ঘনের যোগফল ও বিয়োগফল

4³ + 6³ কীভাবে ভাঙে?

২৮০ কেন ১০ দিয়ে ভাগ হলো

$4^3 + 6^3 = 64 + 216 = 280$ । এখন আরেকটা জিনিস লক্ষ করো: $4 + 6 = 10$ , আর $280$ কি ১০ দিয়ে ভাগ যায়? হ্যাঁ, $280 = 10 \times 28$ ।

এটা কাকতালীয় নয়। $a^3 + b^3$ সবসময় $(a + b)$ দিয়ে ভাগ যায়। ভাগফলটা কী? এখানে $28 = 16 - 24 + 36$ , অর্থাৎ $a^2 - ab + b^2$ । আজ আমরা দেখব এই সূত্র কীভাবে বের হয়, আর কোন কোন অঙ্কে কাজে লাগে।

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

ঘনের সূত্র থেকে উৎপাদক

(a + b) বাইরে নিয়ে এলে

আগের পাঠে আমরা পেয়েছিলাম $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$ । এখানে দুই জায়গায় $(a + b)$ আছে। সেটাকে বাইরে নিয়ে আসি:

$a^3 + b^3 = (a + b)\left[(a + b)^2 - 3ab\right]$ ।

ভেতরের অংশ খুলি: $(a + b)^2 - 3ab = a^2 + 2ab + b^2 - 3ab = a^2 - ab + b^2$ । তাহলে:

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

একইভাবে $a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b) = (a - b)\left[(a - b)^2 + 3ab\right] = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ ।

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

নিজে দেখে বুঝো

নিজে বদলে দেখো

কোন সূত্র পরীক্ষা করবে?

a = 3

b = 2

বাম পাশ: (3 + 2)³ = 5³ = 125

ডান পাশ: 27 + 54 + 36 + 8 = 125

দুই পাশ সমান ✓

যোগের ঘন।

বীজগণিতে প্রমাণ: (a + b)³ কে খুলে

(a + b)³← ঘন মানে বর্গ আর আরেকটা গুণ
= (a + b)(a + b)²← (a + b)³ = (a + b) × (a + b)²
= (a + b)(a² + 2ab + b²)← বর্গের সূত্র বসাই
= a(a² + 2ab + b²) + b(a² + 2ab + b²)← বণ্টন
= a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³← প্রতিটা পদ গুণ করি
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³← 2a²b + a²b = 3a²b আর ab² + 2ab² = 3ab²

তাই (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ ∎

এই প্রমাণ সব সংখ্যার জন্য খাটে, কারণ কোথাও কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা বসাইনি। ওপরে সংখ্যা বসানো যাচাই শুধু কয়েকটা সংখ্যায়।

সূত্র বাছো, a আর b এর মান বদলাও (ঋণাত্মকও নিতে পারো)। দুই পাশ সবসময় সমান কি না দেখো।

ঘন সংবলিত সূত্র বাছার বোতাম, a আর b এর স্লাইডার। নিচে বাম পাশ আর ডান পাশ সংখ্যা বসিয়ে ধাপে ধাপে হিসাব করা, আর দুই পাশ সমান কি না।

চিহ্ন মনে রাখার উপায়

দুই সূত্রের মাঝের পদটার চিহ্ন দেখো: $a^3 + b^3$ এ ভাগফলে $-ab$ (উল্টো), আর $a^3 - b^3$ এ $+ab$ । প্রথম বন্ধনীর চিহ্ন ঘনের চিহ্নের মতোই।

x + 1/x থেকে x³ + 1/x³: ab = 1 এর কৌশল

ধরো $x + \dfrac{1}{x} = 3$ । $x^3 + \dfrac{1}{x^3}$ কত? এখানে $a = x$ , $b = \dfrac{1}{x}$ ভাবো। তাহলে $ab = x \times \dfrac{1}{x} = 1$ , সবসময়! এই ১ টা সূত্রকে ছোট করে দেয়:

$x^3 + \dfrac{1}{x^3} = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x + \dfrac{1}{x}\right) = 27 - 9 = 18$ ।

যোগ না বিয়োগ চেনো

এই সূত্রে দুটো আলাদা কাজ আছে: গুণফলে ভাঙা আর $x \pm \frac{1}{x}$ থেকে ঘন বের করা। দুটোর জন্য একটা করে অঙ্ক একসাথে করি।

একসাথে করি ১

27 + 64 কে গুণফলে ভাঙি

$3^3 + 4^3$ কে $(a + b)(a^2 - ab + b^2)$ আকারে লিখে মান বের করো।

পড়ি
দুটো সংখ্যার ঘনের যোগ চাই, গুণফলের আকারে। সংখ্যাদুটো ৩ আর ৪।
আঁকি
$a = 3$ , $b = 4$ লিখে রাখি। প্রথম বন্ধনীতে $a + b = 7$ ।
ভাবি
দ্বিতীয় বন্ধনী $a^2 - ab + b^2$ । মাঝে বিয়োগ, কারণ যোগফলের সূত্র।
করি
$a^2 = 9$ , $ab = 12$ , $b^2 = 16$ । তাহলে $9 - 12 + 16 = 13$ । গুণফল $7 \times 13 = 91$ ।
মেলাই
$27 + 64 = 91$ ✓। আরও লক্ষ করো, ৯১ কে ৭ দিয়ে ভাগ করা যায়।

একসাথে করি ২

x + 1/x = 4 থেকে x³ + 1/x³

$x + \dfrac{1}{x} = 4$ হলে $x^3 + \dfrac{1}{x^3}$ এর মান কত?

পড়ি
আমাদের কাছে $x$ আর তার উল্টো সংখ্যার যোগফল আছে। ঘনের যোগফল চাই।
আঁকি
$a = x$ , $b = \dfrac{1}{x}$ ধরি। এদের গুণফল $ab = 1$ ।
ভাবি
$a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$ । $ab = 1$ হওয়ায় সূত্রটা ছোট হয়ে যায়।
করি
$4^3 - 3 \times 1 \times 4 = 64 - 12 = 52$ ।
মেলাই
$x = 2 + \sqrt{3}$ নিলে $\frac{1}{x} = 2 - \sqrt{3}$ , যোগ $= 4$ ✓। ঘনের যোগফল সংখ্যায় মেলালেও ৫২ আসে।

ঘনের যোগ-বিয়োগের তিন ব্যবহার

বইয়ের অঙ্ক এখানে তিন ধরনে ভাগ হয়: সংখ্যাকে গুণফলে ভাঙা, $x \pm \frac{1}{x}$ থেকে ঘন বের করা, আর “প্রমাণ করো” বা সরল করার অঙ্ক।

ধরন ১

ঘনের যোগ বা বিয়োগকে গুণফলে লেখো

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে a³ + b³ বা a³ − b³ আকারের সংখ্যা বা রাশি, আর বলা আছে 'উৎপাদকে লেখো' বা 'মান নির্ণয় করো'।

সমাধানের ধাপ

কোন দুটো সংখ্যা বা রাশির ঘন, তা ঠিক করো (a ও b)
ছাঁচ লেখো: যোগে (a + b)(a² − ab + b²), বিয়োগে (a − b)(a² + ab + b²)
a², ab, b² আলাদা করে বের করে বসাও
গুণ করে মূল সংখ্যায় মিলিয়ে নাও

অঙ্ক ১.১সহজ

5³ + 2³ গুণফলে লেখো

$5^3 + 2^3$ কে সূত্রে ভেঙে মান বের করো।

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

বসাই

$(5 + 2)(25 - 10 + 4) = 7 \times 19 = 133$ ।

যাচাই

$125 + 8 = 133$ ✓

অঙ্ক ১.২সহজ

7³ − 3³ গুণফলে লেখো

$7^3 - 3^3$ এর মান সূত্রে বের করো।

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

বসাই

$(7 - 3)(49 + 21 + 9) = 4 \times 79 = 316$ ।

যাচাই

$343 - 27 = 316$ ✓

অঙ্ক ১.৩মাঝারি

8x³ + 27y³ উৎপাদকে লেখো

$8x^3 + 27y^3$ কে উৎপাদকে লেখো।

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

a ও b

$a = 2x$ , $b = 3y$ ।

বসাই

$(2x + 3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2)$ ।

যাচাই

$x = 1$ , $y = 1$ : বাম $35$ , ডান $5 \times 7 = 35$ ✓

অঙ্ক ১.৪কঠিন

1000 − 27 এর উৎপাদক

$1000 - 27$ কে ঘন ধরে সূত্রে ভাঙো। ফলটা কি ৭ দিয়ে ভাগ যায়?

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

বসাই

$(10 - 3)(100 + 30 + 9) = 7 \times 139 = 973$ ।

যাচাই

$1000 - 27 = 973$ ✓ আর $973 = 7 \times 139$ , তাই ৭ দিয়ে ভাগ যায়।

ধরন ২

x ± 1/x থেকে ঘন

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে x + 1/x বা x − 1/x এর মান দেওয়া, আর x³ + 1/x³ বা x³ − 1/x³ চাওয়া হয়েছে।

সমাধানের ধাপ

$a = x$ $b = 1/x ধরো$ ab = 1 লিখে রাখো
যোগের জন্য: x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ − 3(x + 1/x)
বিয়োগের জন্য: x³ − 1/x³ = (x − 1/x)³ + 3(x − 1/x)
একটা ছোট সংখ্যা ধরে মেলাও

অঙ্ক ২.১সহজ

x + 1/x = 3 হলে x³ + 1/x³

$x + \dfrac{1}{x} = 3$ হলে $x^3 + \dfrac{1}{x^3}$ এর মান কত?

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

বসাই

$3^3 - 3 \times 1 \times 3 = 27 - 9 = 18$ ।

যাচাই

$x$ এর একটা মান $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ । এর জন্য যোগ ৩ আর ঘনের যোগ ১৮, গণনায় মেলে।

অঙ্ক ২.২মাঝারি

x − 1/x = 2 হলে x³ − 1/x³

$x - \dfrac{1}{x} = 2$ হলে $x^3 - \dfrac{1}{x^3}$ কত?

সমাধান

সূত্র বসিয়ে

বসাই

$2^3 + 3 \times 1 \times 2 = 8 + 6 = 14$ ।

যাচাই

$x = 1 + \sqrt{2}$ নিলে $\frac{1}{x} = \sqrt{2} - 1$ , পার্থক্য ২। ঘনের পার্থক্য ১৪ মেলে।

অঙ্ক ২.৩মাঝারি

x + 1/x = 5 হলে x² + 1/x², তারপর x³ + 1/x³

$x + \dfrac{1}{x} = 5$ হলে $x^2 + \dfrac{1}{x^2}$ আর $x^3 + \dfrac{1}{x^3}$ কত?

সমাধান

দুই সূত্র

বর্গ

$25 - 2 = 23$ ।

ঘন

$125 - 15 = 110$ ।

যাচাই

$\left(x + \frac{1}{x}\right)\left(x^2 - 1 + \frac{1}{x^2}\right) = 5 \times (23 - 1) = 110$ ✓

অঙ্ক ২.৪কঠিন

x² − 3x + 1 = 0 হলে x³ + 1/x³

$x^2 - 3x + 1 = 0$ হলে $x^3 + \dfrac{1}{x^3}$ এর মান কত?

সমাধান

ভাগ করে

x + \frac{1}{x}

$x - 3 + \frac{1}{x} = 0$ থেকে $x + \frac{1}{x} = 3$ ।

ঘন

$27 - 9 = 18$ ।

যাচাই

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ এর জন্য $x^3 + \frac{1}{x^3} = 18$ গণনায় মেলে।

ধরন ৩

প্রমাণ করো ও সরল করো

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে 'প্রমাণ করো' বা 'সরল করো' লেখা, আর রাশিতে ঘনের যোগ-বিয়োগ বা তাদের গুণফল।

সমাধানের ধাপ

দুই পাশের কোনটা জটিল, ঠিক করো
জটিল পাশে সূত্র বসিয়ে ভাঙো
কাটাকাটি করে অন্য পাশের সমান করো
একটা সংখ্যা বসিয়ে মেলাও

অঙ্ক ৩.১সহজ

(a + b)(a² − ab + b²) সরল করো

$(a + b)(a^2 - ab + b^2)$ কে গুণ করে সরল করো।

সমাধান

গুণ করে

বণ্টন

$a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3$ ।

কাটাকাটি

$-a^2b$ আর $+a^2b$ কাটে। $+ab^2$ আর $-ab^2$ কাটে। থাকে $a^3 + b^3$ ।

যাচাই

$a = 2$ , $b = 1$ : $3 \times 3 = 9 = 8 + 1$ ✓

অঙ্ক ৩.২মাঝারি

(x + 2)(x² − 2x + 4) সরল করো

$(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$ এর সরল রূপ কত?

সমাধান

সূত্র চিনে

মেলাই

$x^2 - x \times 2 + 2^2 = x^2 - 2x + 4$ ✓।

উত্তর

$x^3 + 8$ ।

যাচাই

$x = 1$ : $3 \times 3 = 9 = 1 + 8$ ✓

অঙ্ক ৩.৩মাঝারি

(a + b)³ − (a³ + b³) = 3ab(a + b) প্রমাণ

প্রমাণ করো: $(a + b)^3 - (a^3 + b^3) = 3ab(a + b)$ ।

সমাধান

বামপাশ খুলে

খুলি

$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 - a^3 - b^3 = 3a^2b + 3ab^2$ ।

উৎপাদকে

$3a^2b + 3ab^2 = 3ab(a + b)$ ∎

যাচাই

$a = 1$ , $b = 2$ : $27 - 9 = 18 = 3 \times 2 \times 3$ ✓

অঙ্ক ৩.৪কঠিন

x³ + y³ = (x + y)(x² − xy + y²) দিয়ে x + y = 6, xy = 5

$x + y = 6$ আর $xy = 5$ হলে সূত্র $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$ দিয়ে $x^3 + y^3$ বের করো।

সমাধান

গুণফল সূত্রে

বর্গের যোগ

$36 - 10 = 26$ ।

দ্বিতীয় বন্ধনী

$26 - 5 = 21$ ।

গুণফল

$6 \times 21 = 126$ ।

যাচাই

$x = 1$ , $y = 5$ : $1 + 125 = 126$ ✓

চিহ্ন ও মাঝের পদ মেলাও

নিচের অঙ্কগুলো নিজে করো। আটকে গেলে ইঙ্গিত দেখো, তারপর উত্তর মিলিয়ে নাও।

ভুল ধরো

তিনটা দেখতে-ঠিক কিন্তু ভুল সমাধান

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

ক: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 + ab + b^2)$ ।

খ: $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 - 2x + 4)$ ।

গ: $a^3 + b^3 = (a + b)^3$ ।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ক: মাঝে $+ab$ বসেছে, ঠিক হবে $-ab$ (যোগফলের সূত্রে)। যাচাই $a = 1$ , $b = 1$ : $a^3 + b^3 = 2$ , ঠিক সূত্রে $2 \times 1 = 2$ ✓, ভুলটায় $2 \times 3 = 6$ ✗।

খ: বিয়োগের সূত্রে মাঝে $+ab$ হয়: ঠিক $(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ । যাচাই $x = 3$ : $27 - 8 = 19$ , ঠিক সূত্রে $1 \times 19 = 19$ ✓, ভুলটায় $1 \times 7 = 7$ ✗।

গ: $(a + b)^3$ এ মাঝের ছয় টুকরো আছে। যাচাই $a = 1$ , $b = 2$ : $9 \ne 27$ ✗।

ধরার উপায়: $a = 1$ , $b = 1$ বসিয়ে দুই পাশ মেলাও।

a³ + b³ = ?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) (a + b)(a² − ab + b²)। a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)। a = b = 1 বসালে দুই পাশেই ২।

x + 1/x = 2 হলে x³ + 1/x³ = ?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (ক) 2। 8 − 6 = 2। এখানে x = 1 হয়, আর 1 + 1 = 2 ✓।

2⁹ + 1 কে কোন সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা যায়? (2⁹ = (2³)³)

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (ঘ) ৯। (8 + 1) দিয়ে ভাগ যায়, অর্থাৎ ৯ দিয়ে। 512 + 1 = 513 = 9 × 57।

প্রশ্ন ১. উৎপাদকে ভাঙো: (ক) $64x^3 + 1$ (খ) $a^3 - 125$ (গ) $27m^3 - 8n^3$

ইঙ্গিত দেখো

প্রথমে দেখো কোন সংখ্যার ঘন। যেমন $64 = 4^3$ ।

উত্তর দেখো

(ক) $(4x + 1)(16x^2 - 4x + 1)$ । (খ) $(a - 5)(a^2 + 5a + 25)$ । (গ) $(3m - 2n)(9m^2 + 6mn + 4n^2)$ ।

প্রশ্ন ২. $x + \dfrac{1}{x} = 6$ হলে $x^3 + \dfrac{1}{x^3}$ কত?

ইঙ্গিত দেখো

$ab = 1$ হওয়ায় $(x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x})$ ।

উত্তর দেখো

$216 - 18 = 198$ ।

মনে রাখো

সূত্র: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ আর $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ ।
উৎস: আগের পাঠের $(a \pm b)^3$ থেকে $(a \pm b)$ বাইরে নিয়ে আসা।
কৌশল: $x \pm \frac{1}{x}$ এ $ab = 1$ , তাই সূত্র ছোট হয়ে যায়।
সাবধান: দ্বিতীয় বন্ধনীর মাঝের চিহ্ন প্রথম বন্ধনীর উল্টো আর তার সহগ ১, ২ নয়।