পাঠ ৮গণিত

মধ্যপদ ভেঙে উৎপাদকে বিশ্লেষণ

পাঠের সারাংশ

গুণফল ও যোগফল মেলে এমন দুটি সংখ্যা দিয়ে মধ্যপদ ভেঙে রাশি উৎপাদকে লিখব।

আগে পড়ে নাওউৎপাদকে বিশ্লেষণের চার পথ

MCQ ও সৃজনশীল শর্টকাট

প্রতিটি অঙ্কে তিন লাইন: প্রশ্ন, তারপর শর্টকাটটা প্রশ্নের ঠিক কোন জায়গায় লাগছে, তারপর উত্তর।

  1. ১০০ এর কাছে বর্গ

    ৯৯৬² কে (১০০০ − ৪)² ধরে বিয়োগের বর্গ বসাও। কাছের গোল সংখ্যা বাছো।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      9898 এর বর্গ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে 9898, 100100 এর কাছে। শর্টকাট: 98=100−298=100-2, তাই বিয়োগের বর্গ (100−2)2=10000−2×100×2+4=9604(100-2)^2=10000-2\times 100\times 2+4=9604।

      উত্তর

      96049604

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      102102 এর বর্গ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে 102102, 100100 এর কাছে। শর্টকাট: 102=100+2102=100+2, তাই যোগের বর্গ (100+2)2=10000+400+4(100+2)^2=10000+400+4।

      উত্তর

      1040410404

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      9999 এর বর্গ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে 9999, 100100 এর কাছে। শর্টকাট: 99=100−199=100-1, তাই বিয়োগের বর্গ (100−1)2=10000−200+1(100-1)^2=10000-200+1।

      উত্তর

      98019801

  2. পদ গুনে সূত্র

    দুই পদ ঘন হলে ঘনের যোগ বা বিয়োগ। চার পদ হলে আগে পূর্ণঘন মেলাও।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      8+x38+x^3 কোন সূত্রে ভাঙবে?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে দুই পদ, 88 আর x3x^3। শর্টকাট: দুটোই ঘন। 23+x32^3+x^3, ঘনের যোগ।

      উত্তর

      (2+x)(4−2x+x2)(2+x)(4-2x+x^2)

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      a3−27a^3-27 কোন সূত্রে ভাঙবে?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে দুই পদ, a3a^3 আর 2727, মাঝে বিয়োগ। শর্টকাট: 27=3327=3^3। ঘনের বিয়োগ।

      উত্তর

      (a−3)(a2+3a+9)(a-3)(a^2+3a+9)

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      x3+3x2+3x+1x^3+3x^2+3x+1 কোন ঘন?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে চার পদ। শর্টকাট: পূর্ণঘন (x+1)3(x+1)^3 এর সঙ্গে মেলে।

      উত্তর

      (x+1)3(x+1)^3

  3. মধ্যপদ ভাঙা

    দুই সংখ্যা খোঁজো যাদের যোগ মধ্যপদ, গুণ শেষ পদ। চিহ্ন দুটোকে আলাদা রাখো।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      x2+5x+6x^2+5x+6 এর উৎপাদক কী?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে মধ্যপদ 5x5x, শেষ পদ 66। শর্টকাট: যোগ ৫, গুণ ৬। সংখ্যা 22 আর 33।

      উত্তর

      (x+2)(x+3)(x+2)(x+3)

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      x2−5x+6x^2-5x+6 এর উৎপাদক কী?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে মধ্যপদ −5x-5x, শেষ পদ 66। শর্টকাট: যোগ −5-5, গুণ 66। সংখ্যা −2-2 আর −3-3।

      উত্তর

      (x−2)(x−3)(x-2)(x-3)

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      x2+x−6x^2+x-6 এর উৎপাদক কী?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে মধ্যপদ xx, শেষ পদ −6-6। শর্টকাট: যোগ 11, গুণ −6-6। সংখ্যা 33 আর −2-2।

      উত্তর

      (x+3)(x−2)(x+3)(x-2)

  4. ভাগশেষে বসানো

    ভাগ না করে x = a বসাও। f(a) ই ভাগশেষ।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      x2+xx^2+x কে (x−1)(x-1) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভাজক (x−1)(x-1)। শর্টকাট: ভাগ না করে x=1x=1। 1+1=21+1=2।

      উত্তর

      22

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      x3−8x^3-8 কে (x−2)(x-2) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভাজক (x−2)(x-2)। শর্টকাট: x=2x=2। 8−8=08-8=0।

      উত্তর

      00

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      x2+1x^2+1 কে (x+1)(x+1) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভাজক (x+1)(x+1)। শর্টকাট: x=−1x=-1। 1+1=21+1=2।

      উত্তর

      22

  5. শতকরায় ১০০ ধরো

    লাভ-ক্ষতির অঙ্কে ক্রয়মূল্য ১০০ ধরে শুরু করলে শতাংশ সরাসরি টাকায় মেলে।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা, লাভ ২০%। বিক্রয়মূল্য কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ক্রয় ১০০। শর্টকাট: ১০০ ধরলে লাভ সরাসরি ২০ টাকা। বিক্রয় 100+20100+20।

      উত্তর

      120120 টাকা

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা, ক্ষতি ১৫%। বিক্রয়মূল্য কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ক্রয় ১০০। শর্টকাট: ক্ষতি ১৫ টাকা। বিক্রয় 100−15100-15।

      উত্তর

      8585 টাকা

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      দুই জিনিসের ক্রয় ১০০ টাকা করে। একটায় ১০% লাভ, একটায় ১০% ক্ষতি। মোট লাভ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে দুই ক্রয়ই ১০০, হার ১০%। শর্টকাট: লাভ ১০, ক্ষতি ১০। মোট 10−10=010-10=0।

      উত্তর

      00

  6. ছোট মান দিয়ে বাদ

    MCQ তে a = ১, b = ১ বসিয়ে অপশন মেলাও। যে অপশন মেলে না, সেটা বাদ।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      (a+b)2(a+b)^2 আর a2+b2a^2+b^2 সমান কি? a=1a=1, b=1b=1 বসাও।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে a=1a=1, b=1b=1। শর্টকাট: বাম (2)2=4(2)^2=4, ডান 1+1=21+1=2। মেলে না, বাদ।

      উত্তর

      সমান নয়

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      a2−b2a^2-b^2 আর (a−b)2(a-b)^2 সমান কি? a=2a=2, b=1b=1 বসাও।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে a=2a=2, b=1b=1। শর্টকাট: বাম 4−1=34-1=3, ডান 11। মেলে না, বাদ।

      উত্তর

      সমান নয়

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      (a+b)2−(a−b)2(a+b)^2-(a-b)^2 কি 4ab4ab? a=2a=2, b=1b=1 বসাও।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে a=2a=2, b=1b=1। শর্টকাট: বাম 9−1=89-1=8, ডান 88। মেলে, রাখো।

      উত্তর

      হ্যাঁ, 88

উত্তর যাচাইয়ের কৌশল

প্রতিটি অঙ্কে আগে একটা লেখা উত্তর, তারপর যাচাইটা সেই উত্তরের ঠিক কোন জায়গায় লাগছে।

  1. খুলে আবার গুণ

    উৎপাদককে গুণ করে মূল রাশি ফিরে আসে কি না দেখো।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (x+2)(x+3)=x2+5x+6(x+2)(x+3)=x^2+5x+6। গুণ করে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: বাম পাশের গুণ। গুণ x2+5x+6x^2+5x+6। মূল রাশি ফিরে এল। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (x−2)(x+3)=x2+5x−6(x-2)(x+3)=x^2+5x-6। গুণ করে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: বাম পাশের গুণ। গুণ x2+x−6x^2+x-6। 5x5x মেলে না। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, x2+x−6x^2+x-6

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (3−1)(3+1)=8(3-1)(3+1)=8, আর 32−123^2-1^2 ও 88। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দুই পাশের গুণ। গুণ 2×4=82\times 4=8। 9−1=89-1=8। মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 88

  2. একটা সংখ্যা বসাও

    দুই পাশে a = ২ বসাও। সংখ্যা না মিললে চিহ্ন বা পদ বাদ পড়েছে।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (a+b)2=a2+b2(a+b)^2=a^2+b^2। a=2a=2, b=1b=1 বসিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দুই পাশে একই সংখ্যা বসাও। বাম (2+1)2=9(2+1)^2=9, ডান 4+1=54+1=5। ৯ আর ৫ মেলে না, তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b)। a=3a=3, b=2b=2 বসিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দুই পাশে a=3a=3, b=2b=2। বাম 9−4=59-4=5, ডান 1×5=51\times 5=5। মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 55

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (a−b)2=a2−2ab−b2(a-b)^2=a^2-2ab-b^2। a=2a=2, b=1b=1 বসিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দুই পাশে a=2a=2, b=1b=1। বাম 11, ডান 4−4−1=−14-4-1=-1। মেলে না, তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল

  3. বিয়োগের মাঝের চিহ্ন

    বিয়োগের বর্গে মাঝে মাইনাস। বিয়োগের ঘনের যোগে মাঝে প্লাস ab।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (3−1)2(3-1)^2 মাঝের চিহ্নসহ 9−6+1=49-6+1=4। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: বিয়োগের বর্গের মাঝের চিহ্ন। বিয়োগের বর্গে মাঝে মাইনাস। 9−6+1=49-6+1=4। (2)2=4(2)^2=4। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 44

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল a3−b3=(a−b)(a2−ab+b2)a^3-b^3=(a-b)(a^2-ab+b^2)। a=2a=2, b=1b=1 বসিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: মাঝের abab এর চিহ্ন। মাঝে প্লাস abab হওয়া উচিত। ডান 1×3=31\times 3=3, বাম 77। মেলে না, তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, মাঝে +ab+ab

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 23−132^3-1^3 মাঝে +ab+ab দিয়ে 77। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: মাঝের +ab+ab। (2−1)(4+2+1)=7(2-1)(4+2+1)=7। বাম 77। মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 77

  4. ঘনে চার পদ

    ঘন খুললে পদ চারটে। তিন পদ থাকলে একটা গুণফল বাদ গেছে।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (1+1)3(1+1)^3 চার পদে 1+3+3+1=81+3+3+1=8। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: ঘনের চার পদ। চার পদ 1+3+3+1=81+3+3+1=8। (2)3=8(2)^3=8। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 88

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (a+b)3=a3+3ab+b3(a+b)^3=a^3+3ab+b^3। a=b=1a=b=1 বসিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: পদ কয়টা। পদ তিনটা। ডান 55, বাম 88। একটা গুণফল বাদ। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (2−1)3(2-1)^3 চার পদে 8−12+6−1=18-12+6-1=1। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: চার পদ আছে কি না। 8−12+6−1=18-12+6-1=1। চার পদই আছে। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 11

  5. ভাগশেষ যাচাই

    ছোট বহুপদীতে সরাসরি ভাগ করে f(a) এর সঙ্গে মিলাও।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, f(x)=x2+xf(x)=x^2+x কে (x−1)(x-1) দিয়ে ভাগের ভাগশেষ f(1)=2f(1)=2। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: ভাগশেষ 22। (x−1)(x+2)+2=x2+x(x-1)(x+2)+2=x^2+x। ভাগশেষ ২। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 22

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, x2−1x^2-1 কে (x−1)(x-1) দিয়ে ভাগের ভাগশেষ ১। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা ভাগশেষ ১। (x−1)(x+1)=x2−1(x-1)(x+1)=x^2-1, ভাগশেষ ০। f(1)=0f(1)=0। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, 00

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, f(x)=x+3f(x)=x+3 কে (x−2)(x-2) দিয়ে ভাগের ভাগশেষ f(2)=5f(2)=5। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: ভাগশেষ 55। (x−2)+5=x+3(x-2)+5=x+3। ভাগশেষ ৫। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 55

এই পাঠের সূত্রপত্র

অঙ্ক করার সময় এই সূত্রগুলো খোলা রাখো।

  • যোগ ও বিয়োগের বর্গ

    (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

    প্রথম ও শেষ বর্গ, মাঝে দ্বিগুণ গুণফল। বিয়োগে মাঝের চিহ্ন মাইনাস।

  • বর্গের যোগ

    a2+b2=(a+b)2−2aba^2+b^2=(a+b)^2-2ab(a+b)2−(a−b)2=4ab(a+b)^2-(a-b)^2=4ab

    যোগফল বা গুণফল জানা থাকলে বর্গের যোগ। দুই বর্গের অন্তর ৪ab।

  • বর্গের অন্তর

    a2−b2=(a+b)(a−b)a^2-b^2=(a+b)(a-b)

    যোগ আর বিয়োগের গুণ। বর্গের যোগ এভাবে ভাঙে না।

  • তিন রাশির বর্গ

    (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca

    প্রতি জোড়ার দ্বিগুণ যোগ। কোনো চিহ্ন মাইনাস হলে ঐ জোড়ার চিহ্ন বদলায়।

  • যোগ ও বিয়োগের ঘন

    (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

    চার পদ। বিয়োগে চিহ্ন পরপর প্লাস, মাইনাস, প্লাস, মাইনাস।

  • ঘনের যোগ ও বিয়োগ

    a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

    দুই পদই ঘন হলে এই সূত্র। বিয়োগে মাঝের চিহ্ন যোগ।

  • দুই দ্বিপদীর গুণ

    (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab

    মধ্যপদ দুই সংখ্যার যোগ, শেষ পদ তাদের গুণ।

  • ভাগশেষ উপপাদ্য

    f(x)=(x−a)q(x)+f(a)f(x)=(x-a)q(x)+f(a)

    (x − a) দিয়ে ভাগের ভাগশেষ f(a)। f(a) = ০ হলে (x − a) উৎপাদক।

  • উৎপাদক উপপাদ্য

    f(a)=0⇒(x−a)∣f(x)f(a)=0\Rightarrow (x-a)\mid f(x)

    ভাগশেষ শূন্য হলে (x − a) উৎপাদক। উল্টোটাও সত্য।

  • চার পদের বর্গ

    (a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)

    প্রতি পদের বর্গ, আর প্রতি জোড়ার গুণফলের দ্বিগুণ।

  • সরল মুনাফা

    I=Pnr100I=\dfrac{Pnr}{100}

    P মূলধন, r বছরে শতকরা হার, n বছর। সুদাসল P + I।

  • চক্রবৃদ্ধি

    A=P(1+r100)nA=P\left(1+\dfrac{r}{100}\right)^n

    প্রতি বছর সুদ মূলধনে যোগ হয়। r শতকরা হার।

মাঝের 5x কোথা থেকে আসে?

গুণফল ৬, যোগফল ৫: কোন দুটো সংখ্যা?

(x+2)(x+3)(x + 2)(x + 3) খুললে পাই x2+5x+6x^2 + 5x + 6। খেয়াল করো: মাঝের ৫ হলো ২ আর ৩ এর যোগফল, আর শেষের ৬ হলো ২ আর ৩ এর গুণফল।

এবার উল্টো ভাবো। কেউ যদি শুধু x2+5x+6x^2 + 5x + 6 দেয়, আমরা কি ২ আর ৩ কে ফিরে পেতে পারি? পারি, যদি এমন দুটো সংখ্যা খুঁজে বের করি যাদের গুণফল ৬ আর যোগফল ৫। এই খোঁজাটাই মধ্যপদ ভাঙা। আজ এটা কীভাবে করতে হয়, আর ax2+bx+cax^2 + bx + c আকারেও কীভাবে চলে, তা শিখব।

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

গুণফল ও যোগফলের জোড়া

খুলে দেখলেই চাবি পাওয়া যায়

(x+m)(x+n)(x + m)(x + n) খুলি: x2+mx+nx+mn=x2+(m+n)x+mnx^2 + mx + nx + mn = x^2 + (m + n)x + mn।

তাহলে x2+px+qx^2 + px + q কে ভাঙতে চাইলে এমন mm, nn চাই যে m+n=pm + n = p আর mn=qmn = q। পাওয়া গেলে উত্তর (x+m)(x+n)(x + m)(x + n)।

নিজে দেখে বুঝো

নিজে বদলে দেখো
রাশি: x² + x +

লক্ষ্য: দুটো সংখ্যা চাই যাদের গুণফল = 1 × 6 = 6 আর যোগফল = 5।

এক সংখ্যাঅন্য সংখ্যাগুণফলযোগফল
−2−36−5
−1−66−7
1667
2365✓ এটাই

মধ্যপদ ভাঙি: x² + 2x + 3x + 6

দুই জোড়ায় উৎপাদক বের করি: x(x + 2) + 3(x + 2)

উৎপাদক: (x + 2)(x + 3)

তিনটা সহগ লেখো (বা নমুনা বাছো)। ছকে গুণফলের সব জোড়া আর তাদের যোগফল দেখো। যে সারিতে যোগফল মিলেছে, সেটাই তোমার জোড়া।

তিনটা ঘরে ax² + bx + c এর a, b, c। নিচে a×c এর সব উৎপাদক জোড়া ও তাদের যোগফল, যে জোড়ার যোগফল b সেটা সবুজ। তারপর মধ্যপদ ভেঙে দুই জোড়ায় উৎপাদক বের করা আর শেষে দুই বন্ধনীর গুণফল।

a ≠ 1 হলে: গুণফল ac

ax2+bx+cax^2 + bx + c এ (a≠1a \ne 1) একই বুদ্ধি: এমন mm, nn চাই যে m+n=bm + n = b আর mn=a×cmn = a \times c। পেলে মাঝের পদ bxbx কে mx+nxmx + nx করে ভাঙি, তারপর জোড়া করে উৎপাদক:

2x2+7x+32x^2 + 7x + 3: ac=6ac = 6, জোড়া (1,6)(1, 6) (যোগ ৭)। 2x2+x+6x+3=x(2x+1)+3(2x+1)=(2x+1)(x+3)2x^2 + x + 6x + 3 = x(2x + 1) + 3(2x + 1) = (2x + 1)(x + 3)।

চিহ্ন কী হবে

চিহ্নের নিয়ম: mnmn ধনাত্মক হলে mm, nn একই চিহ্নের (দুটোই ধনাত্মক বা দুটোই ঋণাত্মক, যোগফলের চিহ্নই চিহ্ন)। mnmn ঋণাত্মক হলে mm, nn ভিন্ন চিহ্নের, আর বড় সংখ্যাটার চিহ্ন যোগফলের চিহ্ন।

জোড়ার ছক বানাও

সবচেয়ে ভালো কৌশল: গুণফলের জোড়াগুলো ছকে লিখে ফেলো। এলোমেলো আন্দাজ নয়, ছক থেকে বাছো।

নিজে দেখে বুঝো

নিজে বদলে দেখো

x² + 7x + 12 কে উৎপাদকে ভাঙি

  1. x² + 7x + 12

ধাপ ১/৬

আগে দেখি কী আছে: শেষ পদ 12, মধ্যপদের সহগ 7।

কেন: x² এর সহগ 1, তাই শুধু দুটি সংখ্যা খুঁজলেই হবে।

বোর্ডে লাইন ধরে: প্রতিটা লাইন কেন লিখলাম, নিচে কারণ।

x² + 7x + 12 থেকে (x + 3)(x + 4) পর্যন্ত ছয়টি লাইন, একটি একটি করে, প্রতিটির কারণসহ।

একসাথে করি ১

x² + 5x + 6 ভাঙি

x2+5x+6x^2 + 5x + 6 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

  1. পড়ি

    তিন পদের রাশি, x2x^2 এর সহগ ১। মধ্যপদ ভাঙার অঙ্ক।

  2. আঁকি

    ছক বানাই: ৬ এর গুণফল জোড়া (1,6)(1, 6), (2,3)(2, 3)। যোগফল: ৭, ৫।

  3. ভাবি

    যোগফল ৫ চাই, সবগুলো ধনাত্মক। জোড়া (2,3)(2, 3)।

  4. করি

    x2+2x+3x+6=x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x+3)x^2 + 2x + 3x + 6 = x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3)।

  5. মেলাই

    খুলি: x2+3x+2x+6=x2+5x+6x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6 ✓।

একসাথে করি ২

2x² + 7x + 3 ভাঙি

2x2+7x+32x^2 + 7x + 3 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

  1. পড়ি

    x2x^2 এর সহগ ২, তাই শুধু ৩ এর জোড়া দিয়ে হবে না।

  2. আঁকি

    a=2a = 2, b=7b = 7, c=3c = 3। গুণফল চাই a×c=6a \times c = 6, যোগফল 77।

  3. ভাবি

    ৬ এর জোড়া (1,6)(1, 6), (2,3)(2, 3)। যোগফল ৭ মেলে (1,6)(1, 6)-এ।

  4. করি

    2x2+x+6x+3=x(2x+1)+3(2x+1)=(2x+1)(x+3)2x^2 + x + 6x + 3 = x(2x + 1) + 3(2x + 1) = (2x + 1)(x + 3)।

  5. মেলাই

    খুলি: 2x2+6x+x+3=2x2+7x+32x^2 + 6x + x + 3 = 2x^2 + 7x + 3 ✓।

মধ্যপদ ভাঙার চার রূপ

চার ধরনের অঙ্ক: সাধারণ x2+px+qx^2 + px + q; ax2+bx+cax^2 + bx + c; অক্ষর বদলে বা দুই অক্ষরে; আর গল্প। প্রতিটাতেই আগে জোড়ার ছক।

ধরন ১

x² + px + q ভাঙা

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

তিন পদের রাশি, x² এর সহগ ১, মাঝে x এর সহগ আর শেষে একটা সংখ্যা।

সমাধানের ধাপ

  1. q এর সব গুণফল-জোড়া লেখো
  2. যে জোড়ার যোগফল p, সেটা বাছো
  3. (x + m)(x + n) লেখো
  4. খুলে মেলাও
অঙ্ক ১.১সহজ

x² + 7x + 12 ভাঙো

x2+7x+12x^2 + 7x + 12 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

ছক থেকে

জোড়া

(3,4)(3, 4): গুণফল ১২, যোগফল ৭ ✓।

উত্তর

(x+3)(x+4)(x + 3)(x + 4)।

যাচাই

x2+4x+3x+12x^2 + 4x + 3x + 12 ✓

অঙ্ক ১.২মাঝারি

x² − 9x + 20 ভাঙো

x2−9x+20x^2 - 9x + 20 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

ছক থেকে

জোড়া

(−4)×(−5)=20(-4) \times (-5) = 20, (−4)+(−5)=−9(-4) + (-5) = -9 ✓।

উত্তর

(x−4)(x−5)(x - 4)(x - 5)।

যাচাই

খুললে x2−9x+20x^2 - 9x + 20 ✓

অঙ্ক ১.৩মাঝারি

x² + 2x − 15 ভাঙো

x2+2x−15x^2 + 2x - 15 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

ছক থেকে

জোড়া

55 আর −3-3: গুণফল −15-15, যোগফল 22 ✓।

উত্তর

(x+5)(x−3)(x + 5)(x - 3)।

যাচাই

x2−3x+5x−15x^2 - 3x + 5x - 15 ✓

অঙ্ক ১.৪কঠিন

x² − x − 56 ভাঙো

x2−x−56x^2 - x - 56 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

ছক থেকে

জোড়া

(7,8)(7, 8): পার্থক্য ১। বড় (৮) ঋণাত্মক: −8-8 আর 77।

উত্তর

(x−8)(x+7)(x - 8)(x + 7)।

যাচাই

x2+7x−8x−56=x2−x−56x^2 + 7x - 8x - 56 = x^2 - x - 56 ✓

ধরন ২

ax² + bx + c ভাঙা

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

x² এর সহগ ১ নয় (২, ৩, ৬ ইত্যাদি)। তিন পদের রাশি।

সমাধানের ধাপ

  1. ac গুণফল বের করো
  2. ac এর জোড়া, যাদের যোগফল b
  3. bx কে mx + nx করে ভাঙো
  4. জোড়া করে উৎপাদক নাও, খুলে মেলাও
অঙ্ক ২.১সহজ

2x² + 7x + 3 ভাঙো

2x2+7x+32x^2 + 7x + 3 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

মধ্যপদ ভেঙে

ভাঙি

2x2+x+6x+32x^2 + x + 6x + 3।

জোড়া করে

x(2x+1)+3(2x+1)=(2x+1)(x+3)x(2x + 1) + 3(2x + 1) = (2x + 1)(x + 3)।

যাচাই

2x2+6x+x+32x^2 + 6x + x + 3 ✓

অঙ্ক ২.২কঠিন

6x² − 5x − 6 ভাঙো

6x2−5x−66x^2 - 5x - 6 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

মধ্যপদ ভেঙে

ভাঙি

6x2−9x+4x−66x^2 - 9x + 4x - 6।

জোড়া করে

3x(2x−3)+2(2x−3)=(2x−3)(3x+2)3x(2x - 3) + 2(2x - 3) = (2x - 3)(3x + 2)।

যাচাই

6x2+4x−9x−6=6x2−5x−66x^2 + 4x - 9x - 6 = 6x^2 - 5x - 6 ✓

অঙ্ক ২.৩মাঝারি

3x² − 10x + 8 ভাঙো

3x2−10x+83x^2 - 10x + 8 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

মধ্যপদ ভেঙে

ভাঙি

3x2−4x−6x+83x^2 - 4x - 6x + 8।

জোড়া করে

x(3x−4)−2(3x−4)=(3x−4)(x−2)x(3x - 4) - 2(3x - 4) = (3x - 4)(x - 2)।

যাচাই

3x2−6x−4x+83x^2 - 6x - 4x + 8 ✓

অঙ্ক ২.৪কঠিন

12x² + 7x − 10 ভাঙো

12x2+7x−1012x^2 + 7x - 10 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

মধ্যপদ ভেঙে

ভাঙি

12x2+15x−8x−1012x^2 + 15x - 8x - 10।

জোড়া করে

3x(4x+5)−2(4x+5)=(4x+5)(3x−2)3x(4x + 5) - 2(4x + 5) = (4x + 5)(3x - 2)।

যাচাই

x=1x = 1: বাম 99, ডান 9×1=99 \times 1 = 9 ✓

ধরন ৩

অক্ষর বদলে বা দুই অক্ষরে

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

রাশিতে x² এর বদলে x⁴, বা (x + 1) বারবার, বা দুটো অক্ষর a ও b।

সমাধানের ধাপ

  1. কোন অংশ বারবার আসছে তা একটা নতুন অক্ষর ধরো
  2. নতুন অক্ষরে সাধারণ মধ্যপদ ভাঙা করো
  3. নতুন অক্ষরের জায়গায় আসল অংশ বসাও
  4. খুলে মেলাও
অঙ্ক ৩.১মাঝারি

a² + 5ab + 6b² ভাঙো

a2+5ab+6b2a^2 + 5ab + 6b^2 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

সাধারণ ভাঙা

জোড়া

2+3=52 + 3 = 5, 2×3=62 \times 3 = 6।

উত্তর

(a+2b)(a+3b)(a + 2b)(a + 3b)।

যাচাই

খুললে a2+5ab+6b2a^2 + 5ab + 6b^2 ✓

অঙ্ক ৩.২কঠিন

x⁴ + 5x² + 6 ভাঙো

x4+5x2+6x^4 + 5x^2 + 6 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

অক্ষর বদলে

বদলাই

t=x2t = x^2 হলে t2+5t+6t^2 + 5t + 6।

ভাঙি

(t+2)(t+3)(t + 2)(t + 3)।

উত্তর

(x2+2)(x2+3)(x^2 + 2)(x^2 + 3)।

যাচাই

x=1x = 1: বাম 1212, ডান 3×4=123 \times 4 = 12 ✓

অঙ্ক ৩.৩কঠিন

(x + 1)² + 5(x + 1) + 6 ভাঙো

(x+1)2+5(x+1)+6(x + 1)^2 + 5(x + 1) + 6 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

অক্ষর বদলে

বদলাই

t=x+1t = x + 1।

ভাঙি

(t+2)(t+3)=(x+3)(x+4)(t + 2)(t + 3) = (x + 3)(x + 4)।

যাচাই

x=0x = 0: বাম 1+5+6=121 + 5 + 6 = 12, ডান 3×4=123 \times 4 = 12 ✓

অঙ্ক ৩.৪কঠিন

6a² − ab − 2b² ভাঙো

6a2−ab−2b26a^2 - ab - 2b^2 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

মধ্যপদ ভেঙে

ভাঙি

6a2+3ab−4ab−2b26a^2 + 3ab - 4ab - 2b^2।

জোড়া করে

3a(2a+b)−2b(2a+b)=(2a+b)(3a−2b)3a(2a + b) - 2b(2a + b) = (2a + b)(3a - 2b)।

যাচাই

a=1a = 1, b=1b = 1: বাম 33, ডান 3×1=33 \times 1 = 3 ✓

ধরন ৪

গল্পের অঙ্ক: ক্ষেত্রফল ও সংখ্যা

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্ন একটা গল্প: ক্ষেত্রফল থেকে দৈর্ঘ্য-প্রস্থ, বা দুটো সংখ্যার গুণফল ও যোগফল দেওয়া।

সমাধানের ধাপ

  1. অজানাকে অক্ষর ধরে সমীকরণ বা রাশি লেখো
  2. রাশিকে ভেঙে দুই উৎপাদক বের করো
  3. উৎপাদকের অর্থ গল্পে মেলাও
  4. মান বসিয়ে গল্পের সঙ্গে মিলিয়ে নাও
অঙ্ক ৪.১সহজ

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য

একটা আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (x2+7x+12)(x^2 + 7x + 12) বর্গমিটার আর প্রস্থ (x+3)(x + 3) মিটার। দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান

ভেঙে

ভাঙি

(x+3)(x+4)(x + 3)(x + 4)।

দৈর্ঘ্য

প্রস্থ x+3x + 3, তাই দৈর্ঘ্য x+4x + 4 মিটার।

যাচাই

x=2x = 2: ক্ষেত্রফল 4+14+12=304 + 14 + 12 = 30, আর 5×6=305 \times 6 = 30 ✓

অঙ্ক ৪.২মাঝারি

মাঠের ক্ষেত্রফল সংখ্যায়

একটা আয়তক্ষেত্রাকার মাঠের ক্ষেত্রফল (x2−x−12)(x^2 - x - 12) বর্গমিটার। x=7x = 7 হলে ক্ষেত্রফল কত, আর দৈর্ঘ্য-প্রস্থ কত?

সমাধান

ভেঙে

ভাঙি

x2−x−12=(x−4)(x+3)x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)।

x = 7

বাহু 33 মি. আর 1010 মি.। ক্ষেত্রফল 3030 বর্গমিটার।

যাচাই

49−7−12=3049 - 7 - 12 = 30 ✓

অঙ্ক ৪.৩মাঝারি

যোগফল ৮, গুণফল ১৫

দুটো সংখ্যার যোগফল ৮ আর গুণফল ১৫। সংখ্যা দুটো কী কী?

সমাধান

রাশি বানিয়ে

রাশি

t2−8t+15t^2 - 8t + 15।

ভাঙি

(t−3)(t−5)(t - 3)(t - 5)। তাই সংখ্যা ৩ আর ৫।

যাচাই

3+5=83 + 5 = 8, 3×5=153 \times 5 = 15 ✓

অঙ্ক ৪.৪কঠিন

দুটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল ১৫৬

দুটি ক্রমিক ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার গুণফল ১৫৬। সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান

ভেঙে সমাধান

সমীকরণ

x2+x−156=(x+13)(x−12)=0x^2 + x - 156 = (x + 13)(x - 12) = 0।

সমাধান

গুণফল শূন্য মানে একটা উৎপাদক শূন্য: x=−13x = -13 বা x=12x = 12। ধনাত্মক চাই, তাই x=12x = 12।

যাচাই

12×13=15612 \times 13 = 156 ✓ সংখ্যা ১২ আর ১৩।

গুণফল ও যোগফল মেলাও

নিচের অঙ্কগুলো নিজে করো। আটকে গেলে ইঙ্গিত দেখো, তারপর উত্তর মিলিয়ে নাও।

ভুল ধরো

তিনটা দেখতে-ঠিক কিন্তু ভুল ভাঙা

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

ক: x2+5x+6=(x+1)(x+6)x^2 + 5x + 6 = (x + 1)(x + 6)।

খ: x2−5x+6=(x+2)(x+3)x^2 - 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)।

গ: x2+x−6=(x−2)(x−3)x^2 + x - 6 = (x - 2)(x - 3)।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ক: 1+6=71 + 6 = 7, ৫ নয়। জোড়ার যোগফল pp হতে হবে। ঠিক (x+2)(x+3)(x + 2)(x + 3)। যাচাই x=1x = 1: 1212, আর 2×7=142 \times 7 = 14 ✗।

খ: p=−5p = -5 ঋণাত্মক, কিন্তু জোড়া ধনাত্মক নিয়েছে। ঠিক: (x−2)(x−3)(x - 2)(x - 3)। যাচাই x=1x = 1: 22, ঠিকটায় (−1)(−2)=2(-1)(-2) = 2 ✓।

গ: গুণফল −6-6 ঋণাত্মক, কিন্তু জোড়ার চিহ্ন একই নিয়েছে। ঠিক: (x+3)(x−2)(x + 3)(x - 2)। যাচাই x=1x = 1: −4-4, ঠিকটায় 4×(−1)=−44 \times (-1) = -4 ✓।

ধরার উপায়: ভেঙে খুলে মেলাও।

x² + 8x + 15 = ?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (ক) (x + 3)(x + 5)। 3 × 5 = 15 আর 3 + 5 = 8, তাই (x + 3)(x + 5)।

x² − 2x − 8 = ?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (ক) (x − 4)(x + 2)। (−4) × 2 = −8 আর −4 + 2 = −2, তাই (x − 4)(x + 2)।

2x² + 5x + 2 = ?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (ক) (2x + 1)(x + 2)। 2x² + x + 4x + 2 = x(2x + 1) + 2(2x + 1) = (2x + 1)(x + 2)।

প্রশ্ন ১. উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো: (ক) x2+11x+28x^2 + 11x + 28 (খ) x2−3x−40x^2 - 3x - 40 (গ) 5x2+13x+65x^2 + 13x + 6

ইঙ্গিত দেখো

জোড়ার ছক বানাও। (গ) এ ac=30ac = 30।

উত্তর দেখো

(ক) (x+4)(x+7)(x + 4)(x + 7)। (খ) (x−8)(x+5)(x - 8)(x + 5)। (গ) (5x+3)(x+2)(5x + 3)(x + 2) (ac=30ac = 30, জোড়া (3,10)(3, 10))।

প্রশ্ন ২. একটা আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (x2+9x+20)(x^2 + 9x + 20) বর্গ একক। প্রস্থ (x+4)(x + 4) হলে দৈর্ঘ্য কত?

ইঙ্গিত দেখো

ক্ষেত্রফলকে ভাঙো।

উত্তর দেখো

x2+9x+20=(x+4)(x+5)x^2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5), তাই দৈর্ঘ্য (x+5)(x + 5)।

মনে রাখো

  • x2+px+qx^2 + px + q: এমন দুটো সংখ্যা চাই যাদের গুণফল qq, যোগফল pp। উত্তর (x+m)(x+n)(x + m)(x + n)।
  • ax2+bx+cax^2 + bx + c: গুণফল acac, যোগফল bb। মধ্যপদ ভেঙে জোড়া করো।
  • চিহ্ন: গুণফল ঋণাত্মক মানে জোড়ার চিহ্ন ভিন্ন।
  • যাচাই: ভাঙা রাশি খুলে মূল রাশি ফেরত পাও কি না।