পাঠ ৩গণিত

সংযোগ, ছেদ ও নিশ্ছেদ সেট

পাঠের সারাংশ

দুই দল মেলালে সংযোগ (বা), দুই দলে একসঙ্গে থাকলে ছেদ (এবং)। ভেনচিত্রে দেখে নাও, তারপর নানা অঙ্কে চিনে নাও।

আগে পড়ে নাওউপসেট ও শক্তি সেট

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

দুই দল মিলিয়ে গুনলে কেউ কি দুবার গোনা পড়ে?

ক্লাসে একটা ক্রিকেট ক্লাব আর একটা ফুটবল ক্লাব আছে। দুই ক্লাবের সদস্যের তালিকা তোমার হাতে। তিনটা প্রশ্ন সবসময় ওঠে:

কারা অন্তত একটা ক্লাবে আছে? (দুই তালিকা মিলিয়ে একটা তালিকা)
কারা দুটোতেই আছে? (দুই তালিকার মিল)
এমন কেউ আছে কি, যে দুটোতেই? (না থাকলে ক্লাব দুটো একেবারে আলাদা)

সেটের ভাষায় এই তিনটার নাম: সংযোগ, ছেদ, আর নিশ্ছেদ।

নিজে দেখে বুঝো

নিজে বদলে দেখো

একটা উদাহরণ নাও (পরে নিচের সংখ্যা চেপে নিজের মতো বদলাতে পারো):

কোনটা দেখবে?

A = { 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 4, 5, 6, 7 }

সংযোগ সেট (A বা B)

A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }

উপাদান 7টি

সংখ্যা চাপলে সেটা পরের ঘরে যায় (কোনোটায় না, শুধু A, দুটোতেই, শুধু B):

একটা উদাহরণ বাছো, ∪ বা ∩ চাপো। রঙিন অংশটাই উত্তর। নিচের সংখ্যা চেপে নিজেই A আর B বদলাও।

একটা আয়তক্ষেত্র, ভেতরে দুটো বৃত্ত A আর B যারা কিছুটা একটার ওপর আরেকটা পড়েছে। প্রতিটা সংখ্যা তার জায়গায় লেখা: শুধু A এর অংশে, দুই বৃত্তের মিলনস্থলে, শুধু B এর অংশে, অথবা দুটোর বাইরে আয়তক্ষেত্রের ভেতরে। যে ক্রিয়াটা বাছা হয়েছে তার অংশটা রঙিন। নিচে সেই সেটের তালিকা লেখা।

নিজে চেষ্টা করো: প্রথম উদাহরণে $A \cup B$ আর $A \cap B$ দুটোই দেখো। তারপর দ্বিতীয় উদাহরণ (জোড় আর বিজোড়) নাও: $A \cap B$ কী হলো?

সংযোগ মানে সবাই, ছেদ মানে দুই দলেই যারা আছে

সংযোগ সেট $A \cup B$ (A union B): $A$ অথবা $B$ (বা দুটোতেই) যে উপাদান আছে, সব নিয়ে সেট। দুই তালিকা পাশাপাশি রেখে মিলিয়ে ফেলা। সেট গঠনে: $A \cup B = \{x : x \in A \text{ অথবা } x \in B\}$ ।
ছেদ সেট $A \cap B$ (A intersection B): $A$ এবং $B$ দুটোতেই যে উপাদান আছে, শুধু সেগুলো। সেট গঠনে: $A \cap B = \{x : x \in A \text{ এবং } x \in B\}$ ।
নিশ্ছেদ সেট (disjoint sets): যদি $A \cap B = \varnothing$ হয়, মানে দুটোতে একসঙ্গে কোনো উপাদান নেই, তাহলে $A$ আর $B$ নিশ্ছেদ। যেমন জোড় সংখ্যার সেট আর বিজোড় সংখ্যার সেট।
দুটো নিয়ম মনে রাখার উপায়: $\cup$ চিহ্নটা পেয়ালার মতো, সব ধরে নেয় (যা কিছু আছে সব)। $\cap$ চিহ্নটা টুপির মতো, শুধু যেটুকু দুজনেরই ঢাকা পড়ে। আর “বা” = সংযোগ, “এবং” = ছেদ।
ভেনচিত্রে: আয়তক্ষেত্র $U$ হলো আলোচনার সব জিনিস (সার্বিক সেট, পরের পাঠে বিস্তারিত)। বৃত্ত $A$ আর $B$ । দুই বৃত্তের মিলনস্থল হলো ছেদ, দুই বৃত্ত মিলিয়ে পুরো অংশ হলো সংযোগ।

কয়েকটা কথা সবসময় সত্য, ছবি দেখলেই বোঝা যায়: $A \cap B \subseteq A \subseteq A \cup B$ । আর সংযোগে প্রতিটা উপাদান একবারই লেখা হয়।

সংযোগ, ছেদ ও নিশ্ছেদ সেট নিয়ে ছয়টা পরিস্থিতি

চেনা জীবন

দুই ক্লাবের সদস্য

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

ক্রিকেট ক্লাবে আছে $\{$ রাকিব, সুমন, ইমন, তানিয়া $\}$ । ফুটবল ক্লাবে আছে $\{$ সুমন, তানিয়া, নাজমা $\}$ । কারা অন্তত একটাতে আছে? কারা দুটোতেই?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা: “অন্তত একটা” মানে “বা” (সংযোগ)। “দুটোতেই” মানে “এবং” (ছেদ)।

সংযোগ: সব নাম একবার করে: $\{$ রাকিব, সুমন, ইমন, তানিয়া, নাজমা $\}$ । মোট ৫ জন।
ছেদ: দুই তালিকাতেই আছে: $\{$ সুমন, তানিয়া $\}$ । মোট ২ জন।

উত্তরের মানে কী: দুই ক্লাব মিলিয়ে ৫ জন আলাদা শিক্ষার্থী। যদিও ক্রিকেটে ৪ আর ফুটবলে ৩ মোট ৭, কিন্তু সুমন আর তানিয়া দুবার গোনা হয়েছিল। সংযোগে তারা একবারই আসে।

ছবি / গ্রাফ

ছবিতে নিজেই বদলাও

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

উইজেটে প্রথম উদাহরণ ( $A = \{1,2,3,4,5\}$ , $B = \{4,5,6,7\}$ ) নাও। $\cup$ আর $\cap$ দেখো। তারপর ৬ চাপতে থাকো, যতক্ষণ না তার নিচে “দুটোতেই” লেখা আসে। $\cap$ কী হলো? এবার ৪ চাপো, যতক্ষণ না “শুধু B” আসে। $\cup$ কি বদলাল?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা: একটা উপাদান কোন অংশে বসে, সেটাই ঠিক করে কোন সেটে সে আছে।

আগে: $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ , $A \cap B = \{4, 5\}$ ।
৬ কে “দুটোতেই” আনলে ৬ এখন $A$ তেও আছে। তখন $A \cap B = \{4, 5, 6\}$ ।
এরপর ৪ কে “শুধু B” করলে ৪ আর $A$ তে নেই। তখন $A \cap B = \{5, 6\}$ । কিন্তু $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ আগের মতোই থাকে, কারণ ৪ এখনও $B$ তে আছে।

উত্তরের মানে কী: একটা উপাদান এক সেট থেকে সরালে ছেদ ছোট হতে পারে, কিন্তু অন্য সেটে থাকলে সংযোগে সে থেকেই যায়।

সংখ্যা

সংখ্যার সেটে সংযোগ আর ছেদ

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

দেওয়া আছে: $P = \{x \in N : 2 < x \le 8\}$ আর $Q = \{x \in N : x \text{ জোড় এবং } x \le 12\}$
খুঁজতে হবে: $P \cup Q$ আর $P \cap Q$
কোন সূত্র কেন: আগে দুটোকে তালিকায় লিখি। তারপর সংযোগে সব (একবার করে), ছেদে শুধু মিল।

$P$ : ২ এর চেয়ে বড়, ৮ পর্যন্ত: $\{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ ।
$Q$ : জোড় সংখ্যা ১২ পর্যন্ত: $\{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$ ।
সংযোগ: দুই তালিকা মিলিয়ে, ক্রমে সাজিয়ে: $P \cup Q = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12\}$ ।
ছেদ: যেগুলো দুটোতেই: $P \cap Q = \{4, 6, 8\}$ ।

যাচাই: উপাদান সংখ্যা: $P$ এ ৬, $Q$ তে ৬, ছেদে ৩, সংযোগে ৯। আর $6 + 6 - 3 = 9$ ✓

উত্তরের মানে কী: সংযোগের সংখ্যা দুই সেটের সংখ্যার যোগফলের চেয়ে ছেদের সংখ্যা পরিমাণ কম (যা দুবার গোনা হয়েছিল)। এই হিসাবটা একটা পাঠ পরে কাজে লাগবে।

উল্টো করে

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ , $A \cap B = \{3, 4\}$ আর $A = \{1, 2, 3, 4\}$ । $B$ কী?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা: $B$ কে বানাতে হবে এমনভাবে যাতে সংযোগ আর ছেদ দুটোই ঠিক হয়।

ছেদ $\{3, 4\}$ , তাই ৩ আর ৪ $B$ তে আছে।
সংযোগে ৫ আর ৬ আছে, কিন্তু $A$ তে নেই। তাই এরা $B$ তে আছে।
১ আর ২ $A$ তে আছে। যদি $B$ তেও থাকত, ছেদে ঢুকত। ছেদে নেই, তাই $B$ তে ১, ২ নেই।
$B = \{3, 4, 5, 6\}$ ।

যাচাই: $A \cup B = \{1,2,3,4,5,6\}$ ✓, $A \cap B = \{3,4\}$ ✓

উত্তরের মানে কী: সংযোগ আর ছেদ দুটো জানা থাকলে একটা সেট দিয়ে অন্যটা বের করা যায়।

ভুল ধরো

ভুলটা ধরো

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

তিনটা সমাধান। তিনটাই ভুল।

ক: $A = \{1, 2, 3\}$ , $B = \{3, 4\}$ । $A \cup B = \{1, 2, 3, 3, 4\}$ ।

খ: $A \cap B$ মানে $A$ আর $B$ এর সব উপাদান একসঙ্গে।

গ: $A = \{1, 3\}$ , $B = \{2, 4\}$ হলে $A \cap B = \{0\}$ ।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ক এর ভুল: ৩ একবার লিখতে হবে। ঠিক: $\{1, 2, 3, 4\}$ । সেটে উপাদান পুনরাবৃত্ত হয় না।

খ এর ভুল: “সব একসঙ্গে” হলো সংযোগ ( $\cup$ )। ছেদ ( $\cap$ ) মানে শুধু যেগুলো দুটোতেই আছে।

গ এর ভুল: $A$ আর $B$ তে কোনো মিল নেই, তাই ছেদে কোনো উপাদান নেই। $\{0\}$ এ একটা উপাদান (০) আছে, কিন্তু ০ দুটোর কোনোটাতেই নেই। ঠিক: $A \cap B = \varnothing$ , আর $A$ , $B$ নিশ্ছেদ।

ঠিক নিয়ম: সংযোগে সব, কিন্তু একবার করে। ছেদে শুধু মিল। মিল না থাকলে $\varnothing$ ।

পরীক্ষার ধরন

পরীক্ষার ধরনে

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

পরীক্ষায় এই ধারণা সাধারণত চার চেহারায় আসে:

(ক) তালিকায় দেওয়া দুটি সেটের $A \cup B$ আর $A \cap B$ নির্ণয়।
(খ) সেট গঠন পদ্ধতিতে দেওয়া সেটের সংযোগ বা ছেদ।
(গ) দুটি সেট নিশ্ছেদ কি না বলা।
(ঘ) “যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা দুটি সংখ্যাকে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে একই অবশিষ্ট থাকে, তাদের সেট।” নিচে (ঘ) এর নমুনা।

দেওয়া আছে: $128$ আর $173$
খুঁজতে হবে: যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ৩ অবশিষ্ট থাকে, তাদের সেট।
কোন সূত্র কেন: ভাগ করে ৩ বাকি মানে সংখ্যাটা দিয়ে $128 - 3$ আর $173 - 3$ ভাগ যায়। আর ভাজক বাকির চেয়ে বড় হতে হয়। তাই দুই সেটের ছেদ নিই।

$128 - 3 = 125$ আর $173 - 3 = 170$ ।
১২৫ এর উৎপাদক: $\{1, 5, 25, 125\}$ । এর মধ্যে ৩ এর চেয়ে বড়: $A = \{5, 25, 125\}$ ।
১৭০ এর উৎপাদক: $\{1, 2, 5, 10, 17, 34, 85, 170\}$ । ৩ এর চেয়ে বড়: $B = \{5, 10, 17, 34, 85, 170\}$ ।
ছেদ: $A \cap B = \{5\}$ ।

যাচাই: $128 = 5 \times 25 + 3$ ✓ আর $173 = 5 \times 34 + 3$ ✓

উত্তরের মানে কী: একমাত্র ৫ দিয়ে ভাগ করলে দুটোতেই ৩ বাকি থাকে। ভাজক ১ বা ২ হলে ৩ বাকি থাকতেই পারত না, কারণ বাকি সবসময় ভাজকের চেয়ে ছোট।

একই ধারণা, নানা রকম অঙ্ক

অঙ্কগুলো সহজ থেকে ধীরে ধীরে কঠিন হয়েছে, আর সবগুলো একই পথে সমাধান করা। প্রতিটিতে আগে নিজে চেষ্টা করো। আটকে গেলে নিচের পাঁচটি ধাপ মিলিয়ে নাও, তারপর সমাধান দেখো।

আটকে গেলে এই পাঁচটি ধাপ

পড়ো: প্রশ্নটা দুবার পড়ো। নিজের ভাষায় বলো, কী ঘটছে?
লেখো: কী দেওয়া আছে, আর কী চাওয়া হয়েছে?
চেনো: কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে?
করো: ধাপে ধাপে, কিছু বাদ না দিয়ে।
মেলাও: উত্তরটা যুক্তিসঙ্গত কি না দেখো, আর উত্তরের মানে বলো।

অঙ্ক ১সহজগল্পের অঙ্ক

দুই ঝুড়ির ফল

রহিমের ঝুড়িতে $\{$ আম, কলা, লিচু $\}$ , করিমের ঝুড়িতে $\{$ কলা, পেয়ারা, লিচু, জাম $\}$ । দুজন মিলে মোট কত রকম ফল আছে? দুজনের কাছেই আছে কোনগুলো?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: রহিমের ফল ৩ রকম, করিমের ৪ রকম
খুঁজতে হবে: মোট রকম (সংযোগ), আর দুজনেরই আছে (ছেদ)
কোন ধারণা কাজ করছে: 'মোট আলাদা রকম' মানে সংযোগ, 'দুজনেরই' মানে ছেদ।

সংযোগ: $\{$ আম, কলা, লিচু, পেয়ারা, জাম $\}$ । ৫ রকম।
ছেদ: $\{$ কলা, লিচু $\}$ । ২ রকম।

যাচাই: $3 + 4 - 2 = 5$ ✓

উত্তরের মানে কী: ৭টা ফল গুনলে দুবার গোনা হতো। কলা আর লিচু দুজনেরই, তাই আলাদা রকম ৫টি।

অঙ্ক ২সহজসংখ্যা

সংখ্যার সংযোগ ও ছেদ

$A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ আর $B = \{3, 6, 9\}$ হলে $A \cup B$ আর $A \cap B$ নির্ণয় করো।

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ , $B = \{3, 6, 9\}$
খুঁজতে হবে: $A \cup B$ , $A \cap B$
কোন ধারণা কাজ করছে: সংযোগে সব একবার করে, ছেদে শুধু মিল।

সংযোগ: $A$ এর পাঁচটা, আর $B$ থেকে যেগুলো নতুন (৬)। $A \cup B = \{1, 3, 5, 6, 7, 9\}$ ।
ছেদ: ৩ আর ৯ দুটোতেই। $A \cap B = \{3, 9\}$ ।

যাচাই: $5 + 3 - 2 = 6$ ✓

উত্তরের মানে কী: ছেদ সবসময় সংযোগের উপসেট: $\{3, 9\} \subseteq \{1, 3, 5, 6, 7, 9\}$ ।

অঙ্ক ৩মাঝারিসেট গঠন পদ্ধতি

গুণিতকের ছেদ

$A = \{x \in N : x \text{ হলো } 4 \text{ এর গুণিতক এবং } x \le 40\}$ আর $B = \{x \in N : x \text{ হলো } 6 \text{ এর গুণিতক এবং } x \le 40\}$ । $A \cap B$ কী? $A \cup B$ তে কয়টি উপাদান?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: ৪ এর আর ৬ এর গুণিতক, ৪০ পর্যন্ত
খুঁজতে হবে: $A \cap B$ আর $n(A \cup B)$
কোন ধারণা কাজ করছে: তালিকা লিখি। দুই সংখ্যার সাধারণ গুণিতকই ছেদ।

$A = \{4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40\}$ , ১০টি।
$B = \{6, 12, 18, 24, 30, 36\}$ , ৬টি।
ছেদ: $A \cap B = \{12, 24, 36\}$ , ৩টি।
সংযোগের উপাদান সংখ্যা $= 10 + 6 - 3 = 13$ ।

যাচাই: $12$ হলো ৪ আর ৬ এর ল.সা.গু., আর ছেদের প্রতিটা উপাদান ১২ এর গুণিতক ✓

উত্তরের মানে কী: দুই সংখ্যার গুণিতকের সেটের ছেদ হলো তাদের ল.সা.গু. এর গুণিতকের সেট।

অঙ্ক ৪মাঝারিধারণা পরীক্ষা

কোন জোড়া নিশ্ছেদ?

নিচের কোন জোড়া নিশ্ছেদ? (ক) জোড় আর বিজোড় ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (খ) ৩ এর গুণিতক আর ৫ এর গুণিতক ( $N$ এ) (গ) $\{x \in N : x < 5\}$ আর $\{x \in N : x > 5\}$ (ঘ) মৌলিক সংখ্যা আর ৪ এর গুণিতক ( $N$ এ)

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: চারটি জোড়া
খুঁজতে হবে: কোনগুলোর ছেদ ফাঁকা
কোন ধারণা কাজ করছে: একটা সংখ্যা দুটোতেই পড়ে কি না খুঁজি। পেলে নিশ্ছেদ নয়।

(ক) কোনো সংখ্যা একসঙ্গে জোড় ও বিজোড় নয়। নিশ্ছেদ।
(খ) ১৫ হলো ৩ এর আর ৫ এর গুণিতক। ছেদে ১৫ আছে (আর ৩০, ৪৫ …)। নিশ্ছেদ নয়।
(গ) প্রথম সেট $\{1, 2, 3, 4\}$ , দ্বিতীয় $\{6, 7, 8, \ldots\}$ । ৫ কোনোটাতেই নেই, আর কোনো মিলও নেই। নিশ্ছেদ।
(ঘ) ৪ এর গুণিতক ৪, ৮, ১২ … সবই যৌগিক (২ দিয়ে ভাগ যায়, নিজে ২ এর চেয়ে বড়)। মৌলিক নয়। নিশ্ছেদ।

যাচাই: (খ) এ $15 = 3 \times 5$ , দুটো গুণিতক সেটেই আছে ✓

উত্তরের মানে কী: নিশ্ছেদ: ক, গ, ঘ। শুধু (খ) নয়। একটাই মিল পেলেই নিশ্ছেদ নয় বলে দেওয়া যায়।

অঙ্ক ৫কঠিনসংখ্যা

তিনটি সেট

$A = \{1, 2, 3, 4\}$ , $B = \{3, 4, 5, 6\}$ , $C = \{4, 6, 7\}$ হলে $A \cup B \cup C$ , $A \cap B$ , $B \cap C$ আর $A \cap B \cap C$ নির্ণয় করো।

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: তিনটি সেট $A$ , $B$ , $C$
খুঁজতে হবে: সংযোগ ও কয়েকটি ছেদ
কোন ধারণা কাজ করছে: দুটি দুটি করে এগোই। তিন সেটের ছেদ হলো তিনটিতেই যা আছে।

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ । এর সঙ্গে $C$ : নতুন শুধু ৭। $A \cup B \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ ।
$A \cap B = \{3, 4\}$ ।
$B \cap C = \{4, 6\}$ ।
$A \cap B \cap C$ : $\{3, 4\}$ এর মধ্যে যা $C$ তে আছে: ৪। $= \{4\}$ ।

যাচাই: ৪ আছে $A$ , $B$ , $C$ তিনটিতেই ✓। ৩ নেই $C$ তে, ৬ নেই $A$ তে ✓

উত্তরের মানে কী: তিন সেটের ছেদ হলো দুই সেটের ছেদের ছেদ। একটার পর একটা ছাঁকনি।

অঙ্ক ৬কঠিনমিশ্র (সমীকরণ)

সমীকরণের সমাধান সেটের সংযোগ ও ছেদ

$A = \{x : x^2 - 5x + 6 = 0\}$ আর $B = \{x \in Z : x^2 - 4 = 0\}$ হলে $A \cup B$ আর $A \cap B$ নির্ণয় করো।

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $x^2 - 5x + 6 = 0$ আর $x^2 - 4 = 0$ ( $x \in Z$ )
খুঁজতে হবে: $A \cup B$ , $A \cap B$
কোন ধারণা কাজ করছে: আগে দুই সমীকরণ সমাধান করে সেট দুটো তালিকায় লিখি।

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0$ , তাই $A = \{2, 3\}$ ।
$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) = 0$ , তাই $B = \{-2, 2\}$ ।
সংযোগ: $A \cup B = \{-2, 2, 3\}$ । ছেদ: $A \cap B = \{2\}$ ।

যাচাই: ২ বসালে দুই সমীকরণেই সত্য: $4 - 10 + 6 = 0$ ✓, $4 - 4 = 0$ ✓

উত্তরের মানে কী: ছেদের উপাদান ২ হলো দুই সমীকরণেরই সাধারণ সমাধান।

অঙ্ক ৭কঠিনগণনা

উপাদান সংখ্যা থেকে সংযোগের সংখ্যা

$n(A) = 6$ , $n(B) = 7$ আর $n(A \cap B) = 3$ হলে $n(A \cup B)$ কত? $A$ আর $B$ নিশ্ছেদ হলে কত হতো? $A \cup B$ তে সবচেয়ে কম কয়টি উপাদান থাকতে পারে?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $n(A) = 6$ , $n(B) = 7$ , $n(A \cap B) = 3$
খুঁজতে হবে: $n(A \cup B)$ আর তার সম্ভাব্য সর্বনিম্ন মান
কোন ধারণা কাজ করছে: ছেদের উপাদান দুবার গোনা হয়, তাই একবার বাদ দিই।

$n(A \cup B) = 6 + 7 - 3 = 10$ ।
নিশ্ছেদ হলে ছেদে ০ উপাদান: $6 + 7 - 0 = 13$ ।
সবচেয়ে কম হয় যখন যত বেশি সম্ভব উপাদান মিলে যায়। $A$ তে মাত্র ৬টি, তাই ছেদে সর্বোচ্চ ৬ হতে পারে ( $A \subseteq B$ )। তখন $6 + 7 - 6 = 7$ ।

যাচাই: সবসময় $7 \le n(A \cup B) \le 13$ ✓ (এখানে ১০ মাঝামাঝি)

উত্তরের মানে কী: ছেদ যত বড়, সংযোগ তত ছোট। এই সূত্র $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ আমরা কয়েক পাঠ পরে ভেনচিত্রে প্রমাণ করব।

নিজে করো

A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4} হলে A ∩ B কত?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) {2, 3}। ২ আর ৩ দুটোতেই আছে, তাই A ∩ B = {2, 3}। {1, 2, 3, 4} হলো A ∪ B।

{1, 2, 3} ∪ {3, 4} এর উপাদান কয়টি?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) ৪। সংযোগে ৩ একবারই লেখা হয়: {1, 2, 3, 4}। তাই ৪টি।

কোন দুটি সেট নিশ্ছেদ?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) {2, 4, 6} আর {1, 3, 5}। {2, 4, 6} আর {1, 3, 5} তে কোনো মিল নেই, ছেদ ফাঁকা। বাকি তিন জোড়ায় ৩, ২ আর ৫ মিলেছে।

প্রশ্ন ১. $A = \{x \in N : x \text{ জোড় এবং } x \le 14\}$ আর $B = \{x \in N : x \text{ হলো } 3 \text{ এর গুণিতক এবং } x \le 14\}$ হলে $A \cup B$ , $A \cap B$ বের করো। $n(A \cup B)$ ও মিলিয়ে দেখো।

ইঙ্গিত দেখো

আগে দুটোকে তালিকায় লেখো। ৩ আর ২ এর সাধারণ গুণিতক খোঁজো।

উত্তর দেখো

$A = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\}$ (৭টি)। $B = \{3, 6, 9, 12\}$ (৪টি)। $A \cap B = \{6, 12\}$ (২টি)। $A \cup B = \{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14\}$ (৯টি)। মিলিয়ে দেখি: $7 + 4 - 2 = 9$ ✓

প্রশ্ন ২. যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা দিয়ে ৮৩ আর ১১৮ কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ৩ অবশিষ্ট থাকে, তাদের সেট নির্ণয় করো।

ইঙ্গিত দেখো

$83 - 3$ আর $118 - 3$ কত? তাদের উৎপাদকের ছেদ নাও, আর ভাজক ৩ এর চেয়ে বড় হতে হবে।

উত্তর দেখো

$83 - 3 = 80$ , $118 - 3 = 115$ । ৮০ এর উৎপাদক: $1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80$ । ১১৫ এর উৎপাদক: $1, 5, 23, 115$ । সাধারণ: $1, 5$ । ৩ এর চেয়ে বড়: $\{5\}$ । যাচাই: $83 = 5 \times 16 + 3$ ✓, $118 = 5 \times 23 + 3$ ✓।

মনে রাখো

সংযোগ $A \cup B$ মানে $A$ বা $B$ তে যা আছে (সব, একবার করে)। ছেদ $A \cap B$ মানে $A$ এবং $B$ দুটোতেই যা আছে। ছেদ ফাঁকা ( $\varnothing$ ) হলে সেট দুটো নিশ্ছেদ। সবসময় $A \cap B \subseteq A \subseteq A \cup B$ । সাবধান: সংযোগে একই উপাদান দুবার লিখো না, ছেদ আর সংযোগ গুলিয়ো না (“বা” বনাম “এবং”), আর মিল না থাকলে ছেদ $\varnothing$ , “০” নয়।

সংযোগ, ছেদ ও নিশ্ছেদ সেট

MCQ ও সৃজনশীল শর্টকাট

উত্তর যাচাইয়ের কৌশল

এই পাঠের সূত্রপত্র

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবে

দুই দল মিলিয়ে গুনলে কেউ কি দুবার গোনা পড়ে?

সংযোগ মানে সবাই, ছেদ মানে দুই দলেই যারা আছে

সংযোগ, ছেদ ও নিশ্ছেদ সেট নিয়ে ছয়টা পরিস্থিতি

দুই ক্লাবের সদস্য

ছবিতে নিজেই বদলাও

সংখ্যার সেটে সংযোগ আর ছেদ

উল্টো করে

ভুলটা ধরো

পরীক্ষার ধরনে

একই ধারণা, নানা রকম অঙ্ক

দুই ঝুড়ির ফল

সংখ্যার সংযোগ ও ছেদ

গুণিতকের ছেদ

কোন জোড়া নিশ্ছেদ?

তিনটি সেট

সমীকরণের সমাধান সেটের সংযোগ ও ছেদ

উপাদান সংখ্যা থেকে সংযোগের সংখ্যা

নিজে করো

মনে রাখো