পাঠ ৪গণিত

সার্বিক সেট, পূরক ও অন্তর

পাঠের সারাংশ

'নেই' বলতে হলে আগে জানতে হয় 'সবাই' কারা। সার্বিক সেট, পূরক (A′) আর অন্তর (A ∖ B) একসঙ্গে শিখে নাও।

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

যারা দলে নেই, তাদের নিয়ে কথা বলব কীভাবে?

ক্লাসে ১০ জন বন্ধুর রোল ১ থেকে ১০। বৃষ্টির দিনে কয়েকজন স্কুলে এসেছে। জিজ্ঞেস করা হলো: “কারা আসেনি?”

“আসেনি” বলতে হলে আগে জানতে হবে সবাই কারা। কারণ যারা আসেনি, তারা “বাকি সবাই”। সবাইয়ের তালিকা না থাকলে “বাকি” বলার কোনো মানেই হয় না।

এই “সবাইয়ের সেট” হলো সার্বিক সেট (universal set), লিখি $U$ । আর $U$ এর মধ্যে যারা $A$ তে নেই, তাদের সেট হলো $A$ এর পূরক। দুটো সেটের মধ্যে ” $A$ তে আছে কিন্তু $B$ তে নেই” হলো অন্তর।

নিজে দেখে বুঝো

নিজে বদলে দেখো

একটা উদাহরণ নাও (পরে নিচের সংখ্যা চেপে নিজের মতো বদলাতে পারো):

কোনটা দেখবে?

A = { 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 4, 5, 6, 7 }

সংযোগ সেট (A বা B)

A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }

উপাদান 7টি

সংখ্যা চাপলে সেটা পরের ঘরে যায় (কোনোটায় না, শুধু A, দুটোতেই, শুধু B):

সব ক্রিয়া এখন খোলা। A′, A ∖ B, (A ∪ B)′ চেপে দেখো কোন অংশ রঙিন হয়। তারপর সংখ্যা চেপে সেট বদলাও।

একটা আয়তক্ষেত্র U, ভেতরে দুটো বৃত্ত A আর B। যেকোনো ক্রিয়া বাছলে তার অংশ রঙিন হয়। যেমন A′ বাছলে A বৃত্তের বাইরের সবটুকু আয়তক্ষেত্র রঙিন হয়। নিচে সেই সেটের তালিকা লেখা।

নিজে চেষ্টা করো: প্রথম উদাহরণে $A'$ বাছো। তারপর $A \cup A'$ কল্পনা করো: পুরো আয়তক্ষেত্র হয় কি? তারপর $A \setminus B$ আর $B \setminus A$ পাশাপাশি দেখো: এরা কি এক?

সার্বিক সেট ঠিক করলে পূরক আর অন্তর একই ছবিতে ধরা পড়ে

সার্বিক সেট $U$ । যে প্রসঙ্গে কথা হচ্ছে, তার সব উপাদানের সেট। এটা প্রশ্ন বুঝে ঠিক হয়: বন্ধুদের রোলের প্রশ্নে $U = \{1, 2, \ldots, 10\}$ , সংখ্যার প্রশ্নে $U = N$ বা $U = Z$ হতে পারে। প্রতিটা সেট $U$ এর উপসেট।
পূরক সেট $A'$ (complement)। $U$ এর সেই উপাদানগুলো, যারা $A$ তে নেই: $A' = \{x \in U : x \notin A\} = U \setminus A$ । বইয়ে কখনো $A^c$ ও লেখা হয়, একই জিনিস। ভেনচিত্রে: $A$ বৃত্তের বাইরে সব।
অন্তর $A \setminus B$ (difference)। $A$ থেকে $B$ এর উপাদানগুলো বাদ দিলে যা থাকে: $A \setminus B = \{x : x \in A \text{ এবং } x \notin B\}$ । ভেনচিত্রে: $A$ বৃত্তের সেই অংশ, যা $B$ এর ভেতরে পড়ে না। লক্ষ করো: $A \setminus B$ আর $B \setminus A$ সাধারণত আলাদা।
একটা সম্পর্ক: ” $A$ তে আছে, $B$ তে নেই” মানে ” $A$ তে আছে এবং $B'$ তে আছে”। তাই $A \setminus B = A \cap B'$ । ভেনচিত্রে দুটো একই অংশ।

কয়েকটা কথা সবসময় সত্য: $A \cup A' = U$ (যারা আছে আর যারা নেই, মিলে সবাই), $A \cap A' = \varnothing$ (একজন একসঙ্গে আছে আর নেই হতে পারে না), $(A')' = A$ (নেই-এর উল্টো আছে), $U' = \varnothing$ আর $\varnothing' = U$ ।

সার্বিক সেট, পূরক ও অন্তর নিয়ে ছয়টা পরিস্থিতি

চেনা জীবন

বৃষ্টির দিনে স্কুল

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

রোল ১ থেকে ১০, $U = \{1, 2, \ldots, 10\}$ । আজ এসেছে $A = \{1, 2, 3, 5, 8\}$ । কারা আসেনি? আর যারা এসেছে তাদের মধ্যে $B = \{2, 5, 7\}$ (যাদের কাছে ছাতা ছিল) বাদ দিলে কারা থাকে?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা: “আসেনি” মানে $U$ এর মধ্যে $A$ তে নেই, অর্থাৎ পূরক। “আছে কিন্তু $B$ তে নেই” মানে অন্তর।

যারা আসেনি: $A' = \{4, 6, 7, 9, 10\}$ ।
এসেছে কিন্তু ছাতা ছিল না: $A \setminus B = \{1, 3, 8\}$ । (ছাতাওয়ালা ২, ৫ বাদ। আর ৭ এসেছেই না, তাই $A$ তে ছিলই না।)

উত্তরের মানে কী: আসেনি ৫ জন, এসেছে ৫ জন, মোট ১০। $A$ আর $A'$ মিলে পুরো $U$ ।

ছবি / গ্রাফ

ছবি দেখে তিন অংশ চেনো

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

উইজেটে প্রথম উদাহরণ ( $A = \{1,2,3,4,5\}$ , $B = \{4,5,6,7\}$ , $U = \{1, \ldots, 10\}$ ) নাও। $A'$ , $A \setminus B$ আর $(A \cup B)'$ বাছো। প্রতিটার তালিকা লেখো।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা: চার অংশের কোন কোনটা রঙিন, সেটাই ক্রিয়াটার মানে।

$A' = \{6, 7, 8, 9, 10\}$ (শুধু $B$ এর অংশ আর বাইরেরটা)।
$A \setminus B = \{1, 2, 3\}$ (শুধু $A$ এর অংশ)।
$(A \cup B)' = \{8, 9, 10\}$ (দুই বৃত্তের কোনোটাতেই নেই, শুধু বাইরের অংশ)।

উত্তরের মানে কী: চার অংশ: শুধু $A$ ( $\{1,2,3\}$ ), দুটোতেই ( $\{4,5\}$ ), শুধু $B$ ( $\{6,7\}$ ), বাইরে ( $\{8,9,10\}$ )। মোট $3 + 2 + 2 + 3 = 10$ , ঠিক $U$ ।

সংখ্যা

একসঙ্গে সব ক্রিয়া

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

দেওয়া আছে: $U = \{x \in N : x \le 12\}$ , $A = \{x \in U : x \text{ জোড়}\}$ , $B = \{x \in U : x \text{ হলো } 3 \text{ এর গুণিতক}\}$
খুঁজতে হবে: $A'$ , $B'$ , $A \setminus B$ , $B \setminus A$ , $(A \cup B)'$ আর $A' \cap B'$
কোন সূত্র কেন: আগে $U$ , $A$ , $B$ তালিকায় লিখি। তারপর প্রতিটা ক্রিয়ার অংশ ধরে এগোই।

$U = \{1, 2, \ldots, 12\}$ । $A = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$ । $B = \{3, 6, 9, 12\}$ ।
$A'$ ( $U$ থেকে জোড় বাদ): $\{1, 3, 5, 7, 9, 11\}$ ।
$B'$ ( $U$ থেকে ৩ এর গুণিতক বাদ): $\{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11\}$ ।
$A \setminus B$ ( $A$ থেকে ৬, ১২ বাদ): $\{2, 4, 8, 10\}$ ।
$B \setminus A$ ( $B$ থেকে ৬, ১২ বাদ): $\{3, 9\}$ ।
$A \cup B = \{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12\}$ , তাই $(A \cup B)' = \{1, 5, 7, 11\}$ ।
$A' \cap B'$ ( $A'$ আর $B'$ এ যা সাধারণ): $\{1, 5, 7, 11\}$ ।

যাচাই: $(A \cup B)'$ আর $A' \cap B'$ একই সেট ✓। আর $A \setminus B$ আর $B \setminus A$ এক নয় ✓

উত্তরের মানে কী: ৬ আর ১২ হলো জোড় আর ৩ এর গুণিতক দুটোই, তাই অন্তরে বাদ পড়ল। আর “জোড়ও নয়, ৩ এর গুণিতকও নয়” সংখ্যাগুলো ঠিক $(A \cup B)'$ , যা $A' \cap B'$ এর সমান। এই মিলের কারণ কয়েক পাঠ পরে বুঝব।

উল্টো করে

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

(ক) $U = \{1, 2, \ldots, 8\}$ আর $A' = \{1, 4, 6\}$ হলে $A$ কী?

(খ) $A \setminus B = \{1, 2\}$ আর $A \cap B = \{3\}$ হলে $A$ কী?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা (ক): $A'$ হলো $U$ এর বাকি অংশ। $A$ আর $A'$ মিলে $U$ , তাই $A = U \setminus A'$ ।

$A = \{1, \ldots, 8\} \setminus \{1, 4, 6\} = \{2, 3, 5, 7, 8\}$ । যাচাই: $A \cup A' = U$ ✓

ধারণা (খ): $A$ এর উপাদান দুই রকম: যারা $B$ তেও আছে ( $A \cap B$ ), আর যারা শুধু $A$ তে ( $A \setminus B$ )। তাই $A = (A \setminus B) \cup (A \cap B) = \{1, 2\} \cup \{3\} = \{1, 2, 3\}$ ।

উত্তরের মানে কী: $A$ কে সবসময় দুই ভাগে ভাঙা যায়: $B$ এর ভেতরের অংশ আর বাইরের অংশ।

ভুল ধরো

ভুলটা ধরো

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

তিনটা সমাধান। তিনটাই ভুল।

ক: $A = \{1, 2, 3\}$ , $B = \{3, 4\}$ হলে $A \setminus B = B \setminus A$ ।

খ: $A = \{2, 4\}$ এর পূরক হলো $\{1, 3, 5\}$ । ( $U$ কত, তা না দেখেই লিখেছি।)

গ: $A = \{1, 2, 3\}$ , $B = \{3, 4\}$ হলে $A \setminus B = \{1, 2, 4\}$ ।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ক এর ভুল: $A \setminus B = \{1, 2\}$ (৩ বাদ), আর $B \setminus A = \{4\}$ (৩ বাদ)। দুটো আলাদা। অন্তর “দিক” মেনে চলে: প্রথম সেট থেকে দ্বিতীয়টাকে বাদ।

খ এর ভুল: পূরক বের করতে $U$ লাগে। $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ হলে $\{1, 3, 5\}$ ঠিক। কিন্তু $U = \{1, \ldots, 8\}$ হলে $\{1, 3, 5, 6, 7, 8\}$ । প্রশ্নে $U$ কী, আগে দেখো।

গ এর ভুল: অন্তরে শুধু $A$ এর উপাদান থাকে। ৪ হলো $B$ এর উপাদান, $A$ এ ছিলই না, তাই $A \setminus B$ এ আসবে না। ঠিক: $\{1, 2\}$ ।

ঠিক নিয়ম: অন্তর: প্রথম সেট থেকে কাটো। পূরক: $U$ থেকে কাটো।

পরীক্ষার ধরন

পরীক্ষার ধরনে

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

পরীক্ষায় এই ধারণা সাধারণত তিন চেহারায় আসে:

(ক) ” $U$ , $A$ , $B$ দেওয়া আছে, $A'$ , $B'$ , $A \setminus B$ নির্ণয় করো।”
(খ) “ভেনচিত্র এঁকে … অংশ চিহ্নিত করো।”
(গ) “দেখাও যে …” ধরনের সূত্র যাচাই।

নিচে (ক) আর (গ) একসঙ্গে।

দেওয়া আছে: $U = \{x \in N : x \le 10\}$ , $A = \{x : x \text{ মৌলিক}\}$ , $B = \{x : x \text{ জোড়}\}$ (দুটোই $U$ এর মধ্যে)
খুঁজতে হবে: $A'$ নির্ণয় করো। আর দেখাও যে $A \cup B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \cup (A \cap B)$ ।
কোন সূত্র কেন: তালিকা লিখি। বাঁ পাশ আর ডান পাশ আলাদা আলাদা বের করে মেলাই।

$U = \{1, 2, \ldots, 10\}$ । $A = \{2, 3, 5, 7\}$ । $B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ ।
$A' = U \setminus A = \{1, 4, 6, 8, 9, 10\}$ ।
বাঁ পাশ: $A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10\}$ ।
ডান পাশের তিন অংশ: $A \setminus B = \{3, 5, 7\}$ , $B \setminus A = \{4, 6, 8, 10\}$ , $A \cap B = \{2\}$ ।
তিনটার সংযোগ: $\{3, 5, 7\} \cup \{4, 6, 8, 10\} \cup \{2\} = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10\}$ ।
বাঁ পাশ = ডান পাশ ✓

যাচাই: উপাদান সংখ্যা: $3 + 4 + 1 = 8$ আর $n(A \cup B) = 8$ ✓

উত্তরের মানে কী: $A \cup B$ কে তিন নিশ্ছেদ অংশে ভাঙা গেল: শুধু $A$ , শুধু $B$ , আর দুটোতেই। ভেনচিত্রের চার অংশের তিনটা। ছবিতে এটা এক নজরে বোঝা যায়।

একই ধারণা, নানা রকম অঙ্ক

অঙ্কগুলো সহজ থেকে ধীরে ধীরে কঠিন হয়েছে, আর সবগুলো একই পথে সমাধান করা। প্রতিটিতে আগে নিজে চেষ্টা করো। আটকে গেলে নিচের পাঁচটি ধাপ মিলিয়ে নাও, তারপর সমাধান দেখো।

আটকে গেলে এই পাঁচটি ধাপ

পড়ো: প্রশ্নটা দুবার পড়ো। নিজের ভাষায় বলো, কী ঘটছে?
লেখো: কী দেওয়া আছে, আর কী চাওয়া হয়েছে?
চেনো: কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে?
করো: ধাপে ধাপে, কিছু বাদ না দিয়ে।
মেলাও: উত্তরটা যুক্তিসঙ্গত কি না দেখো, আর উত্তরের মানে বলো।

অঙ্ক ১সহজগল্পের অঙ্ক

কত জন নেয়নি?

৩০ জনের ক্লাসে ১৮ জন বাংলা পরীক্ষা দিয়েছে। বাকিরা কত জন?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $n(U) = 30$ , $n(A) = 18$
খুঁজতে হবে: $n(A')$
কোন ধারণা কাজ করছে: $A$ আর $A'$ মিলে $U$ , আর এদের মধ্যে মিল নেই।

$A \cup A' = U$ আর $A \cap A' = \varnothing$ , তাই $n(A) + n(A') = n(U)$ ।
$n(A') = 30 - 18 = 12$ ।

যাচাই: $18 + 12 = 30$ ✓

উত্তরের মানে কী: ১২ জন বাংলা দেয়নি। পূরকের সংখ্যা $= n(U) - n(A)$ ।

অঙ্ক ২সহজসংখ্যা

মৌলিক ছাড়া সবাই

$U = \{1, 2, \ldots, 10\}$ আর $A = \{2, 3, 5, 7\}$ হলে $A'$ নির্ণয় করো।

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $U = \{1, \ldots, 10\}$ , $A = \{2, 3, 5, 7\}$
খুঁজতে হবে: $A'$
কোন ধারণা কাজ করছে: $A' = U \setminus A$ : $U$ এর যেগুলো $A$ তে নেই।

$U$ এর ১০টা সংখ্যা একে একে দেখি। ২, ৩, ৫, ৭ $A$ তে আছে, বাদ।
$A' = \{1, 4, 6, 8, 9, 10\}$ ।

যাচাই: $n(A) + n(A') = 4 + 6 = 10 = n(U)$ ✓

উত্তরের মানে কী: ১ আর সব যৌগিক সংখ্যা মিলে $A'$ । ১ মৌলিকও নয়, যৌগিকও নয়, তবু $A'$ এ আছে, কারণ $A$ তে নেই।

অঙ্ক ৩মাঝারিগল্পের অঙ্ক

শুধু ক্রিকেট, শুধু ফুটবল

ক্রিকেট ক্লাব $A = \{$ রাকিব, সুমন, ইমন, তানিয়া $\}$ , ফুটবল ক্লাব $B = \{$ সুমন, তানিয়া, নাজমা $\}$ । শুধু ক্রিকেট খেলে কারা? শুধু ফুটবল?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $A$ , $B$ দুটি ক্লাবের তালিকা
খুঁজতে হবে: শুধু ক্রিকেট আর শুধু ফুটবল
কোন ধারণা কাজ করছে: 'শুধু' মানে অন্য ক্লাবে নেই, অর্থাৎ অন্তর।

শুধু ক্রিকেট $= A \setminus B$ : $A$ থেকে সুমন, তানিয়া বাদ। $\{$ রাকিব, ইমন $\}$ ।
শুধু ফুটবল $= B \setminus A$ : $B$ থেকে সুমন, তানিয়া বাদ। $\{$ নাজমা $\}$ ।

যাচাই: দুটো ক্লাবের সংযোগে ৫ জন। আর $2 + 1 + 2 = 5$ (শুধু ক্রিকেট, শুধু ফুটবল, দুটোতেই) ✓

উত্তরের মানে কী: “শুধু” শব্দটা দেখলেই অন্তর ভাবো।

অঙ্ক ৪মাঝারিসেট গঠন পদ্ধতি

গুণিতকের অন্তর

$U = \{x \in N : x \le 20\}$ । $A$ হলো ৩ এর গুণিতকের সেট, $B$ হলো ৪ এর গুণিতকের সেট ( $U$ এর মধ্যে)। $A \setminus B$ আর $A \cap B$ নির্ণয় করো। $A \cup B$ তে কয়টি উপাদান?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $U = \{1, \ldots, 20\}$ ; ৩ আর ৪ এর গুণিতক
খুঁজতে হবে: $A \setminus B$ , $A \cap B$ আর $n(A \cup B)$
কোন ধারণা কাজ করছে: তালিকা লিখে, যেগুলো দুটোতেই (১২ এর গুণিতক) সেগুলো ছেদে, বাকিগুলো অন্তরে।

$A = \{3, 6, 9, 12, 15, 18\}$ (৬টি)। $B = \{4, 8, 12, 16, 20\}$ (৫টি)।
ছেদ: $A \cap B = \{12\}$ ।
অন্তর: $A \setminus B = \{3, 6, 9, 15, 18\}$ (১২ বাদ), ৫টি।
$n(A \cup B) = 6 + 5 - 1 = 10$ ।

যাচাই: $n(A \setminus B) + n(A \cap B) = 5 + 1 = 6 = n(A)$ ✓

উত্তরের মানে কী: $A$ কে দুই ভাগে ভাঙলাম: $B$ এর ভেতরের অংশ (১২) আর বাইরের অংশ (বাকি ৫টি)।

অঙ্ক ৫কঠিনযাচাই

অন্তর আর পূরকের সম্পর্ক

$U = \{1, \ldots, 10\}$ , $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ , $B = \{4, 5, 6, 7\}$ নিয়ে দেখাও যে $A \setminus B = A \cap B'$ ।

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $U$ , $A$ , $B$ উপরের মতো
খুঁজতে হবে: $A \setminus B$ আর $A \cap B'$ সমান কি না
কোন ধারণা কাজ করছে: দুই পাশ আলাদা বের করে মেলাই।

বাঁ পাশ: $A \setminus B = \{1, 2, 3\}$ ( $A$ থেকে ৪, ৫ বাদ)।
$B' = U \setminus B = \{1, 2, 3, 8, 9, 10\}$ ।
ডান পাশ: $A \cap B' = \{1, 2, 3, 4, 5\} \cap \{1, 2, 3, 8, 9, 10\} = \{1, 2, 3\}$ ।
দুই পাশ সমান ✓

যাচাই: ভেনচিত্রে দুটোই “শুধু $A$ ” অংশ ✓

উত্তরের মানে কী: একটা উদাহরণে মিললেও সব ক্ষেত্রে প্রমাণ হয় না। কিন্তু কারণটা সহজ: ” $A$ তে আছে, $B$ তে নেই” আর ” $A$ তে আছে এবং $B'$ তে আছে” একই কথা।

অঙ্ক ৬কঠিনউল্টো করে

অংশ থেকে সেট

$A \setminus B = \{1, 2\}$ , $A \cap B = \{3\}$ আর $B \setminus A = \{7\}$ হলে $A$ , $B$ আর $A \cup B$ কী? $U = \{1, \ldots, 8\}$ হলে $(A \cup B)'$ কী?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: তিন অংশ: শুধু $A$ , দুটোতেই, শুধু $B$
খুঁজতে হবে: $A$ , $B$ , $A \cup B$ , $(A \cup B)'$
কোন ধারণা কাজ করছে: $A$ = শুধু $A$ ও দুটোতেই। $B$ = শুধু $B$ ও দুটোতেই। $A \cup B$ = তিন অংশ মিলিয়ে।

$A = \{1, 2\} \cup \{3\} = \{1, 2, 3\}$ ।
$B = \{7\} \cup \{3\} = \{3, 7\}$ ।
$A \cup B = \{1, 2\} \cup \{3\} \cup \{7\} = \{1, 2, 3, 7\}$ ।
$U = \{1, \ldots, 8\}$ থেকে বাদ দিলে: $(A \cup B)' = \{4, 5, 6, 8\}$ ।

যাচাই: চার অংশ মিলে $2 + 1 + 1 + 4 = 8 = n(U)$ ✓

উত্তরের মানে কী: ভেনচিত্রের চার অংশ জানা থাকলে যেকোনো ক্রিয়ার ফল বের করা যায়।

অঙ্ক ৭কঠিনগণনা

ছাত্রদের গোনা

৫০ জনের ক্লাসে ২৮ জন ক্রিকেট ( $A$ ), ২২ জন ফুটবল ( $B$ ) পছন্দ করে, ১০ জন দুটোই। কত জন অন্তত একটা পছন্দ করে? কত জন কোনোটাই করে না? কত জন শুধু ক্রিকেট? কত জন শুধু ফুটবল?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $n(U) = 50$ , $n(A) = 28$ , $n(B) = 22$ , $n(A \cap B) = 10$
খুঁজতে হবে: $n(A \cup B)$ , $n((A \cup B)')$ , $n(A \setminus B)$ , $n(B \setminus A)$
কোন ধারণা কাজ করছে: চার অংশের সংখ্যা বের করি: শুধু $A$ , দুটোতেই, শুধু $B$ , বাইরে। দুটোতেই ১০, আর এটা দুবার গোনা হয়েছে।

শুধু ক্রিকেট: $n(A \setminus B) = 28 - 10 = 18$ ।
শুধু ফুটবল: $n(B \setminus A) = 22 - 10 = 12$ ।
অন্তত একটা: $n(A \cup B) = 18 + 10 + 12 = 40$ ।
কোনোটাই নয়: $n((A \cup B)') = 50 - 40 = 10$ ।

যাচাই: চার অংশ $18 + 10 + 12 + 10 = 50$ ✓। আর $28 + 22 - 10 = 40$ ✓

উত্তরের মানে কী: ১০ জন কোনোটাই খেলে না। এই ধরনের “ছাত্রদের গোনা” প্রশ্ন ভেনচিত্র এঁকে চার অংশ ধরে ধরে করলে ভুল হয় না।

নিজে করো

U = {1, 2, 3, 4, 5} আর A = {1, 3, 5} হলে A′ কত?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (ক) {2, 4}। U তে ২ আর ৪ A তে নেই, তাই A′ = {2, 4}। {2, 4, 6} তে ৬ আছে, যা U এ নেই।

A = {1, 2, 3} আর B = {2, 3, 4} হলে A ∖ B কত?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (ক) {1}। A থেকে ২ আর ৩ বাদ গেলে থাকে ১। {4} হলো B ∖ A।

A ∪ A′ কত?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (গ) U। A আর A′ মিলে সবাই, অর্থাৎ সার্বিক সেট U।

প্রশ্ন ১. $U = \{x \in N : x \le 12\}$ , $A = \{x : x \text{ হলো } 3 \text{ এর গুণিতক}\}$ , $B = \{x : x \text{ বিজোড়}\}$ ( $U$ এর মধ্যে)। $A'$ , $B'$ , $A \setminus B$ , $B \setminus A$ আর $A \cap B'$ নির্ণয় করো।

ইঙ্গিত দেখো

আগে $U$ , $A$ , $B$ তালিকায় লেখো। $A \cap B'$ আর $A \setminus B$ কি একই হবে?

উত্তর দেখো

$U = \{1, \ldots, 12\}$ , $A = \{3, 6, 9, 12\}$ , $B = \{1, 3, 5, 7, 9, 11\}$ । $A' = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11\}$ । $B' = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$ । $A \setminus B = \{6, 12\}$ । $B \setminus A = \{1, 5, 7, 11\}$ । $A \cap B' = \{3, 6, 9, 12\} \cap \{2, 4, 6, 8, 10, 12\} = \{6, 12\}$ , যা $A \setminus B$ এর সমান ✓

প্রশ্ন ২. ৪০ জনের মধ্যে ২৫ জন চা পছন্দ করে ( $A$ ), ১৫ জন কফি ( $B$ ), ৭ জন দুটোই। কত জন শুধু চা? কত জন কোনোটাই পছন্দ করে না?

ইঙ্গিত দেখো

ভেনচিত্রের চার অংশের সংখ্যা বের করো। “দুটোই” ৭ জন, তাই শুধু চা কত?

উত্তর দেখো

শুধু চা: $25 - 7 = 18$ । শুধু কফি: $15 - 7 = 8$ । অন্তত একটা: $18 + 7 + 8 = 33$ । কোনোটাই নয়: $40 - 33 = 7$ ।

মনে রাখো

সার্বিক সেট $U$ হলো আলোচনার সব উপাদানের সেট। পূরক $A' = U \setminus A$ মানে $U$ এর যারা $A$ তে নেই। অন্তর $A \setminus B$ মানে $A$ তে আছে কিন্তু $B$ তে নেই, আর $A \setminus B = A \cap B'$ । সবসময় $A \cup A' = U$ , $A \cap A' = \varnothing$ , $n(A') = n(U) - n(A)$ । ভেনচিত্রের চার অংশ (শুধু $A$ , দুটোতেই, শুধু $B$ , বাইরে) জানলে সব ক্রিয়া বের হয়। সাবধান: পূরকের আগে $U$ দেখো, আর $A \setminus B$ আর $B \setminus A$ এক নয়।

সার্বিক সেট, পূরক ও অন্তর

MCQ ও সৃজনশীল শর্টকাট

উত্তর যাচাইয়ের কৌশল

এই পাঠের সূত্রপত্র

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবে

যারা দলে নেই, তাদের নিয়ে কথা বলব কীভাবে?

সার্বিক সেট ঠিক করলে পূরক আর অন্তর একই ছবিতে ধরা পড়ে

সার্বিক সেট, পূরক ও অন্তর নিয়ে ছয়টা পরিস্থিতি

বৃষ্টির দিনে স্কুল

ছবি দেখে তিন অংশ চেনো

একসঙ্গে সব ক্রিয়া

উল্টো করে

ভুলটা ধরো

পরীক্ষার ধরনে

একই ধারণা, নানা রকম অঙ্ক

কত জন নেয়নি?

মৌলিক ছাড়া সবাই

শুধু ক্রিকেট, শুধু ফুটবল

গুণিতকের অন্তর

অন্তর আর পূরকের সম্পর্ক

অংশ থেকে সেট

ছাত্রদের গোনা

নিজে করো

মনে রাখো