পাঠ ২গণিত

উপসেট ও শক্তি সেট

পাঠের সারাংশ

প্রতিটা উপাদানের দুই পছন্দ: থাকবে, না থাকবে। তাই n উপাদানের সেটের উপসেট ঠিক 2ⁿ টি।

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

একটা সেটের ভেতরে কতগুলো ছোট সেট থাকে?

একটা পিৎজায় তিন রকম টপিং: মাশরুম, পেঁয়াজ, চিজ। তুমি যেকোনোটা নিতে পারো, সবগুলো নিতে পারো, আবার কিছুই না নিয়ে সাদা পিৎজাও খেতে পারো। মোট কয় রকম পিৎজা বানানো যায়?

তুমি যে টপিংগুলোর দল নিয়েছ, সেটা মূল তিন টপিংয়ের সেটের একটা উপসেট (subset)। এই পাঠের প্রশ্ন: একটা সেটের মোট কয়টা উপসেট থাকে? উত্তরটা সুন্দর একটা নিয়মে মেলে, আর গুনে শেষ করতে হয় না।

কোনো সেট $B$ এর প্রতিটা উপাদান যদি সেট $A$ তেও থাকে, তাহলে $B$ কে $A$ এর উপসেট বলে। লিখি $B \subseteq A$ ।

নিজে দেখে বুঝো

নিজে বদলে দেখো

কোন সেট নেবে?

A = { a, b, c }। প্রতিটা উপাদান চাপো: থাকবে (রঙিন), না থাকবে?

তোমার উপসেট:

∅

কোনো উপাদান নেই, তাই এটা ফাঁকা সেট ∅। ফাঁকা সেট প্রতিটা সেটের উপসেট।

জমা করা: 0 / 8

উপাদান চেপে উপসেট বানাও, 'জমা করো' চাপো। সবগুলো উপসেট জমা হয়ে গেলে নিয়মটা নিজে থেকে বেরিয়ে আসবে।

একটা সেট থেকে উপাদান চাপলে সেটা উপসেটে ঢোকে বা বেরোয়। বর্তমান উপসেট বড় করে লেখা থাকে, সঙ্গে লেখা সেটা ফাঁকা, প্রকৃত না মূল সেট নিজে। জমা করা উপসেটের সংখ্যা একটা বারে দেখায়। একটা টেবিলে প্রতিটা উপসেটের ০ এবং ১ কোড থাকে, ১ মানে উপাদানটা আছে।

নিজে চেষ্টা করো: তিন উপাদানের সেট নাও। সবগুলো উপসেট জমা করো। কয়টা হলো? তারপর দুই উপাদানের সেট নিয়ে দেখো। কত হলো? চার উপাদানের সেটে কত হবে বলে মনে হয়?

কেন ঠিক 2ⁿ টি উপসেট

একটা উপসেট বানাতে মূল সেটের প্রতিটা উপাদানকে একটা প্রশ্ন করি: “তুমি থাকবে, না থাকবে?” মাত্র দুটো উত্তর: হ্যাঁ বা না।
দুই উপাদানের $\{a, b\}$ : $a$ এর দুই পছন্দ, $b$ এর দুই পছন্দ। মোট $2 \times 2 = 4$ উপসেট: $\varnothing$ , $\{a\}$ , $\{b\}$ , $\{a, b\}$ ।
তিন উপাদানের $\{a, b, c\}$ : প্রতিটার দুই পছন্দ, তাই $2 \times 2 \times 2 = 8$ । আগের চারটার প্রতিটার সঙ্গে ” $c$ থাকবে” বা ” $c$ থাকবে না” যোগ হয়ে সংখ্যা দ্বিগুণ হলো।
$n$ উপাদানের সেটে $n$ বার ২ গুণ: $2 \times 2 \times \cdots \times 2 = 2^n$ । এটাই উপসেটের সংখ্যা।

বিশেষ দুটো উপসেট সবসময় আছে: কোনো উপাদান না রাখলে ফাঁকা সেট $\varnothing$ (প্রতিটা সেটের উপসেট), আর সবগুলো রাখলে সেট নিজে।

প্রকৃত উপসেট (proper subset): যে উপসেট মূল সেটের সমান নয়। মূল সেট নিজে বাদ দিলে বাকি $2^n - 1$ টি প্রকৃত উপসেট। লিখি $B \subset A$ । দুটো সেটের উপাদান একই হলে সেট দুটো সমান: $B \subseteq A$ আর $A \subseteq B$ দুটোই সত্যি হলে $A = B$ ।

শক্তি সেট (power set): কোনো সেট $A$ এর সব উপসেট নিয়ে যে সেট, তাকে $A$ এর শক্তি সেট বলে, লিখি $P(A)$ । এর উপাদান হলো উপসেটগুলো। তাই $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা $2^n$ ।

উপসেট ও শক্তি সেট নিয়ে ছয়টা পরিস্থিতি

চেনা জীবন

পিৎজার টপিং

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

মাশরুম, পেঁয়াজ, চিজ: এই তিন টপিংয়ের যেকোনো সংখ্যক (কিছু না নিলেও) নিয়ে মোট কয় রকম পিৎজা হয়?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা: প্রতিটা টপিংয়ের দুই পছন্দ: দেবে, না দেবে।

মোট $2 \times 2 \times 2 = 8$ রকম। তালিকা: কিছুই না (সাদা পিৎজা), শুধু মাশরুম, শুধু পেঁয়াজ, শুধু চিজ, মাশরুম-পেঁয়াজ, মাশরুম-চিজ, পেঁয়াজ-চিজ, তিনটাই।

উত্তরের মানে কী: টপিংয়ের সেটের ৮টা উপসেট, প্রতিটা এক রকম পিৎজা। সাদা পিৎজাটা ফাঁকা সেট $\varnothing$ ।

ছবি / গ্রাফ

উইজেটে সব উপসেট ধরো

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

উইজেটে তিন উপাদান নাও। সবগুলো উপসেট জমা করো। ঠিক দুই উপাদানের উপসেট কয়টা? প্রকৃত উপসেট কয়টা?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা: টেবিলের কোডে ১ গুনলে উপসেটের আকার পাওয়া যায়।

০ উপাদান: ১টি ( $\varnothing$ )। ১ উপাদান: ৩টি। ২ উপাদান: ৩টি ( $\{a,b\}$ , $\{a,c\}$ , $\{b,c\}$ )। ৩ উপাদান: ১টি (সেট নিজে)।
মোট $1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^3$ ✓।
সেট নিজে ছাড়া বাকি $8 - 1 = 7$ টি প্রকৃত উপসেট।

উত্তরের মানে কী: আকার অনুযায়ী সংখ্যাগুলো $1, 3, 3, 1$ আসে, যোগ করলে ঠিক ২ ঘাত ৩।

সংখ্যা

সংখ্যার সেট থেকে সব উপসেট

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

দেওয়া আছে: $A = \{2, 5, 7\}$
খুঁজতে হবে: সব উপসেট, প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা, আর $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা
কোন সূত্র কেন: প্রতিটা উপাদানের দুই পছন্দ। আকার অনুযায়ী সাজালে ভুল হয় না।

০ উপাদান: $\varnothing$
১ উপাদান: $\{2\}$ , $\{5\}$ , $\{7\}$
২ উপাদান: $\{2, 5\}$ , $\{2, 7\}$ , $\{5, 7\}$
৩ উপাদান: $\{2, 5, 7\}$

মোট উপসেট $1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^3$ । প্রকৃত উপসেট $8 - 1 = 7$ । $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা ৮।

যাচাই: $2^3 = 8$ ✓। প্রতিটা উপসেটের উপাদান $A$ তে আছে, যেমন $\{5, 7\}$ এর ৫ আর ৭ দুটোই $A$ এর ✓।

উত্তরের মানে কী: $P(A) = \{\varnothing, \{2\}, \{5\}, \{7\}, \{2,5\}, \{2,7\}, \{5,7\}, \{2,5,7\}\}$ । এর প্রতিটা উপাদান নিজেই একটা সেট।

উল্টো করে

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

(ক) একটা সেটের শক্তি সেটে ৬৪টি উপাদান। মূল সেটে কয়টি উপাদান?

(খ) একটা সেটের ঠিক ৩১টি প্রকৃত উপসেট। মূল সেটের উপাদান কয়টি?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা (ক): শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা $2^n$ । $2^n = 64$ । ২ এর ঘাত: $2, 4, 8, 16, 32, 64$ , ষষ্ঠ। তাই $n = 6$ ।

ধারণা (খ): প্রকৃত উপসেট $2^n - 1 = 31$ , তাই $2^n = 32$ , যা $2^5$ । $n = 5$ ।

যাচাই: $2^6 = 64$ ✓, $2^5 - 1 = 31$ ✓

উত্তরের মানে কী: উপসেটের সংখ্যা থেকে উল্টো করে উপাদান সংখ্যা বের হয়, শুধু ২ এর ঘাত চিনতে হয়।

ভুল ধরো

ভুলটা ধরো

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

$A = \{1, 2, 3\}$ নিয়ে তিনটা দাবি:

ক: $\{2\} \in A$ ।

খ: $A = \{1, 2\}$ এর উপসেট তিনটি: $\{1\}$ , $\{2\}$ , $\{1, 2\}$ ।

গ: $\{1, 2\} \subset \{1, 2\}$ (প্রকৃত উপসেট)।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ক এর ভুল: $\{2\}$ একটা সেট, উপাদান নয়। $A$ এর উপাদান ১, ২, ৩। ঠিক: $2 \in A$ আর $\{2\} \subseteq A$ ।

খ এর ভুল: ফাঁকা সেট বাদ পড়েছে। $\{1, 2\}$ এর উপসেট চারটি: $\varnothing$ , $\{1\}$ , $\{2\}$ , $\{1, 2\}$ । যাচাই: $2^2 = 4$ ✓।

গ এর ভুল: $\{1, 2\}$ নিজের সমান, তাই নিজের প্রকৃত উপসেট হতে পারে না। ঠিক: $\{1, 2\} \subseteq \{1, 2\}$ (উপসেট, কিন্তু প্রকৃত নয়)।

ঠিক নিয়ম: উপাদান হলে $\in$ , দল হলে $\subseteq$ । উপসেট গুনতে ফাঁকা সেট আর সেট নিজে ধরতে ভুলো না। প্রকৃত উপসেটে সেট নিজে বাদ।

পরীক্ষার ধরন

পরীক্ষার ধরনে

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

পরীক্ষায় এই ধারণা সাধারণত তিন চেহারায় আসে:

(ক) “সেটটির সব উপসেট লেখো” বা “প্রকৃত উপসেটগুলো লেখো।”
(খ) “শক্তি সেট $P(A)$ নির্ণয় করো” আর “এর উপাদান সংখ্যা কত?”
(গ) বহুনির্বাচনি: $A \cup B$ বা $A \cap B$ এর উপাদান সংখ্যা দিয়ে শক্তি সেটের সংখ্যা বের করা।

দেওয়া আছে: $A = \{p, q, r\}$
খুঁজতে হবে: $P(A)$ লেখো। প্রকৃত উপসেট কয়টা? $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা $2^n$ সূত্রের সঙ্গে মেলাও।
কোন সূত্র কেন: আকার অনুযায়ী: ০, ১, ২, ৩ উপাদানের উপসেট আলাদা করে লিখি।

$\varnothing$
$\{p\}, \{q\}, \{r\}$
$\{p, q\}, \{p, r\}, \{q, r\}$
$\{p, q, r\}$

$P(A) = \{\varnothing, \{p\}, \{q\}, \{r\}, \{p,q\}, \{p,r\}, \{q,r\}, \{p,q,r\}\}$ । এর উপাদান সংখ্যা ৮।

প্রকৃত উপসেট: $A$ নিজে বাদ, তাই ৭টি।

সূত্র: $A$ এর উপাদান সংখ্যা ৩, তাই $2^3 = 8$ ✓।

যাচাই: $1 + 3 + 3 + 1 = 8$ ✓

উত্তরের মানে কী: সূত্র আর হাতে লিখে গোনা দুটোতেই ৮। পরীক্ষায় তালিকা চাইলে লিখতে হবে, শুধু সংখ্যা চাইলে $2^n$ যথেষ্ট।

একই ধারণা, নানা রকম অঙ্ক

অঙ্কগুলো সহজ থেকে ধীরে ধীরে কঠিন হয়েছে, আর সবগুলো একই পথে সমাধান করা। প্রতিটিতে আগে নিজে চেষ্টা করো। আটকে গেলে নিচের পাঁচটি ধাপ মিলিয়ে নাও, তারপর সমাধান দেখো।

আটকে গেলে এই পাঁচটি ধাপ

পড়ো: প্রশ্নটা দুবার পড়ো। নিজের ভাষায় বলো, কী ঘটছে?
লেখো: কী দেওয়া আছে, আর কী চাওয়া হয়েছে?
চেনো: কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে?
করো: ধাপে ধাপে, কিছু বাদ না দিয়ে।
মেলাও: উত্তরটা যুক্তিসঙ্গত কি না দেখো, আর উত্তরের মানে বলো।

অঙ্ক ১সহজগল্পের অঙ্ক

আইসক্রিমের টপিং

আইসক্রিমের ওপর ৪ রকম টপিং: চকলেট, বাদাম, চেরি, কাজু। যেকোনো সংখ্যক নেওয়া যায়, কিছু না নিলেও চলে। মোট কয়ভাবে? অন্তত একটা টপিং নিলে কয়ভাবে?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: ৪টি টপিং
খুঁজতে হবে: মোট ভাবে, আর অন্তত একটা নিলে
কোন ধারণা কাজ করছে: প্রতিটা টপিংয়ের দুই পছন্দ। অন্তত একটা মানে ফাঁকা সেট বাদ।

মোট $2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4 = 16$ ভাবে।
কিছুই না নেওয়া একটা ভাব ( $\varnothing$ )। অন্তত একটা নিলে $16 - 1 = 15$ ভাবে।

যাচাই: আকার অনুযায়ী $1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16$ ✓

উত্তরের মানে কী: টপিং একটা বাড়লে ভাবের সংখ্যা দ্বিগুণ হয় (৮ থেকে ১৬)।

অঙ্ক ২সহজসংখ্যা

তিন উপাদানের সব উপসেট

$B = \{1, 2, 3\}$ এর সব উপসেট লেখো।

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $B = \{1, 2, 3\}$
খুঁজতে হবে: সব উপসেট
কোন ধারণা কাজ করছে: আকার অনুযায়ী, ০ থেকে ৩ উপাদান।

০ উপাদান: $\varnothing$
১ উপাদান: $\{1\}, \{2\}, \{3\}$
২ উপাদান: $\{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}$
৩ উপাদান: $\{1, 2, 3\}$

মোট ৮টি।

যাচাই: $2^3 = 8$ ✓

উত্তরের মানে কী: আকার অনুযায়ী সাজালে কোনো উপসেট বাদ পড়ে না।

অঙ্ক ৩মাঝারিসংখ্যা

পাঁচ উপাদানের সেট

$A$ সেটে ৫টি উপাদান। $A$ এর উপসেট, প্রকৃত উপসেট আর $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা কত?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $n(A) = 5$
খুঁজতে হবে: উপসেট, প্রকৃত উপসেট, $n(P(A))$
কোন ধারণা কাজ করছে: উপসেট $2^n$ , প্রকৃত উপসেট $2^n - 1$ , শক্তি সেটের উপাদান $2^n$ ।

উপসেট: $2^5 = 32$
প্রকৃত উপসেট: $32 - 1 = 31$
$P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা: $32$

যাচাই: $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$ ✓

উত্তরের মানে কী: উপসেট আর শক্তি সেটের উপাদান একই সংখ্যা, কারণ শক্তি সেট মানেই সব উপসেটের সেট।

অঙ্ক ৪মাঝারিধারণা পরীক্ষা

সত্য না মিথ্যা?

$A = \{1, 2, 3\}$ । কোনগুলো সত্য? (ক) $2 \in A$ (খ) $\{2\} \subseteq A$ (গ) $\{2\} \in A$ (ঘ) $\varnothing \subseteq A$ (ঙ) $\{1, 2, 3\} \subset A$ (চ) $\{1, 2\} \subset A$

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $A = \{1, 2, 3\}$
খুঁজতে হবে: প্রতিটা সত্য না মিথ্যা
কোন ধারণা কাজ করছে: $\in$ উপাদানের জন্য, $\subseteq$ ও $\subset$ সেটের জন্য। $\subset$ প্রকৃত মানে নিজে বাদ।

(ক) ২ হলো $A$ এর উপাদান। সত্য।
(খ) $\{2\}$ এর একমাত্র উপাদান ২, যা $A$ তে আছে। সত্য।
(গ) $\{2\}$ একটা সেট, $A$ এর উপাদান নয় ( $A$ এর উপাদান ১, ২, ৩)। মিথ্যা।
(ঘ) ফাঁকা সেট প্রতিটা সেটের উপসেট। সত্য।
(ঙ) $\{1, 2, 3\} = A$ , সমান। প্রকৃত উপসেট নয়। মিথ্যা।
(চ) $\{1, 2\}$ এর উপাদান ১, ২ দুটোই $A$ তে আছে, আর $\{1,2\} \ne A$ ( $3$ নেই)। সত্য।

যাচাই: সত্য: ক, খ, ঘ, চ। মিথ্যা: গ, ঙ।

উত্তরের মানে কী: চিহ্ন দেখে প্রথমে ঠিক করো ডান পাশের জিনিসটা উপাদান না সেট।

অঙ্ক ৫কঠিনউল্টো করে

উপসেটের সংখ্যা থেকে উপাদান

(ক) একটা সেটের শক্তি সেটে ১২৮টি উপাদান। মূল সেটে কয়টি? (খ) একটা সেটের উপসেট মাত্র ১টি। সেটটা কী?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $n(P(A)) = 128$ ; আরেকটা সেটের উপসেট ১টি
খুঁজতে হবে: উপাদান সংখ্যা, আর সেটটা
কোন ধারণা কাজ করছে: $2^n$ সূত্র উল্টো করে।

(ক) $2^n = 128$ । ২ এর ঘাত: $2, 4, 8, 16, 32, 64, 128$ , সপ্তম। $n = 7$ ।
(খ) $2^n = 1$ হলে $n = 0$ , মানে কোনো উপাদান নেই। সেটটা $\varnothing$ । এর একমাত্র উপসেট $\varnothing$ নিজে।

যাচাই: $2^7 = 128$ ✓, $2^0 = 1$ ✓

উত্তরের মানে কী: ফাঁকা সেটের শক্তি সেট $P(\varnothing) = \{\varnothing\}$ , যাতে একটা উপাদান ( $\varnothing$ ) আছে।

অঙ্ক ৬কঠিনগণনা

ঠিক দুটি উপাদান

$C = \{a, b, c, d\}$ । ঠিক দুটি উপাদানের উপসেট কয়টা? সেগুলো লেখো। আর যেসব উপসেটে $a$ আছে, তারা কয়টা?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $C = \{a, b, c, d\}$
খুঁজতে হবে: ঠিক ২ উপাদানের উপসেট, আর $a$ আছে এমন উপসেট
কোন ধারণা কাজ করছে: জোড়া বাছি: প্রথম উপাদান ধরে ধরে। আর $a$ আছে এমন উপসেটে বাকি তিন উপাদানের পছন্দ আগের মতোই দুই-দুই।

$a$ দিয়ে: $\{a,b\}$ , $\{a,c\}$ , $\{a,d\}$ । $b$ দিয়ে ( $a$ আগে গেছে): $\{b,c\}$ , $\{b,d\}$ । $c$ দিয়ে: $\{c,d\}$ । মোট ৬টি।
$a$ আছে এমন উপসেটে $a$ এর পছন্দ ঠিক করা (থাকবে)। বাকি $b, c, d$ এর প্রতিটার দুই পছন্দ: $2 \times 2 \times 2 = 8$ টি।

যাচাই: আকার অনুযায়ী $1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16$ , আর $a$ ছাড়া উপসেটও $8$ টি, মোট $8 + 8 = 16$ ✓

উত্তরের মানে কী: অর্ধেক উপসেটে $a$ আছে, অর্ধেকে নেই। প্রতিটা উপাদানের বেলায় এটা সত্য।

অঙ্ক ৭কঠিনচ্যালেঞ্জ

শক্তি সেটের শক্তি সেট

$P(\varnothing)$ এর উপাদান কয়টা? তার শক্তি সেট $P(P(\varnothing))$ এর উপাদান কয়টা? লিখেও দেখাও।

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $\varnothing$
খুঁজতে হবে: $n(P(\varnothing))$ আর $n(P(P(\varnothing)))$
কোন ধারণা কাজ করছে: প্রতি ধাপে শক্তি সেট নিই, উপাদান সংখ্যায় $2^n$ প্রয়োগ।

$\varnothing$ এর উপাদান ০টি। তাই $P(\varnothing)$ এর উপাদান $2^0 = 1$ টি: $P(\varnothing) = \{\varnothing\}$ ।
$\{\varnothing\}$ এর উপাদান ১টি। তার শক্তি সেটের উপাদান $2^1 = 2$ টি: $P(\{\varnothing\}) = \{\varnothing, \{\varnothing\}\}$ ।
এর পরের শক্তি সেটে $2^2 = 4$ টি উপাদান।

যাচাই: $\{\varnothing\}$ এর উপসেট দুটি: কিছু না ( $\varnothing$ ) আর সব ( $\{\varnothing\}$ ) ✓

উত্তরের মানে কী: উপাদান সংখ্যা এভাবে বাড়ে: $0 \to 1 \to 2 \to 4 \to 16 \to \ldots$ । প্রতিবার $2$ এর ঘাত নেওয়া।

নিজে করো

৪ উপাদানবিশিষ্ট সেটের উপসেট কয়টি?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (গ) ১৬। 2 × 2 × 2 × 2 = 16। (৪ উপাদানের ১৬টি, ৩ উপাদানের ৮টি, ২ উপাদানের ৪টি।)

{1, 2, 3} এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) ৭। মোট উপসেট 2³ = 8। সেট নিজে প্রকৃত উপসেট নয়, তাই 8 − 1 = 7।

নিচের কোনটি সত্য? (A = {1, 2, 3})

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (গ) {1} ⊆ A। {1} একটা সেট, আর এর একমাত্র উপাদান ১, যা A তে আছে। তাই {1} ⊆ A সত্য। বাকিগুলোতে চিহ্ন আর জিনিসটা মিলছে না।

প্রশ্ন ১. $A = \{x, y\}$ হলে $P(A)$ লেখো। $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা কত? $P(A)$ এর কয়টা প্রকৃত উপসেট আছে?

ইঙ্গিত দেখো

আগে $A$ এর উপসেটগুলো আকার অনুযায়ী লেখো। $P(A)$ হলো তাদের সেট। $P(A)$ এর উপাদান কয়টা, তার থেকে $P(A)$ এর প্রকৃত উপসেট কয়টা, বের করো: $m$ উপাদানের সেটের প্রকৃত উপসেট $2^m - 1$ ।

উত্তর দেখো

$P(A) = \{\varnothing, \{x\}, \{y\}, \{x, y\}\}$ । উপাদান সংখ্যা ৪। $P(A)$ নিজের ৪ উপাদান, তাই তার প্রকৃত উপসেট $2^4 - 1 = 15$ টি।

প্রশ্ন ২. $A = \{1, 2\}$ , $B = \{1, 2, 3\}$ আর $C = \{2, 1\}$ হলে নিচেরগুলো সত্য না মিথ্যা, কারণসহ বলো: (ক) $A \subseteq B$ (খ) $A \subset B$ (গ) $A = C$ (ঘ) $B \subseteq A$

ইঙ্গিত দেখো

সেটের ক্রম বদলালে সেট বদলায় না। আর উপসেট বলতে প্রতিটা উপাদান অন্য সেটে আছে কি না দেখো।

উত্তর দেখো

(ক) সত্য: ১ আর ২ দুটোই $B$ তে আছে। (খ) সত্য: $A \subseteq B$ , আর $B$ তে ৩ আছে যা $A$ তে নেই, তাই $A \ne B$ । (গ) সত্য: দুটোরই উপাদান ১ আর ২, ক্রম বদলালে সেট বদলায় না। (ঘ) মিথ্যা: ৩ আছে $B$ তে, কিন্তু $A$ তে নেই।

মনে রাখো

উপসেট: $B \subseteq A$ মানে $B$ এর প্রতিটা উপাদান $A$ তে আছে। প্রকৃত উপসেট $B \subset A$ মানে উপসেট, কিন্তু $A$ এর সমান নয়। প্রতিটা উপাদানের দুই পছন্দ (থাকবে, থাকবে না), তাই $n$ উপাদানের সেটের উপসেট $2^n$ টি, আর প্রকৃত উপসেট $2^n - 1$ টি। সব উপসেটের সেট শক্তি সেট $P(A)$ । সাবধান: ফাঁকা সেট প্রতিটা সেটের উপসেট, উপাদানের জন্য $\in$ আর সেটের জন্য $\subseteq$ , আর সেট নিজে প্রকৃত উপসেট নয়।

উপসেট ও শক্তি সেট

MCQ ও সৃজনশীল শর্টকাট

উত্তর যাচাইয়ের কৌশল

এই পাঠের সূত্রপত্র

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবে

একটা সেটের ভেতরে কতগুলো ছোট সেট থাকে?

কেন ঠিক 2ⁿ টি উপসেট

উপসেট ও শক্তি সেট নিয়ে ছয়টা পরিস্থিতি

পিৎজার টপিং

উইজেটে সব উপসেট ধরো

সংখ্যার সেট থেকে সব উপসেট

উল্টো করে

ভুলটা ধরো

পরীক্ষার ধরনে

একই ধারণা, নানা রকম অঙ্ক

আইসক্রিমের টপিং

তিন উপাদানের সব উপসেট

পাঁচ উপাদানের সেট

সত্য না মিথ্যা?

উপসেটের সংখ্যা থেকে উপাদান

ঠিক দুটি উপাদান

শক্তি সেটের শক্তি সেট

নিজে করো

মনে রাখো