পাঠ ৮গণিত

ফাংশন

পাঠের সারাংশ

ফাংশন এমন একটি নিয়ম, যাতে প্রতিটি x এর জন্য ঠিক একটি f(x) পাওয়া যায়। মান বের করা, অজানা মান খোঁজা আর ডোমেন চেনা শিখে নাও।

আগে পড়ে নাওঅন্বয়, ডোমেন ও রেঞ্জ

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

কোন সম্পর্ক ফাংশন, আর কোনটা নয়?

রিকশার ভাড়ার নিয়ম: প্রথম ১ কিলোমিটারে ২০ টাকা, তারপর প্রতি কিলোমিটারে ১৫ টাকা করে। ৪ কিলোমিটার গেলে ভাড়া কত? $20 + 15 \times 3 = 65$ টাকা।

এই নিয়মের একটা সুন্দর ধর্ম আছে: যত কিলোমিটারই বলো, ভাড়া হবে ঠিক একটাই। একই ৪ কিলোমিটারে কখনো ৬৫, কখনো ৭০ হয় না। এমন “একটা ইনপুট, ঠিক একটা আউটপুট” নিয়মকে বলে ফাংশন (function)।

আগের পাঠে অন্বয় দেখেছি, যেখানে একটা $x$ এর জন্য একাধিক $y$ থাকতে পারত। ফাংশন হলো সেই অন্বয়, যেখানে এমন হয় না।

নিজে দেখে বুঝো

নিজে বদলে দেখো

কোন ফাংশন নেবে?

ইনপুট x = −1

ইনপুট x−1

f(x) = x² − 4x + 3

আউটপুট f(−1)8

f(−1) = (−1)² − ৪ × (−1) + ৩

= 1 − (−4) + ৩

= 8

নিয়মটা বসানোর সময় x এর জায়গায় সংখ্যাটা বন্ধনীসহ বসিয়েছি। ঋণাত্মক হলে বন্ধনী না দিলে বর্গ আর চিহ্নে ভুল হয়। ডোমেন: যেকোনো সংখ্যা চলে।

f(x) = x² − 4x + 3 এর মানের তালিকা
x	−2	−1	0	1	2	3	4
f(x)	15	8	3	0	−1	0	3

একটা ফাংশন আর একটা x বাছো। মেশিন বসানোর ধাপগুলো লিখে দেবে। শেষ ফাংশনে x = 3 বাছো: কী হয়?

একটা মেশিনের ছবি। বাঁয়ে ইনপুট x, মাঝখানে ফাংশনের নিয়ম, ডানে আউটপুট f(x)। নিচে ধাপে ধাপে x বসানোর হিসাব লেখা। সবার নিচে x = -২ থেকে ৪ পর্যন্ত f(x) এর মানের একটা সারণি, যেখানে বাছা x এর ঘর রঙিন। কোনো x এর জন্য মান না থাকলে আউটপুট ঘর লাল হয়ে যায় আর কারণ লেখা আসে।

নিজে চেষ্টা করো: $f(x) = x^2 - 4x + 3$ নাও। $x = -1$ দাও। হিসাবটা বন্ধনীসহ কীভাবে লেখা হলো? তারপর $x = 1$ আর $x = 3$ দাও। আউটপুট কী? এমন $x$ গুলোকে কী বলে মনে হয়?

ফাংশনের সংজ্ঞা, চিহ্ন আর মান বসানো

ফাংশন। $A$ থেকে $B$ তে একটা অন্বয় $f$ কে ফাংশন বলে যদি $A$ এর (ডোমেনের) প্রতিটা $x$ এর জন্য $B$ তে ঠিক একটা $y$ থাকে। তির-চিত্রে: প্রতিটা $x$ থেকে ঠিক একটা তির বেরোবে। দুটো $x$ একই $y$ তে পৌঁছাতে পারে, তাতে অসুবিধা নেই।
চিহ্ন। $y = f(x)$ । পড়ো ” $y$ সমান $f$ অব $x$ ”। $x$ হলো স্বাধীন চলক (ইনপুট), যাকে ইচ্ছামতো বদলানো যায়। $y$ হলো অধীন চলক (আউটপুট), যা $x$ এর ওপর নির্ভর করে।
মান বের করা। $f(a)$ মানে $f(x)$ এর নিয়মে $x$ এর জায়গায় $a$ বসানো। যেমন $f(x) = x^2 - 4x + 3$ হলে $f(-1) = (-1)^2 - 4 \times (-1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8$ । ঋণাত্মক সংখ্যা সবসময় বন্ধনীতে বসাও।
অজানা সহগ। নিয়মে একটা অজানা অক্ষর থাকলে আর $f(a)$ এর মান বলা থাকলে, $x = a$ বসিয়ে সমীকরণ বানাও। সেটা সমাধান করলেই অজানা পাওয়া যায়।
ডোমেন। যেসব $x$ এর জন্য নিয়মটা অর্থপূর্ণ। হরে থাকলে হর শূন্য হওয়া $x$ বাদ। যেমন $f(x) = \dfrac{1}{x - 4}$ এর ডোমেন $x \ne 4$ । রেঞ্জ হলো পাওয়া সব $f(x)$ এর সেট।
ফাংশন নয় যখন। একটা $x$ এ দুটো $y$ পাওয়া গেলে। যেমন $x = y^2$ তে $x = 4$ এর জন্য $y = 2$ আর $y = -2$ ।

ফাংশন নিয়ে ছয়টা পরিস্থিতি

চেনা জীবন

রিকশা ভাড়া

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

রিকশা ভাড়ার নিয়ম: $f(x) = 20 + 15(x - 1)$ টাকা, যেখানে $x \ge 1$ কিলোমিটার। $f(1)$ , $f(4)$ আর $f(10)$ কত? $f(0)$ এর কি কোনো মানে আছে?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা: $x$ এর জায়গায় সংখ্যাটা বসাই, তারপর হিসাব।

$f(1) = 20 + 15 \times 0 = 20$ টাকা।
$f(4) = 20 + 15 \times 3 = 65$ টাকা।
$f(10) = 20 + 15 \times 9 = 155$ টাকা।
$f(0)$ : নিয়মে $x \ge 1$ বলা আছে। ০ কিলোমিটার তো যাত্রাই নয়। তাই $x = 0$ ডোমেনে নেই, এর কোনো ভাড়া নেই।

উত্তরের মানে কী: ডোমেন হলো ১ বা তার বেশি কিলোমিটার। প্রতিটার একটাই ভাড়া, তাই এটা ফাংশন।

ছবি / গ্রাফ

তির দেখে ফাংশন চেনো

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

নিজে দেখে বুঝো

নিজে বদলে দেখো

নিয়ম বাছো (প্রথম পদ x, দ্বিতীয় পদ y):

A = { 1, 2, 3, 4 }, B = { 2, 4, 6, 7 }, নিয়ম: y = 2x

R = { (1, 2), (2, 4), (3, 6) }

ডোমেন (প্রথম পদগুলো) = { 1, 2, 3 }

রেঞ্জ (দ্বিতীয় পদগুলো) = { 2, 4, 6 }

ফাংশন ✓ প্রতিটা x থেকে ঠিক একটা তির বেরিয়েছে।

A এর 4 থেকে কোনো তির নেই, তাই ওরা ডোমেনে নেই। B এর 7 এ কোনো তির আসেনি, তাই ওরা রেঞ্জে নেই।

তির-চিত্রে ফাংশন চেনার পরীক্ষা: কোনো x থেকে একাধিক তির বেরোলে সেটা ফাংশন নয়। (লাল তির দেখো)

আগের পাঠের তির-চিত্র। ফাংশন হলে সব তির নীল। যে x থেকে একাধিক তির বেরোয়, সেই তিরগুলো লাল হয়ে যায় আর লেখা আসে 'ফাংশন নয়'।

প্রতিটা নিয়ম একে একে বাছো। কোনগুলো ফাংশন? কোনগুলো নয়, আর কেন?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা: প্রতিটা $x$ থেকে কয়টা তির বেরোচ্ছে?

$y = 2x$ , $y = x + 1$ : প্রতিটা $x$ থেকে ঠিক একটা তির। ফাংশন।
$y = x^2$ : দুটো $x$ ( $-2$ আর $2$ ) একই $y$ ( $4$ ) এ পৌঁছেছে, কিন্তু প্রতিটা $x$ থেকে তির একটাই। ফাংশন।
$x < y$ আর $x > y$ : একটা $x$ থেকে একাধিক তির বেরোয় (যেমন ১ থেকে ২, ৩, ৪)। ফাংশন নয়।
$x = y^2$ : ১ থেকে $-1$ আর ১, দুটো তির। ফাংশন নয়।

উত্তরের মানে কী: “অনেকগুলো $x$ , একটা $y$ ” চলে। “একটা $x$ , অনেকগুলো $y$ ” চলে না। এই পার্থক্যটাই ফাংশনের সংজ্ঞা।

সংখ্যা

একই নিয়মে অনেক মান

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

দেওয়া আছে: $f(x) = x^2 + 3x - 2$
খুঁজতে হবে: $f(-2)$ , $f(0)$ , $f(3)$ আর $f\left(\frac{1}{2}\right)$
কোন সূত্র কেন: প্রতিবার $x$ এর জায়গায় সংখ্যাটা বন্ধনীসহ বসাই, তারপর ধাপে ধাপে হিসাব।

$f(-2) = (-2)^2 + 3 \times (-2) - 2 = 4 - 6 - 2 = -4$ ।
$f(0) = 0^2 + 3 \times 0 - 2 = -2$ ।
$f(3) = 3^2 + 3 \times 3 - 2 = 9 + 9 - 2 = 16$ ।
$f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 3 \times \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{2} - 2 = \frac{1}{4} + \frac{6}{4} - \frac{8}{4} = -\frac{1}{4}$ ।

যাচাই: দশমিকে: $0.25 + 1.5 - 2 = -0.25$ ✓

উত্তরের মানে কী: একই নিয়ম, চার ইনপুট, চার আউটপুট: $-4$ , $-2$ , $16$ , $-\frac{1}{4}$ । প্রতিটা $x$ এর একটাই মান, তাই এটা ফাংশন। ঋণাত্মক আউটপুটও চলে।

উল্টো করে

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

(ক) $g(x) = x^2 + kx - 6$ আর $g(2) = 0$ হলে $k$ কত? তখন $g(x) = 0$ এর আরেকটা $x$ কী?

(খ) $f(x) = ax + b$ আর $f(1) = 5$ , $f(2) = 8$ হলে $a$ , $b$ আর $f(3)$ কত?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা (ক): $x = 2$ বসিয়ে সমীকরণ বানাই: $g(2) = 4 + 2k - 6 = 0$ , তাই $2k = 2$ , $k = 1$ । তখন $g(x) = x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)$ । শূন্য হয় $x = 2$ বা $x = -3$ । আরেকটা $x = -3$ ।

ধারণা (খ): $f(1) = a + b = 5$ আর $f(2) = 2a + b = 8$ । বিয়োগ করে $a = 3$ । তখন $b = 2$ । $f(x) = 3x + 2$ । $f(3) = 11$ ।

যাচাই: $g(-3) = 9 - 3 - 6 = 0$ ✓। $f(1) = 5$ ✓, $f(2) = 8$ ✓

উত্তরের মানে কী: নিয়মে অজানা থাকলে যত মানের তথ্য দেওয়া, তত সমীকরণ। অজানা একটা হলে একটা তথ্যেই চলে, দুটো হলে দুটো লাগে।

ভুল ধরো

ভুলটা ধরো

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

তিনটা সমাধান। তিনটাই ভুল।

ক: $f(x) = x^2$ হলে $f(2 + 1) = f(2) + 1 = 5$ ।

খ: $f(x) = x^2 - 4x$ হলে $f(-1) = -1^2 - 4(-1) = -1 + 4 = 3$ ।

গ: $x = y^2$ একটা ফাংশন।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ক এর ভুল: $f(2 + 1) = f(3)$ , এখানে $x$ এর জায়গায় ৩ বসবে: $3^2 = 9$ । $f(2) + 1 = 4 + 1 = 5$ আলাদা জিনিস। ঠিক: $f(3) = 9$ ।

খ এর ভুল: ঋণাত্মক সংখ্যা বন্ধনীতে বসাতে হয়। $-1^2$ আর $(-1)^2$ আলাদা। ঠিক: $(-1)^2 - 4 \times (-1) = 1 + 4 = 5$ ।

গ এর ভুল: $x = 4$ এর জন্য $y = 2$ আর $y = -2$ , একটা ইনপুটে দুটো আউটপুট। ফাংশন নয়। (মজার কথা: $y$ কে ইনপুট আর $x$ কে আউটপুট ধরলে $x = y^2$ ফাংশন হয়, কারণ প্রতিটা $y$ এর জন্য $x$ একটাই। ফাংশন হওয়া নির্ভর করে কোনটাকে ইনপুট ধরছ তার ওপর।)

ঠিক নিয়ম: $x$ এর জায়গায় পুরো জিনিসটা বন্ধনীসহ বসাও। আর ফাংশন হতে প্রতিটা ইনপুটে একটাই আউটপুট।

পরীক্ষার ধরন

পরীক্ষার ধরনে

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

পরীক্ষায় এই ধারণা সাধারণত চার চেহারায় আসে:

(ক) ” $f(a)$ এর মান নির্ণয় করো।”
(খ) ” $f(a) = 0$ হলে অজানা সহগের মান নির্ণয় করো।”
(গ) “দেখাও যে $f\left(\frac{1}{y}\right) = \ldots$ ” (ভগ্নাংশ বসিয়ে সরল করা)।
(ঘ) “ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় করো।”

নিচে (গ) এর নমুনা, যেখানে ভগ্নাংশ বসাতে হয়।

দেওয়া আছে: $f(y) = \dfrac{y - 1}{y + 1}$ ( $y \ne 0$ , $y \ne -1$ )
খুঁজতে হবে: দেখাও যে $f\left(\dfrac{1}{y}\right) = -f(y)$
কোন সূত্র কেন: $y$ এর জায়গায় $\frac{1}{y}$ বসাই। ভগ্নাংশের ভেতরের ভগ্নাংশ সরল করতে লব আর হরকে $y$ দিয়ে গুণ করি।

$f\left(\dfrac{1}{y}\right) = \dfrac{\frac{1}{y} - 1}{\frac{1}{y} + 1}$ ।
লব আর হর দুটোকেই $y$ দিয়ে গুণ করি: $\dfrac{\left(\frac{1}{y} - 1\right) \times y}{\left(\frac{1}{y} + 1\right) \times y} = \dfrac{1 - y}{1 + y}$ ।
লবের $1 - y = -(y - 1)$ , আর হর $1 + y = y + 1$ । তাই $\dfrac{1 - y}{1 + y} = -\dfrac{y - 1}{y + 1} = -f(y)$ । ∎

যাচাই: $y = 3$ : $f(3) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ , $f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{\frac{1}{3} - 1}{\frac{1}{3} + 1} = \frac{-\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}} = -\frac{1}{2}$ ✓

উত্তরের মানে কী: $y$ এর জায়গায় $\frac{1}{y}$ বসালে আউটপুটের শুধু চিহ্ন বদলে যায়। পরীক্ষায় এমন প্রশ্নে ভয় পেয়ো না: বসাও, লব-হরকে $y$ দিয়ে গুণ করো, সরল করো।

একই ধারণা, নানা রকম অঙ্ক

অঙ্কগুলো সহজ থেকে ধীরে ধীরে কঠিন হয়েছে, আর সবগুলো একই পথে সমাধান করা। প্রতিটিতে আগে নিজে চেষ্টা করো। আটকে গেলে নিচের পাঁচটি ধাপ মিলিয়ে নাও, তারপর সমাধান দেখো।

আটকে গেলে এই পাঁচটি ধাপ

পড়ো: প্রশ্নটা দুবার পড়ো। নিজের ভাষায় বলো, কী ঘটছে?
লেখো: কী দেওয়া আছে, আর কী চাওয়া হয়েছে?
চেনো: কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে?
করো: ধাপে ধাপে, কিছু বাদ না দিয়ে।
মেলাও: উত্তরটা যুক্তিসঙ্গত কি না দেখো, আর উত্তরের মানে বলো।

অঙ্ক ১সহজগল্পের অঙ্ক

ইন্টারনেট প্যাকেজ

মোবাইল ইন্টারনেটের বিল $f(g) = 50 + 25g$ টাকা ( $g$ হলো জিবি)। $f(3)$ কত? $f(0)$ কত? বিল ২০০ টাকা হলে কত জিবি ব্যবহার হয়েছে?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $f(g) = 50 + 25g$
খুঁজতে হবে: $f(3)$ , $f(0)$ , আর $f(g) = 200$ হলে $g$
কোন ধারণা কাজ করছে: বসাই। শেষটা সমীকরণ।

$f(3) = 50 + 25 \times 3 = 125$ টাকা।
$f(0) = 50 + 0 = 50$ টাকা (একদম ব্যবহার না করলেও প্যাকেজ ফি)।
$50 + 25g = 200$ , তাই $25g = 150$ , $g = 6$ জিবি।

যাচাই: $f(6) = 50 + 150 = 200$ ✓

উত্তরের মানে কী: ফাংশনের একই নিয়ম দুই দিকেই কাজে লাগে: জিবি জানলে বিল, বিল জানলে জিবি।

অঙ্ক ২সহজসংখ্যা

চারটা মান

$f(x) = 3x - 2$ হলে $f(0)$ , $f(1)$ , $f(-3)$ আর $f\left(\frac{2}{3}\right)$ নির্ণয় করো।

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $f(x) = 3x - 2$
খুঁজতে হবে: চারটি মান
কোন ধারণা কাজ করছে: $x$ এর জায়গায় সংখ্যা বন্ধনীসহ বসাই।

$f(0) = 3 \times 0 - 2 = -2$ ।
$f(1) = 3 \times 1 - 2 = 1$ ।
$f(-3) = 3 \times (-3) - 2 = -9 - 2 = -11$ ।
$f\left(\frac{2}{3}\right) = 3 \times \frac{2}{3} - 2 = 2 - 2 = 0$ ।

যাচাই: $x = 1$ থেকে $x = 0$ এ গেলে মান ৩ কমে ( $1$ থেকে $-2$ ): সরল রেখার নিয়ম ✓

উত্তরের মানে কী: $f\left(\frac{2}{3}\right) = 0$ । এই $x$ কে বলে ফাংশনের শূন্য (পরের পাঠে লেখচিত্র অক্ষকে এখানেই ছোঁবে)।

অঙ্ক ৩মাঝারিধারণা পরীক্ষা

কোনটা ফাংশন?

নিচের অন্বয়গুলো ফাংশন কি না, কারণসহ বলো। (ক) $\{(1, 2), (2, 3), (3, 4)\}$ (খ) $\{(1, 2), (1, 3)\}$ (গ) $\{(1, 5), (2, 5), (3, 5)\}$ (ঘ) $\{(2, 1), (2, -1), (3, 0)\}$

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: চারটি অন্বয়
খুঁজতে হবে: কোনগুলো ফাংশন
কোন ধারণা কাজ করছে: প্রথম পদ ধরে দেখি: কোনো প্রথম পদ কি দুবার এসেছে, ভিন্ন দ্বিতীয় পদের সঙ্গে?

(ক) প্রথম পদ ১, ২, ৩ সবাই আলাদা। ফাংশন।
(খ) প্রথম পদ ১ দুবার, দ্বিতীয় পদ ২ আর ৩। ফাংশন নয়।
(গ) প্রথম পদ আলাদা (1, 2, 3), যদিও দ্বিতীয় পদ সবার ৫। ফাংশন (এমন ফাংশনকে ধ্রুবক ফাংশন বলে)।
(ঘ) প্রথম পদ ২ দুবার, দ্বিতীয় পদ ১ আর $-1$ । ফাংশন নয়।

যাচাই: ফাংশন: (ক), (গ)। ফাংশন নয়: (খ), (ঘ)।

উত্তরের মানে কী: দ্বিতীয় পদ বারবার এলে অসুবিধা নেই। প্রথম পদ বারবার এলে আর দ্বিতীয় পদ আলাদা হলে অসুবিধা।

অঙ্ক ৪মাঝারিডোমেন

কোন x চলে না?

$f(x) = \dfrac{1}{x - 4}$ এর ডোমেন কী? $f(5)$ , $f(3)$ আর $f(4)$ নির্ণয় করো।

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $f(x) = \dfrac{1}{x - 4}$
খুঁজতে হবে: ডোমেন; $f(5)$ , $f(3)$ , $f(4)$
কোন ধারণা কাজ করছে: হর শূন্য হলে ভাগ করা যায় না। তাই $x - 4 = 0$ হওয়া $x$ বাদ।

হর $x - 4 = 0$ হয় $x = 4$ এ। তাই ডোমেন: $4$ ছাড়া সব সংখ্যা, লিখি $x \ne 4$ ।
$f(5) = \dfrac{1}{5 - 4} = \dfrac{1}{1} = 1$ ।
$f(3) = \dfrac{1}{3 - 4} = \dfrac{1}{-1} = -1$ ।
$f(4) = \dfrac{1}{0}$ : কোনো মান নেই। ৪ ডোমেনে নেই।

যাচাই: $x$ যত ৪ এর কাছে যায়, $f(x)$ তত বড় (বা ঋণাত্মক বড়) হয়। 4.01 এ $f = 100$ ✓

উত্তরের মানে কী: ডোমেন বের করতে হরকে শূন্য ধরে সমীকরণ সমাধান করো। যে মান আসে সেটাই বাদ।

অঙ্ক ৫কঠিনবীজগণিত

অজানা সহগ

$h(x) = x^3 + ax^2 - x - 2$ এবং $h(1) = 0$ হলে $a$ এর মান কত? তখন $h(2)$ কত?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $h(x) = x^3 + ax^2 - x - 2$ , $h(1) = 0$
খুঁজতে হবে: $a$ , তারপর $h(2)$
কোন ধারণা কাজ করছে: $x = 1$ বসিয়ে সমীকরণ বানাই, $a$ বের করি, তারপর আবার বসাই।

$h(1) = 1^3 + a \times 1^2 - 1 - 2 = 1 + a - 1 - 2 = a - 2$ ।
$h(1) = 0$ তাই $a - 2 = 0$ , $a = 2$ ।
$h(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2$ । $h(2) = 8 + 8 - 2 - 2 = 12$ ।

যাচাই: $h(1) = 1 + 2 - 1 - 2 = 0$ ✓

উত্তরের মানে কী: $h(1) = 0$ মানে ১ এই ফাংশনের একটা শূন্য। এখান থেকে বহুপদীকে উৎপাদকে ভাঙার পথ পাওয়া যায় (পরে আসবে)।

অঙ্ক ৬কঠিনমিশ্র (বীজগণিত)

পাশাপাশি দুই মানের পার্থক্য

$f(x) = x^2 - x$ হলে দেখাও যে $f(a + 1) - f(a) = 2a$ । $a = 5$ বসিয়ে মিলিয়ে নাও।

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $f(x) = x^2 - x$
খুঁজতে হবে: প্রমাণ: $f(a + 1) - f(a) = 2a$
কোন ধারণা কাজ করছে: $x$ এর জায়গায় $(a + 1)$ বসাই (বন্ধনীসহ), তারপর বিয়োগ, তারপর সরল।

$f(a + 1) = (a + 1)^2 - (a + 1) = a^2 + 2a + 1 - a - 1 = a^2 + a$ ।
$f(a) = a^2 - a$ ।
বিয়োগ: $f(a + 1) - f(a) = (a^2 + a) - (a^2 - a) = 2a$ । ∎

যাচাই: $a = 5$ : $f(6) = 36 - 6 = 30$ , $f(5) = 25 - 5 = 20$ , পার্থক্য $10 = 2 \times 5$ ✓

উত্তরের মানে কী: $f(a + 1)$ আর $f(a)$ এক নয়। ফাংশনের নিয়মে পুরো $(a + 1)$ বসাতে হয়, আর বীজগণিতের সূত্র $(a + 1)^2 = a^2 + 2a + 1$ লাগে।

অঙ্ক ৭কঠিনসারণি

জোড় ফাংশন

$f(x) = 2x^2 - 1$ এর মান $x = -2, -1, 0, 1, 2$ এর জন্য লেখো। $f(-x)$ আর $f(x)$ এর মধ্যে কী সম্পর্ক দেখো?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $f(x) = 2x^2 - 1$
খুঁজতে হবে: পাঁচটা মান, আর $f(-x)$ বনাম $f(x)$
কোন ধারণা কাজ করছে: প্রতিবার বন্ধনীসহ বসাই। ঋণাত্মক $x$ এর বর্গ ধনাত্মক।

$f(-2) = 2 \times 4 - 1 = 7$ ।
$f(-1) = 2 \times 1 - 1 = 1$ ।
$f(0) = 0 - 1 = -1$ ।
$f(1) = 2 \times 1 - 1 = 1$ ।
$f(2) = 2 \times 4 - 1 = 7$ ।

সারণি: $x$ : $-2, -1, 0, 1, 2$ আর $f(x)$ : $7, 1, -1, 1, 7$ । দেখা যাচ্ছে $f(-1) = f(1)$ আর $f(-2) = f(2)$ ।

যাচাই: সাধারণভাবে $f(-x) = 2(-x)^2 - 1 = 2x^2 - 1 = f(x)$ ✓

উত্তরের মানে কী: $x$ আর $-x$ একই আউটপুট দেয়। লেখচিত্র আঁকলে (পরের পাঠ) ছবিটা $y$ -অক্ষের দুই পাশে হুবহু উল্টে মিলবে।

নিজে করো

f(x) = 2x² − 3 হলে f(−2) কত?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) ৫। f(−2) = 2 × (−2)² − 3 = 2 × 4 − 3 = 8 − 3 = 5। বন্ধনী ছাড়া −2² = −4 ধরলে ভুল (−11) আসে।

f(x) = 1 ÷ (x − 5) এর ডোমেনে নেই কোন সংখ্যা?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) ৫। x = 5 হলে হর ০ হয়, আর শূন্য দিয়ে ভাগ করা যায় না। তাই ৫ ডোমেনে নেই।

নিচের কোনটি ফাংশন নয়?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (গ) {(1, 2), (1, 5), (2, 4)}। {(1, 2), (1, 5), (2, 4)} তে প্রথম পদ ১ এর জন্য দুটো আউটপুট (২ আর ৫)। তাই ফাংশন নয়। প্রথমটায় দ্বিতীয় পদ সবার এক, তাতে অসুবিধা নেই।

প্রশ্ন ১. $f(x) = x^2 + 2x - 8$ হলে $f(-4)$ , $f(2)$ আর $f(0)$ নির্ণয় করো। কোন কোন $x$ এর জন্য $f(x) = 0$ হয় বলে মনে হয়?

ইঙ্গিত দেখো

তিনটা বসাও। যে দুটোতে ০ পেলে, সেগুলোই শূন্য।

উত্তর দেখো

$f(-4) = 16 - 8 - 8 = 0$ । $f(2) = 4 + 4 - 8 = 0$ । $f(0) = -8$ । শূন্য হয় $x = -4$ আর $x = 2$ এ। (যাচাই: $x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2)$ ✓)

প্রশ্ন ২. $g(x) = x^2 - kx + 6$ এবং $g(3) = 0$ হলে $k$ কত? তখন $g(2)$ কত?

ইঙ্গিত দেখো

$x = 3$ বসিয়ে সমীকরণ বানাও। $k$ পেলে $x = 2$ বসাও।

উত্তর দেখো

$g(3) = 9 - 3k + 6 = 15 - 3k = 0$ , তাই $k = 5$ । $g(x) = x^2 - 5x + 6$ । $g(2) = 4 - 10 + 6 = 0$ । (দুটোই শূন্য: $g(x) = (x - 2)(x - 3)$ ।)

মনে রাখো

ফাংশন: প্রতিটা ইনপুট $x$ এর জন্য ঠিক একটা আউটপুট $f(x)$ । তির-চিত্রে প্রতিটা $x$ থেকে একটাই তির (অনেক $x$ একই $y$ তে গেলে অসুবিধা নেই)। $f(a)$ বের করতে $x$ এর জায়গায় $a$ বন্ধনীসহ বসাও। অজানা সহগ থাকলে $f(a)$ এর মান দিয়ে সমীকরণ বানাও। ডোমেন: যে $x$ এর জন্য নিয়মটা অর্থপূর্ণ (হর শূন্য হলে বাদ)। সাবধান: $f(x + 1) \ne f(x) + 1$ , ঋণাত্মক $x$ বন্ধনীতে, আর একটা $x$ এ দুটো $y$ হলে সেটা ফাংশন নয়।

ফাংশন

MCQ ও সৃজনশীল শর্টকাট

উত্তর যাচাইয়ের কৌশল

এই পাঠের সূত্রপত্র

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবে

কোন সম্পর্ক ফাংশন, আর কোনটা নয়?

ফাংশনের সংজ্ঞা, চিহ্ন আর মান বসানো

ফাংশন নিয়ে ছয়টা পরিস্থিতি

রিকশা ভাড়া

তির দেখে ফাংশন চেনো

একই নিয়মে অনেক মান

উল্টো করে

ভুলটা ধরো

পরীক্ষার ধরনে

একই ধারণা, নানা রকম অঙ্ক

ইন্টারনেট প্যাকেজ

চারটা মান

কোনটা ফাংশন?

কোন x চলে না?

অজানা সহগ

পাশাপাশি দুই মানের পার্থক্য

জোড় ফাংশন

নিজে করো

মনে রাখো