পাঠ ৭গণিত

অন্বয়, ডোমেন ও রেঞ্জ

পাঠের সারাংশ

A × B এর সব জোড়া থেকে নিয়ম মেনে বাছা জোড়ার সেটই অন্বয়। তিরের মুখ দেখে ডোমেন আর রেঞ্জ বলে দাও।

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

দুই সেটের মধ্যে সম্পর্ক কীভাবে লিখব?

জেলার সঙ্গে বিভাগের একটা সম্পর্ক আছে: ঢাকা জেলা আছে ঢাকা বিভাগে, গাজীপুর জেলাও ঢাকা বিভাগে, কুমিল্লা জেলা চট্টগ্রাম বিভাগে। এই “আছে” সম্পর্কটা কিছু (জেলা, বিভাগ) জোড়ার সেট: $\{(\text{ঢাকা}, \text{ঢাকা বিভাগ}), (\text{গাজীপুর}, \text{ঢাকা বিভাগ}), (\text{কুমিল্লা}, \text{চট্টগ্রাম বিভাগ})\}$ ।

গত পাঠে আমরা সব সম্ভাব্য জোড়া নিয়ে $A \times B$ বানিয়েছি। কিন্তু সম্পর্কে সব জোড়া থাকে না, থাকে শুধু যেগুলো একটা নিয়ম মেনে চলে। যেমন ঢাকা জেলা আর চট্টগ্রাম বিভাগের জোড়াটা সম্পর্কে নেই। এই বাছাই করা জোড়ার সেটই অন্বয় (relation)।

নিজে দেখে বুঝো

নিজে বদলে দেখো

নিয়ম বাছো (প্রথম পদ x, দ্বিতীয় পদ y):

A = { 1, 2, 3, 4 }, B = { 2, 4, 6, 7 }, নিয়ম: y = 2x

R = { (1, 2), (2, 4), (3, 6) }

ডোমেন (প্রথম পদগুলো) = { 1, 2, 3 }

রেঞ্জ (দ্বিতীয় পদগুলো) = { 2, 4, 6 }

A এর 4 থেকে কোনো তির নেই, তাই ওরা ডোমেনে নেই। B এর 7 এ কোনো তির আসেনি, তাই ওরা রেঞ্জে নেই।

একটা নিয়ম বাছো। তির দেখাচ্ছে কোন x থেকে কোন y। যে x থেকে তির বেরোয় সে ডোমেনে, যে y এ তির পৌঁছায় সে রেঞ্জে।

বাঁ দিকে একটা ডিম্বাকৃতি A, ডান দিকে আরেকটা B। নিয়ম বাছলে যে x, y জোড়া নিয়মে মেলে তাদের মধ্যে তির আঁকা হয়। যে সংখ্যাগুলো থেকে তির বেরোয় বা যেখানে তির পৌঁছায় সেগুলো রঙিন। নিচে অন্বয় R এর তালিকা, ডোমেন আর রেঞ্জ লেখা।

নিজে চেষ্টা করো: $y = 2x$ বাছো। $A$ এর কোন সংখ্যার থেকে তির বেরোয়নি? $B$ এর কোন সংখ্যায় তির পৌঁছায়নি? তারপর $x < y$ বাছো। এখানে একটা $x$ থেকে কয়টা তির বেরোচ্ছে?

অন্বয়ের ডোমেন আর রেঞ্জ কীভাবে খুঁজে পাব

অন্বয়। $A \times B$ এর যেকোনো উপসেট $R$ কে বলে $A$ থেকে $B$ তে একটা অন্বয়: $R \subseteq A \times B$ । $(x, y) \in R$ হলে বলি ” $x$ সম্পর্কিত $y$ এর সঙ্গে”।
নিয়ম দিয়ে অন্বয়। সাধারণত একটা নিয়ম দেওয়া থাকে, যেমন $y = 2x$ বা $x < y$ । তখন $A \times B$ এর প্রতিটা জোড়া নিয়ে দেখি নিয়মে মেলে কি না। যেগুলো মেলে, সেগুলোই $R$ : $R = \{(x, y) : x \in A, \; y \in B \text{ এবং নিয়মটি সত্য}\}$ ।
তির-চিত্র। $A$ আর $B$ কে দুটো ডিম্বাকৃতি, আর প্রতিটা $(x, y) \in R$ এর জন্য $x$ থেকে $y$ তে একটা তির। ছবিতে অন্বয়টা এক নজরে দেখা যায়।
ডোমেন (domain)। $R$ এর সব জোড়ার প্রথম পদগুলোর সেট। মানে যে যে $x$ থেকে তির বেরোয়। রেঞ্জ ঠিক একইভাবে দ্বিতীয় পদগুলোর সেট, যে যে $y$ এ তির পৌঁছায়: $\text{Dom } R = \{x : (x, y) \in R\}$ আর $\text{Range } R = \{y : (x, y) \in R\}$ ।
ডোমেন আর রেঞ্জ ছোটও হতে পারে। $\text{Dom } R \subseteq A$ আর $\text{Range } R \subseteq B$ । $A$ বা $B$ এর যে উপাদানে কোনো তির লাগেনি, সে ডোমেন বা রেঞ্জে ঢোকে না।
কয়টা অন্বয় সম্ভব? $A \times B$ এ $mn$ টা জোড়া থাকলে প্রতিটা জোড়ার দুই পছন্দ (থাকবে, থাকবে না)। তাই $A$ থেকে $B$ তে মোট $2^{mn}$ টি অন্বয় বানানো যায়। (গত পাঠের সূত্রের একটা ব্যবহার: অন্বয় মানে $A \times B$ এর উপসেট।)

অন্বয়, ডোমেন ও রেঞ্জ নিয়ে ছয়টা পরিস্থিতি

চেনা জীবন

জেলা আর বিভাগ

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

$A = \{$ ঢাকা, গাজীপুর, কুমিল্লা, সিলেট $\}$ (জেলা), $B = \{$ ঢাকা বিভাগ, চট্টগ্রাম বিভাগ, সিলেট বিভাগ, খুলনা বিভাগ $\}$ । “জেলাটি বিভাগে অবস্থিত” অন্বয়টা তালিকায় লেখো। ডোমেন আর রেঞ্জ কী?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা: প্রতিটা জেলা জোড়া বাঁধবে সেই বিভাগের সঙ্গে, যেখানে সে আছে।

$R = \{($ ঢাকা, ঢাকা বিভাগ $)$ , $($ গাজীপুর, ঢাকা বিভাগ $)$ , $($ কুমিল্লা, চট্টগ্রাম বিভাগ $)$ , $($ সিলেট, সিলেট বিভাগ $)\}$ ।
ডোমেন: চারটা জেলাই (সবারই একটা করে তির আছে)।
রেঞ্জ: $\{$ ঢাকা বিভাগ, চট্টগ্রাম বিভাগ, সিলেট বিভাগ $\}$ । খুলনা বিভাগে কোনো তির পৌঁছায়নি, তাই সে রেঞ্জে নেই।

উত্তরের মানে কী: দুটো জেলা (ঢাকা, গাজীপুর) একই বিভাগে গেছে, তাই বিভাগের সংখ্যা জেলার সংখ্যার চেয়ে কম। রেঞ্জ $B$ এর ছোট উপসেট।

ছবি / গ্রাফ

তির দেখে ডোমেন, রেঞ্জ

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

উইজেটে $y = 2x$ ( $A = \{1, 2, 3, 4\}$ , $B = \{2, 4, 6, 7\}$ ) বাছো। $R$ , ডোমেন আর রেঞ্জ লেখো। $A$ এর কোনটার তির নেই? $B$ এর কোনগুলোতে তির পৌঁছায়নি?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা: যেখান থেকে তির বেরোয় সে ডোমেনে, যেখানে পৌঁছায় সে রেঞ্জে।

$R = \{(1, 2), (2, 4), (3, 6)\}$ ।
ডোমেন $= \{1, 2, 3\}$ । ৪ থেকে তির নেই, কারণ $2 \times 4 = 8$ , আর ৮ আছে $B$ তে নেই।
রেঞ্জ $= \{2, 4, 6\}$ । ৭ এ তির পৌঁছায়নি, কারণ ৭ কোনো $x$ এর দ্বিগুণ নয় ( $A$ থেকে)।

উত্তরের মানে কী: নিয়মটা ( $y = 2x$ ) পুরো $A$ আর পুরো $B$ জুড়ে কাজ করেনি। যেটুকু কাজ করল, সেটাই অন্বয়।

সংখ্যা

নিয়ম থেকে অন্বয়, ডোমেন, রেঞ্জ

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

দেওয়া আছে: $A = \{1, 2, 3, 4\}$ , $B = \{3, 4, 6\}$ আর নিয়ম $y = x + 2$
খুঁজতে হবে: অন্বয় $R$ তালিকায়। তার ডোমেন ও রেঞ্জ। আর $A \times B$ এর কয়টি জোড়া থেকে $R$ বাছা হলো?
কোন সূত্র কেন: $A \times B$ এর প্রতিটা জোড়া $(x, y)$ নিয়ে দেখি $y = x + 2$ কি না।

$A \times B$ তে জোড়া $4 \times 3 = 12$ টি।
$x = 1$ : $y = 3$ , আর $3 \in B$ ✓। $(1, 3)$ ।
$x = 2$ : $y = 4 \in B$ ✓। $(2, 4)$ ।
$x = 3$ : $y = 5$ , কিন্তু $5 \notin B$ । কোনো জোড়া নেই।
$x = 4$ : $y = 6 \in B$ ✓। $(4, 6)$ ।

$R = \{(1, 3), (2, 4), (4, 6)\}$ । ডোমেন $= \{1, 2, 4\}$ । রেঞ্জ $= \{3, 4, 6\}$ ।

যাচাই: $R \subseteq A \times B$ ✓। প্রতিটা জোড়ায় $y - x = 2$ : $3 - 1$ , $4 - 2$ , $6 - 4$ ✓

উত্তরের মানে কী: ১২টা জোড়ার মধ্যে মাত্র ৩টা নিয়মে মিলেছে। ৩ ডোমেনে নেই, কারণ তার জন্য দরকারি $y = 5$ আমাদের $B$ তে নেই। রেঞ্জে পুরো $B$ এসেছে।

উল্টো করে

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

একটা অন্বয় $R = \{(1, 1), (2, 4), (3, 9)\}$ । নিয়মটা কী? এর ডোমেন, রেঞ্জ কী? কোন $A$ আর $B$ নিলে $R \subseteq A \times B$ হয় (সবচেয়ে ছোট)?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা: জোড়াগুলো দেখে মিল খুঁজি: দ্বিতীয় পদ প্রথম পদের বর্গ।

$1^2 = 1$ , $2^2 = 4$ , $3^2 = 9$ । নিয়ম $y = x^2$ ।
ডোমেন $= \{1, 2, 3\}$ । রেঞ্জ $= \{1, 4, 9\}$ ।
সবচেয়ে ছোট $A$ হলো ডোমেন, সবচেয়ে ছোট $B$ হলো রেঞ্জ: $A = \{1, 2, 3\}$ , $B = \{1, 4, 9\}$ ।

যাচাই: $A \times B$ এর ৯টা জোড়ার মধ্যে $y = x^2$ মেলে ঠিক ৩টা ✓

উত্তরের মানে কী: অন্বয় থেকে উল্টো পথে নিয়ম, ডোমেন, রেঞ্জ সবই বের হয়।

ভুল ধরো

ভুলটা ধরো

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

তিনটা সমাধান। তিনটাই ভুল।

ক: $A = \{1, 2, 3, 4\}$ , $y = x + 1$ এর অন্বয়ের ডোমেন সবসময় $A$ ।

খ: $R = \{(2, 1), (3, 2)\}$ ( $y = x - 1$ ) এর রেঞ্জ $= \{2, 3\}$ ।

গ: $B = \{1, 2, 3, 4\}$ হলে রেঞ্জ সবসময় $B$ ।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ক এর ভুল: ডোমেন $A$ এর সেই অংশ, যাদের জন্য $y$ পাওয়া যায়। $B = \{1, 2, 3\}$ হলে $x = 3$ এর জন্য $y = 4 \notin B$ , তাই ৩ ডোমেনে নেই। ডোমেন $\subseteq A$ ।

খ এর ভুল: রেঞ্জ হলো দ্বিতীয় পদগুলো। জোড়া $(2, 1)$ , $(3, 2)$ এর দ্বিতীয় পদ ১ আর ২। রেঞ্জ $= \{1, 2\}$ । (ভুল সমাধানে প্রথম পদ ধরা হয়েছে, মানে ডোমেন।)

গ এর ভুল: রেঞ্জ $B$ এর উপসেট। যে উপাদানে কোনো তির পৌঁছায় না, সে রেঞ্জে নেই।

ঠিক নিয়ম: ডোমেন = প্রথম পদ, রেঞ্জ = দ্বিতীয় পদ। দুটোই $A$ আর $B$ এর ছোট অংশ হতে পারে।

পরীক্ষার ধরন

পরীক্ষার ধরনে

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

পরীক্ষায় এই ধারণা সাধারণত তিন চেহারায় আসে:

(ক) “শর্ত সাপেক্ষে অন্বয় নির্ণয় করো” ( $y = 2x$ , $x < y$ , $x = y - 1$ ইত্যাদি)।
(খ) “ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় করো।”
(গ) “অন্বয়টিকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করো”, প্রায়ই সেট গঠন পদ্ধতিতে দেওয়া থাকে।

দেওয়া আছে: $A = \{-1, 0, 1, 2\}$ , $B = \{0, 1, 2, 4\}$ এবং $R = \{(x, y) : x \in A, \; y \in B \text{ এবং } y = x^2\}$
খুঁজতে হবে: $R$ কে তালিকায় লেখো। ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় করো।
কোন সূত্র কেন: $A$ এর প্রতিটা $x$ নিয়ে $x^2$ বের করি, আর দেখি সেটা $B$ তে আছে কি না।

$x$	$y = x^2$	$y \in B$ ?	জোড়া
$-1$	$1$	হ্যাঁ	$(-1, 1)$
$0$	$0$	হ্যাঁ	$(0, 0)$
$1$	$1$	হ্যাঁ	$(1, 1)$
$2$	$4$	হ্যাঁ	$(2, 4)$

$R = \{(-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)\}$ ।

ডোমেন $= \{-1, 0, 1, 2\}$ (প্রথম পদ সবগুলো)। রেঞ্জ $= \{0, 1, 4\}$ (দ্বিতীয় পদ, ১ একবারই লেখা)।

যাচাই: $B$ এর ২ রেঞ্জে নেই, কারণ কোনো $x \in A$ এর বর্গ ২ নয় ✓

উত্তরের মানে কী: ডোমেন পুরো $A$ । রেঞ্জ $B$ এর চেয়ে ছোট (২ নেই)। $-1$ আর $1$ দুটোর বর্গই ১, তাই ১ রেঞ্জে একবার, কিন্তু দুটো তির তার দিকে।

একই ধারণা, নানা রকম অঙ্ক

অঙ্কগুলো সহজ থেকে ধীরে ধীরে কঠিন হয়েছে, আর সবগুলো একই পথে সমাধান করা। প্রতিটিতে আগে নিজে চেষ্টা করো। আটকে গেলে নিচের পাঁচটি ধাপ মিলিয়ে নাও, তারপর সমাধান দেখো।

আটকে গেলে এই পাঁচটি ধাপ

পড়ো: প্রশ্নটা দুবার পড়ো। নিজের ভাষায় বলো, কী ঘটছে?
লেখো: কী দেওয়া আছে, আর কী চাওয়া হয়েছে?
চেনো: কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে?
করো: ধাপে ধাপে, কিছু বাদ না দিয়ে।
মেলাও: উত্তরটা যুক্তিসঙ্গত কি না দেখো, আর উত্তরের মানে বলো।

অঙ্ক ১সহজগল্পের অঙ্ক

কে কোন খেলা পছন্দ করে

$R = \{($ রিমা, ক্রিকেট $)$ , $($ রিমা, ফুটবল $)$ , $($ সোহেল, ক্রিকেট $)\}$ একটা অন্বয় (“কে কোন খেলা পছন্দ করে”)। ডোমেন আর রেঞ্জ কী?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: উপরের অন্বয় $R$
খুঁজতে হবে: ডোমেন, রেঞ্জ
কোন ধারণা কাজ করছে: প্রথম পদগুলো ডোমেন, দ্বিতীয় পদগুলো রেঞ্জ। একই নাম একবারই লিখি।

প্রথম পদ: রিমা, রিমা, সোহেল। ডোমেন $= \{$ রিমা, সোহেল $\}$ ।
দ্বিতীয় পদ: ক্রিকেট, ফুটবল, ক্রিকেট। রেঞ্জ $= \{$ ক্রিকেট, ফুটবল $\}$ ।

যাচাই: জোড়া ৩টি, ডোমেনে ২ জন, রেঞ্জে ২টি খেলা ✓

উত্তরের মানে কী: রিমা দুটো খেলা পছন্দ করে, তাই রিমা থেকে দুটো তির। অন্বয়ে এটা চলে।

অঙ্ক ২সহজধারণা পরীক্ষা

অন্বয় কি না?

$A = \{1, 2, 3\}$ , $B = \{4, 5\}$ । কোনগুলো $A$ থেকে $B$ তে অন্বয়? (ক) $\{(1, 4), (3, 5)\}$ (খ) $\{(4, 1)\}$ (গ) $\{(2, 6)\}$ (ঘ) $\varnothing$

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $A = \{1, 2, 3\}$ , $B = \{4, 5\}$
খুঁজতে হবে: কোনগুলো অন্বয়
কোন ধারণা কাজ করছে: অন্বয় হতে হলে সেটটা $A \times B$ এর উপসেট হতে হবে: প্রথম পদ $A$ থেকে, দ্বিতীয় পদ $B$ থেকে।

(ক) $(1, 4)$ : $1 \in A$ , $4 \in B$ ✓। $(3, 5)$ ✓। অন্বয়।
(খ) $(4, 1)$ : প্রথম পদ ৪ $A$ তে নেই। অন্বয় নয়।
(গ) $(2, 6)$ : ৬ $B$ তে নেই। অন্বয় নয়।
(ঘ) $\varnothing$ প্রতিটা সেটের উপসেট, তাই $A \times B$ এরও। অন্বয় (“ফাঁকা অন্বয়”)।

যাচাই: $A \times B = \{(1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5)\}$ , এতে (ক), (ঘ) এর জোড়া আছে ✓

উত্তরের মানে কী: অন্বয় মানে $A \times B$ এর উপসেট, যেকোনো জোড়ার সেট নয়।

অঙ্ক ৩মাঝারিনিয়ম

দ্বিগুণের অন্বয়

$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ , $B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ আর নিয়ম $y = 2x$ হলে $R$ , ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় করো।

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $A = \{1, \ldots, 5\}$ , $B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ , $y = 2x$
খুঁজতে হবে: $R$ , ডোমেন, রেঞ্জ
কোন ধারণা কাজ করছে: প্রতিটা $x$ এর জন্য $2x$ বের করে দেখি $B$ তে আছে কি না।

$x = 1, 2, 3, 4, 5$ এর জন্য $y = 2, 4, 6, 8, 10$ , সবই $B$ তে আছে।
$R = \{(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)\}$ ।
ডোমেন $= \{1, 2, 3, 4, 5\} = A$ । রেঞ্জ $= \{2, 4, 6, 8, 10\} = B$ ।

যাচাই: ৫টি জোড়া, প্রতিটায় $y = 2x$ ✓

উত্তরের মানে কী: এবার সবকিছু মিলে গেছে: ডোমেন পুরো $A$ , রেঞ্জ পুরো $B$ । সবসময় এমন হয় না।

অঙ্ক ৪মাঝারিনিয়ম

বড়-ছোটের অন্বয়

$A = \{1, 2, 3, 4\}$ , $B = \{1, 2, 3\}$ আর নিয়ম $x > y$ । অন্বয় $R$ তালিকায় লেখো। ডোমেন আর রেঞ্জ কী?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $A = \{1, 2, 3, 4\}$ , $B = \{1, 2, 3\}$ , $x > y$
খুঁজতে হবে: $R$ , ডোমেন, রেঞ্জ
কোন ধারণা কাজ করছে: প্রতিটা $x$ এর জন্য $B$ এর যে $y$ গুলো $x$ এর চেয়ে ছোট, তাদের সঙ্গে জোড়া।

$x = 1$ : $B$ এ ১ এর চেয়ে ছোট কিছু নেই। কোনো জোড়া নেই।
$x = 2$ : $y = 1$ । $(2, 1)$ ।
$x = 3$ : $y = 1, 2$ । $(3, 1), (3, 2)$ ।
$x = 4$ : $y = 1, 2, 3$ । $(4, 1), (4, 2), (4, 3)$ ।

$R = \{(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)\}$ , ৬টি জোড়া। ডোমেন $= \{2, 3, 4\}$ । রেঞ্জ $= \{1, 2, 3\}$ ।

যাচাই: $A \times B$ তে ১২টি জোড়া, তার মধ্যে ৬টা $x > y$ ✓ ( $x = y$ বা $x < y$ বাকি ৬টি)

উত্তরের মানে কী: এখানে একটা $x$ থেকে একাধিক তির বেরোয় (৪ থেকে তিনটি)। পরের পাঠে দেখব, এমন অন্বয় ফাংশন নয়।

অঙ্ক ৫কঠিননিয়ম

বর্গের অন্বয়

$A = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ , $B = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ আর নিয়ম $y = x^2$ । $R$ , ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় করো। $B$ এর কোন কোন সংখ্যা রেঞ্জের বাইরে?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $A = \{-2, \ldots, 2\}$ , $B = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ , $y = x^2$
খুঁজতে হবে: $R$ , ডোমেন, রেঞ্জ, রেঞ্জের বাইরের $B$ এর সংখ্যা
কোন ধারণা কাজ করছে: প্রতিটা $x$ এর বর্গ বের করে $B$ তে আছে কি না দেখি।

$x = -2$ : $y = 4 \in B$ ✓। $x = -1$ : $y = 1$ ✓। $x = 0$ : $y = 0$ ✓। $x = 1$ : $y = 1$ ✓। $x = 2$ : $y = 4$ ✓।
$R = \{(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)\}$ ।
ডোমেন $= A$ । রেঞ্জ $= \{0, 1, 4\}$ ।
রেঞ্জের বাইরে $B$ এর ২ আর ৩।

যাচাই: ২ আর ৩ কোনো পূর্ণসংখ্যার বর্গ নয় ✓

উত্তরের মানে কী: দুটো আলাদা $x$ (−2 আর ২) একই $y$ (৪) এ পৌঁছেছে। এতে অন্বয়ের কোনো সমস্যা নেই, আর পরের পাঠে দেখব এটা ফাংশনেও চলে।

অঙ্ক ৬কঠিনউল্টো করে

সারণি থেকে নিয়ম

একটা সারণি: $x = 1, 2, 3, 4$ এর জন্য $y = 3, 5, 7, 9$ । অন্বয়টা তালিকায় লেখো। নিয়মটা কী? $x = 5$ হলে $y$ কত হবে?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $x$ : $1, 2, 3, 4$ আর $y$ : $3, 5, 7, 9$
খুঁজতে হবে: $R$ , নিয়ম, আর $x = 5$ এ $y$
কোন ধারণা কাজ করছে: $y$ গুলো পরপর কত করে বাড়ছে, আর $x = 0$ হলে কত হতো, সেটা দেখি।

$R = \{(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)\}$ ।
$y$ প্রতিবার ২ করে বাড়ে, তাই $y = 2x + \text{(কিছু)}$ । $x = 1$ এ $2 \times 1 = 2$ কিন্তু $y = 3$ । কিছু $= 1$ ।
নিয়ম: $y = 2x + 1$ । যাচাই: $x = 4$ এ $2 \times 4 + 1 = 9$ ✓
$x = 5$ এ $y = 2 \times 5 + 1 = 11$ ।

যাচাই: চারটা জোড়াতেই $y = 2x + 1$ খাটে ✓

উত্তরের মানে কী: সারণি থেকে নিয়ম বের করতে পারলে নতুন $x$ এর জন্য $y$ বলে দেওয়া যায়।

অঙ্ক ৭কঠিনগণনা

কয়টা অন্বয় হয়?

$A = \{1, 2\}$ , $B = \{3, 4\}$ হলে $A$ থেকে $B$ তে মোট কয়টি অন্বয় আছে? তাদের মধ্যে ঠিক ২টি জোড়াওয়ালা কয়টি? ফাঁকা অন্বয় কয়টি?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $A = \{1, 2\}$ , $B = \{3, 4\}$
খুঁজতে হবে: মোট অন্বয়, ঠিক ২ জোড়ার অন্বয়, ফাঁকা অন্বয়
কোন ধারণা কাজ করছে: অন্বয় মানে $A \times B$ এর উপসেট। উপসেট গোনার নিয়ম (পাঠ ২)।

$A \times B = \{(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)\}$ , ৪টি জোড়া।
অন্বয় = 4 উপাদানের সেটের উপসেট, মোট $2^4 = 16$ টি।
ঠিক ২ জোড়া: ৪ থেকে ২টি বাছার উপায় (পাঠ ২ এর সারি) $= 6$ ।
ফাঁকা অন্বয় $\varnothing$ : ১টি।

যাচাই: আকার অনুযায়ী $1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16$ ✓

উত্তরের মানে কী: ছোট দুটো সেটের মধ্যেই ১৬ রকম সম্পর্ক সম্ভব। অন্বয় আর উপসেট একই ধারণা।

নিজে করো

A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6} এবং নিয়ম y = 2x হলে ডোমেন কত?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) {1, 2, 3}। x = 1, ২, ৩ এর জন্য y = 2, ৪, ৬, সবই B তে আছে। কিন্তু x = 4 এর জন্য y = 8, যা B তে নেই। তাই ৪ ডোমেনে নেই। ডোমেন {১, ২, ৩}। আর {২, ৪, ৬} হলো রেঞ্জ।

R = {(1, 5), (2, 5), (3, 7)} এর রেঞ্জ কত?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) {5, 7}। দ্বিতীয় পদ ৫, ৫, ৭। সেটে ৫ একবার: {৫, ৭}। {১, ২, ৩} হলো ডোমেন।

A = {1, 2}, B = {3} হলে A থেকে B তে মোট কয়টি অন্বয় সম্ভব?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (গ) ৪। A × B = {(1, 3), (2, 3)}, ২টি জোড়া। উপসেট 2² = 4টি। এরা হলো ∅, {(1, 3)}, {(2, 3)}, আর পুরো A × B।

প্রশ্ন ১. $P = \{2, 3, 4\}$ , $Q = \{4, 6, 9\}$ আর নিয়ম $y = 2x$ হলে $R$ , ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় করো।

ইঙ্গিত দেখো

$x = 2, 3, 4$ এর জন্য $2x$ কত? সেটা $Q$ তে আছে কি?

উত্তর দেখো

$x = 2$ : $y = 4 \in Q$ ✓। $x = 3$ : $y = 6 \in Q$ ✓। $x = 4$ : $y = 8 \notin Q$ । $R = \{(2, 4), (3, 6)\}$ । ডোমেন $= \{2, 3\}$ । রেঞ্জ $= \{4, 6\}$ ।

প্রশ্ন ২. $A = \{1, 2, 3\}$ , $B = \{2, 3, 4\}$ আর নিয়ম $x < y$ । $R$ লেখো। কয়টি জোড়া? ডোমেন আর রেঞ্জ কী?

ইঙ্গিত দেখো

প্রতিটা $x$ এর জন্য $B$ এর যে $y$ গুলো তার চেয়ে বড় সেগুলো লেখো।

উত্তর দেখো

$x = 1$ : $y = 2, 3, 4$ । $x = 2$ : $y = 3, 4$ । $x = 3$ : $y = 4$ । $R = \{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)\}$ , ৬টি জোড়া। ডোমেন $= \{1, 2, 3\}$ । রেঞ্জ $= \{2, 3, 4\}$ ।

মনে রাখো

অন্বয় $R$ হলো $A \times B$ এর যেকোনো উপসেট, সাধারণত একটা নিয়ম মেনে বাছা জোড়ার সেট। ডোমেন = জোড়াগুলোর প্রথম পদের সেট (তির যেখান থেকে বেরোয়)। রেঞ্জ = দ্বিতীয় পদের সেট (তির যেখানে পৌঁছায়)। ডোমেন $\subseteq A$ , রেঞ্জ $\subseteq B$ । $A$ থেকে $B$ তে মোট $2^{mn}$ টি অন্বয়। সাবধান: ডোমেন মানে সবসময় পুরো $A$ নয়, আর রেঞ্জ ও $B$ এর ছোট অংশ হতে পারে।

অন্বয়, ডোমেন ও রেঞ্জ

MCQ ও সৃজনশীল শর্টকাট

উত্তর যাচাইয়ের কৌশল

এই পাঠের সূত্রপত্র

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবে

দুই সেটের মধ্যে সম্পর্ক কীভাবে লিখব?

অন্বয়ের ডোমেন আর রেঞ্জ কীভাবে খুঁজে পাব

অন্বয়, ডোমেন ও রেঞ্জ নিয়ে ছয়টা পরিস্থিতি

জেলা আর বিভাগ

তির দেখে ডোমেন, রেঞ্জ

নিয়ম থেকে অন্বয়, ডোমেন, রেঞ্জ

উল্টো করে

ভুলটা ধরো

পরীক্ষার ধরনে

একই ধারণা, নানা রকম অঙ্ক

কে কোন খেলা পছন্দ করে

অন্বয় কি না?

দ্বিগুণের অন্বয়

বড়-ছোটের অন্বয়

বর্গের অন্বয়

সারণি থেকে নিয়ম

কয়টা অন্বয় হয়?

নিজে করো

মনে রাখো