যোগ ও বিয়োগের বর্গ

23²-এ মাঝের 120 এল কোথা থেকে?

দুই অংশের বর্গ

$23 = 20 + 3$ । তাই $23^2$ শুধু $20^2 + 3^2$ নয়। মাঝখানে আরও $2 \times 20 \times 3 = 120$ থাকে।

$400 + 120 + 9 = 529$ । এই মাঝের অংশ কেন দুবার আসে, আজ ছবিতে দেখব।

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

চার টুকরো থেকে দুটি সূত্র

নিজে দেখে বুঝো

নিজে বদলে দেখো

a = 5

b = 3

(5 + 3)² = 8² = 64

টুকরো যোগ করে: 25 + 30 + 9 = 64

দুই পাশ সমান ✓ (64 = 64)

বড় বর্গের বাহু a + b। এটা চার টুকরো: a² আর b² বর্গ, আর দুটো ab আয়তক্ষেত্র।

বীজগণিতে প্রমাণ: (a + b)² কে খুলে

(a + b)²← বর্গ মানে নিজের সঙ্গে গুণ
= (a + b)(a + b)← বর্গ মানে নিজের সঙ্গে গুণ
= a(a + b) + b(a + b)← প্রথম বন্ধনীর প্রতিটা পদ দিয়ে দ্বিতীয় বন্ধনীকে গুণ (বণ্টন)
= a × a + a × b + b × a + b × b← বন্ধনী খুলি
= a² + 2ab + b²← ba = ab, তাই দুটো ab যোগ হয়ে 2ab

তাই (a + b)² = a² + 2ab + b² ∎

এই প্রমাণ সব সংখ্যার জন্য খাটে, কারণ কোথাও কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা বসাইনি। ওপরে সংখ্যা বসানো যাচাই শুধু কয়েকটা সংখ্যায়।

a ও b বদলে চারটি অংশ দেখো।

a + b বাহুর বর্গে a², দুটি ab আয়তক্ষেত্র ও b² বর্গ। বিয়োগের ক্ষেত্রে a² থেকে দুটি ab ফালি বাদ দিয়ে b² একবার ফেরত দেওয়া হয়।

দুটি ab আয়তক্ষেত্রের জন্য মাঝের পদ 2ab।

ছবিতে যোগের বর্গ

ছবির প্রমাণ। $a + b$ বাহুর বর্গে চার অংশ: $a^2$ , $ab$ , $ab$ , $b^2$ । তাই

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

বীজগণিতের প্রমাণ

লাইন ধরে বীজগণিত।

$(a + b)^2$

$= (a + b)(a + b)$ ← বর্গ মানে নিজের সঙ্গে গুণ

$= a^2 + ab + ab + b^2$ ← বণ্টন

$= a^2 + 2ab + b^2$ ← সমজাতীয় পদ যোগ। ∎

একইভাবে,

$(a - b)^2$

$= (a - b)(a - b)$

$= a^2 - ab - ab + b^2$

$= a^2 - 2ab + b^2$ । ∎

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

সংখ্যায় মেলাই

সংখ্যায় পরীক্ষা। $a = 5$ , $b = 3$ নিলে যোগের বর্গ: $8^2 = 64$ এবং $25 + 30 + 9 = 64$ । বিয়োগের বর্গ: $2^2 = 4$ এবং $25 - 30 + 9 = 4$ ।

তিন অংশ

প্রথম পদের বর্গ, মাঝখানে দুই পদের গুণফলের দ্বিগুণ, শেষে দ্বিতীয় পদের বর্গ। শুধু মাঝের চিহ্ন বদলায়।

আগে A ও B আলাদা করো

বন্ধনীর ভেতরের পুরো প্রথম পদকে $A$ এবং পুরো দ্বিতীয় পদকে $B$ ধরো। তারপর তিন অংশ আলাদা করে হিসাব করো।

(2x + 7) বাহুর বর্গ

একসাথে করি ১

(2x + 7)² খুলি

$(2x + 7)^2$ খোলো।

পড়ি
বন্ধনীর ওপর ২ এবং ভেতরে যোগ। যোগের বর্গ লাগবে।
আঁকি
চিত্রে বাহু দুটি অংশ: $2x$ ও $7$ । চার অংশের ক্ষেত্রফল $(2x)^2$ , দুবার $2x \times 7$ , আর $7^2$ ।
ভাবি
$A = 2x$ , $B = 7$ । সূত্র $A^2 + 2AB + B^2$ ।
করি
$(2x)^2 + 2 \times 2x \times 7 + 7^2 = 4x^2 + 28x + 49$ ।
মেলাই
$x = 1$ : বাম $9^2 = 81$ , ডান $4 + 28 + 49 = 81$ ✓

100 থেকে 2 কম

একসাথে করি ২

98² বের করি

গুণ না করে $98^2$ বের করো।

পড়ি
৯৮ হলো ১০০-এর খুব কাছে।
আঁকি
সংখ্যারেখায় $98 = 100 - 2$ ।
ভাবি
বিয়োগের বর্গ নিলে হিসাব ছোট হবে।
করি
$(100 - 2)^2 = 10000 - 400 + 4 = 9604$ ।
মেলাই
$98 \times 98 = 9604$ ✓

বর্গের সূত্রের তিন ধরনের অঙ্ক

তিনটি ধরন চিনলেই এই অংশের অঙ্ক গুছিয়ে করা যায়। প্রতিটি সমাধানে সূত্র, কারণ, বসানো, উত্তর ও যাচাই আলাদা আছে।

ধরন ১

রাশির বর্গ খোলো

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

বন্ধনীর ওপর ২, আর ভেতরে দুটি রাশি যোগ বা বিয়োগ করা।

সমাধানের ধাপ

পুরো প্রথম পদ A, পুরো দ্বিতীয় পদ B ধরো
যোগ না বিয়োগ দেখে সূত্র বাছো
A², 2AB, B² আলাদা করো
উত্তরে ছোট মান বসিয়ে মেলাও

অঙ্ক ১.১সহজ

(4x + 5y)² খোলো

$(4x + 5y)^2$ খোলো।

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

সূত্র

$(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ ।

কেন

দুটি পদের যোগের বর্গ।

বসাই

$(4x)^2 + 2 \times 4x \times 5y + (5y)^2$ ।

উত্তর

$16x^2 + 40xy + 25y^2$ ।

যাচাই

$x = y = 1$ : বাম $81$ , ডান $16 + 40 + 25 = 81$ ✓

অঙ্ক ১.২সহজ

(3a − 7b)² খোলো

$(3a - 7b)^2$ খোলো।

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

সূত্র

$(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$ ।

কেন

দুটি পদের বিয়োগের বর্গ।

বসাই

$(3a)^2 - 2 \times 3a \times 7b + (7b)^2$ ।

উত্তর

$9a^2 - 42ab + 49b^2$ ।

যাচাই

$a = 2$ , $b = 1$ : বাম $1$ , ডান $36 - 84 + 49 = 1$ ✓

অঙ্ক ১.৩মাঝারি

(a/2 + 4)² খোলো

$\left(\dfrac{a}{2} + 4\right)^2$ খোলো।

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

সূত্র

$(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ ।

কেন

প্রথম পদ ভগ্নাংশ হলেও যোগের বর্গ।

বসাই

$\dfrac{a^2}{4} + 2 \times \dfrac{a}{2} \times 4 + 16$ ।

উত্তর

$\dfrac{a^2}{4} + 4a + 16$ ।

যাচাই

$a = 2$ : বাম $25$ , ডান $1 + 8 + 16 = 25$ ✓

অঙ্ক ১.৪কঠিন

(−2m − 3n)² দুই পথে

$(-2m - 3n)^2$ খোলো। দুই পথে করো।

সমাধান

ঋণ বাইরে নিয়ে

সূত্র

$[-(A + B)]^2 = (A + B)^2$ ।

কেন

$(-1)^2 = 1$ ।

বসাই

$(2m + 3n)^2$ ।

উত্তর

$4m^2 + 12mn + 9n^2$ ।

সরাসরি বসিয়ে

বসাই

$(-2m)^2 + 2(-2m)(-3n) + (-3n)^2$ ।

উত্তর

$4m^2 + 12mn + 9n^2$ ।

যাচাই

$m = n = 1$ : বাম $25$ , ডান $4 + 12 + 9 = 25$ ✓

ধরন ২

সংখ্যার বর্গ কৌশলে

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

সংখ্যাটি ১০, ১০০ বা ১০০০-এর মতো সহজ সংখ্যার কাছে।

সমাধানের ধাপ

কাছের সহজ সংখ্যা বাছো
সহজ সংখ্যা ± ছোট সংখ্যা লেখো
বর্গের সূত্র বসাও
সাধারণ গুণে মেলাও

অঙ্ক ২.১সহজ

996² বের করো

গুণ না করে $996^2$ বের করো।

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

সূত্র

$(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$ ।

কেন

৯৯৬ হলো ১০০০ থেকে ৪ কম।

বসাই

$1000000 - 8000 + 16$ ।

উত্তর

$992016$ ।

যাচাই

$996 \times 996 = 992016$ ✓

অঙ্ক ২.২সহজ

507² বের করো

$507^2$ বের করো।

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

সূত্র

$(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ ।

কেন

৫০৭ হলো ৫০০ থেকে ৭ বেশি।

বসাই

$250000 + 7000 + 49$ ।

উত্তর

$257049$ ।

যাচাই

$507 \times 507 = 257049$ ✓

অঙ্ক ২.৩মাঝারি

0.99² বের করো

$0.99^2$ বের করো।

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

সূত্র

$(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$ ।

কেন

$0.99$ হলো $1$ থেকে $0.01$ কম।

বসাই

$1 - 0.02 + 0.0001$ ।

উত্তর

$0.9801$ ।

যাচাই

$0.99 \times 0.99 = 0.9801$ ✓

অঙ্ক ২.৪কঠিন

7.5² দুই পথে

$7.5^2$ যোগ ও বিয়োগ—দুইভাবে বের করো।

সমাধান

যোগের বর্গ

সূত্র

$(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ ।

বসাই

$49 + 7 + 0.25$ ।

উত্তর

$56.25$ ।

বিয়োগের বর্গ

সূত্র

$(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$ ।

বসাই

$64 - 8 + 0.25$ ।

উত্তর

$56.25$ ।

যাচাই

$7.5 \times 7.5 = 56.25$ ✓

ধরন ৩

পূর্ণবর্গ, সরলীকরণ ও ক্ষেত্রফল

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রথম ও শেষ পদ বর্গ, বা লম্বা রাশিতে দুটি বর্গ, অথবা বর্গাকার মাপের গল্প।

সমাধানের ধাপ

প্রথমে বর্গের চেহারা খোঁজো
গল্পে পুরোনো ও নতুন বাহু লেখো
সূত্রে খুলে সমজাতীয় পদ কাটো
এককসহ উত্তর লিখে সরাসরি মেলাও

অঙ্ক ৩.১সহজ

x² + kx + 16 পূর্ণবর্গ

$x^2 + kx + 16$ পূর্ণবর্গ হলে $k$ কত?

সমাধান

পূর্ণবর্গ মিলিয়ে

সূত্র

$(x \pm 4)^2 = x^2 \pm 8x + 16$ ।

কেন

প্রথম ও শেষ পদের বর্গমূল $x$ ও $4$ ।

বসাই

$kx = 8x$ অথবা $kx = -8x$ ।

উত্তর

$k = 8$ অথবা $k = -8$ ।

যাচাই

$(x + 4)^2$ ও $(x - 4)^2$ খুললে দুই রাশিই পাওয়া যায় ✓

অঙ্ক ৩.২মাঝারি

দুটি বর্গের পার্থক্য সরল করো

$(x + 3)^2 - (x - 3)^2$ সরল করো।

সমাধান

খুলে

সূত্র

$(A \pm B)^2 = A^2 \pm 2AB + B^2$ ।

বসাই

$(x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 6x + 9)$ ।

উত্তর

$12x$ ।

ছোট সূত্রে

কারণ

$(A + B)^2 - (A - B)^2 = 4AB$ ।

বসাই

$4 \times x \times 3$ ।

উত্তর

$12x$ ।

যাচাই

$x = 5$ : বাম $64 - 4 = 60$ , ডান $60$ ✓

অঙ্ক ৩.৩মাঝারি

বাগানের পাশ বাড়ালে

বর্গাকার বাগানের বাহু ৮ মিটার। পাশাপাশি দুই দিকে ৩ মিটার বাড়িয়ে আবার বর্গ করা হলো। ক্ষেত্রফল কত বাড়ল?

সমাধান

নতুন থেকে পুরোনো বাদ

সূত্র

বৃদ্ধি $= (a + b)^2 - a^2$ ।

কেন

শুধু নতুন যোগ হওয়া ক্ষেত্রফল চাই।

বসাই

$11^2 - 8^2 = 121 - 64$ ।

উত্তর

$57$ বর্গমিটার।

বাড়তি অংশ যোগ করে

বসাই

$2ab + b^2 = 2 \times 8 \times 3 + 9$ ।

উত্তর

$48 + 9 = 57$ বর্গমিটার।

যাচাই

দুই পদ্ধতিতে $57$ ✓

অঙ্ক ৩.৪কঠিন

মাঠের চারপাশে রাস্তার খরচ

৫০ মিটার বাহুর বর্গাকার মাঠের বাইরে ২ মিটার চওড়া রাস্তা। প্রতি বর্গমিটারে ৪০০ টাকা হলে মোট খরচ কত?

সমাধান

বাইরের বর্গ থেকে

সূত্র

রাস্তার ক্ষেত্রফল $= (a + 2b)^2 - a^2$ ।

কেন

রাস্তা মাঠের চার পাশে, তাই বাহু দুদিকে বাড়ে।

বসাই

$54^2 - 50^2 = 2916 - 2500$ ।

উত্তর

ক্ষেত্রফল $416$ বর্গমিটার; খরচ $416 \times 400 = 166400$ টাকা।

যাচাই

চার ফালি ও চার কোণা: $4 \times 50 \times 2 + 4 \times 2^2 = 400 + 16 = 416$ ✓

মাঝের পদ ও পুরো পদের বর্গ ঠিক রাখো

নিচের অঙ্কগুলো নিজে করো। আটকে গেলে ইঙ্গিত দেখো, তারপর উত্তর মিলিয়ে নাও।

ভুল ধরো

তিনটি ভুল সমাধান

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

ক: $(x + 5)^2 = x^2 + 25$ ।

খ: $(a - 4)^2 = a^2 - 16$ ।

গ: $(3x + 2)^2 = 3x^2 + 12x + 4$ ।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ক: $2ab$ বাদ গেছে। ঠিক $x^2 + 10x + 25$ ।

খ: বিয়োগের বর্গ, বর্গের অন্তর নয়। ঠিক $a^2 - 8a + 16$ ।

গ: $(3x)^2 = 9x^2$ । ঠিক $9x^2 + 12x + 4$ ।

যাচাই: যথাক্রমে $x = 1$ , $a = 5$ , $x = 1$ বসালে ঠিক উত্তর $36$ , $1$ , $25$ ; ভুল উত্তর মেলে না।

(x + 4)² কত?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (গ) x² + 8x + 16। (x + 4)² = x² + 8x + 16।

31² কত?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) ৯৬১। 900 + 60 + 1 = 961।

x² − 6x + 9 কোনটির বর্গ?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) x − 3। x² − 6x + 9 = (x − 3)²।

প্রশ্ন ১. $(5p - 2q)^2$ এবং $\left(\dfrac{a}{3} - 6\right)^2$ খোলো।

ইঙ্গিত দেখো

পুরো দুটি পদকে A ও B ধরো।

উত্তর দেখো

$25p^2 - 20pq + 4q^2$ ; $\dfrac{a^2}{9} - 4a + 36$ ।

প্রশ্ন ২. সূত্র দিয়ে $998^2$ ও $1.01^2$ বের করো।

ইঙ্গিত দেখো

$998 = 1000 - 2$ , $1.01 = 1 + 0.01$ ।

উত্তর দেখো

$996004$ এবং $1.0201$ ।

মনে রাখো

যোগ: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ।
বিয়োগ: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ ।
সতর্কতা: মাঝের $2ab$ এবং পুরো পদের বর্গ ভুলবে না।
কৌশল: সংখ্যাকে কাছের সহজ সংখ্যা যোগ বা বিয়োগ হিসেবে লেখো।