পাঠ ৫গণিত

ভেনচিত্রে অঙ্ক ও সূত্র যাচাই

পাঠের সারাংশ

দুবার গোনা এড়াতে সংযোগের সূত্র, আর চার অংশ ধরে শিক্ষার্থী গোনার অঙ্ক। তারপর ছবি দিয়ে সেটের সূত্র মিলিয়ে দেখো।

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

ক্লাসের কতজন কোন খেলা পছন্দ করে: গুনব কীভাবে?

৬০ জনের ক্লাস। ৩৫ জন ক্রিকেট পছন্দ করে, ২৮ জন ফুটবল, আর ১২ জন দুটোই। কত জন অন্তত একটা পছন্দ করে?

অনেকে ৩৫ আর ২৮ যোগ করে ৬৩ বলে ফেলে। কিন্তু ক্লাসে মোটে ৬০ জন, ৬৩ হতেই পারে না! কেন ভুল? কারণ যে ১২ জন দুটোই পছন্দ করে, তাদের দুবার গোনা হয়েছে, একবার ক্রিকেটে, একবার ফুটবলে।

ভেনচিত্র এঁকে প্রতিটা শিক্ষার্থীকে একটাই অংশে বসাতে পারলে কেউ আর দুবার গোনা পড়ে না। এই পাঠে আমরা সেই ছবি দিয়ে গুনব, আর সেই একই ছবি দিয়ে সেটের সূত্রও যাচাই করব।

নিজে দেখে বুঝো

নিজে বদলে দেখো

কোন সূত্র যাচাই করবে?

কোন উদাহরণ নেবে?

বাম: (A ∪ B)′

ডান: A′ ∩ B′

বাম = { 8, 9, 10 }

ডান = { 8, 9, 10 }

এই উদাহরণে: দুই পাশ সমান ✓

ছবির অংশ মিলিয়ে (সব সেটের জন্য): একই অংশ রঙিন, তাই সূত্রটা সবসময় সত্য ✓

A′ (শুধু B আর বাইরে) আর B′ (শুধু A আর বাইরে) এর সাধারণ অংশ শুধু বাইরেরটা।

একটা সূত্র বাছো আর একটা উদাহরণ। বাম আর ডান পাশের রঙিন অংশ মেলে কি না দেখো। শেষ সূত্রটা সত্যি নয়, সেটা বেছে ফারাকটা দেখো।

পাশাপাশি দুটো ভেনচিত্র। বামটায় সূত্রের বাম পাশের অংশ রঙিন, ডানটায় ডান পাশের অংশ। নিচে দুই পাশের সেটের তালিকা, আর লেখা দুই পাশ সমান কি না। যদি দুই ছবিতে একই অংশ রঙিন হয়, সূত্রটা সব সেটের জন্য সত্য।

নিজে চেষ্টা করো: প্রথম সূত্র $(A \cup B)' = A' \cap B'$ নিয়ে চার উদাহরণই চেপে দেখো। প্রতিবার কি দুই ছবির রঙিন অংশ একই? এবার শেষ সূত্রটা ( $(A \cup B)' = A' \cup B'$ ?) বাছো। কী ফারাক?

ভেনচিত্রে অঙ্ক সাজানো আর সূত্র যাচাইয়ের দুটো কৌশল

১) দুবার গোনা এড়ানো: $n(A \cup B)$ এর সূত্র

ভেনচিত্র চার অংশে ভাগ: শুধু $A$ , দুটোতেই, শুধু $B$ , বাইরে। প্রতিটা উপাদান ঠিক একটা অংশে।
দুটোতেই আছে $n(A \cap B)$ জন। তাহলে শুধু $A$ তে আছে $n(A) - n(A \cap B)$ , শুধু $B$ তে আছে $n(B) - n(A \cap B)$ । (ফুটবল-ক্রিকেট দুই দলের সংখ্যা থেকেই মাঝের ভাগটা বাদ দিতে হয়, কারণ সেটা দুই দলেই ধরা আছে।)
অন্তত একটাতে আছে তিন অংশ মিলে: $\bigl(n(A) - n(A \cap B)\bigr) + n(A \cap B) + \bigl(n(B) - n(A \cap B)\bigr)$ ।
সরল করলে: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ । ছেদের সংখ্যা একবার বাদ, কারণ যোগ করার সময় সেটা দুবার ঢুকেছিল।
বাইরে (কোনোটাই নয়): $n\bigl((A \cup B)'\bigr) = n(U) - n(A \cup B)$ ।

২) ছাত্র-গোনার অঙ্কের নিয়ম: ভেতর থেকে বাইরে

প্রথমে মাঝের অংশ (দুটোতেই) লেখো। তারপর $A$ আর $B$ থেকে সেটা বাদ দিয়ে শুধু-অংশ দুটো। তারপর $U$ থেকে বাকি সব বাদ দিয়ে বাইরের অংশ। শেষে চার অংশ যোগ করে $n(U)$ এর সঙ্গে মেলাও।

৩) সূত্র যাচাইয়ের কৌশল: সূত্রের বাম আর ডান পাশ আলাদা আলাদা ভেনচিত্রে রঙ করো। প্রতিটা উপাদান ঠিক একটা অংশে থাকে, তাই দুই ছবিতে একই অংশ রঙিন হলে দুই পাশ সব সেটের জন্য সমান। এটা উদাহরণ মেলানোর চেয়ে শক্ত প্রমাণ।

দুটো বিখ্যাত সূত্র (ডি মরগানের সূত্র): $(A \cup B)' = A' \cap B'$ আর $(A \cap B)' = A' \cup B'$ । কথায়: “দুটোর কোনোটাতেই নেই” মানে ” $A$ তে নেই এবং $B$ তে নেই”। আর “দুটোতেই নেই (এমন নয় যে দুটোতেই আছে)” মানে ” $A$ তে নেই অথবা $B$ তে নেই”। দেখো, ভেতরের চিহ্নটা বদলে যাচ্ছে ( $\cup$ থেকে $\cap$ )।

ভেনচিত্রে অঙ্ক ও সূত্র যাচাই নিয়ে ছয়টা পরিস্থিতি

চেনা জীবন

ক্রিকেট আর ফুটবল

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

৬০ জনের ক্লাসে ৩৫ জন ক্রিকেট পছন্দ করে, ২৮ জন ফুটবল, ১২ জন দুটোই। অন্তত একটা কত জন? কোনোটাই নয় কত জন? শুধু ক্রিকেট কত জন?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা: মাঝের অংশ (১২) আগে, তারপর শুধু-অংশ, তারপর বাইরে।

শুধু ক্রিকেট: $35 - 12 = 23$ । শুধু ফুটবল: $28 - 12 = 16$ ।
অন্তত একটা: $23 + 12 + 16 = 51$ । (সূত্রে: $35 + 28 - 12 = 51$ ✓)
কোনোটাই নয়: $60 - 51 = 9$ ।

উত্তরের মানে কী: ৫১ জন অন্তত একটা পছন্দ করে, ৯ জন কোনোটাই নয়। চার অংশ মিলে $23 + 12 + 16 + 9 = 60$ , ঠিক পুরো ক্লাস।

ছবি / গ্রাফ

ছবিতে সূত্র মেলাও

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

উইজেটে প্রথম সূত্র $(A \cup B)' = A' \cap B'$ নাও। কোন অংশ রঙিন, দুই ছবিতে? তারপর দ্বিতীয় সূত্র $(A \cap B)' = A' \cup B'$ নাও।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা: সূত্র সত্য হলে দুই ছবিতে রঙিন অংশ একই।

$(A \cup B)'$ : দুই বৃত্তের বাইরের অংশ। $A'$ হলো “শুধু $B$ + বাইরে”, $B'$ হলো “শুধু $A$ + বাইরে”, এদের সাধারণ অংশ হলো শুধু বাইরে। দুই ছবিতে একই।
$(A \cap B)'$ : মাঝের অংশ ছাড়া সব (“শুধু $A$ ”, “শুধু $B$ ”, বাইরে)। $A' \cup B'$ ও ঠিক তা-ই।

উত্তরের মানে কী: দুটো সূত্রই সব উদাহরণে মেলে, কারণ ছবিতে একই অংশ রঙিন। একে বলা যায় ছবি-প্রমাণ।

সংখ্যা

তালিকা দিয়ে সূত্র মেলানো

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

দেওয়া আছে: $U = \{1, 2, \ldots, 10\}$ , $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ , $B = \{4, 5, 6, 7\}$
খুঁজতে হবে: দেখাও যে $(A \cup B)' = A' \cap B'$ আর $(A \cap B)' = A' \cup B'$
কোন সূত্র কেন: প্রতিটা সূত্রের দুই পাশ আলাদা করে বের করে তালিকা মেলাই।

প্রথম সূত্র:

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ , তাই $(A \cup B)' = \{8, 9, 10\}$ ।
$A' = \{6, 7, 8, 9, 10\}$ , $B' = \{1, 2, 3, 8, 9, 10\}$ ।
$A' \cap B' = \{8, 9, 10\}$ । দুই পাশ সমান ✓

দ্বিতীয় সূত্র: 4. $A \cap B = \{4, 5\}$ , তাই $(A \cap B)' = \{1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10\}$ । 5. $A' \cup B' = \{6, 7, 8, 9, 10\} \cup \{1, 2, 3, 8, 9, 10\} = \{1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10\}$ । দুই পাশ সমান ✓

যাচাই: দুই ক্ষেত্রেই বাম ও ডানের উপাদান সংখ্যা এক: $3$ আর $8$ ✓

উত্তরের মানে কী: একটা উদাহরণে মিললে বোঝা যায় সূত্রটা বিশ্বাসযোগ্য, কিন্তু সব সেটের জন্য প্রমাণ হয় না। প্রমাণের জন্য ছবির চার অংশ মেলাতে হয় (আগের দৃশ্য)।

উল্টো করে

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

(ক) $n(A) = 20$ , $n(B) = 15$ আর $n(A \cup B) = 28$ হলে $n(A \cap B)$ কত?

(খ) $n(U) = 40$ , $n\bigl((A \cup B)'\bigr) = 7$ , $n(A) = 25$ , $n(B) = 15$ হলে $n(A \cap B)$ কত?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা (ক): সূত্র $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ থেকে $n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B) = 20 + 15 - 28 = 7$ ।

ধারণা (খ): আগে $n(A \cup B)$ বের করি: $n(U) - n\bigl((A \cup B)'\bigr) = 40 - 7 = 33$ । তারপর $n(A \cap B) = 25 + 15 - 33 = 7$ ।

যাচাই: (ক) $20 + 15 - 7 = 28$ ✓। (খ) $25 + 15 - 7 = 33$ ✓

উত্তরের মানে কী: সূত্রটা উল্টো করেও কাজে লাগে। যে অংশটা অজানা, সেটাকে একা করে নাও।

ভুল ধরো

ভুলটা ধরো

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

তিনটা সমাধান। তিনটাই ভুল।

ক: $n(A \cup B) = n(A) + n(B)$ সবসময়।

খ: $(A \cup B)' = A' \cup B'$ ।

গ: ৩৫ জন ক্রিকেট পছন্দ করে, ১২ জন দুটোই। তাই শুধু ক্রিকেট ৩৫ জন।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ক এর ভুল: ছেদ থাকলে সেই উপাদানগুলো দুবার গোনা হয়। $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ । শুধু $A$ , $B$ নিশ্ছেদ হলে ( $n(A \cap B) = 0$ ) ক এর কথাটা ঠিক।

খ এর ভুল: ডি মরগানের সূত্রে চিহ্ন বদলায়। $(A \cup B)' = A' \cap B'$ । প্রমাণ: $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ , $A = \{1, 2\}$ , $B = \{2, 3\}$ । $(A \cup B)' = \{4, 5\}$ , কিন্তু $A' \cup B' = \{3, 4, 5\} \cup \{1, 4, 5\} = \{1, 3, 4, 5\}$ । সমান নয়।

গ এর ভুল: ৩৫ জনের মধ্যে ১২ জন ফুটবলও পছন্দ করে। শুধু ক্রিকেট $= 35 - 12 = 23$ ।

ঠিক নিয়ম: সংখ্যা বসাও ভেতর থেকে বাইরে: মাঝ, তারপর শুধু-অংশ, তারপর বাইরে। আর শেষে চার অংশ যোগ করে $n(U)$ মেলাও।

পরীক্ষার ধরন

পরীক্ষার ধরনে

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

পরীক্ষায় এই ধারণা সাধারণত তিন চেহারায় আসে:

(ক) ” $n$ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে অমুক বিষয়ে এত জন পাস, তমুক বিষয়ে এত জন, উভয়ে এত জন। ভেনচিত্রের সাহায্যে … নির্ণয় করো।”
(খ) “সূত্রের সত্যতা যাচাই করো”: তালিকা দিয়ে।
(গ) “দেখাও যে $A \cup B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \cup (A \cap B)$ ।”

নিচে (ক) এর নমুনা।

দেওয়া আছে: ১২০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে ৭৮ জন বাংলায় পাস, ৬৬ জন গণিতে পাস, ৫০ জন দুটোতেই পাস
খুঁজতে হবে: শুধু বাংলায় পাস, শুধু গণিতে পাস, অন্তত একটাতে পাস, আর দুটোতেই ফেল কত জন?
কোন সূত্র কেন: ভেনচিত্র আঁকি। আগে মাঝের অংশ (উভয়ে পাস ৫০), তারপর শুধু-অংশ, তারপর বাইরে।

মাঝের অংশ (দুটোতেই পাস): ৫০।
শুধু বাংলায়: $78 - 50 = 28$ । শুধু গণিতে: $66 - 50 = 16$ ।
অন্তত একটাতে পাস: $28 + 50 + 16 = 94$ । (সূত্রে: $78 + 66 - 50 = 94$ ✓)
দুটোতেই ফেল: $120 - 94 = 26$ ।

যাচাই: চার অংশ $28 + 50 + 16 + 26 = 120$ ✓

উত্তরের মানে কী: শুধু বাংলায় ২৮, শুধু গণিতে ১৬, অন্তত একটাতে ৯৪, দুটোতেই ফেল ২৬ জন। পরীক্ষার খাতায় ভেনচিত্রটা এঁকে প্রতিটা অংশে সংখ্যা বসাও, তাহলে নম্বর কাটা যায় না।

একই ধারণা, নানা রকম অঙ্ক

অঙ্কগুলো সহজ থেকে ধীরে ধীরে কঠিন হয়েছে, আর সবগুলো একই পথে সমাধান করা। প্রতিটিতে আগে নিজে চেষ্টা করো। আটকে গেলে নিচের পাঁচটি ধাপ মিলিয়ে নাও, তারপর সমাধান দেখো।

আটকে গেলে এই পাঁচটি ধাপ

পড়ো: প্রশ্নটা দুবার পড়ো। নিজের ভাষায় বলো, কী ঘটছে?
লেখো: কী দেওয়া আছে, আর কী চাওয়া হয়েছে?
চেনো: কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে?
করো: ধাপে ধাপে, কিছু বাদ না দিয়ে।
মেলাও: উত্তরটা যুক্তিসঙ্গত কি না দেখো, আর উত্তরের মানে বলো।

অঙ্ক ১সহজগল্পের অঙ্ক

টিভি আর ফ্রিজ

৮০টি পরিবারের মধ্যে ৫০টির টিভি আছে, ৩৫টির ফ্রিজ আছে, ২০টির দুটোই আছে। কয়টির কোনোটাই নেই? কয়টির শুধু টিভি আছে?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $n(U) = 80$ , টিভি ৫০, ফ্রিজ ৩৫, দুটোই ২০
খুঁজতে হবে: কোনোটাই নেই, আর শুধু টিভি
কোন ধারণা কাজ করছে: ভেতর থেকে বাইরে: মাঝ ২০, শুধু-অংশ, তারপর বাইরে।

শুধু টিভি: $50 - 20 = 30$ । শুধু ফ্রিজ: $35 - 20 = 15$ ।
অন্তত একটা আছে: $30 + 20 + 15 = 65$ ।
কোনোটাই নেই: $80 - 65 = 15$ ।

যাচাই: $30 + 20 + 15 + 15 = 80$ ✓

উত্তরের মানে কী: ১৫টি পরিবারের কোনোটাই নেই, আর ৩০টির শুধু টিভি।

অঙ্ক ২সহজসংখ্যা

সূত্র বসাও

$n(A) = 12$ , $n(B) = 9$ , $n(A \cap B) = 4$ হলে $n(A \cup B)$ কত?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $n(A) = 12$ , $n(B) = 9$ , $n(A \cap B) = 4$
খুঁজতে হবে: $n(A \cup B)$
কোন ধারণা কাজ করছে: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ ।

$n(A \cup B) = 12 + 9 - 4 = 17$ ।

যাচাই: শুধু $A$ : $8$ , মাঝ: $4$ , শুধু $B$ : $5$ । $8 + 4 + 5 = 17$ ✓

উত্তরের মানে কী: ১২ আর ৯ যোগ করলে ২১ আসত, কিন্তু ৪টা দুবার গোনা হতো। তাই ১৭।

অঙ্ক ৩মাঝারিউল্টো করে

ছেদ বের করো

$n(A) = 45$ , $n(B) = 30$ আর $n(A \cup B) = 60$ হলে $n(A \cap B)$ কত? $n(A \setminus B)$ কত?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $n(A) = 45$ , $n(B) = 30$ , $n(A \cup B) = 60$
খুঁজতে হবে: $n(A \cap B)$ আর $n(A \setminus B)$
কোন ধারণা কাজ করছে: সূত্রটা উল্টো করে ছেদ একা করি।

$n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B) = 45 + 30 - 60 = 15$ ।
$n(A \setminus B) = n(A) - n(A \cap B) = 45 - 15 = 30$ ।

যাচাই: শুধু $A$ ৩০, মাঝ ১৫, শুধু $B$ ১৫: $30 + 15 + 15 = 60$ ✓

উত্তরের মানে কী: ছেদ আছে ১৫টি। সূত্রটা সব দিক থেকেই ব্যবহার করা যায়।

অঙ্ক ৪মাঝারিগল্পের অঙ্ক

পাস আর ফেলের ভেনচিত্র

১০০ জন পরীক্ষার্থীর মধ্যে ৬০ জন বাংলায় পাস, ৫৫ জন ইংরেজিতে পাস, ৩৫ জন দুটোতেই ফেল। কত জন দুটোতেই পাস? শুধু বাংলায়? শুধু ইংরেজিতে?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $n(U) = 100$ , বাংলায় পাস ৬০, ইংরেজিতে পাস ৫৫, দুটোতেই ফেল ৩৫
খুঁজতে হবে: দুটোতেই পাস, শুধু বাংলায় পাস, শুধু ইংরেজিতে পাস
কোন ধারণা কাজ করছে: বাইরের অংশ আগে জানা (৩৫)। তাই অন্তত একটাতে পাস $= 100 - 35$ । তারপর সূত্র উল্টো।

অন্তত একটাতে পাস: $100 - 35 = 65$ ।
দুটোতেই পাস: $60 + 55 - 65 = 50$ ।
শুধু বাংলায়: $60 - 50 = 10$ । শুধু ইংরেজিতে: $55 - 50 = 5$ ।

যাচাই: চার অংশ $10 + 50 + 5 + 35 = 100$ ✓

উত্তরের মানে কী: এখানে মাঝের অংশ আগে নয়, বাইরের অংশ আগে জানা ছিল। যেখান থেকে জানা, সেখান থেকে শুরু করো।

অঙ্ক ৫কঠিনসূত্র যাচাই

ডি মরগানের দ্বিতীয় সূত্র

$U = \{1, \ldots, 8\}$ , $A = \{2, 4, 6, 8\}$ , $B = \{1, 2, 3, 4\}$ নিয়ে দেখাও যে $(A \cap B)' = A' \cup B'$ ।

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $U$ , $A$ , $B$ উপরের মতো
খুঁজতে হবে: দুই পাশ সমান কি না
কোন ধারণা কাজ করছে: দুই পাশ আলাদা করে বের করে মেলাই।

$A \cap B = \{2, 4\}$ , তাই $(A \cap B)' = \{1, 3, 5, 6, 7, 8\}$ ।
$A' = \{1, 3, 5, 7\}$ , $B' = \{5, 6, 7, 8\}$ ।
$A' \cup B' = \{1, 3, 5, 6, 7, 8\}$ ।
দুই পাশ সমান ✓

যাচাই: উপাদান সংখ্যা দুই পাশেই ৬ ✓

উত্তরের মানে কী: মিলে গেল। আর ছবির নিয়মে এটা সবসময় মেলে: দুই পাশেই “মাঝের অংশ বাদে সব” রঙিন।

অঙ্ক ৬কঠিনসূত্র যাচাই

তিন সেটের বণ্টন সূত্র

$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ , $B = \{2, 4, 6, 8\}$ , $C = \{3, 6, 9\}$ নিয়ে দেখাও যে $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ ।

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: তিনটি সেট $A$ , $B$ , $C$
খুঁজতে হবে: দুই পাশ সমান কি না
কোন ধারণা কাজ করছে: বন্ধনী আগে। দুই পাশ আলাদা বের করে মেলাই।

বাম পাশ: $B \cup C = \{2, 3, 4, 6, 8, 9\}$ । $A \cap (B \cup C) = \{2, 3, 4, 6\}$ ।
ডান পাশ: $A \cap B = \{2, 4, 6\}$ , $A \cap C = \{3, 6\}$ । সংযোগ: $\{2, 3, 4, 6\}$ ।
দুই পাশ সমান ✓

যাচাই: উপাদান সংখ্যা ৪ আর ৪ ✓

উত্তরের মানে কী: এটা গুণ-যোগের বণ্টন সূত্র $a(b + c) = ab + ac$ এর মতো: ছেদ ভেতরে ঢুকে সংযোগের ওপর ছড়িয়ে গেল।

অঙ্ক ৭কঠিনধারণা পরীক্ষা

উপসেট হলে

$A = \{2, 4\}$ আর $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ । $A \subseteq B$ হলে $A \cup B$ আর $A \cap B$ কী হয়? $n(A \cup B)$ সূত্রে মেলাও।

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $A = \{2, 4\}$ , $B = \{1, \ldots, 6\}$ , $A \subseteq B$
খুঁজতে হবে: $A \cup B$ , $A \cap B$ , আর সূত্রের সঙ্গে মেলানো
কোন ধারণা কাজ করছে: $A$ পুরোটা $B$ এর ভেতরে, তাই ছবিতে ছোট বৃত্ত বড়টার ভেতর।

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = B$ ।
$A \cap B = \{2, 4\} = A$ ।
সূত্র: $n(A \cup B) = 2 + 6 - 2 = 6$ ✓

যাচাই: $A \setminus B = \varnothing$ , কারণ $A$ এর কিছুই $B$ এর বাইরে নেই ✓

উত্তরের মানে কী: $A \subseteq B$ হলে $A \cup B = B$ আর $A \cap B = A$ । বড় বৃত্ত ছোটটাকে গিলে ফেলে।

নিজে করো

n(A) = 18, n(B) = 14, n(A ∩ B) = 5 হলে n(A ∪ B) কত?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) ২৭। 18 + 14 − 5 = 27। ৩২ হলো ছেদ বাদ না দিয়ে শুধু যোগফল।

নিচের কোনটি সত্য?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′। (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′। 'কোনোটাতেই নেই' মানে 'A তে নেই এবং B তে নেই'।

৫০ জনের মধ্যে ৩০ জন চা আর ২০ জন কফি পছন্দ করে, ১০ জন দুটোই। কত জন কোনোটাই পছন্দ করে না?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) ১০। অন্তত একটা: 30 + 20 − 10 = 40। কোনোটাই নয়: 50 − 40 = 10।

প্রশ্ন ১. ২০০ জন পর্যটকের মধ্যে ১২০ জন কক্সবাজার, ৯০ জন সিলেট ঘুরেছে, ৪০ জন দুটোই। কত জন শুধু কক্সবাজার? কত জন কোনোটাই ঘোরেনি?

ইঙ্গিত দেখো

ভেনচিত্র আঁকো। মাঝের অংশ ৪০। শুধু-অংশ দুটো বের করে অন্তত একটা বের করো।

উত্তর দেখো

শুধু কক্সবাজার: $120 - 40 = 80$ । শুধু সিলেট: $90 - 40 = 50$ । অন্তত একটা: $80 + 40 + 50 = 170$ । কোনোটাই নয়: $200 - 170 = 30$ ।

প্রশ্ন ২. $U = \{1, \ldots, 10\}$ , $A = \{2, 3, 5, 7\}$ , $B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ নিয়ে $(A \cup B)' = A' \cap B'$ যাচাই করো।

ইঙ্গিত দেখো

$A \cup B$ , তারপর তার পূরক। অন্য পাশে $A'$ , $B'$ , তারপর ছেদ।

উত্তর দেখো

$A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 9\}$ , $(A \cup B)' = \{4, 6, 8, 10\}$ । $A' = \{1, 4, 6, 8, 9, 10\}$ , $B' = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ । $A' \cap B' = \{4, 6, 8, 10\}$ । দুই পাশ সমান ✓

মনে রাখো

দুবার গোনা এড়াতে: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ । ছেদ যোগ করার সময় দুবার ঢোকে, তাই একবার বাদ। ছাত্র-গোনার অঙ্কে ভেনচিত্রের চার অংশ ভেতর থেকে বাইরে পূরণ করো (মাঝ, শুধু-অংশ, বাইরে), আর শেষে যোগ করে $n(U)$ মেলাও। ডি মরগানের সূত্র: $(A \cup B)' = A' \cap B'$ আর $(A \cap B)' = A' \cup B'$ । সূত্র যাচাইয়ের সবচেয়ে ভালো উপায়: দুই পাশ আলাদা ছবিতে রঙ করে একই অংশ কি না দেখা। সাবধান: $n(A) + n(B)$ কখনো সোজা সংযোগ নয়, আর ডি মরগানে চিহ্ন বদলায়।

ভেনচিত্রে অঙ্ক ও সূত্র যাচাই

MCQ ও সৃজনশীল শর্টকাট

উত্তর যাচাইয়ের কৌশল

এই পাঠের সূত্রপত্র

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবে

ক্লাসের কতজন কোন খেলা পছন্দ করে: গুনব কীভাবে?

ভেনচিত্রে অঙ্ক সাজানো আর সূত্র যাচাইয়ের দুটো কৌশল

ভেনচিত্রে অঙ্ক ও সূত্র যাচাই নিয়ে ছয়টা পরিস্থিতি

ক্রিকেট আর ফুটবল

ছবিতে সূত্র মেলাও

তালিকা দিয়ে সূত্র মেলানো

উল্টো করে

ভুলটা ধরো

পরীক্ষার ধরনে

একই ধারণা, নানা রকম অঙ্ক

টিভি আর ফ্রিজ

সূত্র বসাও

ছেদ বের করো

পাস আর ফেলের ভেনচিত্র

ডি মরগানের দ্বিতীয় সূত্র

তিন সেটের বণ্টন সূত্র

উপসেট হলে

নিজে করো

মনে রাখো