পাঠ ১১গণিত

গল্প থেকে বীজগাণিতিক সমীকরণ

পাঠের সারাংশ

অজানাকে অক্ষর ধরে গল্পের শর্ত থেকে সমীকরণ বানিয়ে সমাধান ও যাচাই করব।

আগে পড়ে নাওমধ্যপদ ভেঙে উৎপাদকে বিশ্লেষণ

MCQ ও সৃজনশীল শর্টকাট

প্রতিটি অঙ্কে তিন লাইন: প্রশ্ন, তারপর শর্টকাটটা প্রশ্নের ঠিক কোন জায়গায় লাগছে, তারপর উত্তর।

  1. ১০০ এর কাছে বর্গ

    ৯৯৬² কে (১০০০ − ৪)² ধরে বিয়োগের বর্গ বসাও। কাছের গোল সংখ্যা বাছো।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      9898 এর বর্গ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে 9898, 100100 এর কাছে। শর্টকাট: 98=100−298=100-2, তাই বিয়োগের বর্গ (100−2)2=10000−2×100×2+4=9604(100-2)^2=10000-2\times 100\times 2+4=9604।

      উত্তর

      96049604

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      102102 এর বর্গ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে 102102, 100100 এর কাছে। শর্টকাট: 102=100+2102=100+2, তাই যোগের বর্গ (100+2)2=10000+400+4(100+2)^2=10000+400+4।

      উত্তর

      1040410404

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      9999 এর বর্গ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে 9999, 100100 এর কাছে। শর্টকাট: 99=100−199=100-1, তাই বিয়োগের বর্গ (100−1)2=10000−200+1(100-1)^2=10000-200+1।

      উত্তর

      98019801

  2. পদ গুনে সূত্র

    দুই পদ ঘন হলে ঘনের যোগ বা বিয়োগ। চার পদ হলে আগে পূর্ণঘন মেলাও।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      8+x38+x^3 কোন সূত্রে ভাঙবে?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে দুই পদ, 88 আর x3x^3। শর্টকাট: দুটোই ঘন। 23+x32^3+x^3, ঘনের যোগ।

      উত্তর

      (2+x)(4−2x+x2)(2+x)(4-2x+x^2)

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      a3−27a^3-27 কোন সূত্রে ভাঙবে?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে দুই পদ, a3a^3 আর 2727, মাঝে বিয়োগ। শর্টকাট: 27=3327=3^3। ঘনের বিয়োগ।

      উত্তর

      (a−3)(a2+3a+9)(a-3)(a^2+3a+9)

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      x3+3x2+3x+1x^3+3x^2+3x+1 কোন ঘন?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে চার পদ। শর্টকাট: পূর্ণঘন (x+1)3(x+1)^3 এর সঙ্গে মেলে।

      উত্তর

      (x+1)3(x+1)^3

  3. মধ্যপদ ভাঙা

    দুই সংখ্যা খোঁজো যাদের যোগ মধ্যপদ, গুণ শেষ পদ। চিহ্ন দুটোকে আলাদা রাখো।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      x2+5x+6x^2+5x+6 এর উৎপাদক কী?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে মধ্যপদ 5x5x, শেষ পদ 66। শর্টকাট: যোগ ৫, গুণ ৬। সংখ্যা 22 আর 33।

      উত্তর

      (x+2)(x+3)(x+2)(x+3)

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      x2−5x+6x^2-5x+6 এর উৎপাদক কী?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে মধ্যপদ −5x-5x, শেষ পদ 66। শর্টকাট: যোগ −5-5, গুণ 66। সংখ্যা −2-2 আর −3-3।

      উত্তর

      (x−2)(x−3)(x-2)(x-3)

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      x2+x−6x^2+x-6 এর উৎপাদক কী?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে মধ্যপদ xx, শেষ পদ −6-6। শর্টকাট: যোগ 11, গুণ −6-6। সংখ্যা 33 আর −2-2।

      উত্তর

      (x+3)(x−2)(x+3)(x-2)

  4. ভাগশেষে বসানো

    ভাগ না করে x = a বসাও। f(a) ই ভাগশেষ।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      x2+xx^2+x কে (x−1)(x-1) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভাজক (x−1)(x-1)। শর্টকাট: ভাগ না করে x=1x=1। 1+1=21+1=2।

      উত্তর

      22

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      x3−8x^3-8 কে (x−2)(x-2) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভাজক (x−2)(x-2)। শর্টকাট: x=2x=2। 8−8=08-8=0।

      উত্তর

      00

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      x2+1x^2+1 কে (x+1)(x+1) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভাজক (x+1)(x+1)। শর্টকাট: x=−1x=-1। 1+1=21+1=2।

      উত্তর

      22

  5. শতকরায় ১০০ ধরো

    লাভ-ক্ষতির অঙ্কে ক্রয়মূল্য ১০০ ধরে শুরু করলে শতাংশ সরাসরি টাকায় মেলে।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা, লাভ ২০%। বিক্রয়মূল্য কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ক্রয় ১০০। শর্টকাট: ১০০ ধরলে লাভ সরাসরি ২০ টাকা। বিক্রয় 100+20100+20।

      উত্তর

      120120 টাকা

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা, ক্ষতি ১৫%। বিক্রয়মূল্য কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ক্রয় ১০০। শর্টকাট: ক্ষতি ১৫ টাকা। বিক্রয় 100−15100-15।

      উত্তর

      8585 টাকা

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      দুই জিনিসের ক্রয় ১০০ টাকা করে। একটায় ১০% লাভ, একটায় ১০% ক্ষতি। মোট লাভ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে দুই ক্রয়ই ১০০, হার ১০%। শর্টকাট: লাভ ১০, ক্ষতি ১০। মোট 10−10=010-10=0।

      উত্তর

      00

  6. ছোট মান দিয়ে বাদ

    MCQ তে a = ১, b = ১ বসিয়ে অপশন মেলাও। যে অপশন মেলে না, সেটা বাদ।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      (a+b)2(a+b)^2 আর a2+b2a^2+b^2 সমান কি? a=1a=1, b=1b=1 বসাও।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে a=1a=1, b=1b=1। শর্টকাট: বাম (2)2=4(2)^2=4, ডান 1+1=21+1=2। মেলে না, বাদ।

      উত্তর

      সমান নয়

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      a2−b2a^2-b^2 আর (a−b)2(a-b)^2 সমান কি? a=2a=2, b=1b=1 বসাও।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে a=2a=2, b=1b=1। শর্টকাট: বাম 4−1=34-1=3, ডান 11। মেলে না, বাদ।

      উত্তর

      সমান নয়

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      (a+b)2−(a−b)2(a+b)^2-(a-b)^2 কি 4ab4ab? a=2a=2, b=1b=1 বসাও।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে a=2a=2, b=1b=1। শর্টকাট: বাম 9−1=89-1=8, ডান 88। মেলে, রাখো।

      উত্তর

      হ্যাঁ, 88

উত্তর যাচাইয়ের কৌশল

প্রতিটি অঙ্কে আগে একটা লেখা উত্তর, তারপর যাচাইটা সেই উত্তরের ঠিক কোন জায়গায় লাগছে।

  1. খুলে আবার গুণ

    উৎপাদককে গুণ করে মূল রাশি ফিরে আসে কি না দেখো।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (x+2)(x+3)=x2+5x+6(x+2)(x+3)=x^2+5x+6। গুণ করে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: বাম পাশের গুণ। গুণ x2+5x+6x^2+5x+6। মূল রাশি ফিরে এল। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (x−2)(x+3)=x2+5x−6(x-2)(x+3)=x^2+5x-6। গুণ করে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: বাম পাশের গুণ। গুণ x2+x−6x^2+x-6। 5x5x মেলে না। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, x2+x−6x^2+x-6

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (3−1)(3+1)=8(3-1)(3+1)=8, আর 32−123^2-1^2 ও 88। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দুই পাশের গুণ। গুণ 2×4=82\times 4=8। 9−1=89-1=8। মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 88

  2. একটা সংখ্যা বসাও

    দুই পাশে a = ২ বসাও। সংখ্যা না মিললে চিহ্ন বা পদ বাদ পড়েছে।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (a+b)2=a2+b2(a+b)^2=a^2+b^2। a=2a=2, b=1b=1 বসিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দুই পাশে একই সংখ্যা বসাও। বাম (2+1)2=9(2+1)^2=9, ডান 4+1=54+1=5। ৯ আর ৫ মেলে না, তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b)। a=3a=3, b=2b=2 বসিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দুই পাশে a=3a=3, b=2b=2। বাম 9−4=59-4=5, ডান 1×5=51\times 5=5। মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 55

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (a−b)2=a2−2ab−b2(a-b)^2=a^2-2ab-b^2। a=2a=2, b=1b=1 বসিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দুই পাশে a=2a=2, b=1b=1। বাম 11, ডান 4−4−1=−14-4-1=-1। মেলে না, তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল

  3. বিয়োগের মাঝের চিহ্ন

    বিয়োগের বর্গে মাঝে মাইনাস। বিয়োগের ঘনের যোগে মাঝে প্লাস ab।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (3−1)2(3-1)^2 মাঝের চিহ্নসহ 9−6+1=49-6+1=4। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: বিয়োগের বর্গের মাঝের চিহ্ন। বিয়োগের বর্গে মাঝে মাইনাস। 9−6+1=49-6+1=4। (2)2=4(2)^2=4। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 44

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল a3−b3=(a−b)(a2−ab+b2)a^3-b^3=(a-b)(a^2-ab+b^2)। a=2a=2, b=1b=1 বসিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: মাঝের abab এর চিহ্ন। মাঝে প্লাস abab হওয়া উচিত। ডান 1×3=31\times 3=3, বাম 77। মেলে না, তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, মাঝে +ab+ab

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 23−132^3-1^3 মাঝে +ab+ab দিয়ে 77। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: মাঝের +ab+ab। (2−1)(4+2+1)=7(2-1)(4+2+1)=7। বাম 77। মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 77

  4. ঘনে চার পদ

    ঘন খুললে পদ চারটে। তিন পদ থাকলে একটা গুণফল বাদ গেছে।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (1+1)3(1+1)^3 চার পদে 1+3+3+1=81+3+3+1=8। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: ঘনের চার পদ। চার পদ 1+3+3+1=81+3+3+1=8। (2)3=8(2)^3=8। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 88

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (a+b)3=a3+3ab+b3(a+b)^3=a^3+3ab+b^3। a=b=1a=b=1 বসিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: পদ কয়টা। পদ তিনটা। ডান 55, বাম 88। একটা গুণফল বাদ। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (2−1)3(2-1)^3 চার পদে 8−12+6−1=18-12+6-1=1। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: চার পদ আছে কি না। 8−12+6−1=18-12+6-1=1। চার পদই আছে। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 11

  5. ভাগশেষ যাচাই

    ছোট বহুপদীতে সরাসরি ভাগ করে f(a) এর সঙ্গে মিলাও।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, f(x)=x2+xf(x)=x^2+x কে (x−1)(x-1) দিয়ে ভাগের ভাগশেষ f(1)=2f(1)=2। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: ভাগশেষ 22। (x−1)(x+2)+2=x2+x(x-1)(x+2)+2=x^2+x। ভাগশেষ ২। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 22

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, x2−1x^2-1 কে (x−1)(x-1) দিয়ে ভাগের ভাগশেষ ১। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা ভাগশেষ ১। (x−1)(x+1)=x2−1(x-1)(x+1)=x^2-1, ভাগশেষ ০। f(1)=0f(1)=0। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, 00

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, f(x)=x+3f(x)=x+3 কে (x−2)(x-2) দিয়ে ভাগের ভাগশেষ f(2)=5f(2)=5। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: ভাগশেষ 55। (x−2)+5=x+3(x-2)+5=x+3। ভাগশেষ ৫। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 55

এই পাঠের সূত্রপত্র

অঙ্ক করার সময় এই সূত্রগুলো খোলা রাখো।

  • যোগ ও বিয়োগের বর্গ

    (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

    প্রথম ও শেষ বর্গ, মাঝে দ্বিগুণ গুণফল। বিয়োগে মাঝের চিহ্ন মাইনাস।

  • বর্গের যোগ

    a2+b2=(a+b)2−2aba^2+b^2=(a+b)^2-2ab(a+b)2−(a−b)2=4ab(a+b)^2-(a-b)^2=4ab

    যোগফল বা গুণফল জানা থাকলে বর্গের যোগ। দুই বর্গের অন্তর ৪ab।

  • বর্গের অন্তর

    a2−b2=(a+b)(a−b)a^2-b^2=(a+b)(a-b)

    যোগ আর বিয়োগের গুণ। বর্গের যোগ এভাবে ভাঙে না।

  • তিন রাশির বর্গ

    (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca

    প্রতি জোড়ার দ্বিগুণ যোগ। কোনো চিহ্ন মাইনাস হলে ঐ জোড়ার চিহ্ন বদলায়।

  • যোগ ও বিয়োগের ঘন

    (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

    চার পদ। বিয়োগে চিহ্ন পরপর প্লাস, মাইনাস, প্লাস, মাইনাস।

  • ঘনের যোগ ও বিয়োগ

    a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

    দুই পদই ঘন হলে এই সূত্র। বিয়োগে মাঝের চিহ্ন যোগ।

  • দুই দ্বিপদীর গুণ

    (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab

    মধ্যপদ দুই সংখ্যার যোগ, শেষ পদ তাদের গুণ।

  • ভাগশেষ উপপাদ্য

    f(x)=(x−a)q(x)+f(a)f(x)=(x-a)q(x)+f(a)

    (x − a) দিয়ে ভাগের ভাগশেষ f(a)। f(a) = ০ হলে (x − a) উৎপাদক।

  • উৎপাদক উপপাদ্য

    f(a)=0⇒(x−a)∣f(x)f(a)=0\Rightarrow (x-a)\mid f(x)

    ভাগশেষ শূন্য হলে (x − a) উৎপাদক। উল্টোটাও সত্য।

  • চার পদের বর্গ

    (a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)

    প্রতি পদের বর্গ, আর প্রতি জোড়ার গুণফলের দ্বিগুণ।

  • সরল মুনাফা

    I=Pnr100I=\dfrac{Pnr}{100}

    P মূলধন, r বছরে শতকরা হার, n বছর। সুদাসল P + I।

  • চক্রবৃদ্ধি

    A=P(1+r100)nA=P\left(1+\dfrac{r}{100}\right)^n

    প্রতি বছর সুদ মূলধনে যোগ হয়। r শতকরা হার।

গল্পকে সমীকরণে লিখবে কীভাবে?

বাংলা বাক্য থেকে সমীকরণ

“দুটো সংখ্যার যোগফল ৫০, বড়টা ছোটটার ৪ গুণ।” এটা পড়ে অনেকে আটকে যায়, কারণ কথাগুলো কী করতে বলছে বুঝতে পারে না। অথচ একটা সহজ কৌশল আছে: গল্পের প্রতিটা বাক্যকে একটা গণিতের বাক্য বানাও।

“ছোটটা” = xx। তাহলে “বড়টা ছোটটার ৪ গুণ” = 4x4x। “যোগফল ৫০” = x+4x=50x + 4x = 50। বাস! এখন এটা একটা সাধারণ সমীকরণ। 5x=505x = 50, x=10x = 10, বড়টা 4040।

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

গল্পকে সমীকরণ বানানোর পাঁচ ধাপ

পাঁচ ধাপ

সব গল্পের অঙ্কে একই পাঁচ ধাপ:

১. পড়ি: কী ঘটছে, নিজের ভাষায় বলি। ২. নাম দিই: অজানাটাকে একটা অক্ষর (xx) বলি, একক সহ। ৩. সমীকরণ লিখি: গল্পের যে বাক্যে দুটো জিনিস সমান বলা আছে, সেটাকে ”=” দিয়ে লিখি। ৪. সমাধান করি। ৫. গল্পে ফিরে মেলাই: উত্তরটা গল্পে বসালে সব কথা ঠিক থাকে?

দুটো কাজের সূত্র

কাজের অঙ্কে: কেউ একা nn দিনে একটা কাজ শেষ করলে এক দিনে করে কাজের 1n\frac{1}{n} অংশ। একসাথে করলে এক দিনের কাজ যোগ হয়। নৌকা ও স্রোত: অনুকূলে বেগ =u+v= u + v, প্রতিকূলে =u−v= u - v (uu নৌকার বেগ, vv স্রোতের বেগ)।

পুরো কাজ555555৩০ ভাগA এক দিনে3B এক দিনে2দুজনে32দিনে ৫ ভাগ
কাজটাকে ৩০ সমান ভাগ ধরি (১০ আর ১৫ এর লসাগু)। A দিনে ৩ ভাগ, B দিনে ২ ভাগ, দুজনে মিলে ৫ ভাগ; তাই 30 ÷ 5 = 6 দিন। ভগ্নাংশে একই কথা: 1/10 + 1/15 = 1/6।

কাজটাকে ৩০ সমান ভাগ ধরি (১০ আর ১৫ এর লসাগু)। A দিনে ৩ ভাগ, B দিনে ২ ভাগ, দুজনে মিলে ৫ ভাগ; তাই 30 ÷ 5 = 6 দিন। ভগ্নাংশে একই কথা: 1/10 + 1/15 = 1/6।

স্রোত: vuvঅনুকূলে: u + vuvপ্রতিকূলে: u − v
স্রোত অনুকূলে নৌকাকে ঠেলে (u + v), প্রতিকূলে পিছনে টানে (u − v)। নৌকার উদাহরণে অনুকূলে ঘণ্টায় 15 ÷ 3 = 5 কিমি, প্রতিকূলে 15 ÷ 5 = 3 কিমি; তাই u = 4, v = 1।

স্রোত অনুকূলে নৌকাকে ঠেলে (u + v), প্রতিকূলে পিছনে টানে (u − v)। নৌকার উদাহরণে অনুকূলে ঘণ্টায় 15 ÷ 3 = 5 কিমি, প্রতিকূলে 15 ÷ 5 = 3 কিমি; তাই u = 4, v = 1।

অজানাকে আগে নাম দাও

প্রতিটা ধাপ আলাদা করে লিখলে ভুল প্রায় হয়ই না।

একসাথে করি ১

দুজন মিলে কাজ কতদিনে শেষ

A একা একটা কাজ ১০ দিনে আর B একা ১৫ দিনে করতে পারে। দুজন একসাথে করলে কত দিনে শেষ হবে?

  1. পড়ি

    দুজনে একই কাজ করছে, আমরা চাই একসাথে কতদিন।

  2. নাম দিই

    একসাথে xx দিন ধরি।

  3. সমীকরণ লিখি

    A এক দিনে করে 110\frac{1}{10} অংশ, B করে 115\frac{1}{15}। একসাথে এক দিনে 110+115=3+230=16\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3 + 2}{30} = \frac{1}{6}। তাই xx দিনে x6=1\frac{x}{6} = 1।

  4. সমাধান করি

    x=6x = 6 দিন।

  5. মেলাই

    ৬ দিনে A করে 610\frac{6}{10}, B করে 615\frac{6}{15}, মোট 35+25=1\frac{3}{5} + \frac{2}{5} = 1 ✓। আর ৬ দিন <১০ দিন, যুক্তিসঙ্গত।

একসাথে করি ২

নৌকা ও স্রোত

একটা নৌকা স্রোতের অনুকূলে ১৫ কিমি যায় ৩ ঘণ্টায়, প্রতিকূলে ১৫ কিমি ৫ ঘণ্টায়। নৌকার বেগ আর স্রোতের বেগ কত?

  1. পড়ি

    একই দূরত্ব, কিন্তু যাওয়া-আসার সময় আলাদা।

  2. নাম দিই

    নৌকার বেগ uu, স্রোতের বেগ vv (কিমি/ঘণ্টা)।

  3. সমীকরণ লিখি

    অনুকূলে বেগ =15÷3=5= 15 \div 3 = 5, তাই u+v=5u + v = 5। প্রতিকূলে 15÷5=315 \div 5 = 3, তাই u−v=3u - v = 3।

  4. সমাধান করি

    যোগ করলে 2u=82u = 8, u=4u = 4। বিয়োগ করলে 2v=22v = 2, v=1v = 1।

  5. মেলাই

    অনুকূলে 4+1=54 + 1 = 5, ৩ ঘণ্টায় ১৫ কিমি ✓। প্রতিকূলে 4−1=34 - 1 = 3, ৫ ঘণ্টায় ১৫ কিমি ✓।

গল্পের সমীকরণের চার রূপ

চার ধরন: সংখ্যা ও ভাগাভাগি, কাজ ও নল, নৌকা ও স্রোত, আর জ্যামিতি ও মুদ্রার গল্প। প্রতিটা অঙ্কে আগে অজানাকে নাম দাও।

ধরন ১

সংখ্যা ও ভাগাভাগি

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে সংখ্যার সম্পর্ক বা টাকার ভাগ, যেমন কত গুণ, কত বেশি, মোট কত।

সমাধানের ধাপ

  1. ছোট বা মূল জিনিসটাকে x ধরো
  2. অন্যগুলো x এর মাধ্যমে লেখো
  3. মোট বা শর্ত দিয়ে সমীকরণ বানাও
  4. সমাধান করে গল্পে মেলাও
অঙ্ক ১.১সহজ

দুই সংখ্যা

দুটো সংখ্যার যোগফল ৫০। বড়টা ছোটটার ৪ গুণ। সংখ্যা দুটো কী কী?

সমাধান

সমীকরণে

সমীকরণ

x+4x=50x + 4x = 50, 5x=505x = 50, x=10x = 10।

উত্তর

ছোট ১০, বড় ৪০।

যাচাই

10+40=5010 + 40 = 50, 40=4×1040 = 4 \times 10 ✓

অঙ্ক ১.২মাঝারি

তিন জনের টাকা ভাগ

১৪০ টাকা A, B, C তিন জনে এমনভাবে ভাগ হলো যে A পেল B এর দ্বিগুণ, আর B পেল C এর দ্বিগুণ। প্রত্যেকে কত পেল?

সমাধান

সমীকরণে

সমীকরণ

x+2x+4x=140x + 2x + 4x = 140, 7x=1407x = 140, x=20x = 20।

উত্তর

C ২০, B ৪০, A ৮০ টাকা।

যাচাই

20+40+80=14020 + 40 + 80 = 140 ✓

অঙ্ক ১.৩কঠিন

দুই অঙ্কের সংখ্যা

একটা দুই অঙ্কের সংখ্যার অঙ্ক দুটির যোগফল ৯। অঙ্ক দুটি স্থান বদলালে সংখ্যাটি ২৭ বাড়ে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান

দুই সমীকরণে

সমীকরণ

x+y=9x + y = 9 আর 9(y−x)=279(y - x) = 27, অর্থাৎ y−x=3y - x = 3।

সমাধান

যোগ করে 2y=122y = 12, y=6y = 6, x=3x = 3।

উত্তর

সংখ্যা ৩৬।

যাচাই

63−36=2763 - 36 = 27 ✓, 3+6=93 + 6 = 9 ✓

অঙ্ক ১.৪মাঝারি

বাবা ও ছেলের বয়স

বাবার বয়স ছেলের বয়সের ৩ গুণ। ১২ বছর পর বাবার বয়স ছেলের বয়সের ২ গুণ হবে। এখন দুজনের বয়স কত?

সমাধান

সমীকরণে

সমীকরণ

3x+12=2(x+12)3x + 12 = 2(x + 12), 3x+12=2x+243x + 12 = 2x + 24, x=12x = 12।

উত্তর

ছেলে ১২, বাবা ৩৬ বছর।

যাচাই

১২ বছর পর ২৪ আর ৪৮, আর 48=2×2448 = 2 \times 24 ✓

ধরন ২

কাজ ও নল

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

একাধিক জন বা নল একসাথে কাজ করছে, আর একা একা কত সময় লাগে তা দেওয়া আছে (বা একটা অজানা)।

সমাধানের ধাপ

  1. প্রতিজনের এক দিনের (এক ঘণ্টার) কাজ লেখো: 1/সময়
  2. নল খালি করলে সেটা বিয়োগ
  3. এক দিনের কাজ যোগ করে সম্পূর্ণ কাজ ১ এর সমান করো
  4. সময় = 1 ÷ এক দিনের কাজ
অঙ্ক ২.১সহজ

দুজন মিলে কাজ

A একা একটা কাজ ১০ দিনে আর B একা ১৫ দিনে করতে পারে। দুজনে একসাথে করলে কত দিনে শেষ হবে?

সমাধান

এক দিনের কাজে

এক দিনে

110+115=3+230=16\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3 + 2}{30} = \frac{1}{6}।

সময়

66 দিন।

যাচাই

6×16=16 \times \frac{1}{6} = 1 ✓

অঙ্ক ২.২মাঝারি

একজন একা কতদিনে

A ও B একসাথে একটা কাজ ১২ দিনে করে। A একা করলে ২০ দিন লাগে। B একা কতদিনে করবে?

সমাধান

এক দিনের কাজে

B এক দিনে

112−120=5−360=130\frac{1}{12} - \frac{1}{20} = \frac{5 - 3}{60} = \frac{1}{30}।

সময়

B একা ৩০ দিন।

যাচাই

120+130=3+260=112\frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{3 + 2}{60} = \frac{1}{12} ✓

অঙ্ক ২.৩মাঝারি

নল: ভরা আর খালি

একটা চৌবাচ্চা প্রথম নল দিয়ে ৬ ঘণ্টায় ভরে, আর দ্বিতীয় নল দিয়ে ১২ ঘণ্টায় খালি হয়। দুটো নল একসাথে খুললে ভরতে কত ঘণ্টা লাগবে?

সমাধান

এক ঘণ্টার কাজে

নিট

16−112=2−112=112\frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{2 - 1}{12} = \frac{1}{12}।

সময়

১২ ঘণ্টা।

যাচাই

১২ ঘণ্টায় ভরে 22 বার, খালি হয় 11 বার, নিট 11 ✓

অঙ্ক ২.৪কঠিন

তিনজনে মিলে

A, B, C একা যথাক্রমে ১২, ১৫, ২০ দিনে একটা কাজ করে। তিনজনে একসাথে করলে কত দিনে শেষ হবে?

সমাধান

এক দিনের কাজে

যোগ

5+4+360=1260=15\frac{5 + 4 + 3}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}।

সময়

৫ দিন।

যাচাই

৫ দিনে A করে 512\frac{5}{12}, B 13\frac{1}{3}, C 14\frac{1}{4}, যোগ 5+4+312=1\frac{5 + 4 + 3}{12} = 1 ✓

ধরন ৩

নৌকা ও স্রোত

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

নদীতে নৌকা অনুকূলে বা প্রতিকূলে চলছে, দূরত্ব ও সময় দেওয়া।

সমাধানের ধাপ

  1. অনুকূলে বেগ = u + v, প্রতিকূলে u − v
  2. দূরত্ব ÷ সময় দিয়ে প্রতিটা বেগ বের করো
  3. দুই সমীকরণ যোগ ও বিয়োগ করো
  4. u=(অনুকূল+প্রতিকূল)÷2u = (অনুকূল + প্রতিকূল) \div 2v=(অনুকূল−প্রতিকূল)÷2v = (অনুকূল - প্রতিকূল) \div 2
অঙ্ক ৩.১সহজ

অনুকূল ও প্রতিকূল বেগ

নৌকার বেগ ঘণ্টায় ৮ কিমি, স্রোতের বেগ ঘণ্টায় ২ কিমি। অনুকূলে আর প্রতিকূলে নৌকার কার্যকর বেগ কত?

সমাধান

সূত্রে

অনুকূলে

8+2=108 + 2 = 10 কিমি/ঘণ্টা।

প্রতিকূলে

8−2=68 - 2 = 6 কিমি/ঘণ্টা।

যাচাই

১২ কিমি অনুকূলে 1.2 ঘণ্টা, প্রতিকূলে ২ ঘণ্টা: প্রতিকূলে বেশি সময়, যুক্তিসঙ্গত ✓

অঙ্ক ৩.২মাঝারি

বেগ দুটো বের করো

একটা নৌকা স্রোতের অনুকূলে ১৫ কিমি যায় ৩ ঘণ্টায়, আর প্রতিকূলে ১৫ কিমি যায় ৫ ঘণ্টায়। নৌকার বেগ ও স্রোতের বেগ কত?

সমাধান

দুই সমীকরণে

সমীকরণ

u+v=15÷3=5u + v = 15 \div 3 = 5, u−v=15÷5=3u - v = 15 \div 5 = 3।

সমাধান

u=4u = 4, v=1v = 1 কিমি/ঘণ্টা।

যাচাই

4+1=54 + 1 = 5 ✓, 4−1=34 - 1 = 3 ✓

অঙ্ক ৩.৩কঠিন

যাওয়া-আসা ৫ ঘণ্টা

নৌকার বেগ ঘণ্টায় ৫ কিমি। স্রোতের অনুকূলে ১২ কিমি গিয়ে আবার একই পথে ফিরে আসতে মোট ৫ ঘণ্টা লাগে। স্রোতের বেগ কত?

সমাধান

সমীকরণে

যোগ

12(5−v)+12(5+v)(5+v)(5−v)=12025−v2=5\frac{12(5 - v) + 12(5 + v)}{(5 + v)(5 - v)} = \frac{120}{25 - v^2} = 5।

সমাধান

120=125−5v2120 = 125 - 5v^2, v2=1v^2 = 1, v=1v = 1 (ধনাত্মক)।

যাচাই

126+124=2+3=5\frac{12}{6} + \frac{12}{4} = 2 + 3 = 5 ✓

অঙ্ক ৩.৪মাঝারি

২৪ কিমি, ২ ও ৩ ঘণ্টা

নদীতে ২৪ কিমি যেতে স্রোতের অনুকূলে ২ ঘণ্টা আর প্রতিকূলে ৩ ঘণ্টা লাগে। নৌকা ও স্রোতের বেগ কত?

সমাধান

দুই সমীকরণে

সমীকরণ

u+v=12u + v = 12, u−v=8u - v = 8।

সমাধান

u=10u = 10, v=2v = 2 কিমি/ঘণ্টা।

যাচাই

24÷(10+2)=224 \div (10 + 2) = 2, 24÷(10−2)=324 \div (10 - 2) = 3 ✓

ধরন ৪

জ্যামিতি ও মুদ্রার গল্প

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

গল্পে আয়তক্ষেত্র, বর্গ, মুদ্রা বা ক্রমিক সংখ্যা, আর একটা শর্ত দেওয়া।

সমাধানের ধাপ

  1. অজানাকে x ধরো, অন্যদের x এর মাধ্যমে লেখো
  2. সূত্র (পরিসীমা, ক্ষেত্রফল, মোট মূল্য) দিয়ে সমীকরণ
  3. সমাধান
  4. গল্পে বসিয়ে মেলাও
অঙ্ক ৪.১সহজ

আয়তক্ষেত্রের মাপ

একটা আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ গুণ থেকে ২ মিটার বেশি। পরিসীমা ৪৪ মিটার। দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত?

সমাধান

সমীকরণে

সমীকরণ

(3w+2)+w=22(3w + 2) + w = 22, 4w=204w = 20, w=5w = 5।

উত্তর

প্রস্থ ৫ মি., দৈর্ঘ্য ১৭ মি.।

যাচাই

2(17+5)=442(17 + 5) = 44 ✓, 3×5+2=173 \times 5 + 2 = 17 ✓

অঙ্ক ৪.২মাঝারি

বর্গের বাহু বাড়ালে

একটা বর্গাকার মাঠের বাহু ৩ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল ৬৩ বর্গমিটার বাড়ে। মাঠের বাহু কত?

সমাধান

সমীকরণে

সমীকরণ

a2+6a+9−a2=63a^2 + 6a + 9 - a^2 = 63, 6a=546a = 54, a=9a = 9।

উত্তর

৯ মিটার।

যাচাই

122−92=144−81=6312^2 - 9^2 = 144 - 81 = 63 ✓

অঙ্ক ৪.৩মাঝারি

৫ ও ১০ টাকার কয়েন

৫ টাকা আর ১০ টাকার মোট ২০ টি কয়েনের মূল্য ১৩৫ টাকা। প্রতিটার কয়টা আছে?

সমাধান

সমীকরণে

সমীকরণ

5x+200−10x=1355x + 200 - 10x = 135, 5x=655x = 65, x=13x = 13।

উত্তর

৫ টাকার ১৩টি, ১০ টাকার ৭টি।

যাচাই

65+70=13565 + 70 = 135 ✓, 13+7=2013 + 7 = 20 ✓

অঙ্ক ৪.৪কঠিন

দুটি ক্রমিক জোড় সংখ্যা

দুটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার বর্গের পার্থক্য ৩৬। সংখ্যা দুটো কত?

সমাধান

সমীকরণে

সমীকরণ

4x+4=364x + 4 = 36, x=8x = 8।

উত্তর

৮ আর ১০।

যাচাই

100−64=36100 - 64 = 36 ✓

উত্তর গল্পে বসিয়ে মেলাও

নিচের অঙ্কগুলো নিজে করো। আটকে গেলে ইঙ্গিত দেখো, তারপর উত্তর মিলিয়ে নাও।

ভুল ধরো

তিনটা দেখতে-ঠিক কিন্তু ভুল সমাধান

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

ক: A ১০ দিনে আর B ১৫ দিনে কাজ করলে একসাথে 10+15=2510 + 15 = 25 দিন লাগবে।

খ: নৌকা ৮, স্রোত ২: অনুকূলে বেগ 8−2=68 - 2 = 6।

গ: x+4x=50x + 4x = 50 থেকে x=50−4=46x = 50 - 4 = 46।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ক: দিন যোগ হয় না, এক দিনের কাজ যোগ হয়। ঠিক: 110+115=16\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{1}{6}, ৬ দিন। যুক্তি: দুজনে মিলে ১০ দিনের চেয়ে কম লাগার কথা।

খ: অনুকূলে স্রোত সাহায্য করে, তাই যোগ: 8+2=108 + 2 = 10। প্রতিকূলে বিয়োগ।

গ: x+4x=5xx + 4x = 5x। ঠিক: 5x=505x = 50, x=10x = 10। xx আর 4x4x কে এভাবে বিয়োগ করা যায় না।

ধরার উপায়: উত্তরটা যুক্তিসঙ্গত কি না (কম সময়, বেশি বেগ) আগে ভাবো, তারপর গল্পে বসিয়ে মেলাও।

X একা ৬ দিনে কাজটা করে। এক দিনে সে কতটুকু কাজ করে?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) 1/6 অংশ। পুরো কাজ ১, ৬ দিনে সমান ভাগ, তাই এক দিনে 1/6।

নৌকার বেগ ৯, স্রোতের বেগ ৩ হলে প্রতিকূলে বেগ?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) ৬। 9 − 3 = 6।

দুটো সংখ্যার যোগফল ৩০, একটা অন্যটার ২ গুণ। ছোটটা?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) ১০। 3x = 30, x = 10।

প্রশ্ন ১. A একা একটা কাজ ৮ দিনে আর B একা ১২ দিনে করতে পারে। দুজনে একসাথে কত দিনে করবে?

ইঙ্গিত দেখো

এক দিনের কাজ: 18\frac{1}{8} ও 112\frac{1}{12}।

উত্তর দেখো

18+112=3+224=524\frac{1}{8} + \frac{1}{12} = \frac{3 + 2}{24} = \frac{5}{24}, তাই 245=4.8\frac{24}{5} = 4.8 দিন।

প্রশ্ন ২. একটা নৌকা ৩০ কিমি অনুকূলে যেতে ৩ ঘণ্টা আর প্রতিকূলে ৫ ঘণ্টা লাগে। নৌকা আর স্রোতের বেগ কত?

ইঙ্গিত দেখো

u+v=10u + v = 10, u−v=6u - v = 6।

উত্তর দেখো

u=8u = 8, v=2v = 2 কিমি/ঘণ্টা।

মনে রাখো

  • পাঁচ ধাপ: পড়ি, নাম দিই, সমীকরণ লিখি, সমাধান করি, গল্পে মেলাই।
  • কাজ: দিন যোগ নয়, এক দিনের কাজ যোগ।
  • নৌকা: অনুকূলে u+vu + v, প্রতিকূলে u−vu - v।
  • যাচাই: উত্তর যুক্তিসঙ্গত কি না আগে ভাবো।