যোগ ও বিয়োগের ঘন

ঘনকের বাহু ১ বাড়ালে আয়তন কতটা বাড়ে?

৮ থেকে ২৭: মাঝের ১৯ কোথায় গেল

একটা ঘনক আকৃতির বাক্সের প্রতি বাহু ২ সে.মি.। আয়তন $2^3 = 8$ ঘন সে.মি.। বাহু ১ সে.মি. বাড়িয়ে ৩ সে.মি. করলাম। এখন আয়তন $3^3 = 27$ । তাহলে আয়তন বাড়ল $27 - 8 = 19$ ।

প্রশ্ন হলো: এই ১৯ এল কোথা থেকে? শুধু " $1^3 = 1$ " তো নয়! বর্গের বেলায় আমরা দেখেছিলাম, বাড়তি অংশ দুটো ফালি আর একটা কোণা। ঘনকের বেলায় বাড়তি অংশ কেমন হবে, একটু ভাবো।

আজ আমরা একটা ঘনকে আট টুকরো করে এই প্রশ্নের উত্তর খুঁজব। আর পাব $(a + b)^3$ এর সূত্র।

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

আট টুকরোয় ঘনের সূত্র

বাহু $a + b$ এর একটা ঘনক নাও। তার প্রতিটা ধার দুই ভাগে ভাগ করো: $a$ আর $b$ । তিন দিকেই ভাগ করলে ঘনকটা আপনাআপনি আট টুকরো হয়ে যাবে। নিচের বোর্ডে “খুলে দেখো” স্লাইডার টেনে টুকরোগুলো আলাদা করো।

নিজে দেখে বুঝো

নিজে বদলে দেখো

a = 5 b = 2 খুলে দেখো

টুকরো	কয়টা	প্রতিটার আয়তন	মোট
a³	1	125	125
3 × a²b	3	50	150
3 × ab²	3	20	60
b³	1	8	8

সব টুকরো যোগ: 125 + 150 + 60 + 8 = 343। পুরো ঘনের আয়তন (5 + 2)³ = 7³ = 343। সমান ✓

বীজগণিতে প্রমাণ: (a + b)³ কে খুলে

(a + b)³← ঘন মানে বর্গ আর আরেকটা গুণ
= (a + b)(a + b)²← (a + b)³ = (a + b) × (a + b)²
= (a + b)(a² + 2ab + b²)← বর্গের সূত্র বসাই
= a(a² + 2ab + b²) + b(a² + 2ab + b²)← বণ্টন
= a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³← প্রতিটা পদ গুণ করি
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³← 2a²b + a²b = 3a²b আর ab² + 2ab² = 3ab²

তাই (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ ∎

এই প্রমাণ সব সংখ্যার জন্য খাটে, কারণ কোথাও কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা বসাইনি। ওপরে সংখ্যা বসানো যাচাই শুধু কয়েকটা সংখ্যায়।

a আর b বদলাও, আর স্লাইডার টেনে আট টুকরো আলাদা করে দেখো। প্রতি রঙের টুকরোর সংখ্যা আর আয়তন নিচের ছকে।

একটা ঘনক আট টুকরোয় ভাগ করা। একটা বড় ঘনক a বাহুর, একটা ছোট ঘনক b বাহুর, তিনটা টুকরো a বাই a বাই b, আর তিনটা টুকরো a বাই b বাই b। নিচের ছকে প্রতি ধরনের টুকরোর সংখ্যা ও আয়তন, আর সবার যোগফল পুরো ঘনের আয়তনের সমান।

আট টুকরো থেকে (a + b)³ এর সূত্র

১. বড় ঘনকের আয়তন $(a + b)^3$ ।

২. আট টুকরো: একটা $a \times a \times a = a^3$ (সবচেয়ে বড়), একটা $b^3$ (সবচেয়ে ছোট), তিনটা $a \times a \times b = a^2b$ , আর তিনটা $a \times b \times b = ab^2$ ।

৩. সব টুকরো যোগ করলে পুরো ঘনক:

$(\textcolor{#3b78f0}{a} + \textcolor{#e5651a}{b})^3 = \textcolor{#3b78f0}{a^3} + \textcolor{#12a373}{3a^2b + 3ab^2} + \textcolor{#e5651a}{b^3}$

শুরুর ১৯ এর উত্তর

৪. শুরুর ধাঁধার উত্তর: $a = 2$ , $b = 1$ হলে $a^3 = 8$ আগের ঘনক। বাড়তি অংশ $3a^2b + 3ab^2 + b^3 = 12 + 6 + 1 = 19$ । ফালি, ফালি, আর কোণার ছোট ঘনক: ঠিক ১৯ ✓।

লাইন ধরে প্রমাণ: ছবি ছাড়া শুধু বীজগণিতে

ছবি ছাড়া শুধু বীজগণিতে প্রমাণও দেখি। আগের পাঠের সূত্র $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ কাজে লাগবে।

$(a + b)^3$

$= (a + b)(a + b)^2$ ← ঘন মানে বর্গ আর আরেকটা গুণ

$= (a + b)(a^2 + 2ab + b^2)$ ← বর্গের সূত্র বসালাম

$= a(a^2 + 2ab + b^2) + b(a^2 + 2ab + b^2)$ ← বন্টন

$= a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3$ ← প্রতিটা পদ গুণ করে

$= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ ← সমজাতীয় পদ যোগ: $2a^2b + a^2b = 3a^2b$ , $ab^2 + 2ab^2 = 3ab^2$ । ∎

(a − b)³: b এর জায়গায় −b

$(a - b)^3$ এর জন্য নতুন ছবি লাগে না। সূত্রে $b$ এর জায়গায় $-b$ বসাও:

$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

ঘনের সূত্র মনে রাখার উপায়

চিহ্নের নিয়ম: $(a + b)^3$ এ সব চিহ্ন যোগ। $(a - b)^3$ এ চিহ্ন একটা পরপর বদলায়: +, −, +, −। আর মাঝের দুই পদের সহগ $3$ আর $3$ ।

ছবি / গ্রাফ

a = 2, b = 1 বসিয়ে বোর্ডে মেলাও

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

বোর্ডে $a = 2$ , $b = 1$ রাখো। ছকের চার সারির আয়তন কী কী? সব যোগ করলে ২৭ হলো কি?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ছকে: $a^3 = 8$ , $3a^2b = 12$ , $3ab^2 = 6$ , $b^3 = 1$ । যোগ $8 + 12 + 6 + 1 = 27 = 3^3$ ✓। $(a - b)^3$ এ একই মান বসালে $8 - 12 + 6 - 1 = 1 = 1^3$ ✓।

আগে A ও B চেনো

ঘনের সূত্রে চারটা পদ, তাই ভুলের জায়গাও বেশি। এই কারণে শুরুতেই একটা নিয়ম বানিয়ে নিই: আগে $A$ আর $B$ আলাদা করে লিখব, তারপর চারটা অংশ আলাদা আলাদা বের করব। প্রতিটা অঙ্কে একই পাঁচ ধাপ।

একসাথে করি ১

(x + 3)³ খোলার পুরো পথ

$(x + 3)^3$ কে খুলে লেখো।

পড়ি
বন্ধনীর ওপরে ৩, আর ভেতরে দুটো পদ যোগ করা। মানে $(A + B)^3$ এর চেহারা।
আঁকি
একটা ঘনক কল্পনা করো যার ধার $x + 3$ । আট টুকরো: একটা $x^3$ , একটা $3^3 = 27$ , তিনটা $x \times x \times 3$ , তিনটা $x \times 3 \times 3$ ।
ভাবি
ছাঁচ: $A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$ । এখানে $A = x$ , $B = 3$ । পুরো পদটাই বসাতে হবে, তাই $B^2$ লিখব $3^2 = 9$ ।
করি
চার অংশ আলাদা করে:
- $A^3 = x^3$
- $3A^2B = 3 \times x^2 \times 3 = 9x^2$
- $3AB^2 = 3 \times x \times 9 = 27x$
- $B^3 = 27$
জুড়ে: $(x + 3)^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27$ ।
মেলাই
$x = 1$ বসাই: বাম $4^3 = 64$ , ডান $1 + 9 + 27 + 27 = 64$ । আবার $x = 2$ : বাম $125$ , ডান $8 + 36 + 54 + 27 = 125$ । দুটোতেই মিলেছে।

একসাথে করি ২

99³ গুণ না করে বের করা

গুণ না করে $99^3$ বের করো।

পড়ি
একটা সংখ্যার ঘন চাই, কিন্তু তিনবার গুণ করা যাবে না। ঘনের সূত্র বসানোর মতো করে সংখ্যাটা ভাঙতে হবে।
আঁকি
সংখ্যারেখায় ৯৯ আছে ১০০ থেকে মাত্র ১ আগে। তাই $99 = 100 - 1$ ।
ভাবি
১০০ নিয়ে হিসাব সহজ। এটা বিয়োগের ঘন: $A = 100$ , $B = 1$ । চিহ্ন পালটাবে: +, −, +, −।
করি
$(100 - 1)^3 = 100^3 - 3 \times 100^2 \times 1 + 3 \times 100 \times 1^2 - 1^3 = 1000000 - 30000 + 300 - 1$ ।
পরপর হিসাব: $1000000 - 30000 = 970000$ , $+ 300 = 970300$ , $- 1 = 970299$ ।
মেলাই
৯৯ কিছু কম ১০০, তাই ঘনও $1000000$ এর একটু নিচে হওয়া উচিত। $970299$ তাই। শেষ অঙ্ক: $9 \times 9 \times 9 = 729$ , শেষ অঙ্ক ৯ ✓।

ঘনের সূত্রের চার ব্যবহার

ঘনের সূত্র থেকে বইয়ের অঙ্ক চার ধরনে আসে: ঘন খোলা, সংখ্যার ঘন, $a + b$ আর $ab$ থেকে $a^3 + b^3$ বের করা, আর ঘনকের গল্প। প্রতিটার প্রথম অঙ্কটা বইয়ের উদাহরণের মতো, বাকি তিনটা একই ধরনের আরও অঙ্ক।

ধরন ১

রাশির ঘন খোলো

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে বলা থাকে 'ঘন নির্ণয় করো' বা 'সূত্র প্রয়োগ করে খোলো', আর বন্ধনীর ওপরে ৩ থাকে।

সমাধানের ধাপ

প্রথম পদ A আর দ্বিতীয় পদ B আলাদা করে লেখো, চিহ্নসহ
ছাঁচ লেখো: A³ ± 3A²B + 3AB² ± B³
চার অংশ আলাদা করে হিসাব করো
জুড়ে লিখে ছোট একটা সংখ্যা বসিয়ে মেলাও

অঙ্ক ১.১সহজ

(x + 2)³ খোলো

$(x + 2)^3$ কে খুলে লেখো।

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

চার অংশ

$A^3 = x^3$ । $3A^2B = 3 \times x^2 \times 2 = 6x^2$ । $3AB^2 = 3 \times x \times 2^2 = 12x$ । $B^3 = 8$ ।

জুড়ে লিখি

$(x + 2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$ ।

যাচাই

$x = 1$ : বাম $27$ , ডান $1 + 6 + 12 + 8 = 27$ ✓

অঙ্ক ১.২মাঝারি

(3a − 2b)³ খোলো

$(3a - 2b)^3$ খোলো।

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

চার অংশ

$A^3 = 27a^3$ । $3A^2B = 3 \times 9a^2 \times 2b = 54a^2b$ । $3AB^2 = 3 \times 3a \times 4b^2 = 36ab^2$ । $B^3 = 8b^3$ ।

চিহ্ন বসিয়ে জুড়ি

$27a^3 - 54a^2b + 36ab^2 - 8b^3$ ।

যাচাই

$a = 1$ , $b = 1$ : বাম $(3 - 2)^3 = 1$ । ডান $27 - 54 + 36 - 8 = 1$ ✓

অঙ্ক ১.৩মাঝারি

(x/2 + 2)³ খোলো

$\left(\dfrac{x}{2} + 2\right)^3$ খোলো।

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

চার অংশ

$A^3 = \dfrac{x^3}{8}$ । $3A^2B = 3 \times \dfrac{x^2}{4} \times 2 = \dfrac{3x^2}{2}$ । $3AB^2 = 3 \times \dfrac{x}{2} \times 4 = 6x$ । $B^3 = 8$ ।

জুড়ে লিখি

$\dfrac{x^3}{8} + \dfrac{3x^2}{2} + 6x + 8$ ।

যাচাই

$x = 2$ : বাম $(1 + 2)^3 = 27$ । ডান $1 + 6 + 12 + 8 = 27$ ✓

অঙ্ক ১.৪কঠিন

(2 − 3y)³ খোলো

$(2 - 3y)^3$ খোলো। প্রথম পদ এখানে সংখ্যা।

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

চার অংশ

$A^3 = 8$ । $3A^2B = 3 \times 4 \times 3y = 36y$ । $3AB^2 = 3 \times 2 \times 9y^2 = 54y^2$ । $B^3 = 27y^3$ ।

চিহ্ন বসিয়ে

$8 - 36y + 54y^2 - 27y^3$ ।

যাচাই

$y = 1$ : বাম $(2 - 3)^3 = -1$ । ডান $8 - 36 + 54 - 27 = -1$ ✓

ধরন ২

সংখ্যার ঘন কৌশলে

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে বড় বা দশমিক সংখ্যা থাকে, আর বলা থাকে 'সূত্র প্রয়োগ করে ঘন নির্ণয় করো'। সংখ্যাটা গোল সংখ্যার কাছে।

সমাধানের ধাপ

কাছের গোল সংখ্যা (10, 100, 1000) খোঁজো
সংখ্যাকে গোল সংখ্যা ± ছোট সংখ্যা আকারে লেখো
যোগ হলে যোগের ঘন, বিয়োগ হলে বিয়োগের ঘন বসাও
চার অংশ জুড়ে সাধারণ গুণে মেলাও

অঙ্ক ২.১সহজ

103³ বের করো

গুণ না করে $103^3$ বের করো।

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

চার অংশ

$100^3 = 1000000$ । $3 \times 100^2 \times 3 = 3 \times 10000 \times 3 = 90000$ । $3 \times 100 \times 3^2 = 3 \times 100 \times 9 = 2700$ । $3^3 = 27$ ।

যোগ

$1000000 + 90000 + 2700 + 27 = 1092727$ ।

যাচাই

$103 \times 103 \times 103 = 1092727$ ✓

অঙ্ক ২.২মাঝারি

1.01³ বের করো

$1.01^3$ বের করো।

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

চার অংশ

$1 + 0.03 + 0.0003 + 0.000001$ ।

যোগ

$1.030301$ ।

যাচাই

$1.01 \times 1.01 = 1.0201$ আর $1.0201 \times 1.01 = 1.030301$ ✓

অঙ্ক ২.৩মাঝারি

49³ বের করো

$49^3$ বের করো।

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

চার অংশ

$50^3 = 125000$ । $3 \times 2500 = 7500$ । $3 \times 50 = 150$ । $1^3 = 1$ ।

চিহ্ন বসিয়ে

$125000 - 7500 + 150 - 1 = 117649$ ।

যাচাই

$49 \times 49 = 2401$ আর $2401 \times 49 = 117649$ ✓

অঙ্ক ২.৪কঠিন

98³ বের করো (দুই পথে)

$98^3$ বের করো, কিন্তু দুবার: একবার $100 - 2$ ধরে, একবার $90 + 8$ ধরে। কোনটা সহজ?

সমাধান

100 − 2 ধরে (ছোট পথ)

চার অংশ

$100^3 = 1000000$ । $3 \times 10000 \times 2 = 60000$ । $3 \times 100 \times 4 = 1200$ । $2^3 = 8$ ।

হিসাব

$1000000 - 60000 + 1200 - 8 = 941192$ ।

90 + 8 ধরে (লম্বা পথ)

চার অংশ

$90^3 = 729000$ । $3 \times 8100 \times 8 = 194400$ । $3 \times 90 \times 64 = 17280$ । $8^3 = 512$ ।

হিসাব ও যাচাই

$729000 + 194400 + 17280 + 512 = 941192$ ✓ দুই পথে এক।

ধরন ৩

a + b ও ab থেকে ঘনের যোগফল

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে a + b বা a − b আর ab এর মান দেওয়া, আর a³ + b³ বা a³ − b³ চাওয়া হয়েছে (বা উল্টোটা)।

সমাধানের ধাপ

ঘনের সূত্রটা ঘুরিয়ে লেখো: a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b)
বিয়োগের জন্য: a³ − b³ = (a − b)³ + 3ab(a − b)
দেওয়া সংখ্যা বসাও (ঋণাত্মক হলে বন্ধনীসহ)
দুটো সংখ্যা ধরে মিলিয়ে নাও

অঙ্ক ৩.১সহজ

a + b = 5, ab = 6 হলে a³ + b³

$a + b = 5$ আর $ab = 6$ হলে $a^3 + b^3$ এর মান কত?

সমাধান

ঘুরিয়ে সূত্র

সূত্র লিখি

$a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$ ।

বসাই

$5^3 - 3 \times 6 \times 5 = 125 - 90 = 35$ ।

যাচাই

$a = 2$ , $b = 3$ নিলে $a + b = 5$ , $ab = 6$ আর $8 + 27 = 35$ ✓

অঙ্ক ৩.২মাঝারি

a − b = 3, ab = 10 হলে a³ − b³

$a - b = 3$ আর $ab = 10$ হলে $a^3 - b^3$ এর মান কত?

সমাধান

ঘুরিয়ে সূত্র

সূত্র লিখি

$a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)$ ।

বসাই

$3^3 + 3 \times 10 \times 3 = 27 + 90 = 117$ ।

যাচাই

$a = 5$ , $b = 2$ নিলে $a - b = 3$ , $ab = 10$ আর $125 - 8 = 117$ ✓

অঙ্ক ৩.৩মাঝারি

a + b = 7, a³ + b³ = 133 হলে ab

$a + b = 7$ আর $a^3 + b^3 = 133$ হলে $ab$ এর মান কত?

সমাধান

সমীকরণ বানিয়ে

বসাই

$133 = 7^3 - 3 \times ab \times 7 = 343 - 21ab$ ।

সমাধান

$21ab = 343 - 133 = 210$ , তাই $ab = 10$ ।

যাচাই

$a = 2$ , $b = 5$ : $a + b = 7$ , $ab = 10$ , $8 + 125 = 133$ ✓

অঙ্ক ৩.৪কঠিন

x + y = −4, xy = 3 হলে x³ + y³

$x + y = -4$ আর $xy = 3$ হলে $x^3 + y^3$ এর মান কত?

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

বসাই

$(-4)^3 - 3 \times 3 \times (-4)$ ।

হিসাব

$-64 + 36 = -28$ ।

যাচাই

$x = -1$ , $y = -3$ নিলে $x + y = -4$ , $xy = 3$ আর $-1 - 27 = -28$ ✓

ধরন ৪

ঘনকের গল্পের অঙ্ক

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্ন একটা গল্প: ঘনক আকৃতির বাক্স, ট্যাংক বা টুকরো, যার মাপ বাড়ানো বা কমানো হচ্ছে, আর আয়তন চাওয়া হয়েছে।

সমাধানের ধাপ

ঘনকের ধার $a$ ধরো আর ছবি আঁকো
নতুন ধার = পুরোনো ধার ± বদল
আয়তন = (ধার)³, সূত্রে খোলো
পুরোনোর সঙ্গে বিয়োগ করে বৃদ্ধি বা হ্রাস বের করো, একক লেখো

অঙ্ক ৪.১সহজ

ধার ১ সে.মি. বাড়ালে

একটা ঘনকের ধার ৪ সে.মি.। ধার ১ সে.মি. বাড়ালে আয়তন কত বাড়ে?

সমাধান

নতুন − পুরোনো

দুই আয়তন

নতুন: $5^3 = 125$ । পুরোনো: $4^3 = 64$ । বৃদ্ধি $125 - 64 = 61$ ঘন সে.মি.।

যাচাই

সূত্রে বাড়তি অংশ $48 + 12 + 1 = 61$ ঘন সে.মি. ✓

সূত্রে সরাসরি

শুধু বাড়তি অংশ

$3a^2b + 3ab^2 + b^3 = 3 \times 16 \times 1 + 3 \times 4 \times 1 + 1 = 48 + 12 + 1 = 61$ ।

যাচাই

$5^3 - 4^3 = 125 - 64 = 61$ ✓

অঙ্ক ৪.২মাঝারি

কোণা কেটে নেওয়া

১০ সে.মি. ধারের একটা কাঠের ঘনক থেকে প্রতিটা ধার ২ সে.মি. করে ছেঁটে ফেলা হলো (ঘনকটা ছোট হয়ে ৮ সে.মি. ধারের হলো)। কতটা কাঠ ছাঁটা পড়ল?

সমাধান

বিয়োগের ঘন

নতুন আয়তন

$(10 - 2)^3 = 1000 - 3 \times 100 \times 2 + 3 \times 10 \times 4 - 8 = 1000 - 600 + 120 - 8 = 512$ ।

ছাঁটা অংশ

$1000 - 512 = 488$ ঘন সে.মি.।

যাচাই

$8^3 = 512$ ✓

অঙ্ক ৪.৩মাঝারি

ধার a থেকে a + 1

ঘনকের ধার $a$ থেকে $a + 1$ করলে আয়তন কত বাড়ে? সূত্র বানাও, তারপর $a = 9$ বসাও।

সমাধান

বীজগণিতে

বৃদ্ধির সূত্র

$(a + 1)^3 - a^3 = 3a^2 + 3a + 1$ ।

a = 9 বসাই

$3 \times 81 + 27 + 1 = 243 + 27 + 1 = 271$ ।

যাচাই

$10^3 - 9^3 = 1000 - 729 = 271$ ✓

অঙ্ক ৪.৪কঠিন

দুই ঘনকের আয়তনের যোগফল

দুটি ঘনকের ধারের যোগফল ৬ সে.মি. আর ধার দুটির গুণফল ৮। তাদের আয়তনের যোগফল কত?

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

বসাই

$6^3 - 3 \times 8 \times 6 = 216 - 144 = 72$ ঘন সে.মি.।

যাচাই

ধার $2$ আর $4$ নিলে $a + b = 6$ , $ab = 8$ আর $8 + 64 = 72$ ✓

মাঝের পদ ও চিহ্ন মেলাও

নিচের অঙ্কগুলো নিজে করো। আটকে গেলে ইঙ্গিত দেখো, তারপর উত্তর মিলিয়ে নাও।

ভুল ধরো

তিনটা দেখতে-ঠিক কিন্তু ভুল সমাধান

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

ক: $(x + 2)^3 = x^3 + 8$ ।

খ: $(a - 1)^3 = a^3 - 1$ ।

গ: $(2x + 1)^3 = 2x^3 + 6x^2 + 6x + 1$ ।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ক: মাঝের দুই পদ বাদ। ঠিক: $x^3 + 6x^2 + 12x + 8$ । যাচাই $x = 1$ : $(3)^3 = 27$ , ঠিক উত্তরে $1 + 6 + 12 + 8 = 27$ ✓, ভুলটায় $9$ ✗।

খ: বিয়োগের ঘনেও মাঝের পদ থাকে। ঠিক: $a^3 - 3a^2 + 3a - 1$ । যাচাই $a = 3$ : $(2)^3 = 8$ , ঠিক উত্তরে $27 - 27 + 9 - 1 = 8$ ✓, ভুলটায় $26$ ✗।

গ: $2x$ এর ঘন $8x^3$ , $2x^3$ নয়। ঠিক: $8x^3 + 12x^2 + 6x + 1$ । যাচাই $x = 1$ : $27$ আর $8 + 12 + 6 + 1 = 27$ ✓, ভুলটায় $15$ ✗।

ধরার উপায়: ছোট সংখ্যা বসিয়ে দুই পাশ মেলাও।

(x + 1)³ কত?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (গ) x³ + 3x² + 3x + 1। x³ + 3x²·1 + 3x·1² + 1³ = x³ + 3x² + 3x + 1। প্রথম বিকল্পে মাঝের দুই পদ বাদ গেছে।

x³ − 6x² + 12x − 8 কোনটির সমান?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) (x − 2)³। (x − 2)³ = x³ − 6x² + 12x − 8। চিহ্ন +, −, +, − তাই বিয়োগের ঘন।

a + b = 3, ab = 2 হলে a³ + b³ কত?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (ক) 9। (a + b)³ = 27 আর 3ab(a + b) = 3·2·3 = 18, তাই 27 − 18 = 9। যাচাই: a = 1, b = 2 নিলে 1 + 8 = 9।

প্রশ্ন ১. ঘন নির্ণয় করো: (ক) $(3x + y)^3$ (খ) $\left(\dfrac{a}{3} - 3\right)^3$ (গ) $(5 - 2m)^3$

ইঙ্গিত দেখো

প্রথমে $A$ আর $B$ লেখো। চার অংশ আলাদা করে বের করো, তারপর জোড়ো।

উত্তর দেখো

(ক) $27x^3 + 27x^2y + 9xy^2 + y^3$ । (খ) $A^3 = \dfrac{a^3}{27}$ , $3A^2B = 3 \times \dfrac{a^2}{9} \times 3 = a^2$ , $3AB^2 = 3 \times \dfrac{a}{3} \times 9 = 9a$ , $B^3 = 27$ , তাই $\dfrac{a^3}{27} - a^2 + 9a - 27$ । (গ) $125 - 150m + 60m^2 - 8m^3$ ।

প্রশ্ন ২. সূত্র দিয়ে নির্ণয় করো: (ক) $102^3$ (খ) $199^3$

ইঙ্গিত দেখো

(ক) $102 = 100 + 2$ । (খ) $199 = 200 - 1$ ।

উত্তর দেখো

(ক) $1000000 + 60000 + 1200 + 8 = 1061208$ । (খ) $8000000 - 120000 + 600 - 1 = 7880599$ ।

মনে রাখো

সূত্র: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ আর $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ ।
উৎস: ঘনকের আট টুকরো: ১, ৩, ৩, ১ করে।
সাবধান: মাঝের দুই পদ বাদ দিয়ো না, আর পুরো পদের ঘন নাও: $(2x)^3 = 8x^3$ ।
কাজের সূত্র: $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$ ।