ভাগশেষ ও উৎপাদক উপপাদ্য

ভাগ না করে রাশির ভাগশেষ পাবে কীভাবে?

ভাগ না করেই ভাগশেষ

$17 \div 5$ এ ভাগফল ৩ আর ভাগশেষ ২। সংখ্যার ভাগে আমরা লম্বা ভাগ করি। রাশির ভাগেও লম্বা ভাগ আছে, কিন্তু অনেক লম্বা।

একটা মজার ব্যাপার: $f(x) = x^2 - 5x + 7$ কে $(x - 2)$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত, তা বের করতে ভাগ করার দরকারই নেই। শুধু $f(2)$ বের করো: $4 - 10 + 7 = 1$ । ভাগশেষ ঠিক ১!

এই ম্যাজিক কেন কাজ করে, আর এটা দিয়ে কঠিন রাশি কীভাবে ভাঙা যায়, তা আজ দেখব।

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

মান বসালেই ভাগশেষ

x = a বসালেই বাকি অংশ উধাও

$f(x)$ কে $(x - a)$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল $q(x)$ আর ভাগশেষ $r$ পাই। সংখ্যার ভাগের মতোই:

$f(x) = (x - a) \cdot q(x) + r$ ।

এখানে $r$ একটা সংখ্যা (কারণ ভাজক এক ঘাতের, তাই ভাগশেষ ধ্রুবক)। এবার দুই পাশে $x = a$ বসাও: $f(a) = (a - a) \cdot q(a) + r = 0 + r = r$ । তাই:

$f(x) \div (x - a)$ এর ভাগশেষ $= f(a)$

উৎপাদক উপপাদ্য: যদি $f(a) = 0$ হয়, তাহলে ভাগশেষ ০, মানে $f(x) = (x - a)q(x)$ । অর্থাৎ $(x - a)$ একটা উৎপাদক। উল্টোটাও সত্য।

ভাজক $(x + a)$ হলে: $x + a = x - (-a)$ , তাই ভাগশেষ $f(-a)$ । ভাজক $(ax - b)$ হলে: $ax - b = 0$ থেকে $x = \frac{b}{a}$ , ভাগশেষ $f\left(\frac{b}{a}\right)$ ।

নিজে দেখে বুঝো

নিজে বদলে দেখো

f(x) =

a =

f(x) = x³ − 6x² + 11x − 6। এটাকে (x − 1) দিয়ে ভাগ করলে কত বাকি থাকে?

সহগ	1	−6	11	−6
× 1 করে যোগ		1	−5	6
ফল	1	−5	6	0

ভাগফল: x² − 5x + 6, ভাগশেষ: 0

অন্যদিকে সরাসরি f(1) = 0। দুটো সমান, এটাই ভাগশেষ উপপাদ্য।

ভাগশেষ ০, তাই (x − 1) একটা উৎপাদক ✓

উৎপাদক খুঁজি (শেষ পদ −6 এর উৎপাদক থেকে a বাছি):

রাশি আর a এর মান লেখো। বোর্ড সংশ্লেষণ ভাগের ছক দেখাবে, ভাগশেষ আর f(a) মেলাবে। নিচের বোতামগুলো শেষ পদের উৎপাদক থেকে a বেছে দেখায়, যেটা সবুজ সেটাই উৎপাদক।

f(x) আর a লেখার দুটো ঘর। নিচে সংশ্লেষণ ভাগের ছক, ভাগফল, ভাগশেষ, আর f(a) এর সঙ্গে মেলানো। আর a এর সম্ভাব্য মানের বোতাম, যেখানে f(a) শূন্য হলে সবুজ।

উৎপাদক খোঁজার কৌশল

শূন্যায়ন পদ্ধতি: রাশির শেষ পদের উৎপাদকগুলো ( $\pm 1$ , $\pm 2$ …) একে একে $x$ এর জায়গায় বসাও। যেটা বসালে রাশি শূন্য হয়, তার $(x - a)$ একটা উৎপাদক। তারপর ভাগ করে বাকিটা ভাঙো।

ভাজককে শূন্য করো

সব অঙ্কে প্রথম কাজ: ভাজককে শূন্যের সমান করে $x$ এর মান বের করো। সেই মানই রাশিতে বসবে।

একসাথে করি ১

x³ + 3x² − x + 5 কে (x + 1) দিয়ে ভাগ

$f(x) = x^3 + 3x^2 - x + 5$ কে $(x + 1)$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত?

পড়ি
ভাগশেষ চাই, ভাগ করতে বলেনি। উপপাদ্য ব্যবহার করব।
আঁকি
ভাজক $x + 1 = 0$ থেকে $x = -1$ ।
ভাবি
ভাগশেষ $f(-1)$ । ঋণাত্মক সংখ্যা বসাতে বন্ধনী ব্যবহার করব।
করি
$f(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 - (-1) + 5 = -1 + 3 + 1 + 5 = 8$ ।
মেলাই
বোর্ডে রাশি আর $a = -1$ বসিয়ে মিলিয়ে নাও: ভাগশেষ ৮।

একসাথে করি ২

x³ − 6x² + 11x − 6 ভাঙি

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

পড়ি
তিন ঘাতের রাশি, মধ্যপদ ভাঙা যাবে না। শূন্যায়ন পদ্ধতি।
আঁকি
শেষ পদ $-6$ । এর উৎপাদক: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ । একে একে বসাব।
ভাবি
$f(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$ । পেয়ে গেছি: $(x - 1)$ উৎপাদক।
করি
ভাগ করে ভাগফল $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ । তাই $f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$ ।
মেলাই
$x = 4$ : বাম $64 - 96 + 44 - 6 = 6$ , ডান $3 \times 2 \times 1 = 6$ ✓।

উপপাদ্যের চার ব্যবহার

চার ধরন: ভাগশেষ বের করা, উৎপাদক কি না দেখা, শূন্যায়নে ভাঙা, আর অজানা ধ্রুবকের অঙ্ক।

ধরন ১

ভাগশেষ নির্ণয়

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে বলা 'ভাগশেষ নির্ণয় করো' আর ভাজক একটা এক ঘাতের রাশি।

সমাধানের ধাপ

ভাজক = 0 ধরে x এর মান বের করো
সেই মান রাশিতে বসাও (ঋণাত্মক হলে বন্ধনী)
হিসাব করে ভাগশেষ লেখো
ইচ্ছা হলে সংশ্লেষণ ভাগে মেলাও

অঙ্ক ১.১সহজ

x² − 5x + 7 কে (x − 2)

$x^2 - 5x + 7$ কে $(x - 2)$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত?

সমাধান

উপপাদ্যে

বসাই

$f(2) = 4 - 10 + 7 = 1$ ।

যাচাই

লম্বা ভাগে ভাগফল $x - 3$ , ভাগশেষ ১ ✓ (কারণ $(x - 2)(x - 3) + 1 = x^2 - 5x + 7$ )

অঙ্ক ১.২মাঝারি

x³ + 3x² − x + 5 কে (x + 1)

$x^3 + 3x^2 - x + 5$ কে $(x + 1)$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত?

সমাধান

উপপাদ্যে

বসাই

$f(-1) = -1 + 3 + 1 + 5 = 8$ ।

যাচাই

সংশ্লেষণ ভাগে ভাগশেষ ৮ ✓

অঙ্ক ১.৩কঠিন

2x³ − 3x² + x − 4 কে (2x − 1)

$2x^3 - 3x^2 + x - 4$ কে $(2x - 1)$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত?

সমাধান

উপপাদ্যে

বসাই

$f(\tfrac{1}{2}) = \tfrac{1}{4} - \tfrac{3}{4} + \tfrac{1}{2} - 4 = -4$ ।

যাচাই

$\frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{2}$ , তারপর $+\frac{1}{2} = 0$ , তারপর $-4$ ✓

অঙ্ক ১.৪মাঝারি

x⁴ − 2x² + 3 কে (x + 2)

$x^4 - 2x^2 + 3$ কে $(x + 2)$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত?

সমাধান

উপপাদ্যে

বসাই

$f(-2) = 16 - 8 + 3 = 11$ ।

যাচাই

সংশ্লেষণ ভাগে ভাগশেষ ১১ ✓

ধরন ২

উৎপাদক কি না

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে 'প্রমাণ করো যে (x − a) রাশিটির একটি উৎপাদক' বা 'উৎপাদক কি না নির্ণয় করো'।

সমাধানের ধাপ

ভাজক = 0 ধরে x এর মান বের করো
রাশিতে সেই মান বসাও
ফল ০ হলে উৎপাদক, না হলে নয়
ভাগফল চাইলে সংশ্লেষণ ভাগ করো

অঙ্ক ২.১সহজ

x³ − 8 এর উৎপাদক (x − 2)

প্রমাণ করো যে $(x - 2)$ , $x^3 - 8$ এর একটা উৎপাদক।

সমাধান

উপপাদ্যে

বসাই

$f(2) = 8 - 8 = 0$ ।

সিদ্ধান্ত

ভাগশেষ ০, তাই $(x - 2)$ উৎপাদক ∎

যাচাই

$x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ ✓

অঙ্ক ২.২সহজ

x³ + 1 এর উৎপাদক (x + 1)

প্রমাণ করো যে $(x + 1)$ , $x^3 + 1$ এর একটা উৎপাদক।

সমাধান

উপপাদ্যে

বসাই

$f(-1) = -1 + 1 = 0$ ∎

যাচাই

$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$ ✓

অঙ্ক ২.৩মাঝারি

x³ − 4x² + x + 6 এর উৎপাদক (x − 3)

$(x - 3)$ কি $x^3 - 4x^2 + x + 6$ এর উৎপাদক? ভাগফল কত?

সমাধান

উপপাদ্যে

বসাই

$f(3) = 27 - 36 + 3 + 6 = 0$ , তাই উৎপাদক।

ভাগফল

সংশ্লেষণ ভাগে সহগ $1, -1, -2$ , ভাগফল $x^2 - x - 2$ ।

যাচাই

$(x - 3)(x^2 - x - 2) = x^3 - 4x^2 + x + 6$ ✓

অঙ্ক ২.৪মাঝারি

x² + x − 6 এর উৎপাদক (x − 1)

$(x - 1)$ কি $x^2 + x - 6$ এর উৎপাদক?

সমাধান

উপপাদ্যে

বসাই

$f(1) = 1 + 1 - 6 = -4 \ne 0$ ।

সিদ্ধান্ত

ভাগশেষ ০ নয়, তাই $(x - 1)$ উৎপাদক নয়।

যাচাই

আসল উৎপাদক $(x + 3)(x - 2)$ , তাতে $(x - 1)$ নেই ✓

ধরন ৩

শূন্যায়নে উৎপাদকে ভাঙা

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

তিন ঘাতের রাশি, যাতে মধ্যপদ ভাঙা বা জোড়া করা যায় না।

সমাধানের ধাপ

শেষ পদের উৎপাদকগুলো (±) একে একে বসাও
যেটায় রাশি শূন্য হয়, তার (x − a) একটা উৎপাদক
সংশ্লেষণ ভাগে ভাগফল (দ্বিঘাত) বের করো
ভাগফলকে মধ্যপদ ভেঙে ভাঙো; খুলে মেলাও

অঙ্ক ৩.১মাঝারি

x³ − 6x² + 11x − 6 ভাঙো

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

শূন্যায়নে

খুঁজি

$f(1) = 0$ , তাই $(x - 1)$ উৎপাদক।

ভাগ করি

ভাগফল $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ ।

উত্তর

$(x - 1)(x - 2)(x - 3)$ ।

যাচাই

$x = 4$ : বাম $6$ , ডান $3 \times 2 \times 1 = 6$ ✓

অঙ্ক ৩.২মাঝারি

x³ − 2x² − 5x + 6 ভাঙো

$x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

শূন্যায়নে

খুঁজি

$f(1) = 0$ , $(x - 1)$ উৎপাদক।

ভাগফল

$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$ ।

উত্তর

$(x - 1)(x - 3)(x + 2)$ ।

যাচাই

$x = 2$ : বাম $-4$ , ডান $1 \times (-1) \times 4 = -4$ ✓

অঙ্ক ৩.৩মাঝারি

x³ + x² − 4x − 4 ভাঙো

$x^3 + x^2 - 4x - 4$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

শূন্যায়নে

খুঁজি

$f(-1) = 0$ , তাই $(x + 1)$ উৎপাদক।

ভাগফল

$x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$ ।

উত্তর

$(x + 1)(x + 2)(x - 2)$ ।

যাচাই

$x = 3$ : বাম $20$ , ডান $4 \times 5 \times 1 = 20$ ✓

অঙ্ক ৩.৪কঠিন

2x³ − 3x² − 3x + 2 ভাঙো

$2x^3 - 3x^2 - 3x + 2$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

শূন্যায়নে

খুঁজি

$f(-1) = 0$ , $(x + 1)$ উৎপাদক।

ভাগফল ভাঙি

$2x^2 - 5x + 2 = (2x - 1)(x - 2)$ ( $ac = 4$ , জোড়া $-1, -4$ )।

উত্তর

$(x + 1)(2x - 1)(x - 2)$ ।

যাচাই

$x = 3$ : বাম $20$ , ডান $4 \times 5 \times 1 = 20$ ✓

ধরন ৪

অজানা ধ্রুবক বের করা

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে একটা অক্ষর ( $k$ , $a$ , $b$ ) আছে, আর ভাগশেষ বা উৎপাদকের শর্ত দেওয়া, ওই অক্ষরের মান চাই।

সমাধানের ধাপ

ভাজক = 0 ধরে x এর মান বের করো
রাশিতে বসাও, তাতে অজানা অক্ষর থাকবে
শর্ত (ভাগশেষ = ... বা = 0) দিয়ে সমীকরণ বানাও
সমীকরণ সমাধান করে মান বসিয়ে যাচাই করো

অঙ্ক ৪.১সহজ

ভাগশেষ ১০ হলে k

$x^2 + kx + 6$ কে $(x - 1)$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ ১০। $k$ এর মান কত?

সমাধান

সমীকরণ বানিয়ে

বসাই

$1 + k + 6 = 10$ , তাই $k = 3$ ।

যাচাই

$f(x) = x^2 + 3x + 6$ , $f(1) = 10$ ✓

অঙ্ক ৪.২মাঝারি

উৎপাদক হলে k

$x^3 - 3x^2 + kx - 6$ এর একটি উৎপাদক $(x - 2)$ হলে $k$ এর মান কত?

সমাধান

সমীকরণ বানিয়ে

বসাই

$8 - 12 + 2k - 6 = 0$ , অর্থাৎ $2k - 10 = 0$ , $k = 5$ ।

যাচাই

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 6$ , $f(2) = 8 - 12 + 10 - 6 = 0$ ✓

অঙ্ক ৪.৩মাঝারি

(x + 3) উৎপাদক হলে k

$x^2 + kx - 3$ এর একটি উৎপাদক $(x + 3)$ হলে $k$ কত?

সমাধান

সমীকরণ বানিয়ে

বসাই

$9 - 3k - 3 = 0$ , $k = 2$ ।

যাচাই

$x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)$ ✓

অঙ্ক ৪.৪কঠিন

দুটো উৎপাদক থেকে a, b

$x^3 + ax + b$ কে $(x - 1)$ আর $(x + 2)$ উভয়ই ভাগ করে (ভাগশেষ ০)। $a$ ও $b$ কত?

সমাধান

দুই সমীকরণে

সমীকরণ

$a + b = -1$ আর $-2a + b = 8$ ।

বিয়োগ

$3a = -9$ , $a = -3$ , তাই $b = 2$ ।

যাচাই

$f(x) = x^3 - 3x + 2$ , $f(1) = 0$ , $f(-2) = -8 + 6 + 2 = 0$ ✓

বসানোর মান ও চিহ্ন মেলাও

নিচের অঙ্কগুলো নিজে করো। আটকে গেলে ইঙ্গিত দেখো, তারপর উত্তর মিলিয়ে নাও।

ভুল ধরো

তিনটা দেখতে-ঠিক কিন্তু ভুল সমাধান

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

ক: $x^2 + 3x + 1$ কে $(x + 2)$ দিয়ে ভাগে ভাগশেষ $f(2) = 11$ ।

খ: $f(3) = 0$ তাই $(x + 3)$ উৎপাদক।

গ: $f(2) = 5$ , ভাগশেষ ০ তাই $(x - 2)$ উৎপাদক।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ক: $x + 2 = 0$ থেকে $x = -2$ । ঠিক ভাগশেষ $f(-2) = 4 - 6 + 1 = -1$ ।

খ: $f(3) = 0$ হলে উৎপাদক $(x - 3)$ , $(x + 3)$ নয়। চিহ্ন উল্টো।

গ: $f(2) = 5 \ne 0$ , তাই ভাগশেষ ৫, ০ নয়। $(x - 2)$ উৎপাদক নয়।

ধরার উপায়: আগে ভাজককে ০ করে $x$ বের করো।

f(x) = x² + 2x + 3 কে (x − 1) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (ক) f(1) = 6। f(1) = 1 + 2 + 3 = 6।

x³ − 1 এর কোনটি উৎপাদক?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) x − 1। f(1) = 1 − 1 = 0, তাই (x − 1) উৎপাদক।

(2x + 1) দিয়ে ভাগের ভাগশেষ বের করতে x এ কী বসাবে?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) −1/2। 2x + 1 = 0 থেকে x = −1/2।

প্রশ্ন ১. $x^3 - 2x^2 + 4x - 8$ কে $(x - 2)$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত? $(x - 2)$ উৎপাদক কি?

ইঙ্গিত দেখো

$f(2)$ বের করো।

উত্তর দেখো

$f(2) = 8 - 8 + 8 - 8 = 0$ , তাই উৎপাদক। আসলে $x^2(x - 2) + 4(x - 2) = (x - 2)(x^2 + 4)$ ।

প্রশ্ন ২. $x^3 - 7x + 6$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

ইঙ্গিত দেখো

শেষ পদ ৬ এর উৎপাদক বসাও: $x = 1$ থেকে শুরু।

উত্তর দেখো

$f(1) = 0$ । ভাগফল $x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)$ । তাই $(x - 1)(x - 2)(x + 3)$ ।

মনে রাখো

ভাগশেষ উপপাদ্য: $f(x)$ কে $(x - a)$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ $f(a)$ ।
উৎপাদক উপপাদ্য: $f(a) = 0$ হলে $(x - a)$ উৎপাদক।
প্রথম ধাপ: ভাজককে ০ করে $x$ এর মান বের করো। চিহ্ন উল্টে যায়।
শূন্যায়ন: শেষ পদের উৎপাদক ( $\pm 1, \pm 2 \dots$ ) বসিয়ে বসিয়ে খোঁজো।