দুই বর্গের অন্তর ও দুই দ্বিপদীর গুণ

97 × 103 লম্বা গুণ ছাড়া কীভাবে করবে?

সমান দূরত্বের দুই সংখ্যা

$97$ আর $103$ —দুটোই $100$ থেকে সমান দূরে। তাই

$97 \times 103 = (100 - 3)(100 + 3)$ ।

মাঝের দুই গুণ একে অন্যকে কাটে। থাকে $100^2 - 3^2 = 9991$ । আজ এই কাটাকাটির কারণ ছবিতে দেখব। তারপর $(x + a)(x + b)$ -এর মাঝের পদ কোথা থেকে আসে, সেটাও বুঝব।

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

কাটা বর্গ ও চার খণ্ডের আয়তক্ষেত্র

নিজে দেখে বুঝো

নিজে বদলে দেখো

a = 7 b = 3

একটা a বাহুর বর্গ
কোণা থেকে b বাহুর ছোট বর্গ কেটে নাও
বাকি L আকারটাকে দুই আয়তক্ষেত্রে ভাগ করো
ছোটটাকে ঘুরিয়ে ডানে বসাও: একটা লম্বা আয়তক্ষেত্র!

জোড়া লাগাও:

এখন ক্ষেত্রফল: a² = 49। এগিয়ে যাও।

বীজগণিতে প্রমাণ: (a + b)(a − b) কে গুণ করে

(a + b)(a − b)← ডান পাশ থেকে শুরু
= a(a − b) + b(a − b)← প্রথম বন্ধনীর প্রতিটা পদ দিয়ে গুণ
= a² − ab + ba − b²← বন্ধনী খুলি
= a² − b²← −ab আর +ba (= +ab) কেটে যায়

তাই a² − b² = (a + b)(a − b) ∎

এই প্রমাণ সব সংখ্যার জন্য খাটে, কারণ কোথাও কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা বসাইনি। ওপরে সংখ্যা বসানো যাচাই শুধু কয়েকটা সংখ্যায়।

a বাহুর বর্গ থেকে b বাহুর বর্গ কাটো। টুকরো ঘুরিয়ে (a + b) × (a − b) আয়তক্ষেত্র বানাও।

a বাহুর বড় বর্গ থেকে b বাহুর ছোট বর্গ কেটে পাওয়া এল আকৃতিকে দুই টুকরো করে a + b দৈর্ঘ্য ও a − b প্রস্থের আয়তক্ষেত্র বানানো।

ছবির প্রমাণ

বড় বর্গের ক্ষেত্রফল $a^2$ । কাটা ছোট বর্গের ক্ষেত্রফল $b^2$ । বাকি ক্ষেত্রফল $a^2 - b^2$ ।

একই অংশ জুড়ে তৈরি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $a + b$ , প্রস্থ $a - b$ । তাই

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

বীজগণিতের প্রমাণ

এবার লাইন ধরে গুণ করি:

$(a + b)(a - b)$

$= a(a - b) + b(a - b)$ ← প্রথম বন্ধনীর প্রতিটি পদ দিয়ে গুণ

$= a^2 - ab + ab - b^2$ ← গুণ খুললাম

$= a^2 - b^2$ ← $-ab$ আর $+ab$ কেটে গেল।

সংখ্যায় যাচাই

$a = 5$ , $b = 2$ নিলে বাম পাশ $25 - 4 = 21$ । ডান পাশ $(5 + 2)(5 - 2) = 7 \times 3 = 21$ । দুই পাশ মেলে।

দুই দ্বিপদীর গুণ

এবার $(x + a)$ দৈর্ঘ্য ও $(x + b)$ প্রস্থের আয়তক্ষেত্র ভাবো। চার খণ্ডের ক্ষেত্রফল $x^2$ , $bx$ , $ax$ , $ab$ । তাই

$(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$

প্রমাণ ও যাচাই

লাইন ধরে:

$(x + a)(x + b)$

$= x(x + b) + a(x + b)$

$= x^2 + bx + ax + ab$

$= x^2 + (a + b)x + ab$ ।

$x = 1$ , $a = 2$ , $b = 3$ নিলে বাম $3 \times 4 = 12$ ; ডান $1 + 5 + 6 = 12$ ।

নিজে দেখে বুঝো

নিজে বদলে দেখো

কোন সূত্র পরীক্ষা করবে?

a = 3

b = 2

বাম পাশ: (3 + 2)² = 5² = 25

ডান পাশ: 3² + 2 × 3 × 2 + 2² = 9 + 12 + 4 = 25

দুই পাশ সমান ✓

যোগের বর্গ।

বীজগণিতে প্রমাণ: (a + b)² কে খুলে

(a + b)²← বর্গ মানে নিজের সঙ্গে গুণ
= (a + b)(a + b)← বর্গ মানে নিজের সঙ্গে গুণ
= a(a + b) + b(a + b)← প্রথম বন্ধনীর প্রতিটা পদ দিয়ে দ্বিতীয় বন্ধনীকে গুণ (বণ্টন)
= a × a + a × b + b × a + b × b← বন্ধনী খুলি
= a² + 2ab + b²← ba = ab, তাই দুটো ab যোগ হয়ে 2ab

তাই (a + b)² = a² + 2ab + b² ∎

এই প্রমাণ সব সংখ্যার জন্য খাটে, কারণ কোথাও কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা বসাইনি। ওপরে সংখ্যা বসানো যাচাই শুধু কয়েকটা সংখ্যায়।

সূত্র বেছে a, b ও x বদলে দুই পাশ মেলাও।

বর্গের সূত্র বাছাই এবং চলকের মান বদলে দুই পাশের হিসাব তুলনা করার বোর্ড।

দুটি প্রশ্ন মনে রাখো

একই পদ একবার যোগ, একবার বিয়োগ হলে মাঝের পদ কেটে যায়। আর $(x + a)(x + b)$ -তে $x$ -এর সহগ হলো চিহ্নসহ $a + b$ ; শেষ পদ $ab$ ।

চেহারা চিনে সূত্র বাছি

প্রথমে দেখো দুই বন্ধনীতে একটি অংশ একই কি না। অন্য অংশটি বিপরীত চিহ্নে থাকলে বর্গের অন্তর। দুই বন্ধনীর দ্বিতীয় পদ আলাদা হলে তাদের চিহ্নসহ যোগ ও গুণ বের করো।

একসাথে করি ১

102 × 98 বের করি

$102 \times 98$ গুণ না খুলে বের করো।

পড়ি
সংখ্যা দুটি ১০০ থেকে ২ করে দূরে।
আঁকি
$102 = 100 + 2$ , $98 = 100 - 2$ লিখি। একই কেন্দ্র ১০০।
ভাবি
এটি $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ ।
করি
$100^2 - 2^2 = 10000 - 4 = 9996$ ।
মেলাই
$102 \times 98 = 102(100 - 2) = 10200 - 204 = 9996$ ✓

একসাথে করি ২

(x − 3)(x + 5) খুলি

$(x - 3)(x + 5)$ খোলো।

পড়ি
প্রথম পদ $x$ একই; দ্বিতীয় পদ দুটি $-3$ ও $+5$ ।
আঁকি
চার গুণ লিখি: $x^2$ , $5x$ , $-3x$ , $-15$ ।
ভাবি
চিহ্নসহ যোগ $-3 + 5 = 2$ ; গুণ $(-3)(5) = -15$ ।
করি
$(x - 3)(x + 5) = x^2 + 2x - 15$ ।
মেলাই
$x = 1$ : বাম $(-2)(6) = -12$ ; ডান $1 + 2 - 15 = -12$ ✓

তিন ধরনের অঙ্ক, প্রতিটিতে চারটি

প্রথম ধরনে দুই বর্গের অন্তর, দ্বিতীয় ধরনে একই প্রথম পদসহ দুই দ্বিপদীর গুণ, তৃতীয় ধরনে সূত্রের মিশ্র ও উল্টো ব্যবহার।

ধরন ১

দুই বর্গের অন্তর

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

দুইটি বর্গের মাঝে বিয়োগ, অথবা একই অংশ একবার যোগ ও একবার বিয়োগ।

সমাধানের ধাপ

দুই বর্গের মূল চেনো
$A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ লেখো
পুরো পদ A ও B বসাও
খুলে বা সংখ্যা বসিয়ে যাচাই করো

অঙ্ক ১.১সহজ

x² − 25 ভাঙো

$x^2 - 25$ -কে গুণফলে লেখো।

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

চিনি

$x^2 - 25 = x^2 - 5^2$ ।

উত্তর

$(x + 5)(x - 5)$ ।

যাচাই

$x = 6$ : বাম $36 - 25 = 11$ ; ডান $11 \times 1 = 11$ ✓

অঙ্ক ১.২মাঝারি

9a² − 16b² ভাঙো

$9a^2 - 16b^2$ -কে গুণফলে লেখো।

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

চিনি

$(3a)^2 - (4b)^2$ ।

উত্তর

$(3a + 4b)(3a - 4b)$ ।

যাচাই

$a = 2$ , $b = 1$ : বাম $36 - 16 = 20$ ; ডান $10 \times 2 = 20$ ✓

অঙ্ক ১.৩মাঝারি

8.2² − 1.8² বের করো

$8.2^2 - 1.8^2$ -এর মান সূত্রে বের করো।

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

গুণফল

$(8.2 + 1.8)(8.2 - 1.8) = 10 \times 6.4$ ।

উত্তর

$64$ ।

যাচাই

$8.2^2 = 67.24$ , $1.8^2 = 3.24$ ; বিয়োগ $64$ ✓

অঙ্ক ১.৪কঠিন

1007 × 993 বের করো

$1007 \times 993$ সূত্রে বের করো।

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

বসাই

$1000^2 - 7^2 = 1000000 - 49$ ।

উত্তর

$999951$ ।

যাচাই

$1007 \times 993 = 1007(1000 - 7) = 1007000 - 7049 = 999951$ ✓

ধরন ২

একই প্রথম পদসহ দুই দ্বিপদীর গুণ

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

দুটি বন্ধনীর প্রথম পদ একই; দ্বিতীয় পদ দুটি যোগ, বিয়োগ বা মিশ্র চিহ্নের।

সমাধানের ধাপ

দ্বিতীয় পদ দুটি চিহ্নসহ p ও q লেখো
p + q বের করো
pq বের করো
$X^2 + (p + q)X + pq$ লিখে সংখ্যা বসিয়ে মেলাও

অঙ্ক ২.১সহজ

(x + 4)(x + 7) খোলো

$(x + 4)(x + 7)$ খোলো।

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

বসাই

$x^2 + (4 + 7)x + 4 \times 7$ ।

উত্তর

$x^2 + 11x + 28$ ।

যাচাই

$x = 1$ : বাম $5 \times 8 = 40$ ; ডান $1 + 11 + 28 = 40$ ✓

অঙ্ক ২.২মাঝারি

(y − 2)(y − 6) খোলো

$(y - 2)(y - 6)$ খোলো।

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

বসাই

$y^2 + (-2 - 6)y + (-2)(-6)$ ।

উত্তর

$y^2 - 8y + 12$ ।

যাচাই

$y = 3$ : বাম $1 \times (-3) = -3$ ; ডান $9 - 24 + 12 = -3$ ✓

অঙ্ক ২.৩মাঝারি

(2a + 3)(2a − 5) খোলো

$(2a + 3)(2a - 5)$ খোলো।

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

বসাই

$(2a)^2 - 2(2a) - 15$ ।

উত্তর

$4a^2 - 4a - 15$ ।

যাচাই

$a = 2$ : বাম $7 \times (-1) = -7$ ; ডান $16 - 8 - 15 = -7$ ✓

অঙ্ক ২.৪কঠিন

(3m − 2n)(3m + 5n) খোলো

$(3m - 2n)(3m + 5n)$ খোলো।

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

বসাই

$(3m)^2 + 3n(3m) - 10n^2$ ।

উত্তর

$9m^2 + 9mn - 10n^2$ ।

যাচাই

$m = 1$ , $n = 1$ : বাম $1 \times 8 = 8$ ; ডান $9 + 9 - 10 = 8$ ✓

ধরন ৩

সরল ও উল্টো প্রয়োগ

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

একাধিক গুণফল, অজানা যোগফল, বারবার সূত্র, বা ক্ষেত্রফলের গল্প থাকে।

সমাধানের ধাপ

প্রতিটি অংশে চেনা সূত্র খোঁজো
একটি করে অংশ সরল করো
সমজাতীয় পদ কাটো বা অজানা আলাদা করো
মূল শর্তে বসিয়ে যাচাই করো

অঙ্ক ৩.১সহজ

তিন গুণফলের যোগ সরল করো

$(a + b)(a - b) + (b + c)(b - c) + (c + a)(c - a)$ সরল করো।

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

খুলি

$a^2 - b^2 + b^2 - c^2 + c^2 - a^2$ ।

উত্তর

$0$ ।

যাচাই

$a = 3$ , $b = 2$ , $c = 1$ : $5 + 3 - 8 = 0$ ✓

অঙ্ক ৩.২মাঝারি

a + b বের করো

$a^2 - b^2 = 72$ এবং $a - b = 6$ হলে $a + b$ কত?

সমাধান

উল্টো সূত্র

সমীকরণ

$72 = (a + b) \times 6$ ।

উত্তর

$a + b = 12$ ।

যাচাই

$a = 9$ , $b = 3$ : $81 - 9 = 72$ , $a - b = 6$ , $a + b = 12$ ✓

অঙ্ক ৩.৩কঠিন

x⁴ − y⁴ ভাঙো

$x^4 - y^4$ -কে যতটা সম্ভব গুণফলে লেখো।

সমাধান

দুই ধাপে

প্রথম ধাপ

$(x^2 + y^2)(x^2 - y^2)$ ।

উত্তর

$(x^2 + y^2)(x + y)(x - y)$ ।

যাচাই

$x = 3$ , $y = 2$ : ডান $13 \times 5 \times 1 = 65$ ; বাম $81 - 16 = 65$ ✓

অঙ্ক ৩.৪কঠিন

কাটা মাঠের ক্ষেত্রফল

১৫ মিটার বাহুর বর্গাকার মাঠ থেকে ৩ মিটার বাহুর বর্গ কাটা হলো। বাকি ক্ষেত্রফল সূত্রে বের করো।

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

বসাই

$(15 + 3)(15 - 3) = 18 \times 12$ ।

উত্তর

$216$ বর্গমিটার।

যাচাই

$15^2 - 3^2 = 225 - 9 = 216$ ✓

চিহ্নের ভুল ধরো, তারপর নিজে করো

নিচের অঙ্কগুলো নিজে করো। আটকে গেলে ইঙ্গিত দেখো, তারপর উত্তর মিলিয়ে নাও।

ভুল ধরো

তিনটি ভুল সমাধান

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

ক: $a^2 + b^2 = (a + b)(a - b)$ ।

খ: $(x + 2)(x + 5) = x^2 + 10$ ।

গ: $(x - 3)(x + 4) = x^2 - x - 12$ ।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ক: সূত্রটি বর্গের অন্তরের জন্য। ঠিক: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ ।

খ: মাঝের পদ বাদ গেছে। ঠিক: $x^2 + 7x + 10$ ।

গ: চিহ্নসহ যোগ $-3 + 4 = 1$ । ঠিক: $x^2 + x - 12$ ।

যাচাই: $x = 1$ বসালে খ-এর দুই পাশে $18$ এবং গ-এর দুই পাশে $-10$ হয়।

(x + 6)(x − 6) কত?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (ক) x² − 36। (x + 6)(x − 6) = x² − 6² = x² − 36।

(x − 2)(x + 7) এ x-এর সহগ কত?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (গ) ৫। −2 + 7 = 5, তাই রাশি x² + 5x − 14।

প্রশ্ন ১. সূত্রে বের করো: (ক) $504 \times 496$ (খ) $12.5^2 - 2.5^2$

ইঙ্গিত দেখো

কেন্দ্র যথাক্রমে ৫০০; আর যোগফল ১৫, বিয়োগফল ১০।

উত্তর দেখো

(ক) $500^2 - 4^2 = 249984$ । (খ) $15 \times 10 = 150$ ।

প্রশ্ন ২. খোলো: (ক) $(x - 8)(x + 3)$ (খ) $(4a + b)(4a - 3b)$ ।

ইঙ্গিত দেখো

দ্বিতীয় পদ দুটি চিহ্নসহ যোগ ও গুণ করো।

উত্তর দেখো

(ক) $x^2 - 5x - 24$ । (খ) $16a^2 - 8ab - 3b^2$ ।

মনে রাখো

বর্গের অন্তর: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ ।
দুই দ্বিপদী: $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ ।
চিহ্ন: $a$ , $b$ -কে চিহ্নসহ যোগ ও গুণ করো।
যাচাই: খুলে বা ছোট সংখ্যা বসিয়ে দুই পাশ মেলাও।