সেট ও ফাংশন

দ্রুত দেখে নাও — অঙ্ক করার সময় খোলা রাখতে পারো।

• সংযোগের উপাদান সংখ্যা

  $$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$$

  দুই সেটেই আছে এমনগুলো একবার বাদ দিতে হয়। ছেদ ফাঁকা হলে শেষ পদ ০।

• কোনোটাই নয়

  $$n\bigl((A\cup B)'\bigr)=n(U)-n(A\cup B)$$

  সার্বিক সেট থেকে সংযোগ বাদ দিলে বাইরের সংখ্যা।

• পূরক

  $$A'=U\setminus A$$

  সার্বিক সেটে আছে, কিন্তু A তে নেই।

• অন্তর

  $$A\setminus B=A\cap B'$$

  A তে আছে এবং B তে নেই।

• De Morgan

  $$(A\cup B)'=A'\cap B'$$$$(A\cap B)'=A'\cup B'$$

  সংযোগের পূরক হলো পূরকের ছেদ।

• শক্তি সেট

  $$n\bigl(P(A)\bigr)=2^{n(A)}$$

  উপসেটের সংখ্যা ২ এর ঘাত। প্রকৃত উপসেট আরও এক কম।

• কার্তেসীয় গুণজ

  $$n(A\times B)=n(A)\times n(B)$$

  জোড়ার সংখ্যা গুণ, যোগ নয়। ক্রম বদলালে সেট আলাদা।

• ফাংশন

  $f:A\to B$

  A এর প্রতিটি x এর ঠিক একটা f(x) আছে B তে।

• প্রকৃত উপসেট

  $2^{n(A)}-1$

  নিজেকে বাদ দিলে উপসেটের চেয়ে এক কম।

• নিশ্ছেদ সংযোগ

  $$A\cap B=\emptyset\Rightarrow n(A\cup B)=n(A)+n(B)$$

  ছেদ ফাঁকা হলে বাদ দেওয়ার কিছু থাকে না।

• পূরকের সংখ্যা

  $$n(A')=n(U)-n(A)$$

  A আর A′ মিলে U, আর এদের মিল নেই।

• ক্রমজোড়

  $$(a,b)=(c,d)\Rightarrow a=c$$$$b=d$$

  প্রথম পদ প্রথম পদের সঙ্গে, দ্বিতীয় পদ দ্বিতীয় পদের সঙ্গে।

প্রতিটি অঙ্কে তিন লাইন: প্রশ্ন, তারপর শর্টকাটটা প্রশ্নের ঠিক কোন জায়গায় লাগছে, তারপর উত্তর।

1. ১

   ভেনচিত্রে ভেতর থেকে

   আগে ছেদ বসাও, তারপর শুধু A আর শুধু B, শেষে বাইরে। বাইরে থেকে গুনলে দ্বিগুণ হয়।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      $n(U)=20$, $n(A)=12$, $n(B)=10$, ছেদ $4$। কোনোটাই নয়, কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ছেদ $4$। শর্টকাট: আগে ছেদ ৪। শুধু A $=12-4=8$, শুধু B $=10-4=6$। বাইরে $20-(8+4+6)=2$।

      উত্তর

      $2$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      ছেদ ৩, শুধু A ৫, শুধু B ৪। $n(A)$ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ছেদ ৩ আর শুধু A ৫। শর্টকাট: ভেতর থেকে $n(A)=$ শুধু A + ছেদ $=5+3$।

      উত্তর

      $8$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      ছেদ ৪, $n(A)=6$, $n(B)=5$। সংযোগ কি $11$?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ছেদ ৪। শর্টকাট: বাইরে থেকে যোগ করলে ছেদ দুবার। ভেতর থেকে $6+5-4=7$।

      উত্তর

      $7$

2. ২

   ছোট সেটে পরীক্ষা

   সূত্র সন্দেহ হলে $$A=\{1\}$$, $B=\{1,2\}$ দিয়ে দুই দিকের উপাদান গুনে দেখো।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      $U=\{1,2,3\}$, $$A=\{1\}$$, $B=\{1,2\}$। $(A\cup B)'$ আর $A'\cap B'$ সমান কি?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ছোট সেট $$A=\{1\}$$, $B=\{1,2\}$। শর্টকাট: সংযোগ $\{1,2\}$, পূরক $\{3\}$। $A'=\{2,3\}$, $B'=\{3\}$, ছেদ $\{3\}$।

      উত্তর

      সমান, $\{3\}$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      $$A=\{1\}$$, $B=\{1,2\}$। $n(A\cup B)$ সূত্রে কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ছোট সেট $$A=\{1\}$$, $B=\{1,2\}$। শর্টকাট: সংযোগ $\{1,2\}$, সংখ্যা ২। সূত্র $1+2-1=2$।

      উত্তর

      $2$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      $$A=\{1\}$$, $B=\{1,2\}$। $A\setminus B$ এ কয়টা উপাদান?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে $$A=\{1\}$$, $B$ তেও $1$ আছে। শর্টকাট: A তে আছে, B তে নেই, এমন কিছু নেই। $1-1=0$।

      উত্তর

      $0$

3. ৩

   ফাংশন নয় কখন

   একই x থেকে দুই তির বেরোলে, বা এক x এর দুই y হলে, সেটা ফাংশন নয়। অপশন কেটে দাও।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      $\{(1,2),(1,3)\}$ কি ফাংশন?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে $x=1$ দুইবার, $y$ হলো $2$ আর $3$। শর্টকাট: একই $x$ থেকে দুই $y$। ফাংশন নয়।

      উত্তর

      নয়

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      $\{(1,4),(2,4)\}$ কি ফাংশন?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে প্রতি $x$ এর একটাই $y$, $1$ এ $4$ আর $2$ এ $4$। শর্টকাট: একই $y$ দুবার চলবে। ফাংশন।

      উত্তর

      হ্যাঁ

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      $\{(2,3),(2,5),(3,5)\}$ কি ফাংশন?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে $x=2$ দুইবার, $y$ হলো $3$ আর $5$। শর্টকাট: একই $x$ এর দুই $y$। ফাংশন নয়।

      উত্তর

      নয়

4. ৪

   পূরকের আগে U

   U না জানলে পূরক লেখা যায় না। প্রশ্নের প্রসঙ্গ থেকে সার্বিক সেট আগে ঠিক করো।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      $U=\{1,2,3,4\}$, $A=\{1,3\}$। $A'$ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে $U=\{1,2,3,4\}$ আগে দেওয়া। শর্টকাট: U তে আছে, A তে নেই, তাই $2$ আর $4$।

      উত্তর

      $\{2,4\}$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      শুধু $$A=\{a\}$$ দেওয়া। $A'$ লেখা যায়?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে $U$ নেই, শুধু $$A=\{a\}$$। শর্টকাট: U জানা নেই। পূরক লেখা যায় না।

      উত্তর

      না

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      $n(U)=10$, $n(A)=7$। $n(A')$ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে $n(U)=10$ জানা। শর্টকাট: $10-7=3$।

      উত্তর

      $3$

5. ৫

   ∈ আর ⊆ আলাদা

   এক জিনিস দলে থাকলে ∈। এক দল আরেক দলের ভেতরে থাকলে ⊆।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      $2\in\{1,2\}$ সত্য কি?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে $2$ একটা জিনিস, দল $\{1,2\}$ এর ভেতরে। শর্টকাট: জিনিস দলে থাকলে $\in$। সত্য।

      উত্তর

      সত্য

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      $\{2\}\subseteq\{1,2\}$ সত্য কি?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে $\{2\}$ একটা দল, $\{1,2\}$ আরেক দল। শর্টকাট: দল দলের ভেতরে থাকলে $\subseteq$। সত্য।

      উত্তর

      সত্য

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      $2\subseteq\{1,2\}$ সত্য কি?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে $2$ জিনিস, দল নয়। শর্টকাট: $\subseteq$ দলের জন্য। খাটে না, মিথ্যা।

      উত্তর

      মিথ্যা

6. ৬

   সৃজনশীলের ক অংশ

   ক অংশে সংজ্ঞা এক লাইনে, সঙ্গে একটা ছোট উদাহরণ। খ এ ভেনচিত্রের হিসাব।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      সৃজনশীলের ক অংশে ছেদ কী? ছোট উদাহরণ $\{1,2\}\cap\{2,3\}$।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ক অংশে ছেদ। শর্টকাট: এক লাইন, দুই সেটেই যা আছে। উদাহরণ $\{1,2\}\cap\{2,3\}$।

      উত্তর

      $\{2\}$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      সৃজনশীলের খ অংশে $n(A)=8$, $n(B)=5$, ছেদ $2$। সংযোগ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে খ অংশে ভেনচিত্রের হিসাব। শর্টকাট: $8+5-2=11$।

      উত্তর

      $11$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      সৃজনশীলের ক অংশে পূরক কী? $U=\{1,2,3\}$, $$A=\{1\}$$ দিয়ে দেখাও।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ক অংশে পূরক, আর $U=\{1,2,3\}$। শর্টকাট: এক লাইন, U তে আছে, A তে নেই। উদাহরণ $A'$।

      উত্তর

      $\{2,3\}$

প্রতিটি অঙ্কে আগে একটা লেখা উত্তর, তারপর যাচাইটা সেই উত্তরের ঠিক কোন জায়গায় লাগছে।

1. ১

   চার অংশ মেলানো

   শুধু A, ছেদ, শুধু B আর বাইরে যোগ করে n(U) এর সমান কি না দেখো।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, শুধু A ৬, ছেদ ৩, শুধু B ৪, বাইরে ৭, আর $n(U)=20$। যোগ করে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: চার অংশের যোগ $n(U)$ এর সমান কি না। $6+3+4+7=20$। মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, $20$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, অংশ ৫, ২, ৪, ৩ এর $n(U)=15$। যোগ করে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: চার অংশের যোগ। $5+2+4+3=14$, ১৫ নয়। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, $14$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, অংশ ৪, ২, ৩, ১ এর সংযোগ $9$। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: সংযোগের তিন অংশ। সংযোগ = শুধু A + ছেদ + শুধু B $=4+2+3=9$। মোট $10$। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      সংযোগ $9$

2. ২

   ঋণাত্মক অংশ

   কোনো অঞ্চল ঋণাত্মক হলে ছেদ বড় ধরা হয়েছে। উপাদান সংখ্যা ঋণাত্মক হয় না।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, $n(A)=6$, ছেদ ৮ হলে শুধু A বের হয়। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: শুধু A এর বিয়োগ। $6-8=-2$। উপাদান ঋণাত্মক হয় না। ছেদ বড়, তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, $n(A)=9$, ছেদ ৪ হলে শুধু A $=5$। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: শুধু A। $9-4=5$, ধনাত্মক। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, $5$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, $n(U)=10$, সংযোগ ১২ হলে বাইরে বের হয়। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: বাইরের অংশ। $10-12=-2$। বাইরে ঋণাত্মক। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল

3. ৩

   ফাঁকা সেট

   ছেদ ফাঁকা হলে সূত্রে শেষ পদ ০ বসিয়ে আবার গুনো।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, $n(A)=4$, $n(B)=6$, ছেদ ফাঁকা, সংযোগ $10$। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: ফাঁকা ছেদের শেষ পদ। ফাঁকা মানে শেষ পদ ০। $4+6-0=10$। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      $10$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, ছেদ ফাঁকা তবু সংযোগ $5+3-5$। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: শেষ পদ। ফাঁকা হলে শেষ পদ ০। $5+3-5$ এ ৫ বাদ যায়নি। আসল $5+3=8$। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, $8$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, ছেদ ফাঁকা, $n(A)=n(B)=2$, সংযোগ ৪। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: সংযোগের শেষ পদ। $2+2-0=4$। মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, $4$

4. ৪

   জোড়ার ক্রম

   (a, b) আর (b, a) এক নয়, যদি a ≠ b। উত্তরের জোড়া উল্টে গেলে ভুল।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $(2,5)$ আর $(5,2)$ এক উপাদান। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: জোড়ার ক্রম। $2\neq 5$, ক্রম উল্টো। তাই লেখাটা ভুল, এক নয়।

      উত্তর

      এক নয়

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $(3,3)$ দুবার লিখলে দুই উপাদান। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দুই পদ সমান কি না। দুই পদ সমান, ক্রম বদলালেও একই জোড়া। এক উপাদান। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      এক

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, $$A=\{1\}$$, $$B=\{2\}$$ থেকে জোড়া $(2,1)$। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: জোড়ার প্রথম পদ। প্রথম পদ A থেকে। $(2,1)$ উল্টো। আসল $(1,2)$। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, $(1,2)$

5. ৫

   ফাংশনে মান বসানো

   f(a) বের করে নিয়মে x এর জায়গায় a বসাও। ঋণাত্মক মান বন্ধনীতে।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, $$f(x)=2x+1$$ হলে $f(3)=7$। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: $f(3)$ এ $x$ এর জায়গা। $x$ এর জায়গায় ৩। $$2\times 3+1=7$$। মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      $7$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, $$f(x)=x^2$$ হলে $$f(-2)=-4$$। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: ঋণাত্মক মানের বর্গ। ঋণাত্মক মান বন্ধনীতে। $$(-2)^2=4$$, $-4$ নয়। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, $4$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, $$f(x)=3x-4$$ হলে $f(2)=2$। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: $f(2)$ এ $x$ এর জায়গা। $$3\times 2-4=2$$। মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      $2$