যোগফল ও গুণফল থেকে বর্গ

সংখ্যা দুটি না জেনেও কি বর্গের যোগ জানা যায়?

যোগ 7, গুণফল 12

দুটি সংখ্যার যোগ $7$ , গুণফল $12$ । সংখ্যা দুটি $3$ ও $4$ হতে পারে। তাই বর্গের যোগ $9 + 16 = 25$ ।

কিন্তু সংখ্যা দুটি বের করার দরকার নেই:

$7^2 - 2 \times 12 = 49 - 24 = 25$ ।

কারণ $(a + b)^2$ -এর ভেতরে $a^2 + b^2$ -এর সঙ্গে অতিরিক্ত $2ab$ থাকে।

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

মূল সূত্র ঘুরিয়ে দরকারি রূপ

নিজে দেখে বুঝো

নিজে বদলে দেখো

কোন সূত্র পরীক্ষা করবে?

a = 3

b = 2

বাম পাশ: (3 + 2)² = 5² = 25

ডান পাশ: 3² + 2 × 3 × 2 + 2² = 9 + 12 + 4 = 25

দুই পাশ সমান ✓

যোগের বর্গ।

বীজগণিতে প্রমাণ: (a + b)² কে খুলে

(a + b)²← বর্গ মানে নিজের সঙ্গে গুণ
= (a + b)(a + b)← বর্গ মানে নিজের সঙ্গে গুণ
= a(a + b) + b(a + b)← প্রথম বন্ধনীর প্রতিটা পদ দিয়ে দ্বিতীয় বন্ধনীকে গুণ (বণ্টন)
= a × a + a × b + b × a + b × b← বন্ধনী খুলি
= a² + 2ab + b²← ba = ab, তাই দুটো ab যোগ হয়ে 2ab

তাই (a + b)² = a² + 2ab + b² ∎

এই প্রমাণ সব সংখ্যার জন্য খাটে, কারণ কোথাও কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা বসাইনি। ওপরে সংখ্যা বসানো যাচাই শুধু কয়েকটা সংখ্যায়।

সূত্র বাছো, a ও b বদলে দুই পাশ মেলাও।

যোগ ও বিয়োগের বর্গ থেকে তৈরি অনুসিদ্ধান্তে a ও b বসিয়ে দুই পাশ সমান কি না দেখার বোর্ড।

(a + b)² থেকে দুটি ab অংশ বাদ দিলে থাকে a² + b²।

যোগফল জানা থাকলে

ছবির প্রমাণ। $(a + b)^2$ -এর ছবিতে $a^2$ , $b^2$ এবং দুটি $ab$ আছে। তাই দুটি $ab$ বাদ দিলে

$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$

দুটি প্রধান রূপ

লাইন ধরে বীজগণিত।

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$\Rightarrow (a + b)^2 - 2ab = a^2 + b^2$ ← দুই পাশ থেকে $2ab$ বাদ।

আবার,

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$\Rightarrow (a - b)^2 + 2ab = a^2 + b^2$ ← দুই পাশে $2ab$ যোগ।

$a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab$

যোগ-বিয়োগফলের সম্পর্ক

দুটি মূল সূত্র বিয়োগ করলে:

$(a + b)^2 - (a - b)^2$

$= (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)$

$= 4ab$ ।

যোগ করলে:

$(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)$ ।

$(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$

$(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)$

একই উত্তর তিন পথে

সংখ্যায় পরীক্ষা। $a = 5$ , $b = 2$ । বর্গের যোগ $25 + 4 = 29$ ।

যোগফল দিয়ে: $7^2 - 2 \times 10 = 29$ ।

বিয়োগফল দিয়ে: $3^2 + 2 \times 10 = 29$ ।

আর $7^2 - 3^2 = 40 = 4 \times 10$ ।

সূত্র বাছার নিয়ম

যোগফল জানলে $2ab$ বাদ। বিয়োগফল জানলে $2ab$ যোগ। দুটি বর্গের পার্থক্যে $4ab$ ।

যা দেওয়া, তার সঙ্গে মিলিয়ে সূত্র বাছো

প্রথমে আলাদা করে লেখো: যোগফল জানা, না বিয়োগফল? তারপর $ab$ -এর চিহ্নসহ সূত্রে বসাও।

যোগের বর্গের অংশ

একসাথে করি ১

যোগফল ও গুণফল থেকে

$a + b = 9$ , $ab = 20$ হলে $a^2 + b^2$ ও $(a - b)^2$ কত?

পড়ি
যোগফল ও গুণফল দেওয়া। বর্গের যোগ এবং বিয়োগফলের বর্গ চাই।
আঁকি
যোগের বর্গে $a^2$ , দুটি $ab$ , $b^2$ । বর্গের যোগ পেতে দুটি $ab$ বাদ যাবে।
ভাবি
$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$ । আর $(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$ ।
করি
$81 - 40 = 41$ এবং $81 - 80 = 1$ ।
মেলাই
$a = 5$ , $b = 4$ : $25 + 16 = 41$ , $(5 - 4)^2 = 1$ ✓

x ও তার বিপরীত রাশি

একসাথে করি ২

x + 1/x থেকে চতুর্থ ঘাত

$x + \dfrac{1}{x} = 3$ হলে $x^2 + \dfrac{1}{x^2}$ এবং $x^4 + \dfrac{1}{x^4}$ কত?

পড়ি
$x$ ও তার বিপরীত রাশির যোগ দেওয়া। এদের গুণফল ১।
আঁকি
$a = x$ , $b = \frac{1}{x}$ । তাই $ab = 1$ ।
ভাবি
প্রতিবার বর্তমান যোগফলের বর্গ থেকে ২ বাদ দিলে পরের দ্বিগুণ ঘাতের যোগ আসে।
করি
$3^2 - 2 = 7$ । তারপর $7^2 - 2 = 47$ ।
মেলাই
$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ নিলে $x + \frac{1}{x} = 3$ এবং দুই ফল সংখ্যায় মেলে।

অনুসিদ্ধান্তের তিন ধরনের অঙ্ক

তিনটি ধরন: বর্গের যোগ, যোগ-বিয়োগফলের সম্পর্ক, এবং বিপরীত রাশির উচ্চ ঘাত। প্রতিটি ধরনে চারটি পূর্ণ সমাধান আছে।

ধরন ১

বর্গের যোগ ও কর্ণ

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

যোগফল বা বিয়োগফল এবং গুণফল দেওয়া; $a^2 + b^2$ বা কর্ণ চাওয়া।

সমাধানের ধাপ

যোগফল হলে বর্গ থেকে 2ab বাদ
বিয়োগফল হলে বর্গে 2ab যোগ
কর্ণ চাইলে শেষে বর্গমূল
শর্তের সংখ্যা ধরে যাচাই

অঙ্ক ১.১সহজ

জমির কর্ণ

আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের যোগফল ১৭ মিটার, ক্ষেত্রফল ৬০ বর্গমিটার। দৈর্ঘ্য-প্রস্থ আলাদা না করে কর্ণ বের করো।

সমাধান

সূত্র বেছে ধাপে ধাপে

সূত্র বাছাই

$d^2 = l^2 + w^2 = (l + w)^2 - 2lw$ ।

কেন এই সূত্র

কর্ণের জন্য পিথাগোরাসে দৈর্ঘ্যের বর্গ ও প্রস্থের বর্গের যোগ দরকার; দেওয়া আছে তাদের যোগফল ও গুণফল।

মান বসাই

$d^2 = 17^2 - 2 \times 60 = 289 - 120 = 169$ ।

উত্তর

$d = \sqrt{169} = 13$ মিটার।

যাচাই

দৈর্ঘ্য $12$ , প্রস্থ $5$ নিলে $12 + 5 = 17$ , $12 \times 5 = 60$ , আর $12^2 + 5^2 = 169 = 13^2$ ✓

অঙ্ক ১.২সহজ

x + y ও xy থেকে বর্গের যোগ

$x + y = 10$ , $xy = 21$ হলে $x^2 + y^2$ কত?

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

সূত্র

$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$ ।

কেন

যোগফল ও গুণফল দেওয়া।

বসাই

$100 - 42$ ।

উত্তর

$58$ ।

যাচাই

$x = 3$ , $y = 7$ : $9 + 49 = 58$ ✓

অঙ্ক ১.৩মাঝারি

x − y ও xy থেকে বর্গের যোগ

$x - y = 4$ , $xy = 12$ হলে $x^2 + y^2$ কত?

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

সূত্র

$x^2 + y^2 = (x - y)^2 + 2xy$ ।

কেন

বিয়োগফল দেওয়া।

বসাই

$16 + 24$ ।

উত্তর

$40$ ।

যাচাই

$x = 6$ , $y = 2$ : $36 + 4 = 40$ ✓

অঙ্ক ১.৪কঠিন

ঋণাত্মক গুণফল

$a + b = 1$ , $ab = -12$ হলে $a^2 + b^2$ কত?

সমাধান

চিহ্নসহ বসিয়ে

সূত্র

$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$ ।

কেন

যোগফল ও গুণফল দেওয়া, তবে গুণফল ঋণাত্মক।

বসাই

$1^2 - 2(-12) = 1 + 24$ ।

উত্তর

$25$ ।

যাচাই

$4 + (-3) = 1$ , $4(-3) = -12$ , $16 + 9 = 25$ ✓

ধরন ২

যোগফল, বিয়োগফল ও সংখ্যা দুটি

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

যোগফল ও বিয়োগফলের একটি বা উভয়টি, অথবা বর্গের যোগ ও গুণফল দেওয়া।

সমাধানের ধাপ

প্রয়োজনমতো (a+b)² ± (a−b)² ব্যবহার
বর্গমূল নিলে শর্ত দেখে চিহ্ন নাও
যোগ ও বিয়োগ যোগ করে 2a বের করো
মূল তথ্য বসিয়ে মেলাও

অঙ্ক ২.১সহজ

যোগ ও বিয়োগফল থেকে ab

$a + b = 6$ , $a - b = 2$ হলে $ab$ ও $a^2 + b^2$ কত?

সমাধান

দুটি অনুসিদ্ধান্তে

সূত্র

$ab = \dfrac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}$ ; $a^2+b^2 = \dfrac{(a+b)^2+(a-b)^2}{2}$ ।

কেন

যোগ ও বিয়োগফল দুটিই জানা।

বসাই

$ab = \dfrac{36-4}{4} = 8$ ; $a^2+b^2 = \dfrac{36+4}{2} = 20$ ।

উত্তর

$ab = 8$ , $a^2 + b^2 = 20$ ।

যাচাই

$a = 4$ , $b = 2$ : গুণফল $8$ , বর্গের যোগ $20$ ✓

অঙ্ক ২.২মাঝারি

বর্গের যোগ থেকে সংখ্যা দুটি

$p^2 + q^2 = 34$ , $pq = 15$ , $p > q > 0$ হলে $p$ ও $q$ কত?

সমাধান

উল্টো সূত্রে

সূত্র

$(p+q)^2=p^2+q^2+2pq$ ; $(p-q)^2=p^2+q^2-2pq$ ।

কেন

$p+q$ ও $p-q$ পেলে দুটি সংখ্যা পাওয়া যাবে।

বসাই

$(p+q)^2=64$ , $(p-q)^2=4$ । শর্তে $p+q=8$ , $p-q=2$ ।

উত্তর

$2p = 10$ , তাই $p=5$ ; $q=3$ ।

যাচাই

$25+9=34$ , $5\times3=15$ , $5>3>0$ ✓

অঙ্ক ২.৩মাঝারি

বিয়োগফল থেকে যোগফল

$a - b = 3$ , $ab = 10$ , এবং $a,b>0$ হলে $a+b$ কত?

সমাধান

বর্গ থেকে মূল

সূত্র

$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$ ।

কেন

বিয়োগফল ও গুণফল থেকে যোগফল চাই।

বসাই

$(a+b)^2=3^2+4\times10=49$ ।

উত্তর

$a+b=7$ ।

যাচাই

$a=5$ , $b=2$ : বিয়োগ $3$ , গুণফল $10$ , যোগ $7$ ✓

অঙ্ক ২.৪কঠিন

চিহ্ন না দিলে দুটি মান

$a + b = 9$ , $ab = 20$ হলে $a-b$ কত?

সমাধান

বর্গমূল নিয়ে

সূত্র

$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$ ।

কেন

যোগফল ও গুণফল থেকে বিয়োগফল চাই।

বসাই

$(a-b)^2=81-80=1$ ।

উত্তর

$a-b=\pm1$ ।

যাচাই

$(a,b)=(5,4)$ হলে $1$ ; $(4,5)$ হলে $-1$ । দুই জোড়াতেই যোগ $9$ , গুণফল $20$ ✓

ধরন ৩

x ± 1/x থেকে উচ্চ ঘাত

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে $x + 1/x$ বা $x - 1/x$ দেওয়া এবং দ্বিগুণ ঘাতের যোগ চাওয়া।

সমাধানের ধাপ

$x \times 1/x = 1$ লিখে রাখো
যোগ দেওয়া হলে বর্তমান বর্গ থেকে 2 বাদ
বিয়োগ দেওয়া হলে প্রথম বর্গে 2 যোগ
পরের দ্বিগুণ ঘাতে আবার আগের ফলের বর্গ থেকে 2 বাদ

অঙ্ক ৩.১সহজ

x + 1/x = 3

$x + \dfrac{1}{x}=3$ হলে $x^2 + \dfrac{1}{x^2}$ কত?

সমাধান

বর্গ করে

সূত্র

$x^2+\frac1{x^2}=\left(x+\frac1x\right)^2-2$ ।

কেন

$x\times\frac1x=1$ ।

বসাই

$3^2-2$ ।

উত্তর

$7$ ।

যাচাই

$x=\frac{3+\sqrt5}{2}$ নিলে মূল শর্ত ও উত্তর সংখ্যায় মেলে ✓

অঙ্ক ৩.২মাঝারি

x − 1/x = 2

$x-\dfrac1x=2$ হলে $x^2+\dfrac1{x^2}$ ও $\left(x+\dfrac1x\right)^2$ কত?

সমাধান

দুই ধাপে

সূত্র

$x^2+\frac1{x^2}=\left(x-\frac1x\right)^2+2$ ।

কেন

$x\times\frac1x=1$ এবং বিয়োগের মাঝের পদ $-2$ ।

বসাই

$4+2=6$ ; তারপর $\left(x+\frac1x\right)^2=6+2$ ।

উত্তর

$6$ এবং $8$ ।

যাচাই

$x=1+\sqrt2$ নিলে $x-\frac1x=2$ এবং দুই ফল মেলে ✓

অঙ্ক ৩.৩মাঝারি

চতুর্থ ও অষ্টম ঘাত

$x+\dfrac1x=4$ হলে $x^2+\dfrac1{x^2}$ , $x^4+\dfrac1{x^4}$ ও $x^8+\dfrac1{x^8}$ কত?

সমাধান

ধাপে ধাপে

সূত্র

$S_{2n}=S_n^2-2$ , যেখানে $S_n=x^n+x^{-n}$ ।

কেন

$x^n\times x^{-n}=1$ ।

বসাই

$S_2=16-2=14$ ; $S_4=196-2=194$ ; $S_8=194^2-2$ ।

উত্তর

$14$ , $194$ , $37634$ ।

যাচাই

$x=2+\sqrt3$ নিলে $x+\frac1x=4$ ; সংখ্যায় তিন ফল মেলে ✓

অঙ্ক ৩.৪কঠিন

সমীকরণ থেকে বিপরীত রাশি

$x^2-5x+1=0$ হলে $x^4+\dfrac1{x^4}$ কত?

সমাধান

সমীকরণ থেকে

সূত্র

$x^2+\frac1{x^2}=\left(x+\frac1x\right)^2-2$ ; পরের ধাপেও একই।

কেন

সমীকরণকে $x$ দিয়ে ভাগ করলে $x+\frac1x=5$ ।

বসাই

$x^2+\frac1{x^2}=25-2=23$ ; $x^4+\frac1{x^4}=23^2-2$ ।

উত্তর

$527$ ।

যাচাই

$x=\frac{5+\sqrt{21}}2$ মূল সমীকরণ মেনে চলে; সংখ্যায় চতুর্থ ঘাতের যোগ $527$ ✓

সূত্রের চিহ্ন ও বর্গমূল ঠিক রাখো

নিচের অঙ্কগুলো নিজে করো। আটকে গেলে ইঙ্গিত দেখো, তারপর উত্তর মিলিয়ে নাও।

ভুল ধরো

তিনটি ভুল সমাধান

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

ক: $a+b=7$ , $ab=12$ হলে $a^2+b^2=49$ ।

খ: $a+b=7$ , $ab=12$ হলে $a^2+b^2=49-12=37$ ।

গ: $(a-b)^2=9$ হলে শুধু $a-b=3$ ।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ক: $(a+b)^2$ ও $a^2+b^2$ এক নয়। $2ab$ বাদ দিতে হবে।

খ: শুধু $ab$ নয়, $2ab$ বাদ যায়। ঠিক উত্তর $49-24=25$ ।

গ: শর্ত না থাকলে $a-b=\pm3$ ।

যাচাই: $a=4$ , $b=3$ নিলে যোগ $7$ , গুণফল $12$ , বর্গের যোগ $25$ ।

a + b = 8, ab = 15 হলে a² + b² কত?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (ক) ৩৪। 64 − 30 = 34।

x − y = 3, xy = 10 হলে x² + y² কত?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (ক) ২৯। 9 + 20 = 29।

x + 1/x = 5 হলে x² + 1/x² কত?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (ক) ২৩। 25 − 2 = 23।

প্রশ্ন ১. $a+b=11$ , $ab=28$ হলে $a^2+b^2$ ও $(a-b)^2$ বের করো।

ইঙ্গিত দেখো

প্রথমটিতে $2ab$ , দ্বিতীয়টিতে $4ab$ বাদ।

উত্তর দেখো

$65$ ও $9$ ।

প্রশ্ন ২. $x+\dfrac1x=6$ হলে $x^2+\dfrac1{x^2}$ ও $x^4+\dfrac1{x^4}$ বের করো।

ইঙ্গিত দেখো

প্রতিবার আগের ফলের বর্গ থেকে ২ বাদ।

উত্তর দেখো

$34$ ও $1154$ ।

মনে রাখো

যোগফল থেকে: $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$ ।
বিয়োগফল থেকে: $a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$ ।
সম্পর্ক: $(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$ ।
বিপরীত রাশি: $x\times\frac1x=1$ ; তাই প্রতিবার বর্গে মাঝের অংশ ২।