উৎপাদকে বিশ্লেষণের চার পথ

সংখ্যা ও রাশি কীভাবে ভাঙে?

গুণ খোলার উল্টো কাজ

১২ কে গুণফলে ভাঙা সহজ: $12 = 3 \times 4$ বা $2 \times 6$ । এগুলো ১২ এর উৎপাদক (factor)। এখন রাশির কথা ভাবো: $x^2 + 5x + 6$ কে কি গুণফলে ভাঙা যায়? হ্যাঁ: $(x + 2)(x + 3)$ । খুলে দেখো, ঠিক ফিরে আসে।

উৎপাদকে বিশ্লেষণ মানে এই উল্টো কাজ: একটা রাশিকে ছোট ছোট রাশির গুণফল হিসেবে লেখা। গুণ খোলার সময় আমরা বন্ধনী ভেঙে ফেলি, আর এখানে বন্ধনী জোড়া লাগাই।

কেন এটা দরকার? সমীকরণ সমাধান, ভগ্নাংশ সরল করা, সবকিছুতে। আজ চারটা পথ শিখব।

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

রাশি দেখে পথ বাছো

নিচের বোর্ডে কোনো রাশি লেখো, আর বোর্ড সেটাকে খুলে দেখাবে। আবার তোমার ভাঙা উত্তর “তোমার উত্তর” ঘরে লিখলে বোর্ড বলবে মিলল কি না। এভাবেই নিজের উত্তর নিজেই যাচাই করতে পারবে।

নিজে দেখে বুঝো

নিজে বদলে দেখো

রাশি:

তোমার উত্তর (চাইলে, মিলিয়ে দেখার জন্য):

লেখার নিয়ম: গুণ লিখতে পাশাপাশি বসাও (2x, (x+1)(x-1)), ঘাত লিখতে ^ (x^2) বা ², বিয়োগে -।

খুলে লিখলে: x² + 5x + 6

বাঁয়ে রাশি, ডানে তোমার ভাঙা উত্তর লেখো। বোর্ড দুটোকেই খুলে মিলিয়ে দেখাবে। উদাহরণের বোতাম টিপলে নমুনা বসবে।

দুটো ঘর: একটায় রাশি, আরেকটায় তার ভাঙা রূপ। নিচে দুটোর খোলা রূপ আর সমান কি না।

চারটা পথ এক নজরে

পথ ১: সাধারণ উৎপাদক। সব পদে যা যা সাধারণ, সেগুলো বাইরে নাও: $6x^2y + 9xy^2 = 3xy(2x + 3y)$ ।

পথ ২: জোড়া করে। চার পদ থাকলে দুই-দুইটা করে জোড়া করে প্রতি জোড়ায় সাধারণ উৎপাদক নাও। বন্ধনী মিলে গেলে সেটাও বাইরে: $ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)$ ।

পথ ৩: পূর্ণবর্গ। $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$ । (প্রথম পাঠে দেখেছ।)

পথ ৪: দুই বর্গের অন্তর। $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ । (তৃতীয় পাঠে দেখেছ।)

কোন পথে যাব, ঠিক করার নিয়ম

ভাঙার সময় প্রথম দেখো সাধারণ উৎপাদক আছে কি না। তারপর পদ গোনো: দুই পদ হলে বর্গের অন্তর, তিন পদ হলে পূর্ণবর্গ (বা পরের পাঠের মধ্যপদ ভাঙা), চার পদ হলে জোড়া।

সাধারণ উৎপাদক আগে

একটা রাশি হাতে পেলে সবচেয়ে বড় প্রশ্ন: “কোথা থেকে শুরু?” উত্তর: সাধারণ উৎপাদক আছে কি না আগে দেখো। তারপর পদ গুনে পথ বাছো।

একসাথে করি ১

6x²y + 9xy² ভাঙি

$6x^2y + 9xy^2$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

পড়ি
দুই পদের একটা রাশি। প্রথমে সাধারণ উৎপাদক খুঁজি।
আঁকি
পদ দুটো পাশাপাশি লিখি: $6x^2y$ আর $9xy^2$ । সংখ্যা, $x$ , $y$ আলাদা করে দেখি।
ভাবি
সংখ্যায় ৬ আর ৯ এর সাধারণ উৎপাদক ৩। $x$ আছে দুটোতেই (ছোট ঘাত $x^1$ )। $y$ আছে দুটোতেই ( $y^1$ )। তাহলে সাধারণ উৎপাদক $3xy$ ।
করি
$6x^2y \div 3xy = 2x$ আর $9xy^2 \div 3xy = 3y$ । তাই $6x^2y + 9xy^2 = 3xy(2x + 3y)$ ।
মেলাই
খুলি: $3xy \times 2x = 6x^2y$ , $3xy \times 3y = 9xy^2$ ✓। বোর্ডেও মিলিয়ে নাও।

একসাথে করি ২

x² − 49 ভাঙি

$x^2 - 49$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

পড়ি
দুই পদ, মাঝে বিয়োগ। সাধারণ উৎপাদক নেই।
আঁকি
$x^2$ একটা বর্গ, $49 = 7^2$ ও একটা বর্গ। দুই বর্গের অন্তর!
ভাবি
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ , এখানে $a = x$ , $b = 7$ ।
করি
$x^2 - 49 = (x + 7)(x - 7)$ ।
মেলাই
খুলি: $x^2 - 7x + 7x - 49 = x^2 - 49$ ✓।

উৎপাদকে ভাঙার চার পথ

বইয়ে অঙ্কগুলো চার ধরনের: সাধারণ উৎপাদক আর জোড়া করে, পূর্ণবর্গ চিনে, দুই বর্গের অন্তর, আর মিশ্র (দুটো পথ একসাথে)। প্রতিটা অঙ্ক ভাঙার পর খুলে মিলিয়ে নেওয়া অভ্যাস করো।

ধরন ১

সাধারণ উৎপাদক ও জোড়া করে

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে বলা থাকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো, আর রাশির সব পদে কোনো সংখ্যা বা অক্ষর সাধারণ, অথবা চার পদের রাশি।

সমাধানের ধাপ

সব পদের সাধারণ সংখ্যা ও অক্ষর বের করো
বাইরে নিয়ে প্রতি পদকে ভাগ করে ভেতরে লেখো
চার পদ হলে দুই-দুই জোড়া করে প্রতি জোড়ায় এটাই করো
বন্ধনী মিললে সেটাকেও বাইরে নাও; খুলে মেলাও

অঙ্ক ১.১সহজ

6x²y + 9xy² ভাঙো

$6x^2y + 9xy^2$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

সাধারণ উৎপাদক নিয়ে

বের করি

সাধারণ উৎপাদক $3xy$ ।

ভাগ করি

$6x^2y \div 3xy = 2x$ , $9xy^2 \div 3xy = 3y$ ।

উত্তর

$3xy(2x + 3y)$ ।

যাচাই

খুললে $6x^2y + 9xy^2$ , অর্থাৎ মূল রাশি ✓

অঙ্ক ১.২সহজ

ax + ay + bx + by ভাঙো

$ax + ay + bx + by$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

জোড়া করে

জোড়া

$a(x + y) + b(x + y)$ ।

বন্ধনী বাইরে

$(x + y)$ সাধারণ, তাই $(a + b)(x + y)$ ।

যাচাই

খুললে $ax + ay + bx + by$ ✓

অঙ্ক ১.৩মাঝারি

x³ − 3x² + 2x − 6 ভাঙো

$x^3 - 3x^2 + 2x - 6$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

জোড়া করে

জোড়া

$x^2(x - 3) + 2(x - 3)$ ।

উত্তর

$(x - 3)(x^2 + 2)$ ।

যাচাই

খুললে $x^3 + 2x - 3x^2 - 6$ ✓

অঙ্ক ১.৪কঠিন

2ab − 6a − b + 3 ভাঙো

$2ab - 6a - b + 3$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

জোড়া করে

জোড়া

$2a(b - 3) - 1(b - 3)$ ।

উত্তর

$(b - 3)(2a - 1)$ ।

যাচাই

খুললে $2ab - b - 6a + 3$ ✓

ধরন ২

পূর্ণবর্গ রাশি ভাঙা

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

তিন পদের রাশি, প্রথম আর শেষ পদ বর্গ, আর মাঝেরটা তাদের মূলের গুণফলের দ্বিগুণ।

সমাধানের ধাপ

প্রথম আর শেষ পদের বর্গমূল বের করো
মাঝের পদ = 2 × (দুই মূলের গুণফল) কি না মেলাও
মাঝের চিহ্ন যা, বন্ধনীতে সেই চিহ্ন
সাধারণ উৎপাদক থাকলে আগে সেটা নাও

অঙ্ক ২.১সহজ

x² + 10x + 25 ভাঙো

$x^2 + 10x + 25$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

পূর্ণবর্গ চিনে

মেলাই

$x^2 = (x)^2$ , $25 = 5^2$ , $10x = 2 \times x \times 5$ ✓

উত্তর

$(x + 5)^2$ , অর্থাৎ $(x + 5)(x + 5)$ ।

অঙ্ক ২.২মাঝারি

9a² − 12ab + 4b² ভাঙো

$9a^2 - 12ab + 4b^2$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

পূর্ণবর্গ চিনে

মেলাই

$2 \times 3a \times 2b = 12ab$ ✓, চিহ্ন $-$ ।

উত্তর

$(3a - 2b)^2$ ।

অঙ্ক ২.৩মাঝারি

4m² + 20m + 25 ভাঙো

$4m^2 + 20m + 25$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

পূর্ণবর্গ চিনে

মেলাই

$2 \times 2m \times 5 = 20m$ ✓

উত্তর

$(2m + 5)^2$ ।

অঙ্ক ২.৪কঠিন

18x² − 24x + 8 ভাঙো

$18x^2 - 24x + 8$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

দুই ধাপে

সাধারণ উৎপাদক

$18x^2 - 24x + 8 = 2(9x^2 - 12x + 4)$ ।

পূর্ণবর্গ

$9x^2 - 12x + 4 = (3x - 2)^2$ , কারণ $2 \times 3x \times 2 = 12x$ ।

উত্তর

$2(3x - 2)^2$ ।

যাচাই

$x = 1$ : বাম $18 - 24 + 8 = 2$ , ডান $2(3 - 2)^2 = 2$ ✓

ধরন ৩

দুই বর্গের অন্তর

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

দুই পদের রাশি, মাঝে বিয়োগ, আর দুই পদই বর্গ (অথবা বাইরে কিছু নিলে বর্গ)।

সমাধানের ধাপ

দুই পদ কার কার বর্গ তা বের করো
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ বসাও
আগে সাধারণ উৎপাদক থাকলে সেটা নাও
ফল আবার ভাঙা যায় কি না দেখো

অঙ্ক ৩.১সহজ

x² − 49 ভাঙো

$x^2 - 49$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

বসাই

$x^2 - 7^2 = (x + 7)(x - 7)$ ।

যাচাই

খুললে $x^2 - 49$ ✓

অঙ্ক ৩.২মাঝারি

16a² − 25b² ভাঙো

$16a^2 - 25b^2$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

বসাই

$(4a)^2 - (5b)^2 = (4a + 5b)(4a - 5b)$ ।

যাচাই

$a = 1$ , $b = 1$ : $16 - 25 = -9$ আর $9 \times (-1) = -9$ ✓

অঙ্ক ৩.৩কঠিন

x⁴ − 81 ভাঙো (দুইবার)

$x^4 - 81$ কে যতটা সম্ভব ভাঙো।

সমাধান

দুই ধাপে

প্রথম ধাপ

$x^4 - 81 = (x^2 + 9)(x^2 - 9)$ ।

দ্বিতীয় ধাপ

$x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$ । কিন্তু $x^2 + 9$ আর ভাঙে না।

উত্তর

$(x^2 + 9)(x + 3)(x - 3)$ ।

যাচাই

$x = 2$ : বাম $16 - 81 = -65$ , ডান $13 \times 5 \times (-1) = -65$ ✓

অঙ্ক ৩.৪কঠিন

75x² − 12 ভাঙো

$75x^2 - 12$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

দুই ধাপে

সাধারণ উৎপাদক

$75x^2 - 12 = 3(25x^2 - 4)$ ।

বর্গের অন্তর

$25x^2 - 4 = (5x)^2 - 2^2 = (5x + 2)(5x - 2)$ ।

উত্তর

$3(5x + 2)(5x - 2)$ ।

যাচাই

$x = 1$ : বাম $63$ , ডান $3 \times 7 \times 3 = 63$ ✓

ধরন ৪

মিশ্র: একাধিক পথ একসাথে

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রথম দেখায় কোন পথ বোঝা যায় না, কিন্তু একটু সাজালে বা জোড়া করলে সূত্র বেরিয়ে আসে।

সমাধানের ধাপ

সাধারণ উৎপাদক আছে কি না দেখো
পদ গুনে সম্ভাব্য পথ ঠিক করো
পদ সাজিয়ে পূর্ণবর্গ বা বর্গের অন্তর বের করো
শেষে আবার ভাঙা যায় কি না দেখো

অঙ্ক ৪.১সহজ

x³ − x ভাঙো

$x^3 - x$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

দুই ধাপে

সাধারণ উৎপাদক

$x(x^2 - 1)$ ।

বর্গের অন্তর

$x(x + 1)(x - 1)$ ।

যাচাই

$x = 3$ : বাম $24$ , ডান $3 \times 4 \times 2 = 24$ ✓

অঙ্ক ৪.২মাঝারি

a² − b² + a + b ভাঙো

$a^2 - b^2 + a + b$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

দুই ধাপে

ভাঙি

$(a + b)(a - b) + (a + b)$ ।

সাধারণ বন্ধনী

$(a + b)(a - b + 1)$ ।

যাচাই

$a = 3$ , $b = 1$ : বাম $9 - 1 + 4 = 12$ , ডান $4 \times 3 = 12$ ✓

অঙ্ক ৪.৩কঠিন

x² − 2x + 1 − y² ভাঙো

$x^2 - 2x + 1 - y^2$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

দুই ধাপে

পূর্ণবর্গ

$(x - 1)^2 - y^2$ ।

বর্গের অন্তর

$(x - 1 + y)(x - 1 - y)$ ।

যাচাই

$x = 3$ , $y = 1$ : বাম $9 - 6 + 1 - 1 = 3$ , ডান $3 \times 1 = 3$ ✓

অঙ্ক ৪.৪কঠিন

4x⁴ − 4 ভাঙো

$4x^4 - 4$ কে যতটা সম্ভব ভাঙো।

সমাধান

ধাপে ধাপে

সাধারণ উৎপাদক

$4(x^4 - 1)$ ।

প্রথম বর্গের অন্তর

$4(x^2 + 1)(x^2 - 1)$ ।

উত্তর

$4(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)$ ।

যাচাই

$x = 2$ : বাম $60$ , ডান $4 \times 5 \times 3 \times 1 = 60$ ✓

ভেঙে আবার খুলে মেলাও

নিচের অঙ্কগুলো নিজে করো। আটকে গেলে ইঙ্গিত দেখো, তারপর উত্তর মিলিয়ে নাও।

ভুল ধরো

তিনটা দেখতে-ঠিক কিন্তু ভুল ভাঙা

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

ক: $3x + 3 = 3x$ ।

খ: $x^2 + 9 = (x + 3)(x - 3)$ ।

গ: $x^2 - 6x + 9 = (x + 3)^2$ ।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ক: সাধারণ উৎপাদক ৩ বাইরে নিলে ভেতরে ১ থাকে। ঠিক: $3(x + 1)$ । যাচাই $x = 1$ : $3x + 3 = 6$ , ঠিক উত্তরে $3 \times 2 = 6$ ✓, ভুলটায় $3$ ✗।

খ: $x^2 + 9$ যোগের রাশি, বর্গের অন্তর নয়। এটা এভাবে ভাঙে না। খুলে দেখো: $(x + 3)(x - 3) = x^2 - 9$ ।

গ: মাঝের চিহ্ন ঋণাত্মক, তাই $(x - 3)^2$ । যাচাই $x = 1$ : $1 - 6 + 9 = 4$ আর $(1 - 3)^2 = 4$ ✓, ভুলটায় $16$ ✗।

ধরার উপায়: ভাঙার পর খুলে মিলিয়ে নাও।

x² − 16 = ?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) (x + 4)(x − 4)। দুই বর্গের অন্তর: (x + 4)(x − 4)। খুললে x² − 16।

4x² + 12x + 9 = ?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (ক) (2x + 3)²। মাঝের পদ ধনাত্মক আর 2 × 2x × 3 = 12x, তাই (2x + 3)²।

5x + 10y = ?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) 5(x + 2y)। 5x ÷ 5 = x আর 10y ÷ 5 = 2y, তাই 5(x + 2y)।

প্রশ্ন ১. উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো: (ক) $12a^2b - 18ab^2$ (খ) $x^2 + 14x + 49$ (গ) $9p^2 - 100q^2$

ইঙ্গিত দেখো

(ক) সাধারণ উৎপাদক $6ab$ । (খ) $49 = 7^2$ । (গ) $9p^2 = (3p)^2$ ।

উত্তর দেখো

(ক) $6ab(2a - 3b)$ । (খ) $(x + 7)^2$ । (গ) $(3p + 10q)(3p - 10q)$ ।

প্রশ্ন ২. উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো: (ক) $x^3 + 2x^2 + 3x + 6$ (খ) $2x^3 - 32x$

ইঙ্গিত দেখো

(ক) জোড়া করো। (খ) আগে $2x$ বাইরে নাও।

উত্তর দেখো

(ক) $x^2(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x^2 + 3)$ । (খ) $2x(x^2 - 16) = 2x(x + 4)(x - 4)$ ।

মনে রাখো

প্রথমে: সাধারণ উৎপাদক আছে কি না দেখো।
দুই পদ: বর্গের অন্তর। তিন পদ: পূর্ণবর্গ। চার পদ: জোড়া করে।
যাচাই: ভাঙার পর খুলে মূল রাশি পাওয়া যায় কি না দেখো।
সাবধান: $x^2 + 9$ এর মতো বর্গের যোগ এভাবে ভাঙে না।