পাঠ ৯গণিত

ফাংশনের লেখচিত্র

পাঠের সারাংশ

লেখচিত্র হলো সারণির বিন্দুগুলো ছবিতে আঁকা। x বাছো, y বের করো, (x, y) বিন্দু বসাও, তারপর বিন্দুগুলো যুক্ত করো। আর ছবি দেখে মান, অক্ষের ছেদ পড়ে নাও।

আগে পড়ে নাওফাংশন ক্রমজোড় ও কার্তেসীয় গুণজ

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

সংখ্যার তালিকা থেকে ছবি: লেখচিত্র কেন আঁকি?

গত পাঠের ইন্টারনেট বিলের নিয়ম মনে আছে? $f(g) = 50 + 25g$ । $g$ এর কয়েকটা মান ধরে বিল বের করলে সারণি পাই: ০ জিবিতে ৫০, ১ জিবিতে ৭৫, ২ জিবিতে ১০০, ৩ জিবিতে ১২৫। প্রতিটা সারি একটা ক্রমজোড় $(g, \text{বিল})$ ।

ক্রমজোড়ের এই বিন্দুগুলোকে একটা ছবির ওপর বসালে কী হয়? সবগুলো একটা সোজা রেখায় পড়ে। ছবি দেখেই বোঝা যায় বিল কত দ্রুত বাড়ছে, আর কত জিবিতে কত টাকা। সংখ্যার সারণি আর ছবি, দুটো একই তথ্য। কিন্তু ছবিতে এক নজরে নকশাটা ধরা পড়ে। এই ছবিটাই লেখচিত্র (graph)।

নিজে দেখে বুঝো

নিজে বদলে দেখো

কোন ফাংশনের লেখচিত্র?

x শুরু = −3

x শেষ = 3

দেখতে চাও x = 1

y = ২ × 1 = 2

তাই বিন্দুটা (1, 2), যেটা প্রথম চতুর্ভাগ এ। (ভুজ x = 1, কোটি y = 2)

y-অক্ষকে ছোঁয় (সবুজ বৃত্ত): (০, 0), কারণ x = ০ এ y = 0।

x-অক্ষকে ছোঁয় (সবুজ বৃত্ত): (0, ০), কারণ y = ০ এ x এর ওই মান। এগুলোই ফাংশনের শূন্য।

দুই অক্ষে এককের মাপ আলাদা হতে পারে। তাই সংখ্যাগুলো দেখে পড়ো, দেখতে কতটা খাড়া তা দেখে নয়।

y = 2x এর সারণি
x	−3	−2	−1	0	1	2	3
y	−6	−4	−2	0	2	4	6

ফাংশন বাছো, সীমা বাছো। নিচের স্লাইডারে x সরাও, লাল বিন্দু কীভাবে লেখচিত্রের ওপর চলে দেখো। সবুজ বৃত্ত দেখাচ্ছে অক্ষ কোথায় ছোঁয়।

একটা ছক। মাঝখানে আনুভূমিক x-অক্ষ আর উল্লম্ব y-অক্ষ, তারা মূলবিন্দু O তে মিলেছে। বাছা ফাংশনের পূর্ণসংখ্যা x এর বিন্দুগুলো আঁকা, আর সেগুলো একটা রেখা বা বক্ররেখায় যোগ করা। একটা লাল বিন্দু যার x স্লাইডার দিয়ে বদলানো যায়, তার থেকে দুই অক্ষ পর্যন্ত ড্যাশ রেখা, আর তার স্থানাঙ্ক লেখা। যেখানে লেখচিত্র অক্ষকে ছোঁয় সেখানে সবুজ বৃত্ত। নিচে নম্বরসহ সারণি।

নিজে চেষ্টা করো: $y = 2x$ নিয়ে লাল বিন্দুকে $x = -3$ থেকে $3$ পর্যন্ত সরাও। $y$ কেমন বদলাচ্ছে? তারপর $y = x^2$ নিয়ে একই করো: $x = -2$ আর $x = 2$ এ $y$ কেমন?

ছক কাগজে লেখচিত্র কীভাবে হয়

দুটো অক্ষ। একটা আনুভূমিক রেখা $x$ -অক্ষ, একটা উল্লম্ব রেখা $y$ -অক্ষ। তারা লম্বভাবে মিলে মূলবিন্দু $O$ । মূলবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0, 0)$ ।
বিন্দুর ঠিকানা (স্থানাঙ্ক)। যেকোনো বিন্দুর ঠিকানা একটা ক্রমজোড় $(x, y)$ । $x$ হলো $y$ -অক্ষ থেকে ডানে (ধনাত্মক) বা বাঁয়ে (ঋণাত্মক) দূরত্ব, একে বলে ভুজ (abscissa)। $y$ হলো $x$ -অক্ষ থেকে ওপরে (ধনাত্মক) বা নিচে (ঋণাত্মক) দূরত্ব, একে বলে কোটি (ordinate)। ক্রম গুরুত্বপূর্ণ (পাঠ ৬ মনে করো): $(3, 5)$ আর $(5, 3)$ আলাদা বিন্দু।
চার চতুর্ভাগ। দুই অক্ষ তলটাকে চার ভাগ করে। প্রথম চতুর্ভাগে $x > 0$ , $y > 0$ । দ্বিতীয়ে $x < 0$ , $y > 0$ । তৃতীয়ে $x < 0$ , $y < 0$ । চতুর্থে $x > 0$ , $y < 0$ । অক্ষের ওপরের বিন্দু কোনো চতুর্ভাগে পড়ে না।
লেখচিত্র আঁকার ধাপ। (ক) ডোমেন থেকে $x$ এর কয়েকটা মান নাও। (খ) প্রতিটার জন্য $y = f(x)$ বের করে সারণি বানাও। (গ) প্রতিটা $(x, y)$ বিন্দু ছক কাগজে বসাও। (ঘ) বিন্দুগুলো যোগ করো।
কয়টা বিন্দু? সরলরেখার জন্য ২টা বিন্দুই যথেষ্ট, কিন্তু ৩টা নিলে ভুল ধরা পড়ে (তিনটা এক সরলরেখায় না পড়লে কোথাও ভুল)। বক্ররেখার (যেমন $y = x^2$ ) জন্য অন্তত ৫-৭টা বিন্দু, আর যোগ করতে হয় মসৃণ বাঁকা রেখায়, সরল টুকরোয় নয়।
সীমা। ডোমেন " $-3 \le x \le 3$ " দেওয়া থাকলে লেখচিত্র ওই অংশেই থামে। রেখা অসীম পর্যন্ত টানা চলবে না।
ছবি পড়া। $x$ বলা থাকলে সেই জায়গা থেকে খাড়া উঠে লেখচিত্র ছুঁয়ে $y$ পড়ো। লেখচিত্র $y$ -অক্ষকে ছোঁয় যেখানে $x = 0$ , মানে বিন্দু $(0, f(0))$ । লেখচিত্র $x$ -অক্ষকে ছোঁয় যেখানে $y = 0$ , মানে $f(x) = 0$ হওয়া $x$ এ। এই $x$ কে ফাংশনের শূন্য বলে (পাঠ ৮)।

ফাংশনের লেখচিত্র নিয়ে ছয়টা পরিস্থিতি

চেনা জীবন

ইন্টারনেট বিলের লেখচিত্র

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

বিল $y = 50 + 25x$ টাকা, যেখানে $x$ জিবি। $x = 0, 1, 2, 3$ এর জন্য সারণি বানাও। লেখচিত্র $y$ -অক্ষকে কোথায় ছোঁবে? প্রতি জিবিতে লেখচিত্রের কী হয়?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা: সারণি, তারপর বিন্দু, তারপর রেখা।

সারণি: $(0, 50)$ , $(1, 75)$ , $(2, 100)$ , $(3, 125)$ ।
$x = 0$ এ $y = 50$ , তাই লেখচিত্র $y$ -অক্ষকে ছোঁয় $(0, 50)$ বিন্দুতে। এই ৫০ টাকা হলো প্যাকেজ ফি, যেটা কোনো জিবি ব্যবহার না করলেও দিতে হয়।
প্রতি ১ জিবি বাড়লে বিল ২৫ টাকা বাড়ে। রেখাটা প্রতি ধাপে ওপরে ২৫ ওঠে। এটাই রেখার ঢাল।

উত্তরের মানে কী: লেখচিত্র একটা সোজা রেখা, কারণ প্রতি জিবিতে একই (২৫) বাড়ে। রেখার শুরু $y$ -অক্ষে ৫০ এ, এখানে বিলের “ভিত্তি”।

ছবি / গ্রাফ

ছবি পড়ে অক্ষের ছেদ বের করো

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

উইজেটে $y = 3x + 5$ নাও ( $-3 \le x \le 3$ )। লেখচিত্র $y$ -অক্ষকে কোথায় ছোঁয়? $x$ -অক্ষকে কোথায় ছোঁয় বলে মনে হয়? সারণি দেখে আন্দাজ করো।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা: $x$ -অক্ষ ছোঁয়া মানে $y = 0$ । সারণিতে $y$ এর চিহ্ন যেখানে বদলায়, সেখানেই।

$y$ -অক্ষে: $x = 0$ এ $y = 5$ , তাই $(0, 5)$ ।
সারণিতে $x = -2$ এ $y = -1$ (ঋণাত্মক) আর $x = -1$ এ $y = 2$ (ধনাত্মক)। চিহ্ন বদলেছে $-2$ আর $-1$ এর মাঝে, তাই $x$ -অক্ষ ছোঁয়া সেখানেই।
সঠিক মান: $3x + 5 = 0$ , $x = -\frac{5}{3} \approx -1.67$ । সবুজ বৃত্ত ঠিক সেখানেই।

উত্তরের মানে কী: সারণির চিহ্ন-বদল দেখে লেখচিত্র অক্ষকে কোন দুই পূর্ণসংখ্যার মাঝে ছোঁয় বলা যায়। ঠিক মান পেতে $y = 0$ বসিয়ে সমীকরণ সমাধান করতে হয়।

সংখ্যা

একটা লেখচিত্র আঁকা, শুরু থেকে শেষ

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

দেওয়া আছে: $y = 2x - 3$ , যেখানে $-2 \le x \le 4$
খুঁজতে হবে: সারণি, বিন্দুগুলো, দুই অক্ষের সঙ্গে ছেদ
কোন সূত্র কেন: সারণি বানাই, বিন্দু বসাই, সরলরেখায় যোগ করি। ছেদ বের করতে $x = 0$ আর $y = 0$ বসাই।

সারণি ( $x$ আর $y = 2x - 3$ ):

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$-7$	$-5$	$-3$	$-1$	$1$	$3$	$5$

বিন্দু: $(-2, -7)$ , $(-1, -5)$ , $(0, -3)$ , $(1, -1)$ , $(2, 1)$ , $(3, 3)$ , $(4, 5)$ ।
$x$ এক ধাপ বাড়লে $y$ ঠিক ২ বাড়ে। সব বিন্দু এক সরলরেখায়। রেখাটা $x = -2$ থেকে $x = 4$ পর্যন্ত, এর বাইরে নয়।
$y$ -অক্ষে ছেদ: $x = 0$ এ $y = -3$ , বিন্দু $(0, -3)$ ।
$x$ -অক্ষে ছেদ: $y = 0$ বসাই, $2x - 3 = 0$ , $x = \frac{3}{2} = 1.5$ , বিন্দু $(1.5, 0)$ । (সারণিতেও $x = 1$ এ $-1$ আর $x = 2$ এ $1$ , চিহ্ন বদলায় ১ আর ২ এর মাঝে।)

যাচাই: $x = 1.5$ বসিয়ে: $2 \times 1.5 - 3 = 0$ ✓। আর সাত বিন্দুর পরপর পার্থক্য $2$ ✓

উত্তরের মানে কী: সরলরেখা, ঢাল ২ (প্রতি এক ধাপে ২ বাড়ে), $y$ -অক্ষকে $-3$ এ ছোঁয়। এই দুটো সংখ্যা ( $2$ আর $-3$ ) নিয়মের $2x - 3$ থেকেই পড়া যায়।

উল্টো করে

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

(ক) একটা সরলরেখা $(0, 1)$ আর $(2, 5)$ বিন্দু দিয়ে যায়। এর নিয়ম কী? $(1, 3)$ বিন্দুটা এর ওপর আছে কি?

(খ) একটা সরলরেখা মূলবিন্দু আর $(1, 2)$ দিয়ে যায়। নিয়মটা কী?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা (ক): $x = 0$ এ $y = 1$ , তাই $y$ -অক্ষে ছেদ ১। $x$ ২ বাড়লে $y$ বাড়ে $5 - 1 = 4$ , মানে $x$ এক ধাপে $y$ ২ বাড়ে। নিয়ম $y = 2x + 1$ । যাচাই: $x = 2$ এ $y = 5$ ✓। $(1, 3)$ এর জন্য $2 \times 1 + 1 = 3$ ✓, বিন্দুটা রেখার ওপর।

ধারণা (খ): $x = 0$ এ $y = 0$ , তাই ছেদ ০। $x = 1$ এ $y = 2$ , তাই প্রতি ধাপে ২ বাড়ে। নিয়ম $y = 2x$ ।

উত্তরের মানে কী: দুটো বিন্দু জানলেই সরলরেখার নিয়ম বের হয়: ছেদ আর প্রতি ধাপের বৃদ্ধি।

ভুল ধরো

ভুলটা ধরো

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

তিনটা সমাধান। তিনটাই ভুল।

ক: $(3, 5)$ বিন্দুটা বসাতে আমি $y$ -অক্ষ বরাবর ৩ আর $x$ -অক্ষ বরাবর ৫ গিয়েছি।

খ: $y = x^2$ এর পাঁচটা বিন্দু $(-2, 4)$ , $(-1, 1)$ , $(0, 0)$ , $(1, 1)$ , $(2, 4)$ কে সরল টুকরো দিয়ে জুড়ে দিলাম।

গ: $y = 2x$ ( $-3 \le x \le 3$ ) এর লেখচিত্রে $(4, 8)$ বিন্দুটাও আছে, কারণ $2 \times 4 = 8$ ।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ক এর ভুল: ক্রম উল্টে গেছে। $(x, y)$ তে প্রথম পদ $x$ হলো $x$ -অক্ষ বরাবর (ডানে ৩), দ্বিতীয় পদ $y$ হলো ওপরে (৫)। ঠিক জায়গা: ডানে ৩, ওপরে ৫। তোমারটা আসলে $(5, 3)$ ।

খ এর ভুল: $y = x^2$ বক্ররেখা, সরল টুকরোয় জুড়লে ভুল ছবি হয়। যাচাই: $x = 0.5$ এ আসল $y = 0.25$ , কিন্তু $(0, 0)$ আর $(1, 1)$ এর সোজা টুকরো ( $y = x$ ) ওখানে 0.5 দেয়। দুটো আলাদা। বাঁকা মসৃণ রেখায় জুড়তে হবে, আর আরও বিন্দু নিলে আরও ভালো।

গ এর ভুল: ডোমেন $-3 \le x \le 3$ । $x = 4$ ডোমেনের বাইরে, তাই $(4, 8)$ এই লেখচিত্রে নেই। (নিয়মে ঠিক আছে, কিন্তু এই সীমায় রেখাটা $x = 3$ এ থামে।)

ঠিক নিয়ম: ক্রম মেনে বসাও। বাঁকা হলে মসৃণ রেখা। ডোমেনের সীমায় থামো।

পরীক্ষার ধরন

পরীক্ষার ধরনে

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

পরীক্ষায় এই ধারণা সাধারণত তিন চেহারায় আসে:

(ক) “ছক কাগজে নিচের বিন্দুগুলো স্থাপন করো।”
(খ) ” $y = \ldots$ ফাংশনের লেখচিত্র অঙ্কন করো” (সীমাসহ)।
(গ) “দেখাও যে তিনটি বিন্দু একই সরলরেখায় অবস্থিত।”

নিচে (খ) এর নমুনা, সমীকরণ $x + y = 2$ আকারে দেওয়া।

দেওয়া আছে: $x + y = 2$ , যেখানে $-2 \le x \le 4$
খুঁজতে হবে: লেখচিত্র আঁকার সারণি, ছেদ বিন্দু দুটো
কোন সূত্র কেন: আগে $y$ কে একা করি: $y = 2 - x$ । তারপর সারণি।

$y = 2 - x$ ।
সারণি:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$4$	$3$	$2$	$1$	$0$	$-1$	$-2$

বিন্দু: $(-2, 4)$ , $(-1, 3)$ , $(0, 2)$ , $(1, 1)$ , $(2, 0)$ , $(3, -1)$ , $(4, -2)$ । প্রতিটার $x + y = 2$ ✓
$x$ এক ধাপ বাড়লে $y$ এক ধাপ কমে। নিচের দিকে নামা সরলরেখা, $x = -2$ থেকে $x = 4$ পর্যন্ত।
$y$ -অক্ষে ছেদ: $x = 0$ , বিন্দু $(0, 2)$ । $x$ -অক্ষে ছেদ: $y = 0$ , $x = 2$ , বিন্দু $(2, 0)$ ।

যাচাই: তিনটা বিন্দু বেছে নিই: $(-2, 4)$ , $(0, 2)$ , $(4, -2)$ । প্রতি দুই বিন্দুর মধ্যে $x$ বাড়ার সঙ্গে $y$ সমান হারে কমছে ( $-1$ করে) ✓

উত্তরের মানে কী: এই রেখাটা $x + y = 2$ সমীকরণের সব সমাধানের ছবি। রেখার প্রতিটা বিন্দুর $x$ আর $y$ যোগ করলে ২ হয়। (সমাধানগুলোর ছবি, এই ভাবনা পরে সহসমীকরণে কাজে লাগবে।)

একই ধারণা, নানা রকম অঙ্ক

অঙ্কগুলো সহজ থেকে ধীরে ধীরে কঠিন হয়েছে, আর সবগুলো একই পথে সমাধান করা। প্রতিটিতে আগে নিজে চেষ্টা করো। আটকে গেলে নিচের পাঁচটি ধাপ মিলিয়ে নাও, তারপর সমাধান দেখো।

আটকে গেলে এই পাঁচটি ধাপ

পড়ো: প্রশ্নটা দুবার পড়ো। নিজের ভাষায় বলো, কী ঘটছে?
লেখো: কী দেওয়া আছে, আর কী চাওয়া হয়েছে?
চেনো: কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে?
করো: ধাপে ধাপে, কিছু বাদ না দিয়ে।
মেলাও: উত্তরটা যুক্তিসঙ্গত কি না দেখো, আর উত্তরের মানে বলো।

অঙ্ক ১সহজগল্পের অঙ্ক

রিকশা ভাড়ার ছবি

রিকশা ভাড়া $f(x) = 20 + 15(x - 1)$ ( $x \ge 1$ কিমি)। $x = 1, 2, 3$ এর জন্য বিন্দুগুলো লেখো। প্রতি কিমিতে ভাড়া কত বাড়ে? সেটা লেখচিত্রের কী?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $f(x) = 20 + 15(x - 1)$
খুঁজতে হবে: তিনটি বিন্দু, আর বৃদ্ধির হার
কোন ধারণা কাজ করছে: সারণি, তারপর পরপর পার্থক্য।

$f(1) = 20$ , $f(2) = 20 + 15 = 35$ , $f(3) = 20 + 30 = 50$ ।
বিন্দু: $(1, 20)$ , $(2, 35)$ , $(3, 50)$ ।
পরপর পার্থক্য $35 - 20 = 15$ আর $50 - 35 = 15$ ।

যাচাই: দুই ধাপেই ১৫ বাড়ে, তাই তিনটা বিন্দু এক সরলরেখায় ✓

উত্তরের মানে কী: ১৫ হলো রেখার ঢাল: প্রতি কিমিতে ভাড়া ১৫ টাকা বাড়ে। রেখাটা $x = 1$ থেকে শুরু, তার আগে নেই।

অঙ্ক ২সহজস্থাপন

কোন চতুর্ভাগে?

$A(2, 3)$ , $B(-1, 2)$ , $C(-3, -2)$ , $D(0, -4)$ , $E(4, -1)$ বিন্দুগুলো কোন কোন চতুর্ভাগে বা অক্ষে আছে?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: পাঁচটি বিন্দু
খুঁজতে হবে: কোন চতুর্ভাগ বা অক্ষ
কোন ধারণা কাজ করছে: $x$ আর $y$ এর চিহ্ন দেখি।

$A(2, 3)$ : $x > 0$ , $y > 0$ , প্রথম চতুর্ভাগ।
$B(-1, 2)$ : $x < 0$ , $y > 0$ , দ্বিতীয় চতুর্ভাগ।
$C(-3, -2)$ : $x < 0$ , $y < 0$ , তৃতীয় চতুর্ভাগ।
$D(0, -4)$ : $x = 0$ , তাই $y$ -অক্ষের ওপর।
$E(4, -1)$ : $x > 0$ , $y < 0$ , চতুর্থ চতুর্ভাগ।

যাচাই: চার চতুর্ভাগের চিহ্ন: $(+, +)$ , $(-, +)$ , $(-, -)$ , $(+, -)$ ✓

উত্তরের মানে কী: বিন্দু বসানোর আগেই চিহ্ন দেখে বলা যায় ছবির কোন দিকে পড়বে।

অঙ্ক ৩মাঝারিসারণি

সারণি আর ছেদ

$y = 3x + 5$ ( $-3 \le x \le 0$ ) এর সারণি বানাও। $y$ -অক্ষে ছেদ কোথায়? $x$ -অক্ষে ছেদ কোন দুই পূর্ণসংখ্যার মাঝে?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $y = 3x + 5$ , $-3 \le x \le 0$
খুঁজতে হবে: সারণি, $y$ -অক্ষের ছেদ, $x$ -অক্ষের আন্দাজ
কোন ধারণা কাজ করছে: সারণি বানাই। $x = 0$ আর চিহ্ন-বদল।

$x = -3, -2, -1, 0$ এর জন্য $y = -4, -1, 2, 5$ ।
$y$ -অক্ষে ছেদ: $(0, 5)$ ।
$y$ ঋণাত্মক ( $-1$ ) থেকে ধনাত্মক ( $2$ ) হয়েছে $x = -2$ আর $x = -1$ এর মাঝে। তাই $x$ -অক্ষ ছেদ ওখানে।
সঠিক মান: $3x + 5 = 0$ থেকে $x = -\frac{5}{3} \approx -1.67$ ✓

যাচাই: $3 \times (-\frac{5}{3}) + 5 = 0$ ✓

উত্তরের মানে কী: সারণিতে চিহ্ন-বদল খুঁজলে ছেদ কোথায়, ছবি না এঁকেই আন্দাজ করা যায়।

অঙ্ক ৪মাঝারিছবি পড়া

ছবি দেখে মান বলো

$y = 2x - 3$ ( $-2 \le x \le 4$ ) এর লেখচিত্র থেকে বলো: $x = 3$ হলে $y$ কত? $y = 5$ হলে $x$ কত? $y = 0$ হলে $x$ কত?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $y = 2x - 3$ , $-2 \le x \le 4$
খুঁজতে হবে: তিনটি মান
কোন ধারণা কাজ করছে: লেখচিত্র আসলে এই নিয়মেরই ছবি, তাই ছবির মান নিয়মের মান।

$x = 3$ এ: $2 \times 3 - 3 = 3$ । বিন্দু $(3, 3)$ ।
$y = 5$ এ: $2x - 3 = 5$ , $2x = 8$ , $x = 4$ । বিন্দু $(4, 5)$ (সীমার ঠিক প্রান্তে)।
$y = 0$ এ: $2x - 3 = 0$ , $x = 1.5$ । বিন্দু $(1.5, 0)$ ।

যাচাই: সারণিতে $x = 1$ এ $-1$ আর $x = 2$ এ $1$ । শূন্য $1$ আর $2$ এর মাঝে, 1.5 ঠিক ✓

উত্তরের মানে কী: ছবি পড়া আর নিয়মে বসানো একই কাজ। ছবিতে দ্রুত আন্দাজ, নিয়মে নিখুঁত মান।

অঙ্ক ৫কঠিনমিশ্র (সমীকরণ)

দুই রেখা যেখানে মেলে

$y = 2x$ আর $x + y = 3$ এর লেখচিত্র একই ছকে আঁকলে কোন বিন্দুতে মেলে? দুটো সমীকরণই সেখানে সত্য কি না মিলিয়ে দেখো।

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $y = 2x$ আর $x + y = 3$
খুঁজতে হবে: ছেদবিন্দু
কোন ধারণা কাজ করছে: ছেদবিন্দুর $x$ , $y$ দুটো রেখার নিয়মই মানে। তাই এক সমীকরণ অন্যটায় বসাই।

দ্বিতীয়টায় $y = 2x$ বসাই: $x + 2x = 3$ , $3x = 3$ , $x = 1$ ।
$y = 2 \times 1 = 2$ । ছেদবিন্দু $(1, 2)$ ।
দুটো সমীকরণ মেলাই: $y = 2x$ : $2 = 2 \times 1$ ✓। $x + y = 3$ : $1 + 2 = 3$ ✓।

যাচাই: সারণি: $y = 2x$ তে $x = 1$ এ ২; $x + y = 3$ তে $x = 1$ এ $y = 2$ । দুই সারণিতে $x = 1$ এ একই $y$ ✓

উত্তরের মানে কী: দুটো লেখচিত্রের মিলনবিন্দুই দুটো সমীকরণের একসঙ্গে সমাধান। এই ভাবনা তুমি পরে “সহসমীকরণ” অধ্যায়ে সরাসরি কাজে লাগাবে।

অঙ্ক ৬কঠিনবক্ররেখা

একটা বক্ররেখা

$y = x^2 - 2x - 3$ ( $-2 \le x \le 4$ ) এর সারণি বানাও। সবচেয়ে নিচের বিন্দু কোনটা? $x$ -অক্ষকে কোথায় ছোঁয়? কোন সরলরেখার দুই পাশে লেখচিত্র হুবহু মেলে?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $y = x^2 - 2x - 3$ , $-2 \le x \le 4$
খুঁজতে হবে: সারণি, সর্বনিম্ন বিন্দু, $x$ -অক্ষের ছেদ, প্রতিসাম্য
কোন ধারণা কাজ করছে: সারণি বানাই। $y = 0$ এর জন্য উৎপাদকে ভাঙি।

সারণি: $x = -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$ এর জন্য $y = 5, 0, -3, -4, -3, 0, 5$ ।
সবচেয়ে নিচে $(1, -4)$ । এই বিন্দুর দুই পাশে মান আবার বাড়ছে।
$x$ -অক্ষে ছেদ: $y = 0$ , $x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3) = 0$ , তাই $x = -1$ আর $x = 3$ । বিন্দু $(-1, 0)$ আর $(3, 0)$ ।
প্রতিসাম্য: $x = 1$ এর দুই পাশে সমান দূরত্বে সমান $y$ ( $x = 0$ আর $x = 2$ এ $-3$ ; $x = -1$ আর $x = 3$ এ ০)। তাই $x = 1$ রেখাটা প্রতিসাম্য-রেখা।

যাচাই: $(-1)^2 - 2(-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$ ✓ আর $3^2 - 6 - 3 = 0$ ✓

উত্তরের মানে কী: বক্ররেখার নিচের বিন্দুটা ঠিক মাঝখানে ( $x = 1$ , দুই শূন্যের গড় $\frac{-1 + 3}{2} = 1$ )। এই আকারটা আগের পাঠগুলোর দ্বিঘাত সমীকরণের ছবি।

অঙ্ক ৭কঠিনউল্টো করে

কোন বিন্দু রেখার ওপর?

একটা সরলরেখা $(0, -1)$ দিয়ে যায় আর প্রতি ধাপে ২ করে ওঠে। নিয়মটা কী? $(3, 5)$ আর $(-1, 3)$ বিন্দু দুটোর কোনটা রেখার ওপর?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: ছেদ $-1$ , বৃদ্ধি প্রতি ধাপে ২
খুঁজতে হবে: নিয়ম, আর কোন বিন্দু রেখার ওপর
কোন ধারণা কাজ করছে: নিয়ম $y = 2x + (\text{ছেদ})$ । বিন্দুর $x$ বসিয়ে $y$ মেলাই।

নিয়ম: $y = 2x - 1$ ।
$(3, 5)$ : $x = 3$ এ $y = 2 \times 3 - 1 = 5$ ✓। রেখার ওপর।
$(-1, 3)$ : $x = -1$ এ $y = 2 \times (-1) - 1 = -3$ , কিন্তু বিন্দুটার $y = 3$ । রেখার ওপর নয়।

যাচাই: $(-1, -3)$ হতো রেখার ওপরের বিন্দু। তুমি $(-1, 3)$ নিয়েছ, চিহ্নটাই আলাদা।

উত্তরের মানে কী: কোনো বিন্দু রেখার ওপর আছে কি না, নিয়মে $x$ বসিয়ে $y$ মিলিয়ে দেখলেই বোঝা যায়।

নিজে করো

(−3, 4) বিন্দুটি কোন চতুর্ভাগে?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) দ্বিতীয়। x = −3 (ঋণাত্মক), y = 4 (ধনাত্মক)। তাই দ্বিতীয় চতুর্ভাগ।

y = 2x এর লেখচিত্র কোন বিন্দু দিয়ে যায়?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (ক) (0, 0)। x = 0 হলে y = 2 × 0 = 0, তাই (0, 0) আছে। (1, 2) থাকত, (1, 1) বা (1, 3) নয়। (2, 4) থাকত, (2, 2) নয়।

x + y = 2 এর লেখচিত্র x-অক্ষকে কোথায় ছোঁয়?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) (2, 0)। y = 0 হলে x + 0 = 2, তাই x = 2। বিন্দু (2, 0)। (0, 2) হলো y-অক্ষের ছেদ।

প্রশ্ন ১. দেখাও যে $(1, 3)$ , $(2, 5)$ আর $(4, 9)$ বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত।

ইঙ্গিত দেখো

প্রথম দুই বিন্দুর মধ্যে $x$ কতটা বাড়ল, $y$ কতটা বাড়ল? পরের দুই বিন্দুর মধ্যে?

উত্তর দেখো

$(1, 3)$ থেকে $(2, 5)$ : $x$ বাড়ে ১, $y$ বাড়ে ২। $(2, 5)$ থেকে $(4, 9)$ : $x$ বাড়ে ২, $y$ বাড়ে ৪, অর্থাৎ প্রতি ১ ধাপে ২। দুই জায়গাতেই হার ২, তাই তিনটি বিন্দু একই সরলরেখায়। নিয়ম $y = 2x + 1$ : $2 + 1 = 3$ ✓, $4 + 1 = 5$ ✓, $8 + 1 = 9$ ✓।

প্রশ্ন ২. $y = 3x + 5$ ( $-3 \le x \le 3$ ) এর লেখচিত্র আঁকার জন্য সারণি বানাও। $y$ -অক্ষের ছেদ কত?

ইঙ্গিত দেখো

$x$ এর সাতটা মান ধরে একে একে $3x + 5$ বের করো।

উত্তর দেখো

$x$ : $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$ আর $y$ : $-4, -1, 2, 5, 8, 11, 14$ । $y$ -অক্ষের ছেদ $(0, 5)$ । প্রতি ধাপে $y$ বাড়ে ৩, তাই সোজা রেখা, $x = -3$ থেকে $3$ পর্যন্ত।

মনে রাখো

লেখচিত্র হলো সারণির বিন্দুগুলোর ছবি: $x$ বাছো, $y = f(x)$ বের করো, ক্রমজোড় $(x, y)$ বসাও, যোগ করো (সরলরেখায় বা মসৃণ বাঁকা রেখায়)। ভুজ $x$ হলো ডানে-বামে, কোটি $y$ হলো ওপরে-নিচে, ক্রম গুরুত্বপূর্ণ। লেখচিত্র $y$ -অক্ষকে ছোঁয় $x = 0$ এ, আর $x$ -অক্ষকে ছোঁয় $y = 0$ এ (ফাংশনের শূন্য)। ডোমেনের সীমায় থামো। সাবধান: $(3, 5) \ne (5, 3)$ , বক্ররেখা সরল টুকরোয় জুড়ো না, আর সীমার বাইরের বিন্দু লেখচিত্রে নেই।

ফাংশনের লেখচিত্র

MCQ ও সৃজনশীল শর্টকাট

উত্তর যাচাইয়ের কৌশল

এই পাঠের সূত্রপত্র

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবে

সংখ্যার তালিকা থেকে ছবি: লেখচিত্র কেন আঁকি?

ছক কাগজে লেখচিত্র কীভাবে হয়

ফাংশনের লেখচিত্র নিয়ে ছয়টা পরিস্থিতি

ইন্টারনেট বিলের লেখচিত্র

ছবি পড়ে অক্ষের ছেদ বের করো

একটা লেখচিত্র আঁকা, শুরু থেকে শেষ

উল্টো করে

ভুলটা ধরো

পরীক্ষার ধরনে

একই ধারণা, নানা রকম অঙ্ক

রিকশা ভাড়ার ছবি

কোন চতুর্ভাগে?

সারণি আর ছেদ

ছবি দেখে মান বলো

দুই রেখা যেখানে মেলে

একটা বক্ররেখা

কোন বিন্দু রেখার ওপর?

নিজে করো

মনে রাখো