পাঠ ৬গণিত

ক্রমজোড় ও কার্তেসীয় গুণজ

পাঠের সারাংশ

জোড়ায় ক্রম গুরুত্বপূর্ণ: (2, 3) আর (3, 2) এক নয়। দুই সেটের সব জোড়া নিলে কার্তেসীয় গুণজ, আর সংখ্যা m × n।

আগে পড়ে নাওভেনচিত্রে অঙ্ক ও সূত্র যাচাই

MCQ ও সৃজনশীল শর্টকাট

প্রতিটি অঙ্কে তিন লাইন: প্রশ্ন, তারপর শর্টকাটটা প্রশ্নের ঠিক কোন জায়গায় লাগছে, তারপর উত্তর।

  1. ভেনচিত্রে ভেতর থেকে

    আগে ছেদ বসাও, তারপর শুধু A আর শুধু B, শেষে বাইরে। বাইরে থেকে গুনলে দ্বিগুণ হয়।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      n(U)=20n(U)=20, n(A)=12n(A)=12, n(B)=10n(B)=10, ছেদ 44। কোনোটাই নয়, কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ছেদ 44। শর্টকাট: আগে ছেদ ৪। শুধু A =12−4=8=12-4=8, শুধু B =10−4=6=10-4=6। বাইরে 20−(8+4+6)=220-(8+4+6)=2।

      উত্তর

      22

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      ছেদ ৩, শুধু A ৫, শুধু B ৪। n(A)n(A) কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ছেদ ৩ আর শুধু A ৫। শর্টকাট: ভেতর থেকে n(A)=n(A)= শুধু A + ছেদ =5+3=5+3।

      উত্তর

      88

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      ছেদ ৪, n(A)=6n(A)=6, n(B)=5n(B)=5। সংযোগ কি 1111?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ছেদ ৪। শর্টকাট: বাইরে থেকে যোগ করলে ছেদ দুবার। ভেতর থেকে 6+5−4=76+5-4=7।

      উত্তর

      77

  2. ছোট সেটে পরীক্ষা

    সূত্র সন্দেহ হলে A={1}A=\{1\}, B={1,2}B=\{1,2\} দিয়ে দুই দিকের উপাদান গুনে দেখো।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      U={1,2,3}U=\{1,2,3\}, A={1}A=\{1\}, B={1,2}B=\{1,2\}। (A∪B)′(A\cup B)' আর A′∩B′A'\cap B' সমান কি?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ছোট সেট A={1}A=\{1\}, B={1,2}B=\{1,2\}। শর্টকাট: সংযোগ {1,2}\{1,2\}, পূরক {3}\{3\}। A′={2,3}A'=\{2,3\}, B′={3}B'=\{3\}, ছেদ {3}\{3\}।

      উত্তর

      সমান, {3}\{3\}

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      A={1}A=\{1\}, B={1,2}B=\{1,2\}। n(A∪B)n(A\cup B) সূত্রে কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ছোট সেট A={1}A=\{1\}, B={1,2}B=\{1,2\}। শর্টকাট: সংযোগ {1,2}\{1,2\}, সংখ্যা ২। সূত্র 1+2−1=21+2-1=2।

      উত্তর

      22

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      A={1}A=\{1\}, B={1,2}B=\{1,2\}। A∖BA\setminus B এ কয়টা উপাদান?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে A={1}A=\{1\}, BB তেও 11 আছে। শর্টকাট: A তে আছে, B তে নেই, এমন কিছু নেই। 1−1=01-1=0।

      উত্তর

      00

  3. ফাংশন নয় কখন

    একই x থেকে দুই তির বেরোলে, বা এক x এর দুই y হলে, সেটা ফাংশন নয়। অপশন কেটে দাও।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      {(1,2),(1,3)}\{(1,2),(1,3)\} কি ফাংশন?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে x=1x=1 দুইবার, yy হলো 22 আর 33। শর্টকাট: একই xx থেকে দুই yy। ফাংশন নয়।

      উত্তর

      নয়

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      {(1,4),(2,4)}\{(1,4),(2,4)\} কি ফাংশন?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে প্রতি xx এর একটাই yy, 11 এ 44 আর 22 এ 44। শর্টকাট: একই yy দুবার চলবে। ফাংশন।

      উত্তর

      হ্যাঁ

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      {(2,3),(2,5),(3,5)}\{(2,3),(2,5),(3,5)\} কি ফাংশন?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে x=2x=2 দুইবার, yy হলো 33 আর 55। শর্টকাট: একই xx এর দুই yy। ফাংশন নয়।

      উত্তর

      নয়

  4. পূরকের আগে U

    U না জানলে পূরক লেখা যায় না। প্রশ্নের প্রসঙ্গ থেকে সার্বিক সেট আগে ঠিক করো।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      U={1,2,3,4}U=\{1,2,3,4\}, A={1,3}A=\{1,3\}। A′A' কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে U={1,2,3,4}U=\{1,2,3,4\} আগে দেওয়া। শর্টকাট: U তে আছে, A তে নেই, তাই 22 আর 44।

      উত্তর

      {2,4}\{2,4\}

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      শুধু A={a}A=\{a\} দেওয়া। A′A' লেখা যায়?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে UU নেই, শুধু A={a}A=\{a\}। শর্টকাট: U জানা নেই। পূরক লেখা যায় না।

      উত্তর

      না

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      n(U)=10n(U)=10, n(A)=7n(A)=7। n(A′)n(A') কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে n(U)=10n(U)=10 জানা। শর্টকাট: 10−7=310-7=3।

      উত্তর

      33

  5. ∈ আর ⊆ আলাদা

    এক জিনিস দলে থাকলে ∈। এক দল আরেক দলের ভেতরে থাকলে ⊆।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      2∈{1,2}2\in\{1,2\} সত্য কি?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে 22 একটা জিনিস, দল {1,2}\{1,2\} এর ভেতরে। শর্টকাট: জিনিস দলে থাকলে ∈\in। সত্য।

      উত্তর

      সত্য

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      {2}⊆{1,2}\{2\}\subseteq\{1,2\} সত্য কি?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে {2}\{2\} একটা দল, {1,2}\{1,2\} আরেক দল। শর্টকাট: দল দলের ভেতরে থাকলে ⊆\subseteq। সত্য।

      উত্তর

      সত্য

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      2⊆{1,2}2\subseteq\{1,2\} সত্য কি?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে 22 জিনিস, দল নয়। শর্টকাট: ⊆\subseteq দলের জন্য। খাটে না, মিথ্যা।

      উত্তর

      মিথ্যা

  6. সৃজনশীলের ক অংশ

    ক অংশে সংজ্ঞা এক লাইনে, সঙ্গে একটা ছোট উদাহরণ। খ এ ভেনচিত্রের হিসাব।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      সৃজনশীলের ক অংশে ছেদ কী? ছোট উদাহরণ {1,2}∩{2,3}\{1,2\}\cap\{2,3\}।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ক অংশে ছেদ। শর্টকাট: এক লাইন, দুই সেটেই যা আছে। উদাহরণ {1,2}∩{2,3}\{1,2\}\cap\{2,3\}।

      উত্তর

      {2}\{2\}

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      সৃজনশীলের খ অংশে n(A)=8n(A)=8, n(B)=5n(B)=5, ছেদ 22। সংযোগ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে খ অংশে ভেনচিত্রের হিসাব। শর্টকাট: 8+5−2=118+5-2=11।

      উত্তর

      1111

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      সৃজনশীলের ক অংশে পূরক কী? U={1,2,3}U=\{1,2,3\}, A={1}A=\{1\} দিয়ে দেখাও।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ক অংশে পূরক, আর U={1,2,3}U=\{1,2,3\}। শর্টকাট: এক লাইন, U তে আছে, A তে নেই। উদাহরণ A′A'।

      উত্তর

      {2,3}\{2,3\}

উত্তর যাচাইয়ের কৌশল

প্রতিটি অঙ্কে আগে একটা লেখা উত্তর, তারপর যাচাইটা সেই উত্তরের ঠিক কোন জায়গায় লাগছে।

  1. চার অংশ মেলানো

    শুধু A, ছেদ, শুধু B আর বাইরে যোগ করে n(U) এর সমান কি না দেখো।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, শুধু A ৬, ছেদ ৩, শুধু B ৪, বাইরে ৭, আর n(U)=20n(U)=20। যোগ করে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: চার অংশের যোগ n(U)n(U) এর সমান কি না। 6+3+4+7=206+3+4+7=20। মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 2020

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, অংশ ৫, ২, ৪, ৩ এর n(U)=15n(U)=15। যোগ করে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: চার অংশের যোগ। 5+2+4+3=145+2+4+3=14, ১৫ নয়। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, 1414

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, অংশ ৪, ২, ৩, ১ এর সংযোগ 99। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: সংযোগের তিন অংশ। সংযোগ = শুধু A + ছেদ + শুধু B =4+2+3=9=4+2+3=9। মোট 1010। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      সংযোগ 99

  2. ঋণাত্মক অংশ

    কোনো অঞ্চল ঋণাত্মক হলে ছেদ বড় ধরা হয়েছে। উপাদান সংখ্যা ঋণাত্মক হয় না।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, n(A)=6n(A)=6, ছেদ ৮ হলে শুধু A বের হয়। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: শুধু A এর বিয়োগ। 6−8=−26-8=-2। উপাদান ঋণাত্মক হয় না। ছেদ বড়, তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, n(A)=9n(A)=9, ছেদ ৪ হলে শুধু A =5=5। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: শুধু A। 9−4=59-4=5, ধনাত্মক। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 55

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, n(U)=10n(U)=10, সংযোগ ১২ হলে বাইরে বের হয়। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: বাইরের অংশ। 10−12=−210-12=-2। বাইরে ঋণাত্মক। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল

  3. ফাঁকা সেট

    ছেদ ফাঁকা হলে সূত্রে শেষ পদ ০ বসিয়ে আবার গুনো।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, n(A)=4n(A)=4, n(B)=6n(B)=6, ছেদ ফাঁকা, সংযোগ 1010। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: ফাঁকা ছেদের শেষ পদ। ফাঁকা মানে শেষ পদ ০। 4+6−0=104+6-0=10। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      1010

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, ছেদ ফাঁকা তবু সংযোগ 5+3−55+3-5। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: শেষ পদ। ফাঁকা হলে শেষ পদ ০। 5+3−55+3-5 এ ৫ বাদ যায়নি। আসল 5+3=85+3=8। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, 88

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, ছেদ ফাঁকা, n(A)=n(B)=2n(A)=n(B)=2, সংযোগ ৪। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: সংযোগের শেষ পদ। 2+2−0=42+2-0=4। মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 44

  4. জোড়ার ক্রম

    (a, b) আর (b, a) এক নয়, যদি a ≠ b। উত্তরের জোড়া উল্টে গেলে ভুল।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (2,5)(2,5) আর (5,2)(5,2) এক উপাদান। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: জোড়ার ক্রম। 2≠52\neq 5, ক্রম উল্টো। তাই লেখাটা ভুল, এক নয়।

      উত্তর

      এক নয়

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (3,3)(3,3) দুবার লিখলে দুই উপাদান। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দুই পদ সমান কি না। দুই পদ সমান, ক্রম বদলালেও একই জোড়া। এক উপাদান। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      এক

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, A={1}A=\{1\}, B={2}B=\{2\} থেকে জোড়া (2,1)(2,1)। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: জোড়ার প্রথম পদ। প্রথম পদ A থেকে। (2,1)(2,1) উল্টো। আসল (1,2)(1,2)। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, (1,2)(1,2)

  5. ফাংশনে মান বসানো

    f(a) বের করে নিয়মে x এর জায়গায় a বসাও। ঋণাত্মক মান বন্ধনীতে।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, f(x)=2x+1f(x)=2x+1 হলে f(3)=7f(3)=7। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: f(3)f(3) এ xx এর জায়গা। xx এর জায়গায় ৩। 2×3+1=72\times 3+1=7। মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      77

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, f(x)=x2f(x)=x^2 হলে f(−2)=−4f(-2)=-4। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: ঋণাত্মক মানের বর্গ। ঋণাত্মক মান বন্ধনীতে। (−2)2=4(-2)^2=4, −4-4 নয়। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, 44

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, f(x)=3x−4f(x)=3x-4 হলে f(2)=2f(2)=2। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: f(2)f(2) এ xx এর জায়গা। 3×2−4=23\times 2-4=2। মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      22

এই পাঠের সূত্রপত্র

অঙ্ক করার সময় এই সূত্রগুলো খোলা রাখো।

  • সংযোগের উপাদান সংখ্যা

    n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)

    দুই সেটেই আছে এমনগুলো একবার বাদ দিতে হয়। ছেদ ফাঁকা হলে শেষ পদ ০।

  • কোনোটাই নয়

    n((A∪B)′)=n(U)−n(A∪B)n\bigl((A\cup B)'\bigr)=n(U)-n(A\cup B)

    সার্বিক সেট থেকে সংযোগ বাদ দিলে বাইরের সংখ্যা।

  • পূরক

    A′=U∖AA'=U\setminus A

    সার্বিক সেটে আছে, কিন্তু A তে নেই।

  • অন্তর

    A∖B=A∩B′A\setminus B=A\cap B'

    A তে আছে এবং B তে নেই।

  • De Morgan

    (A∪B)′=A′∩B′(A\cup B)'=A'\cap B'(A∩B)′=A′∪B′(A\cap B)'=A'\cup B'

    সংযোগের পূরক হলো পূরকের ছেদ।

  • শক্তি সেট

    n(P(A))=2n(A)n\bigl(P(A)\bigr)=2^{n(A)}

    উপসেটের সংখ্যা ২ এর ঘাত। প্রকৃত উপসেট আরও এক কম।

  • কার্তেসীয় গুণজ

    n(A×B)=n(A)×n(B)n(A\times B)=n(A)\times n(B)

    জোড়ার সংখ্যা গুণ, যোগ নয়। ক্রম বদলালে সেট আলাদা।

  • ফাংশন

    f:A→Bf:A\to B

    A এর প্রতিটি x এর ঠিক একটা f(x) আছে B তে।

  • প্রকৃত উপসেট

    2n(A)−12^{n(A)}-1

    নিজেকে বাদ দিলে উপসেটের চেয়ে এক কম।

  • নিশ্ছেদ সংযোগ

    A∩B=∅⇒n(A∪B)=n(A)+n(B)A\cap B=\emptyset\Rightarrow n(A\cup B)=n(A)+n(B)

    ছেদ ফাঁকা হলে বাদ দেওয়ার কিছু থাকে না।

  • পূরকের সংখ্যা

    n(A′)=n(U)−n(A)n(A')=n(U)-n(A)

    A আর A′ মিলে U, আর এদের মিল নেই।

  • ক্রমজোড়

    (a,b)=(c,d)⇒a=c(a,b)=(c,d)\Rightarrow a=cb=db=d

    প্রথম পদ প্রথম পদের সঙ্গে, দ্বিতীয় পদ দ্বিতীয় পদের সঙ্গে।

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

(2, 3) আর (3, 2) কি একই জিনিস?

তোমার আছে ৩টা জামা (লাল, নীল, সবুজ) আর ২টা প্যান্ট (কালো, ধূসর)। একটা জামা আর একটা প্যান্ট মিলিয়ে কত রকম সাজ হয়?

প্রতিটা সাজ একটা জোড়া: (জামা, প্যান্ট)। এখানে জোড়ার ক্রম গুরুত্বপূর্ণ। প্রথম জায়গায় জামা, দ্বিতীয় জায়গায় প্যান্ট। (লাল জামা, কালো প্যান্ট) আর (কালো, লাল) এক জিনিস নয়, কারণ দ্বিতীয়টা উল্টোপাল্টা।

গণিতেও ঠিক তাই। বসার জায়গা (সারি ৩, কলাম ৫) আর (সারি ৫, কলাম ৩) আলাদা জায়গা। পরে লেখচিত্রে বিন্দু (3,5)(3, 5) আর (5,3)(5, 3) আলাদা বিন্দু। এই পাঠে আমরা এমন জোড়া, আর সব সম্ভাব্য জোড়ার সেট নিয়ে কাজ করব।

নিজে দেখে বুঝো

নিজে বদলে দেখো

সেট দুটো বাছো:

A × B এর সব ক্রমজোড়া
A ↓ B →45
1
2
3

A এ 3টি, B তে 2টি উপাদান। প্রতিটার সঙ্গে প্রতিটা জোড়া: 3 × 2 = 6টি ক্রমজোড়া।

A × B = { (1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5) }

জোড়ার ক্রম দেখো: প্রথম পদ সবসময় A থেকে, দ্বিতীয় পদ B থেকে। তাই (1, 4) আছে A × B তে, কিন্তু B × A তে নেই।

একটা সেট-জোড়া বাছো। টেবিলের প্রতিটা ঘর একটা ক্রমজোড়। ক্রম বদলে B × A দেখো, ফারাকটা ধরো।

একটা টেবিল। বাঁ দিকে প্রথম সেটের উপাদানগুলো সারি হিসেবে, ওপরে দ্বিতীয় সেটের উপাদানগুলো কলাম হিসেবে। প্রতিটা ঘরে একটা ক্রমজোড়, যার প্রথম পদ সারির নাম আর দ্বিতীয় পদ কলামের নাম। নিচে লেখা জোড়ার মোট সংখ্যা সারি গুণ কলাম। একটা বোতামে A গুণ B আর B গুণ A বদলানো যায়।

নিজে চেষ্টা করো: প্রথম উদাহরণে জোড়া কয়টা? A×BA \times B থেকে B×AB \times A এ গেলে প্রতিটা জোড়ার কী হলো?

ক্রমজোড় থেকে কার্তেসীয় গুণজ: সব জোড়া সাজানো

  1. ক্রমজোড় (ordered pair)। দুটো জিনিসকে একটা নির্দিষ্ট ক্রমে লিখলে ক্রমজোড় হয়: (a,b)(a, b)। aa হলো প্রথম পদ, bb হলো দ্বিতীয় পদ।

  2. সমতার নিয়ম। দুটো ক্রমজোড় সমান যদি আর শুধু যদি প্রথম পদ প্রথম পদের সমান আর দ্বিতীয় পদ দ্বিতীয় পদের সমান: (a,b)=(c,d)(a, b) = (c, d) হলে a=ca = c আর b=db = d। তাই (2,3)≠(3,2)(2, 3) \ne (3, 2)।

  3. সমতা থেকে সমীকরণ। ক্রমজোড়ের সমতা দুটো আলাদা সমীকরণ দেয়। অজানা মান থাকলে সেগুলো সমাধান করি।

  4. কার্তেসীয় গুণজ (Cartesian product)। AA এর প্রতিটা উপাদানকে BB এর প্রতিটা উপাদানের সঙ্গে জোড়া বাঁধলে যত ক্রমজোড় হয়, তাদের সেটকে বলে A×BA \times B (”AA ক্রস BB”):

    A×B={(x,y):x∈A এবং y∈B}A \times B = \{(x, y) : x \in A \text{ এবং } y \in B\}।

  5. জোড়ার সংখ্যা। AA তে mmটা, BB তে nnটা উপাদান হলে টেবিলে mmটা সারি আর nnটা কলাম। ঘর m×nm \times n টা। তাই n(A×B)=n(A)×n(B)n(A \times B) = n(A) \times n(B)।

  6. ক্রম বদলালে। B×AB \times A তে প্রতিটা জোড়ার ক্রম উল্টো। A×BA \times B আর B×AB \times A তে জোড়ার সংখ্যা সমান (mnmn), কিন্তু সেট দুটো সাধারণত আলাদা। এরা সমান শুধু যখন A=BA = B (বা একটা সেট ফাঁকা)।

ক্রমজোড় ও কার্তেসীয় গুণজ নিয়ে ছয়টা পরিস্থিতি

চেনা জীবন

জামা আর প্যান্ট

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

৩টা জামা {\{লাল, নীল, সবুজ}\}, ২টা প্যান্ট {\{কালো, ধূসর}\}। মোট কত রকম সাজ? সবগুলো লেখো।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা: প্রতিটা জামার সঙ্গে প্রতিটা প্যান্ট: কার্তেসীয় গুণজ।

সংখ্যা: 3×2=63 \times 2 = 6। জোড়াগুলো (জামা, প্যান্ট): (লাল, কালো), (লাল, ধূসর), (নীল, কালো), (নীল, ধূসর), (সবুজ, কালো), (সবুজ, ধূসর)।

উত্তরের মানে কী: ছয় রকম সাজ। আরেকটা জামা কিনলে সাজ বাড়ে ২টা করে (4×2=84 \times 2 = 8), কারণ নতুন জামা দুটো প্যান্টের সঙ্গেই মেলে।

ছবি / গ্রাফ

টেবিলে ক্রম দেখো

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

উইজেটে প্রথম উদাহরণ নাও: A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\}, B={4,5}B = \{4, 5\}। টেবিলে কতগুলো ঘর? এবার B×AB \times A দেখো। (1,4)(1, 4) কোথায়?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা: প্রথম পদ সারি থেকে, দ্বিতীয় পদ কলাম থেকে।

  • A×BA \times B: ৩ সারি, ২ কলাম, 3×2=63 \times 2 = 6 ঘর। (1,4)(1, 4) আছে প্রথম সারি, প্রথম কলামে।
  • B×AB \times A: এখন ২ সারি (4,54, 5), ৩ কলাম (1,2,31, 2, 3), তবু ঘর ৬টাই। কিন্তু (1,4)(1, 4) আর নেই, তার জায়গায় (4,1)(4, 1)।

উত্তরের মানে কী: জোড়ার সংখ্যা একই (৬), কিন্তু জোড়াগুলো আলাদা, কারণ ক্রম উল্টে গেছে। A×B≠B×AA \times B \ne B \times A।

সংখ্যা

গুণজ আর ছেদ একসঙ্গে

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

দেওয়া আছে
P={1,2}P = \{1, 2\}, Q={2,3,4}Q = \{2, 3, 4\} আর R=P∩QR = P \cap Q
খুঁজতে হবে
P×RP \times R আর R×QR \times Q নির্ণয় করো। n(P×Q)n(P \times Q) আর n(Q×P)n(Q \times P) কত?
কোন সূত্র কেন
আগে RR বের করি। তারপর টেবিলের মতো প্রথম সেটের প্রতিটাকে দ্বিতীয় সেটের প্রতিটার সঙ্গে জোড়া বাঁধি।
  1. R=P∩Q={2}R = P \cap Q = \{2\}।
  2. P×RP \times R: প্রথম পদ PP থেকে (1, 2), দ্বিতীয় পদ RR থেকে (২)। {(1,2),(2,2)}\{(1, 2), (2, 2)\}। ২টি জোড়া (2×12 \times 1)।
  3. R×QR \times Q: প্রথম পদ ২, দ্বিতীয় পদ QQ থেকে (2, 3, 4)। {(2,2),(2,3),(2,4)}\{(2, 2), (2, 3), (2, 4)\}। ৩টি জোড়া (1×31 \times 3)।
  4. n(P×Q)=2×3=6n(P \times Q) = 2 \times 3 = 6 আর n(Q×P)=3×2=6n(Q \times P) = 3 \times 2 = 6।

যাচাই: (2,2)(2, 2) দুটো গুণজেই আছে, কারণ ২ আছে PP, QQ, RR সবাতে ✓

উত্তরের মানে কী: P×RP \times R আর R×QR \times Q এর জোড়ার সংখ্যা আলাদা (২ আর ৩), কারণ RR কোন পাশে বসেছে সেটা গুরুত্বপূর্ণ।

উল্টো করে

উল্টো করে

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

(ক) n(A×B)=15n(A \times B) = 15 আর n(A)=3n(A) = 3 হলে n(B)n(B) কত?

(খ) A×BA \times B তে ঠিক ১২টি জোড়া থাকলে n(A)n(A) আর n(B)n(B) কত কত হতে পারে? ৭টি জোড়া থাকলে?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা (ক): n(A)×n(B)=15n(A) \times n(B) = 15, তাই n(B)=15÷3=5n(B) = 15 \div 3 = 5।

ধারণা (খ): n(A)×n(B)=12n(A) \times n(B) = 12। ১২ এর উৎপাদক জোড়া: (1,12)(1, 12), (2,6)(2, 6), (3,4)(3, 4), (4,3)(4, 3), (6,2)(6, 2), (12,1)(12, 1)। ছয়টা সম্ভাবনা। ৭ হলো মৌলিক সংখ্যা, তাই শুধু (1,7)(1, 7) আর (7,1)(7, 1)।

যাচাই: 3×5=153 \times 5 = 15 ✓, 3×4=123 \times 4 = 12 ✓, 1×7=71 \times 7 = 7 ✓

উত্তরের মানে কী: ৭ জোড়ার গুণজ পেতে হলে একটা সেটে মাত্র ১টা উপাদান থাকতে হয়।

ভুল ধরো

ভুলটা ধরো

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

তিনটা সমাধান। তিনটাই ভুল।

ক: (2,3)=(3,2)(2, 3) = (3, 2), কারণ দুটোতেই ২ আর ৩ আছে।

খ: A={1,2}A = \{1, 2\}, B={3,4}B = \{3, 4\} হলে A×B={(1,3),(2,4)}A \times B = \{(1, 3), (2, 4)\}।

গ: n(A)=4n(A) = 4, n(B)=5n(B) = 5 হলে n(A×B)=9n(A \times B) = 9।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ক এর ভুল: ক্রমজোড়ে প্রথম পদ প্রথম পদের সমান আর দ্বিতীয় পদ দ্বিতীয় পদের সমান হতে হয়। এখানে 2≠32 \ne 3 (প্রথম পদ), তাই সমান নয়।

খ এর ভুল: শুধু “মিল থাকা” জোড়া নেওয়া হয়েছে। গুণজে সব জোড়া থাকে: A×B={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}A \times B = \{(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)\}, ৪টি (2×22 \times 2)।

গ এর ভুল: যোগ করা হয়েছে। ঠিক: 4×5=204 \times 5 = 20।

ঠিক নিয়ম: ক্রম দেখো। সব জোড়া লেখো। সংখ্যা বের করতে গুণ।

পরীক্ষার ধরন

পরীক্ষার ধরনে

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

পরীক্ষায় এই ধারণা সাধারণত তিন চেহারায় আসে:

  • (ক) “ক্রমজোড়ের সমতা থেকে xx ও yy নির্ণয় করো।”
  • (খ) ”A×BA \times B বা B×AB \times A নির্ণয় করো।”
  • (গ) "(A∪B)×C(A \cup B) \times C" বা "(A∩B)×C(A \cap B) \times C" নির্ণয়।

নিচে (ক) এর নমুনা।

দেওয়া আছে
(2x−1,  y+3)=(7,  2y−1)(2x - 1, \; y + 3) = (7, \; 2y - 1)
খুঁজতে হবে
xx আর yy নির্ণয় করো, আর (x,y)(x, y) লেখো।
কোন সূত্র কেন
ক্রমজোড় সমান মানে প্রথম পদ সমান আর দ্বিতীয় পদ সমান। তাই দুটো সমীকরণ।
  1. প্রথম পদ সমান: 2x−1=72x - 1 = 7, তাই 2x=82x = 8, x=4x = 4।
  2. দ্বিতীয় পদ সমান: y+3=2y−1y + 3 = 2y - 1, তাই 3+1=2y−y3 + 1 = 2y - y, y=4y = 4।
  3. (x,y)=(4,4)(x, y) = (4, 4)।

যাচাই: x=4x = 4, y=4y = 4 বসালে বাম পাশ (2×4−1,  4+3)=(7,7)(2 \times 4 - 1, \; 4 + 3) = (7, 7)। ডান পাশ (7,  2×4−1)=(7,7)(7, \; 2 \times 4 - 1) = (7, 7) ✓

উত্তরের মানে কী: দুটো আলাদা সমীকরণ আলাদা করে সমাধান করতে হয়। এখানে xx আর yy সমান পাওয়া কাকতালীয়।

অঙ্কগুলো সহজ থেকে ধীরে ধীরে কঠিন হয়েছে, আর সবগুলো একই পথে সমাধান করা। প্রতিটিতে আগে নিজে চেষ্টা করো। আটকে গেলে নিচের পাঁচটি ধাপ মিলিয়ে নাও, তারপর সমাধান দেখো।

আটকে গেলে এই পাঁচটি ধাপ
  1. পড়ো: প্রশ্নটা দুবার পড়ো। নিজের ভাষায় বলো, কী ঘটছে?
  2. লেখো: কী দেওয়া আছে, আর কী চাওয়া হয়েছে?
  3. চেনো: কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে?
  4. করো: ধাপে ধাপে, কিছু বাদ না দিয়ে।
  5. মেলাও: উত্তরটা যুক্তিসঙ্গত কি না দেখো, আর উত্তরের মানে বলো।
অঙ্ক ১সহজগল্পের অঙ্ক

বাসে যাত্রাপথ

ঢাকা থেকে চট্টগ্রাম যেতে ৩টা বাস, আর চট্টগ্রাম থেকে কক্সবাজার যেতে ২টা বাস। প্রথম বাস আর দ্বিতীয় বাস মিলিয়ে কত রকম যাত্রাপথ?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও
দেওয়া আছে
প্রথম পর্বে ৩টা বাস, দ্বিতীয় পর্বে ২টা বাস
খুঁজতে হবে
মোট যাত্রাপথ
কোন ধারণা কাজ করছে
প্রতিটা যাত্রাপথ একটা ক্রমজোড় (প্রথম বাস, দ্বিতীয় বাস)।
  1. প্রথম বাসের সেট AA (n=3n = 3), দ্বিতীয় বাসের সেট BB (n=2n = 2)।
  2. যাত্রাপথ হলো A×BA \times B এর জোড়া। সংখ্যা 3×2=63 \times 2 = 6।

যাচাই: প্রথম বাসের প্রতিটার জন্য দ্বিতীয় বাসের ২টা পছন্দ, মোট 3+3=63 + 3 = 6 ✓

উত্তরের মানে কী: ক্রম গুরুত্বপূর্ণ: আগে ঢাকা-চট্টগ্রাম, তারপর চট্টগ্রাম-কক্সবাজার। বাসের নম্বর উল্টে নিলে অন্য যাত্রাপথ।

অঙ্ক ২সহজসংখ্যা

অক্ষর আর সংখ্যা

A={a,b}A = \{a, b\} আর B={1,2,3}B = \{1, 2, 3\} হলে A×BA \times B আর B×AB \times A লেখো। (a,1)(a, 1) কোন গুণজে আছে?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও
দেওয়া আছে
A={a,b}A = \{a, b\}, B={1,2,3}B = \{1, 2, 3\}
খুঁজতে হবে
A×BA \times B, B×AB \times A
কোন ধারণা কাজ করছে
প্রথম পদ প্রথম সেট থেকে, দ্বিতীয় পদ দ্বিতীয় সেট থেকে।
  1. A×B={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}A \times B = \{(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)\}, ৬টি।
  2. B×A={(1,a),(2,a),(3,a),(1,b),(2,b),(3,b)}B \times A = \{(1, a), (2, a), (3, a), (1, b), (2, b), (3, b)\}, ৬টি।
  3. (a,1)(a, 1) আছে A×BA \times B তে (প্রথম পদ a∈Aa \in A)। B×AB \times A তে নেই (সেখানে প্রথম পদ সংখ্যা হতে হবে)।

যাচাই: n(A)×n(B)=2×3=6n(A) \times n(B) = 2 \times 3 = 6 ✓

উত্তরের মানে কী: দুটো গুণজে কোনো জোড়াই এক নয়। সংখ্যা এক (৬), জোড়াগুলো আলাদা।

অঙ্ক ৩মাঝারিবীজগণিত

সমতা থেকে মান

(x+2,  7)=(5,  y−1)(x + 2, \; 7) = (5, \; y - 1) হলে xx আর yy কত?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও
দেওয়া আছে
(x+2,  7)=(5,  y−1)(x + 2, \; 7) = (5, \; y - 1)
খুঁজতে হবে
xx, yy
কোন ধারণা কাজ করছে
প্রথম পদ প্রথম পদের সঙ্গে, দ্বিতীয় পদ দ্বিতীয় পদের সঙ্গে।
  1. x+2=5x + 2 = 5, তাই x=3x = 3।
  2. 7=y−17 = y - 1, তাই y=8y = 8।

যাচাই: বাম (3+2,7)=(5,7)(3 + 2, 7) = (5, 7)। ডান (5,8−1)=(5,7)(5, 8 - 1) = (5, 7) ✓

উত্তরের মানে কী: সমান ক্রমজোড় থেকে দুটো আলাদা সমীকরণ। একসঙ্গে জুড়ে ফেলো না।

অঙ্ক ৪মাঝারিগণনা

জোড়ার সংখ্যা

n(A)=4n(A) = 4 আর n(B)=6n(B) = 6 হলে n(A×B)n(A \times B), n(B×A)n(B \times A), n(A×A)n(A \times A) আর n(B×B)n(B \times B) কত?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও
দেওয়া আছে
n(A)=4n(A) = 4, n(B)=6n(B) = 6
খুঁজতে হবে
চারটা গুণজের সংখ্যা
কোন ধারণা কাজ করছে
n(X×Y)=n(X)×n(Y)n(X \times Y) = n(X) \times n(Y)।
  1. n(A×B)=4×6=24n(A \times B) = 4 \times 6 = 24।
  2. n(B×A)=6×4=24n(B \times A) = 6 \times 4 = 24।
  3. n(A×A)=4×4=16n(A \times A) = 4 \times 4 = 16।
  4. n(B×B)=6×6=36n(B \times B) = 6 \times 6 = 36।

যাচাই: n(A×B)=n(B×A)n(A \times B) = n(B \times A) ✓ (গুণ ক্রম মানে না)

উত্তরের মানে কী: সংখ্যা সমান, কিন্তু A×BA \times B আর B×AB \times A সেট হিসেবে আলাদা।

অঙ্ক ৫কঠিনসূত্র যাচাই

গুণজ আর ছেদ

A={1,2}A = \{1, 2\}, B={2,3}B = \{2, 3\} আর C={4}C = \{4\} নিয়ে দেখাও যে (A∩B)×C=(A×C)∩(B×C)(A \cap B) \times C = (A \times C) \cap (B \times C)।

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও
দেওয়া আছে
A={1,2}A = \{1, 2\}, B={2,3}B = \{2, 3\}, C={4}C = \{4\}
খুঁজতে হবে
দুই পাশ সমান কি না
কোন ধারণা কাজ করছে
দুই পাশ আলাদা করে লিখে মেলাই।
  1. বাম পাশ: A∩B={2}A \cap B = \{2\}। (A∩B)×C={(2,4)}(A \cap B) \times C = \{(2, 4)\}।
  2. ডান পাশ: A×C={(1,4),(2,4)}A \times C = \{(1, 4), (2, 4)\}, B×C={(2,4),(3,4)}B \times C = \{(2, 4), (3, 4)\}।
  3. তাদের ছেদ: {(2,4)}\{(2, 4)\}।
  4. দুই পাশ সমান ✓

যাচাই: দুই পাশেই একটাই জোড়া, (2,4)(2, 4) ✓

উত্তরের মানে কী: দ্বিতীয় পদ সবার একই (CC থেকে)। তাই প্রথম পদের ছেদই পুরো ছেদ ঠিক করে। এটা সব সেটের জন্যই সত্য।

অঙ্ক ৬কঠিনউল্টো করে

কত জোড়া, কোন সেট?

A×BA \times B তে ১২টি জোড়া আর n(A)=3n(A) = 3 হলে n(B)n(B) কত? A×BA \times B তে ঠিক ৭টি জোড়া হলে (n(A),n(B))(n(A), n(B)) কী কী হতে পারে?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও
দেওয়া আছে
n(A×B)=12n(A \times B) = 12 আর n(A)=3n(A) = 3; আরেকটায় n(A×B)=7n(A \times B) = 7
খুঁজতে হবে
n(B)n(B); আর সম্ভাব্য (n(A),n(B))(n(A), n(B))
কোন ধারণা কাজ করছে
n(A)×n(B)=n(A×B)n(A) \times n(B) = n(A \times B)। জোড়ার সংখ্যাকে দুটো স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল বানাই।
  1. 3×n(B)=123 \times n(B) = 12, তাই n(B)=4n(B) = 4।
  2. ৭ কে দুটো স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল বানাই: 1×71 \times 7 বা 7×17 \times 1। ৭ মৌলিক, তাই আর কোনো ভাগ নেই।
  3. (n(A),n(B))=(1,7)(n(A), n(B)) = (1, 7) বা (7,1)(7, 1)।

যাচাই: 3×4=123 \times 4 = 12 ✓, 1×7=7×1=71 \times 7 = 7 \times 1 = 7 ✓

উত্তরের মানে কী: গুণজের সংখ্যা মৌলিক হলে একটা সেটে মাত্র ১টা উপাদান।

অঙ্ক ৭কঠিনমিশ্র

গুণজ আর শর্ত

A={x∈N:x2<10}A = \{x \in N : x^2 < 10\} আর B={y∈Z:y2<2}B = \{y \in Z : y^2 < 2\} হলে A×BA \times B তে কয়টি জোড়া? তাদের মধ্যে কয়টিতে প্রথম পদ দ্বিতীয় পদের চেয়ে বড়?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও
দেওয়া আছে
A={x∈N:x2<10}A = \{x \in N : x^2 < 10\}, B={y∈Z:y2<2}B = \{y \in Z : y^2 < 2\}
খুঁজতে হবে
n(A×B)n(A \times B), আর x>yx > y এমন জোড়া
কোন ধারণা কাজ করছে
আগে সেট দুটো তালিকায় লিখি (পাঠ ১), তারপর গুণজ, তারপর শর্তটা দিয়ে ছাঁকি।
  1. AA: 12=11^2 = 1, 22=42^2 = 4, 32=93^2 = 9 সব ১০ এর কম, 42=164^2 = 16 নয়। A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\}।
  2. BB: y∈Zy \in Z আর y2<2y^2 < 2: y=0y = 0 (00), y=±1y = \pm 1 (11) চলে, y=±2y = \pm 2 (44) নয়। B={−1,0,1}B = \{-1, 0, 1\}।
  3. n(A×B)=3×3=9n(A \times B) = 3 \times 3 = 9।
  4. x>yx > y: x=1x = 1 এর সঙ্গে y=−1,0y = -1, 0 (২টি, কারণ 1>11 > 1 নয়), x=2x = 2 এর সঙ্গে ৩টি, x=3x = 3 এর সঙ্গে ৩টি। মোট 2+3+3=82 + 3 + 3 = 8।

যাচাই: x>yx > y নয় শুধু (1,1)(1, 1)। তাই 9 − 1 = 8 ✓

উত্তরের মানে কী: ৯টা জোড়ার ৮টিতে প্রথম পদ বড়। এই “শর্ত দিয়ে ছেঁকে নেওয়া” ধারণাই পরের পাঠের অন্বয়।

নিজে করো

A = {1, 2}, B = {3, 4, 5} হলে A × B এ জোড়া কয়টি?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) ৬। A তে ২টা, B তে ৩টা উপাদান, তাই 2 × 3 = 6টি জোড়া।

(x, 4) = (6, y) হলে x আর y কত?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) x = 6, y = 4। ক্রম মেনে মেলাতে হয়: x = 6 আর y = 4।

নিচের কোনটি সঠিক?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (গ) n(A × B) = n(A) × n(B)। উপাদানের সংখ্যা গুণ হয়। (1, 2) আর (2, 1) আলাদা। A × B আর B × A সাধারণত আলাদা। A × ∅ = ∅।

প্রশ্ন ১. A={p,q}A = \{p, q\}, B={1,2}B = \{1, 2\} হলে A×BA \times B আর B×AB \times A লেখো। তাদের কোনো সাধারণ জোড়া আছে কি?

ইঙ্গিত দেখো

AA আর BB তে কোনো সাধারণ উপাদান আছে কি? A×BA \times B এর প্রথম পদ কোথা থেকে?

উত্তর দেখো

A×B={(p,1),(p,2),(q,1),(q,2)}A \times B = \{(p, 1), (p, 2), (q, 1), (q, 2)\}। B×A={(1,p),(1,q),(2,p),(2,q)}B \times A = \{(1, p), (1, q), (2, p), (2, q)\}। কোনো সাধারণ জোড়া নেই, কারণ A×BA \times B এর প্রথম পদ অক্ষর, B×AB \times A এর প্রথম পদ সংখ্যা।

প্রশ্ন ২. (x+y,  8)=(10,  x−y)(x + y, \; 8) = (10, \; x - y) হলে xx আর yy নির্ণয় করো।

ইঙ্গিত দেখো

প্রথম পদ: x+y=10x + y = 10। দ্বিতীয় পদ: 8=x−y8 = x - y। দুটো সমীকরণ একসঙ্গে সমাধান করো।

উত্তর দেখো

x+y=10x + y = 10 আর x−y=8x - y = 8। যোগ করে 2x=182x = 18, x=9x = 9। তখন y=10−9=1y = 10 - 9 = 1। যাচাই: (9+1,8)=(10,8)(9 + 1, 8) = (10, 8) আর (10,9−1)=(10,8)(10, 9 - 1) = (10, 8) ✓

মনে রাখো

ক্রমজোড় (a,b)(a, b) তে ক্রম গুরুত্বপূর্ণ: (a,b)=(c,d)(a, b) = (c, d) হলে a=ca = c আর b=db = d। কার্তেসীয় গুণজ A×BA \times B হলো সব জোড়া (x,y)(x, y) যেখানে x∈Ax \in A, y∈By \in B। জোড়ার সংখ্যা n(A)×n(B)n(A) \times n(B)। A×BA \times B আর B×AB \times A তে সংখ্যা সমান কিন্তু জোড়া আলাদা। সাবধান: গুণ করো, যোগ নয়। সব জোড়া লেখো। ক্রম মেনে সমতা মেলাও। আর A×∅=∅A \times \varnothing = \varnothing।