর

(x+2)3(x + 2)^3।

অঙ্ক ২.২মাঝারি

8a³ − 36a² + 54a − 27 ভাঙো

8a3−36a2+54a−278a^3 - 36a^2 + 54a - 27 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

মিলিয়ে

মেলাই

দুটোই মিলেছে।

উত্তর

(2a−3)3(2a - 3)^3।

অঙ্ক ২.৩সহজ

x³ − 3x² + 3x − 1 ভাঙো

x3−3x2+3x−1x^3 - 3x^2 + 3x - 1 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

মিলিয়ে

মেলাই

সব মিলেছে।

উত্তর

(x−1)3(x - 1)^3।

অঙ্ক ২.৪কঠিন

27x³ + 54x² + 36x + 8 ভাঙো

27x3+54x2+36x+827x^3 + 54x^2 + 36x + 8 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

মিলিয়ে

মেলাই

দুটোই মিলেছে।

উত্তর

(3x+2)3(3x + 2)^3।

ধরন ৩

মিশ্র রাশি

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রথমে কোন সূত্র বোঝা যায় না; একটু সাজালে বা একটা অংশকে নতুন অক্ষর ধরলে ঘনের সূত্র মেলে।

সমাধানের ধাপ

  1. সাধারণ উৎপাদক, জোড়া, বা অংশকে অক্ষর ধরার সুযোগ খোঁজো
  2. ঘনের সূত্রের আকার মেলাও
  3. বসিয়ে সরল করো
  4. খুলে মেলাও
অঙ্ক ৩.১মাঝারি

a³ − b³ − a + b ভাঙো

a3−b3−a+ba^3 - b^3 - a + b কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

জোড়া করে

ভাঙি

(a−b)(a2+ab+b2)−(a−b)(a - b)(a^2 + ab + b^2) - (a - b)।

সাধারণ বন্ধনী

(a−b)(a2+ab+b2−1)(a - b)(a^2 + ab + b^2 - 1)।

যাচাই

a=2a = 2, b=1b = 1: বাম 66, ডান 1×6=61 \times 6 = 6 ✓

অঙ্ক ৩.২কঠিন

(x + 1)³ + 8 ভাঙো

(x+1)3+8(x + 1)^3 + 8 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

অংশকে অক্ষর ধরে

বসাই

(x+3)[(x+1)2−2(x+1)+4](x + 3)\left[(x + 1)^2 - 2(x + 1) + 4\right]।

সরল

(x+1)2−2(x+1)+4=x2+2x+1−2x−2+4=x2+3(x + 1)^2 - 2(x + 1) + 4 = x^2 + 2x + 1 - 2x - 2 + 4 = x^2 + 3।

উত্তর

(x+3)(x2+3)(x + 3)(x^2 + 3)।

যাচাই

x=0x = 0: বাম 99, ডান 3×3=93 \times 3 = 9 ✓

অঙ্ক ৩.৩মাঝারি

x³ + y³ + 3xy(x + y) ভাঙো

x3+y3+3xy(x+y)x^3 + y^3 + 3xy(x + y) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

আকার চিনে

খুলি

x3+3x2y+3xy2+y3x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3।

উত্তর

(x+y)3(x + y)^3।

যাচাই

x=1x = 1, y=2y = 2: বাম 1+8+18=271 + 8 + 18 = 27, ডান 33=273^3 = 27 ✓

অঙ্ক ৩.৪কঠিন

x⁶ − 64 ভাঙো

x6−64x^6 - 64 কে যতটা সম্ভব ভাঙো।

সমাধান

ধাপে ধাপে

বর্গের অন্তর

(x3+8)(x3−8)(x^3 + 8)(x^3 - 8)।

ঘনের সূত্র

(x+2)(x2−2x+4)(x−2)(x2+2x+4)(x + 2)(x^2 - 2x + 4)(x - 2)(x^2 + 2x + 4)।

যাচাই

x=1x = 1: বাম −63-63, ডান 3×3×(−1)×7=−633 \times 3 \times (-1) \times 7 = -63 ✓

ধরন ৪

সংখ্যা ও বিভাজ্যতা

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে সংখ্যার ঘনের যোগ-বিয়োগ, বা প্রমাণ করতে বলা হয়েছে কোনো রাশি কোনো সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য।

সমাধানের ধাপ

  1. সংখ্যাকে ঘন (বা রাশি) হিসেবে লেখো
  2. সূত্রে ভেঙে গুণফল বানাও
  3. কোন উৎপাদক কোন সংখ্যা দিয়ে ভাগ যায়, তা দেখো
  4. ছোট সংখ্যায় মেলাও
অঙ্ক ৪.১সহজ

103³ − 3³ বের করো

সূত্র প্রয়োগ করে 1033−33103^3 - 3^3 এর মান বের করো।

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

বসাই

(103−3)(10609+309+9)=100×10927(103 - 3)(10609 + 309 + 9) = 100 \times 10927।

উত্তর

10927001092700।

যাচাই

1033=1092727103^3 = 1092727, বিয়োগ 27 = 10927001092700 ✓

অঙ্ক ৪.২মাঝারি

2⁶ − 1 কে ৭ আর ৯ দিয়ে ভাগ

দেখাও যে 26−12^6 - 1 কে ৭ এবং ৯ উভয় দ্বারা ভাগ করা যায়।

সমাধান

বর্গের অন্তর

ভাঙি

(8+1)(8−1)=9×7(8 + 1)(8 - 1) = 9 \times 7।

সিদ্ধান্ত

গুণফলে ৯ আর ৭ দুটোই আছে, তাই ৬৩ কে দুটো দিয়েই ভাগ করা যায়।

যাচাই

63=9×763 = 9 \times 7 ✓

অঙ্ক ৪.৩কঠিন

n³ − n কে ৬ দিয়ে ভাগ

দেখাও যে যেকোনো পূর্ণসংখ্যা nn এর জন্য n3−nn^3 - n কে ৬ দ্বারা ভাগ করা যায়।

সমাধান

ভেঙে

ভাঙি

n3−n=(n−1)×n×(n+1)n^3 - n = (n - 1) \times n \times (n + 1), তিনটা ক্রমিক সংখ্যা।

যুক্তি

ক্রমিক তিনটার একটা অবশ্যই জোড় (২ এর গুণিতক) আর একটা ৩ এর গুণিতক। তাই গুণফল 2×3=62 \times 3 = 6 দিয়ে ভাগ যায়।

যাচাই

n=5n = 5: 125−5=120=6×20125 - 5 = 120 = 6 \times 20 ✓

অঙ্ক ৪.৪মাঝারি

100³ − 1 ভাঙো

1003−1100^3 - 1 এর মান সূত্রে বের করো, আর দেখাও যে এটা ৯৯ দ্বারা বিভাজ্য।

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

বসাই

(100−1)(10000+100+1)=99×10101(100 - 1)(10000 + 100 + 1) = 99 \times 10101।

উত্তর

999999999999, আর ৯৯ উৎপাদক, তাই বিভাজ্য।

যাচাই

99×10101=99999999 \times 10101 = 999999 ✓

ঘনের রূপ খুলে মেলাও

নিচের অঙ্কগুলো নিজে করো। আটকে গেলে ইঙ্গিত দেখো, তারপর উত্তর মিলিয়ে নাও।

ভুল ধরো

তিনটা দেখতে-ঠিক কিন্তু ভুল ভাঙা

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

ক: x3+27=(x+3)3x^3 + 27 = (x + 3)^3।

খ: x3−8=(x−2)(x2−2x+4)x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 - 2x + 4)।

গ: a3−b3=(a−b)3a^3 - b^3 = (a - b)^3।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ক: (x+3)3(x + 3)^3 এ মাঝের পদ আছে। ঠিক: (x+3)(x2−3x+9)(x + 3)(x^2 - 3x + 9)। যাচাই x=1x = 1: 2828, আর 4×7=284 \times 7 = 28 ✓ (ভুলটায় 6464)।

খ: বিয়োগের সূত্রে মাঝে +ab+ab। ঠিক: (x−2)(x2+2x+4)(x - 2)(x^2 + 2x + 4)। যাচাই x=3x = 3: 1919, ঠিকটায় 1×191 \times 19 ✓।

গ: (a−b)3(a - b)^3 এ মাঝে দুই পদ আছে। যাচাই a=2a = 2, b=1b = 1: 7≠17 \ne 1।

ধরার উপায়: ছোট সংখ্যা বসাও।

x³ − 27 = ?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (ক) (x − 3)(x² + 3x + 9)। (x − 3)(x² + 3x + 9)। x = 4: 37 = 1 × 37 ✓।

x³ + 3x² + 3x + 1 = ?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (ক) (x + 1)³। পূর্ণঘন: (x + 1)³।

2⁹ − 1 কোন সংখ্যা দিয়ে ভাগ যায়?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) ৭। 8³ − 1 = (8 − 1)(...) = 7 × (...), তাই ৭ দিয়ে ভাগ যায়।

প্রশ্ন ১. উৎপাদকে ভাঙো: (ক) 8x3+1258x^3 + 125 (খ) x3−9x2+27x−27x^3 - 9x^2 + 27x - 27 (গ) a6−b6a^6 - b^6

ইঙ্গিত দেখো

(ক) a=2xa = 2x, b=5b = 5। (খ) B=3B = 3, বিয়োগের ঘন। (গ) আগে বর্গের অন্তর।

উত্তর দেখো

(ক) (2x+5)(4x2−10x+25)(2x + 5)(4x^2 - 10x + 25)। (খ) (x−3)3(x - 3)^3। (গ) (a−b)(a2+ab+b2)(a+b)(a2−ab+b2)(a - b)(a^2 + ab + b^2)(a + b)(a^2 - ab + b^2)।

প্রশ্ন ২. দেখাও যে n3+5nn^3 + 5n কে ৬ দিয়ে ভাগ করা যায় (ইঙ্গিত: n3−nn^3 - n আর 6n6n)।

ইঙ্গিত দেখো

n3+5n=(n3−n)+6nn^3 + 5n = (n^3 - n) + 6n।

উত্তর দেখো

n3−nn^3 - n ৬ দিয়ে ভাগ যায় (আগের অঙ্ক), আর 6n6n ও ৬ দিয়ে ভাগ যায়। দুইয়ের যোগফলও ভাগ যায়।

মনে রাখো

  • দুই পদ ঘন: a3±b3a^3 \pm b^3 সূত্র। চার পদ: পূর্ণঘন কি না আগে মেলাও।
  • বিভাজ্যতা: ভেঙে উৎপাদক দেখো, কোনটা কোন সংখ্যার গুণিতক।
  • মনে রাখো: n3−n=(n−1)n(n+1)n^3 - n = (n - 1)n(n + 1), তিনটা ক্রমিক সংখ্যার গুণফল।
  • সাবধান: x3+8≠(x+2)3x^3 + 8 \ne (x + 2)^3।