তিন রাশির যোগফলের বর্গ

5 + 3 + 2 বাহুর বর্গে নয়টি অংশ কেন?

পুরো বর্গের ভেতরের অংশ

একটি বর্গের বাহু $5 + 3 + 2 = 10$ মিটার। ক্ষেত্রফল $10^2 = 100$ বর্গমিটার।

বাহুটিকে তিন ভাগ করে দুই দিকেই রেখা টানলে নয়টি অংশ হয়। তিনটি বর্গের ক্ষেত্রফল $25$ , $9$ , $4$ । বাকি ছয়টি আয়তক্ষেত্র কোথা থেকে আসে?

আজ ছবির ওই নয়টি অংশ থেকেই $(a + b + c)^2$ খুলব।

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

নয়টি অংশ থেকে ছয় পদের সূত্র

নিজে দেখে বুঝো

নিজে বদলে দেখো

a = 5

b = 3

c = 2

(5 + 3 + 2)² = 10² = 100

টুকরো যোগ করে: 25 + 9 + 4 + 30 + 12 + 20 = 100

দুই পাশ সমান ✓ (100 = 100)

তিনটা বর্গ (a², b², c²) আর ছয়টা আয়তক্ষেত্র (ab দুটো, bc দুটো, ca দুটো)।

বীজগণিতে প্রমাণ: (a + b + c)² কে খুলে

(a + b + c)²← বর্গ মানে নিজের সঙ্গে গুণ
= (a + b + c)(a + b + c)← নিজের সঙ্গে গুণ
= a(a + b + c) + b(a + b + c) + c(a + b + c)← প্রথম বন্ধনীর তিন পদ দিয়ে গুণ
= a² + ab + ac + ba + b² + bc + ca + cb + c²← সব বন্ধনী খুলি (নয়টা পদ)
= a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca← ab = ba, bc = cb, ca = ac, তাই জোড়া পদ যোগ

তাই (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca ∎

এই প্রমাণ সব সংখ্যার জন্য খাটে, কারণ কোথাও কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা বসাইনি। ওপরে সংখ্যা বসানো যাচাই শুধু কয়েকটা সংখ্যায়।

a, b, c বদলে তিনটি বর্গ ও ছয়টি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল মেলাও।

a + b + c বাহুর বর্গকে তিন সারি ও তিন কলামে ভাগ করা। তিনটি বর্গ a², b², c² এবং জোড়ায় জোড়ায় ছয়টি আয়তক্ষেত্র ab, bc, ca।

ছবির প্রমাণ

বড় বর্গে তিনটি ছোট বর্গ: $a^2$ , $b^2$ , $c^2$ ।

$a$ ও $b$ বাহুর আয়তক্ষেত্র দুটি, তাই $2ab$ । একইভাবে $2bc$ ও $2ca$ । সব অংশ যোগ করলে

$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

বীজগণিতের প্রমাণ

এবার লাইন ধরে:

$(a + b + c)^2$

$= \{(a + b) + c\}^2$ ← প্রথম দুই পদকে একসঙ্গে নিলাম

$= (a + b)^2 + 2(a + b)c + c^2$ ← দুই পদের বর্গ

$= a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2$ ← দুই বন্ধনী খুললাম

$= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ ← পদ সাজালাম।

সংখ্যায় যাচাই

$a = 2$ , $b = 3$ , $c = 4$ নিলে বাম পাশ $9^2 = 81$ । ডান পাশ $4 + 9 + 16 + 12 + 24 + 16 = 81$ ।

তিনটি বর্গ, তিনটি দ্বিগুণ গুণফল

প্রথমে প্রতিটি পদের বর্গ। তারপর তিনটি জোড়া—ab, bc, ca—প্রতিটির দ্বিগুণ। মোট ছয়টি পদ।

চিহ্ন কীভাবে ঠিক হবে

ঋণাত্মক পদকে চিহ্নসহ বসাও। যেমন $(a - b + c)^2$ -এ পদ তিনটি $a$ , $-b$ , $c$ ।

বর্গগুলো ধনাত্মক। কিন্তু $2a(-b) = -2ab$ , $2(-b)c = -2bc$ , $2ca = +2ca$ ।

$(a - b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc + 2ca$

পদ তিনটি চিহ্নসহ লিখে শুরু করি

বন্ধনী দেখেই খুলবে না। আগে পদ তিনটি আলাদা করে লেখো। তারপর তিনটি বর্গ ও তিনটি দ্বিগুণ গুণফল বের করো।

একসাথে করি ১

(x + 2y + 3)² খুলি

$(x + 2y + 3)^2$ খোলো।

পড়ি
তিন পদের একটি বর্গ। পদ তিনটি $x$ , $2y$ , $3$ ।
আঁকি
তিনটি বর্গ লিখি: $x^2$ , $4y^2$ , $9$ । তিন জোড়া: $(x,2y)$ , $(2y,3)$ , $(3,x)$ ।
ভাবি
প্রতিটি জোড়ার গুণফল দ্বিগুণ হবে।
করি
$2(x)(2y) = 4xy$ , $2(2y)(3) = 12y$ , $2(3)(x) = 6x$ । উত্তর $x^2 + 4y^2 + 9 + 4xy + 12y + 6x$ ।
মেলাই
$x = 1$ , $y = 1$ : বাম $6^2 = 36$ ; ডান $1 + 4 + 9 + 4 + 12 + 6 = 36$ ✓

একসাথে করি ২

যোগফল থেকে বর্গের যোগ

$a + b + c = 10$ এবং $ab + bc + ca = 31$ হলে $a^2 + b^2 + c^2$ কত?

পড়ি
মোট যোগ ও জোড়া গুণফলের যোগ জানা। বর্গের যোগ চাই।
আঁকি
পুরো বর্গের নয় অংশে তিন বর্গ আলাদা করি; ছয় আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $2(ab + bc + ca)$ ।
ভাবি
$a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca)$ ।
করি
$10^2 - 2 \times 31 = 100 - 62 = 38$ ।
মেলাই
$a = 2$ , $b = 3$ , $c = 5$ : যোগ $10$ , জোড়া গুণফল $6 + 15 + 10 = 31$ , বর্গের যোগ $4 + 9 + 25 = 38$ ✓

তিন ধরনের অঙ্ক, প্রতিটিতে চারটি

প্রথম ধরনে বর্গ খুলব, দ্বিতীয় ধরনে সূত্র ঘুরিয়ে অজানা রাশি বের করব, তৃতীয় ধরনে সংখ্যা, পার্থক্য ও প্রমাণের অঙ্ক করব।

ধরন ১

তিন পদের বর্গ খোলা

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

বন্ধনীর ভেতরে তিনটি পদ এবং বাইরে বর্গ; পদে সহগ বা ঋণ চিহ্ন থাকতে পারে।

সমাধানের ধাপ

পদ তিনটি চিহ্নসহ A, B, C লেখো
A², B², C² বের করো
2AB, 2BC, 2CA চিহ্নসহ বের করো
ছয় পদ যোগ করে ছোট সংখ্যা বসিয়ে মেলাও

অঙ্ক ১.১সহজ

(x + y + z)² খোলো

$(x + y + z)^2$ খোলো।

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

ছয় পদ

$x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx$ ।

উত্তর

$(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx$ ।

যাচাই

$x = y = z = 1$ : বাম $9$ ; ডান $3 + 6 = 9$ ✓

অঙ্ক ১.২মাঝারি

(2a + b + 3)² খোলো

$(2a + b + 3)^2$ খোলো।

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

বর্গ

$4a^2 + b^2 + 9$ ।

দ্বিগুণ গুণফল

$4ab + 6b + 12a$ ।

উত্তর

$4a^2 + b^2 + 9 + 4ab + 6b + 12a$ ।

যাচাই

$a = 1$ , $b = 1$ : বাম $6^2 = 36$ ; ডান $4 + 1 + 9 + 4 + 6 + 12 = 36$ ✓

অঙ্ক ১.৩মাঝারি

(p − 2q + r)² খোলো

$(p - 2q + r)^2$ খোলো।

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

বর্গ

$p^2 + 4q^2 + r^2$ ।

গুণফল

$-4pq - 4qr + 2rp$ ।

উত্তর

$p^2 + 4q^2 + r^2 - 4pq - 4qr + 2rp$ ।

যাচাই

$p = 3$ , $q = 1$ , $r = 1$ : বাম $2^2 = 4$ ; ডান $9 + 4 + 1 - 12 - 4 + 6 = 4$ ✓

অঙ্ক ১.৪কঠিন

(3x − 2y − z)² খোলো

$(3x - 2y - z)^2$ খোলো।

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

বর্গ

$9x^2 + 4y^2 + z^2$ ।

গুণফল

$-12xy + 4yz - 6zx$ ।

উত্তর

$9x^2 + 4y^2 + z^2 - 12xy + 4yz - 6zx$ ।

যাচাই

$x = y = z = 1$ : বাম $(3 - 2 - 1)^2 = 0$ ; ডান $9 + 4 + 1 - 12 + 4 - 6 = 0$ ✓

ধরন ২

যোগ, বর্গ ও জোড়া গুণফলের সম্পর্ক

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

a + b + c, a² + b² + c², ab + bc + ca—এই তিনটির দুটি দেওয়া, তৃতীয়টি চাওয়া।

সমাধানের ধাপ

সূত্রকে তিনটি দলের আকারে লেখো
জানা দুটি মান বসাও
অজানা দল আলাদা করো
সম্ভব হলে একটি সংখ্যা-ত্রয়ী দিয়ে যাচাই করো

অঙ্ক ২.১সহজ

জোড়া গুণফলের যোগ বের করো

$a + b + c = 9$ এবং $a^2 + b^2 + c^2 = 29$ হলে $ab + bc + ca$ কত?

সমাধান

সূত্র ঘুরিয়ে

সমীকরণ

$81 = 29 + 2(ab + bc + ca)$ ।

উত্তর

$ab + bc + ca = 52 \div 2 = 26$ ।

যাচাই

$a = 2$ , $b = 3$ , $c = 4$ : $6 + 12 + 8 = 26$ ✓

অঙ্ক ২.২মাঝারি

বর্গের যোগ বের করো

$a + b + c = 8$ এবং $ab + bc + ca = 19$ হলে $a^2 + b^2 + c^2$ কত?

সমাধান

সূত্র ঘুরিয়ে

বসাই

$a^2 + b^2 + c^2 = 64 - 38$ ।

উত্তর

$26$ ।

যাচাই

$a = 1$ , $b = 3$ , $c = 4$ : যোগ $8$ , জোড়া গুণফল $3 + 12 + 4 = 19$ , বর্গের যোগ $1 + 9 + 16 = 26$ ✓

অঙ্ক ২.৩মাঝারি

যোগফল বের করো

$a$ , $b$ , $c$ ধনাত্মক; $a^2 + b^2 + c^2 = 35$ এবং $ab + bc + ca = 23$ হলে $a + b + c$ কত?

সমাধান

সূত্র ঘুরিয়ে

বর্গ

$(a + b + c)^2 = 81$ ।

উত্তর

$a + b + c = 9$ ।

যাচাই

$a = 1$ , $b = 3$ , $c = 5$ : বর্গের যোগ $35$ , জোড়া গুণফল $23$ , যোগ $9$ ✓

অঙ্ক ২.৪কঠিন

ঋণাত্মক যোগফল

$a + b + c < 0$ , $a^2 + b^2 + c^2 = 14$ এবং $ab + bc + ca = 11$ হলে $a + b + c$ কত?

সমাধান

সূত্র ঘুরিয়ে

বর্গ

$(a + b + c)^2 = 36$ ।

চিহ্ন বাছি

$a + b + c < 0$ ।

উত্তর

$a + b + c = -6$ ।

যাচাই

$a = -1$ , $b = -2$ , $c = -3$ : বর্গের যোগ $14$ , জোড়া গুণফল $2 + 6 + 3 = 11$ , যোগ $-6$ ✓

ধরন ৩

সরলীকরণ ও প্রয়োগ

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

সংখ্যার বর্গ, পার্থক্যের বর্গের যোগ, যোগফল শূন্য, বা ক্ষেত্রফলের গল্পে সূত্রটি লুকানো থাকে।

সমাধানের ধাপ

চাওয়া রাশিকে সূত্রের পরিচিত দল দিয়ে লেখো
দেওয়া মান থেকে দরকারি দল বের করো
ধাপে ধাপে বসাও
সরাসরি হিসাব বা সংখ্যা দিয়ে যাচাই করো

অঙ্ক ৩.১সহজ

123² সূত্রে বের করো

$123^2$ তিন পদের সূত্রে বের করো।

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

বর্গের যোগ

$10000 + 400 + 9 = 10409$ ।

গুণফল

$2(2000 + 60 + 300) = 4720$ ।

উত্তর

$10409 + 4720 = 15129$ ।

যাচাই

$123 \times 123 = 15129$ ✓

অঙ্ক ৩.২মাঝারি

তিন পার্থক্যের বর্গের যোগ

$a + b + c = 12$ এবং $a^2 + b^2 + c^2 = 50$ হলে $(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2$ কত?

সমাধান

দুই ধাপে

জোড়া গুণফল

$ab + bc + ca = (144 - 50) \div 2 = 47$ ।

বসাই

$2 \times 50 - 2 \times 47 = 100 - 94$ ।

উত্তর

$6$ ।

যাচাই

$a = 3$ , $b = 4$ , $c = 5$ : $1 + 1 + 4 = 6$ ✓

অঙ্ক ৩.৩মাঝারি

যোগফল শূন্য হলে প্রমাণ

$a + b + c = 0$ হলে প্রমাণ করো, $a^2 + b^2 + c^2 = -2(ab + bc + ca)$ ।

সমাধান

সূত্র থেকে

বসাই

$0 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)$ ।

উত্তর

$a^2 + b^2 + c^2 = -2(ab + bc + ca)$ । ∎

যাচাই

$a = 1$ , $b = 2$ , $c = -3$ : বাম $14$ ; ডান $-2(2 - 6 - 3) = 14$ ✓

অঙ্ক ৩.৪কঠিন

নয় অংশের মাঠ

১১ মিটার বাহুর বর্গাকার মাঠের এক দিক $6 + 4 + 1$ মিটারে ভাগ করা। তিন বর্গ অংশ ও ছয় আয়তক্ষেত্র অংশের মোট ক্ষেত্রফল আলাদা করে বের করো।

সমাধান

ক্ষেত্রফল যোগ করে

তিন বর্গ

$36 + 16 + 1 = 53$ বর্গমিটার।

ছয় আয়তক্ষেত্র

$2(24 + 4 + 6) = 68$ বর্গমিটার।

উত্তর

দুই অংশ যথাক্রমে $53$ ও $68$ বর্গমিটার; মোট $121$ বর্গমিটার।

যাচাই

$11^2 = 121$ এবং $53 + 68 = 121$ ✓

সহগ ও চিহ্নের ভুল ধরো, তারপর নিজে করো

নিচের অঙ্কগুলো নিজে করো। আটকে গেলে ইঙ্গিত দেখো, তারপর উত্তর মিলিয়ে নাও।

ভুল ধরো

তিনটি ভুল সমাধান

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

ক: $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2$ ।

খ: $(a - b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc - 2ca$ ।

গ: $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca$ ।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ক: তিন জোড়ার দ্বিগুণ গুণফল বাদ গেছে।

খ: $(-b)(-c) = +bc$ , তাই $bc$ -এর পদ $+2bc$ হবে।

গ: প্রতিটি জোড়া ছবিতে দুবার আছে, তাই সহগ ২।

যাচাই: $a = b = c = 1$ নিলে সঠিক সূত্রে $9$ আসে; ক-তে $3$ , গ-তে $6$ ।

(a + b + c)²-এ ab-এর সহগ কত?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) ২। দুটি ab অংশের জন্য পদটি 2ab।

(x − y − z)²-এ yz-এর পদ কোনটি?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) +2yz। 2(−y)(−z) = +2yz।

প্রশ্ন ১. $(3p + q - 2r)^2$ খোলো।

ইঙ্গিত দেখো

পদ তিনটি $3p$ , $q$ , $-2r$ ।

উত্তর দেখো

$9p^2 + q^2 + 4r^2 + 6pq - 4qr - 12rp$ ।

প্রশ্ন ২. $a + b + c = 7$ এবং $a^2 + b^2 + c^2 = 21$ হলে $ab + bc + ca$ কত?

ইঙ্গিত দেখো

$49 = 21 + 2(ab + bc + ca)$ ।

উত্তর দেখো

$ab + bc + ca = 14$ । যাচাই: $1, 2, 4$ নিলে $2 + 8 + 4 = 14$ ।

মনে রাখো

সূত্র: $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ ।
পদ্ধতি: পদ তিনটি চিহ্নসহ লেখো; তিন বর্গ, তারপর তিন দ্বিগুণ গুণফল।
সম্পর্ক: যোগফলের বর্গ = বর্গের যোগ + জোড়া গুণফলের দ্বিগুণ।
যাচাই: ছোট সংখ্যা বসিয়ে ছয়টি পদ ও চিহ্ন মেলাও।