পাঠ ১২গণিত

শতকরা, লাভ-ক্ষতি ও মুনাফার সূত্র

পাঠের সারাংশ

শতকরা থেকে লাভ-ক্ষতি, সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার সূত্র গঠন করব।

আগে পড়ে নাওগল্প থেকে বীজগাণিতিক সমীকরণ

MCQ ও সৃজনশীল শর্টকাট

প্রতিটি অঙ্কে তিন লাইন: প্রশ্ন, তারপর শর্টকাটটা প্রশ্নের ঠিক কোন জায়গায় লাগছে, তারপর উত্তর।

  1. ১০০ এর কাছে বর্গ

    ৯৯৬² কে (১০০০ − ৪)² ধরে বিয়োগের বর্গ বসাও। কাছের গোল সংখ্যা বাছো।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      9898 এর বর্গ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে 9898, 100100 এর কাছে। শর্টকাট: 98=100−298=100-2, তাই বিয়োগের বর্গ (100−2)2=10000−2×100×2+4=9604(100-2)^2=10000-2\times 100\times 2+4=9604।

      উত্তর

      96049604

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      102102 এর বর্গ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে 102102, 100100 এর কাছে। শর্টকাট: 102=100+2102=100+2, তাই যোগের বর্গ (100+2)2=10000+400+4(100+2)^2=10000+400+4।

      উত্তর

      1040410404

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      9999 এর বর্গ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে 9999, 100100 এর কাছে। শর্টকাট: 99=100−199=100-1, তাই বিয়োগের বর্গ (100−1)2=10000−200+1(100-1)^2=10000-200+1।

      উত্তর

      98019801

  2. পদ গুনে সূত্র

    দুই পদ ঘন হলে ঘনের যোগ বা বিয়োগ। চার পদ হলে আগে পূর্ণঘন মেলাও।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      8+x38+x^3 কোন সূত্রে ভাঙবে?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে দুই পদ, 88 আর x3x^3। শর্টকাট: দুটোই ঘন। 23+x32^3+x^3, ঘনের যোগ।

      উত্তর

      (2+x)(4−2x+x2)(2+x)(4-2x+x^2)

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      a3−27a^3-27 কোন সূত্রে ভাঙবে?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে দুই পদ, a3a^3 আর 2727, মাঝে বিয়োগ। শর্টকাট: 27=3327=3^3। ঘনের বিয়োগ।

      উত্তর

      (a−3)(a2+3a+9)(a-3)(a^2+3a+9)

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      x3+3x2+3x+1x^3+3x^2+3x+1 কোন ঘন?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে চার পদ। শর্টকাট: পূর্ণঘন (x+1)3(x+1)^3 এর সঙ্গে মেলে।

      উত্তর

      (x+1)3(x+1)^3

  3. মধ্যপদ ভাঙা

    দুই সংখ্যা খোঁজো যাদের যোগ মধ্যপদ, গুণ শেষ পদ। চিহ্ন দুটোকে আলাদা রাখো।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      x2+5x+6x^2+5x+6 এর উৎপাদক কী?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে মধ্যপদ 5x5x, শেষ পদ 66। শর্টকাট: যোগ ৫, গুণ ৬। সংখ্যা 22 আর 33।

      উত্তর

      (x+2)(x+3)(x+2)(x+3)

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      x2−5x+6x^2-5x+6 এর উৎপাদক কী?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে মধ্যপদ −5x-5x, শেষ পদ 66। শর্টকাট: যোগ −5-5, গুণ 66। সংখ্যা −2-2 আর −3-3।

      উত্তর

      (x−2)(x−3)(x-2)(x-3)

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      x2+x−6x^2+x-6 এর উৎপাদক কী?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে মধ্যপদ xx, শেষ পদ −6-6। শর্টকাট: যোগ 11, গুণ −6-6। সংখ্যা 33 আর −2-2।

      উত্তর

      (x+3)(x−2)(x+3)(x-2)

  4. ভাগশেষে বসানো

    ভাগ না করে x = a বসাও। f(a) ই ভাগশেষ।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      x2+xx^2+x কে (x−1)(x-1) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভাজক (x−1)(x-1)। শর্টকাট: ভাগ না করে x=1x=1। 1+1=21+1=2।

      উত্তর

      22

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      x3−8x^3-8 কে (x−2)(x-2) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভাজক (x−2)(x-2)। শর্টকাট: x=2x=2। 8−8=08-8=0।

      উত্তর

      00

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      x2+1x^2+1 কে (x+1)(x+1) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভাজক (x+1)(x+1)। শর্টকাট: x=−1x=-1। 1+1=21+1=2।

      উত্তর

      22

  5. শতকরায় ১০০ ধরো

    লাভ-ক্ষতির অঙ্কে ক্রয়মূল্য ১০০ ধরে শুরু করলে শতাংশ সরাসরি টাকায় মেলে।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা, লাভ ২০%। বিক্রয়মূল্য কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ক্রয় ১০০। শর্টকাট: ১০০ ধরলে লাভ সরাসরি ২০ টাকা। বিক্রয় 100+20100+20।

      উত্তর

      120120 টাকা

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা, ক্ষতি ১৫%। বিক্রয়মূল্য কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ক্রয় ১০০। শর্টকাট: ক্ষতি ১৫ টাকা। বিক্রয় 100−15100-15।

      উত্তর

      8585 টাকা

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      দুই জিনিসের ক্রয় ১০০ টাকা করে। একটায় ১০% লাভ, একটায় ১০% ক্ষতি। মোট লাভ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে দুই ক্রয়ই ১০০, হার ১০%। শর্টকাট: লাভ ১০, ক্ষতি ১০। মোট 10−10=010-10=0।

      উত্তর

      00

  6. ছোট মান দিয়ে বাদ

    MCQ তে a = ১, b = ১ বসিয়ে অপশন মেলাও। যে অপশন মেলে না, সেটা বাদ।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      (a+b)2(a+b)^2 আর a2+b2a^2+b^2 সমান কি? a=1a=1, b=1b=1 বসাও।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে a=1a=1, b=1b=1। শর্টকাট: বাম (2)2=4(2)^2=4, ডান 1+1=21+1=2। মেলে না, বাদ।

      উত্তর

      সমান নয়

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      a2−b2a^2-b^2 আর (a−b)2(a-b)^2 সমান কি? a=2a=2, b=1b=1 বসাও।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে a=2a=2, b=1b=1। শর্টকাট: বাম 4−1=34-1=3, ডান 11। মেলে না, বাদ।

      উত্তর

      সমান নয়

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      (a+b)2−(a−b)2(a+b)^2-(a-b)^2 কি 4ab4ab? a=2a=2, b=1b=1 বসাও।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে a=2a=2, b=1b=1। শর্টকাট: বাম 9−1=89-1=8, ডান 88। মেলে, রাখো।

      উত্তর

      হ্যাঁ, 88

উত্তর যাচাইয়ের কৌশল

প্রতিটি অঙ্কে আগে একটা লেখা উত্তর, তারপর যাচাইটা সেই উত্তরের ঠিক কোন জায়গায় লাগছে।

  1. খুলে আবার গুণ

    উৎপাদককে গুণ করে মূল রাশি ফিরে আসে কি না দেখো।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (x+2)(x+3)=x2+5x+6(x+2)(x+3)=x^2+5x+6। গুণ করে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: বাম পাশের গুণ। গুণ x2+5x+6x^2+5x+6। মূল রাশি ফিরে এল। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (x−2)(x+3)=x2+5x−6(x-2)(x+3)=x^2+5x-6। গুণ করে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: বাম পাশের গুণ। গুণ x2+x−6x^2+x-6। 5x5x মেলে না। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, x2+x−6x^2+x-6

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (3−1)(3+1)=8(3-1)(3+1)=8, আর 32−123^2-1^2 ও 88। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দুই পাশের গুণ। গুণ 2×4=82\times 4=8। 9−1=89-1=8। মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 88

  2. একটা সংখ্যা বসাও

    দুই পাশে a = ২ বসাও। সংখ্যা না মিললে চিহ্ন বা পদ বাদ পড়েছে।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (a+b)2=a2+b2(a+b)^2=a^2+b^2। a=2a=2, b=1b=1 বসিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দুই পাশে একই সংখ্যা বসাও। বাম (2+1)2=9(2+1)^2=9, ডান 4+1=54+1=5। ৯ আর ৫ মেলে না, তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b)। a=3a=3, b=2b=2 বসিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দুই পাশে a=3a=3, b=2b=2। বাম 9−4=59-4=5, ডান 1×5=51\times 5=5। মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 55

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (a−b)2=a2−2ab−b2(a-b)^2=a^2-2ab-b^2। a=2a=2, b=1b=1 বসিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দুই পাশে a=2a=2, b=1b=1। বাম 11, ডান 4−4−1=−14-4-1=-1। মেলে না, তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল

  3. বিয়োগের মাঝের চিহ্ন

    বিয়োগের বর্গে মাঝে মাইনাস। বিয়োগের ঘনের যোগে মাঝে প্লাস ab।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (3−1)2(3-1)^2 মাঝের চিহ্নসহ 9−6+1=49-6+1=4। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: বিয়োগের বর্গের মাঝের চিহ্ন। বিয়োগের বর্গে মাঝে মাইনাস। 9−6+1=49-6+1=4। (2)2=4(2)^2=4। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 44

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল a3−b3=(a−b)(a2−ab+b2)a^3-b^3=(a-b)(a^2-ab+b^2)। a=2a=2, b=1b=1 বসিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: মাঝের abab এর চিহ্ন। মাঝে প্লাস abab হওয়া উচিত। ডান 1×3=31\times 3=3, বাম 77। মেলে না, তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, মাঝে +ab+ab

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 23−132^3-1^3 মাঝে +ab+ab দিয়ে 77। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: মাঝের +ab+ab। (2−1)(4+2+1)=7(2-1)(4+2+1)=7। বাম 77। মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 77

  4. ঘনে চার পদ

    ঘন খুললে পদ চারটে। তিন পদ থাকলে একটা গুণফল বাদ গেছে।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (1+1)3(1+1)^3 চার পদে 1+3+3+1=81+3+3+1=8। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: ঘনের চার পদ। চার পদ 1+3+3+1=81+3+3+1=8। (2)3=8(2)^3=8। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 88

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (a+b)3=a3+3ab+b3(a+b)^3=a^3+3ab+b^3। a=b=1a=b=1 বসিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: পদ কয়টা। পদ তিনটা। ডান 55, বাম 88। একটা গুণফল বাদ। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (2−1)3(2-1)^3 চার পদে 8−12+6−1=18-12+6-1=1। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: চার পদ আছে কি না। 8−12+6−1=18-12+6-1=1। চার পদই আছে। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 11

  5. ভাগশেষ যাচাই

    ছোট বহুপদীতে সরাসরি ভাগ করে f(a) এর সঙ্গে মিলাও।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, f(x)=x2+xf(x)=x^2+x কে (x−1)(x-1) দিয়ে ভাগের ভাগশেষ f(1)=2f(1)=2। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: ভাগশেষ 22। (x−1)(x+2)+2=x2+x(x-1)(x+2)+2=x^2+x। ভাগশেষ ২। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 22

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, x2−1x^2-1 কে (x−1)(x-1) দিয়ে ভাগের ভাগশেষ ১। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা ভাগশেষ ১। (x−1)(x+1)=x2−1(x-1)(x+1)=x^2-1, ভাগশেষ ০। f(1)=0f(1)=0। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, 00

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, f(x)=x+3f(x)=x+3 কে (x−2)(x-2) দিয়ে ভাগের ভাগশেষ f(2)=5f(2)=5। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: ভাগশেষ 55। (x−2)+5=x+3(x-2)+5=x+3। ভাগশেষ ৫। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 55

এই পাঠের সূত্রপত্র

অঙ্ক করার সময় এই সূত্রগুলো খোলা রাখো।

  • যোগ ও বিয়োগের বর্গ

    (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

    প্রথম ও শেষ বর্গ, মাঝে দ্বিগুণ গুণফল। বিয়োগে মাঝের চিহ্ন মাইনাস।

  • বর্গের যোগ

    a2+b2=(a+b)2−2aba^2+b^2=(a+b)^2-2ab(a+b)2−(a−b)2=4ab(a+b)^2-(a-b)^2=4ab

    যোগফল বা গুণফল জানা থাকলে বর্গের যোগ। দুই বর্গের অন্তর ৪ab।

  • বর্গের অন্তর

    a2−b2=(a+b)(a−b)a^2-b^2=(a+b)(a-b)

    যোগ আর বিয়োগের গুণ। বর্গের যোগ এভাবে ভাঙে না।

  • তিন রাশির বর্গ

    (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca

    প্রতি জোড়ার দ্বিগুণ যোগ। কোনো চিহ্ন মাইনাস হলে ঐ জোড়ার চিহ্ন বদলায়।

  • যোগ ও বিয়োগের ঘন

    (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

    চার পদ। বিয়োগে চিহ্ন পরপর প্লাস, মাইনাস, প্লাস, মাইনাস।

  • ঘনের যোগ ও বিয়োগ

    a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

    দুই পদই ঘন হলে এই সূত্র। বিয়োগে মাঝের চিহ্ন যোগ।

  • দুই দ্বিপদীর গুণ

    (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab

    মধ্যপদ দুই সংখ্যার যোগ, শেষ পদ তাদের গুণ।

  • ভাগশেষ উপপাদ্য

    f(x)=(x−a)q(x)+f(a)f(x)=(x-a)q(x)+f(a)

    (x − a) দিয়ে ভাগের ভাগশেষ f(a)। f(a) = ০ হলে (x − a) উৎপাদক।

  • উৎপাদক উপপাদ্য

    f(a)=0⇒(x−a)∣f(x)f(a)=0\Rightarrow (x-a)\mid f(x)

    ভাগশেষ শূন্য হলে (x − a) উৎপাদক। উল্টোটাও সত্য।

  • চার পদের বর্গ

    (a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)

    প্রতি পদের বর্গ, আর প্রতি জোড়ার গুণফলের দ্বিগুণ।

  • সরল মুনাফা

    I=Pnr100I=\dfrac{Pnr}{100}

    P মূলধন, r বছরে শতকরা হার, n বছর। সুদাসল P + I।

  • চক্রবৃদ্ধি

    A=P(1+r100)nA=P\left(1+\dfrac{r}{100}\right)^n

    প্রতি বছর সুদ মূলধনে যোগ হয়। r শতকরা হার।

১২০০ টাকার জিনিসে ২০% ছাড় পেলে কত টাকা বাঁচে?

২০% মানে কত টাকা

দোকানে ১২০০ টাকার একটা জুতায় লেখা “২০% ছাড়”। কত টাকা কম দিতে হবে? অনেকে ভাবে “২০ টাকা”। কিন্তু ২০% মানে প্রতি ১০০ টাকায় ২০ টাকা। ১২০০ টাকায় ১২ শ, তাই 12×20=24012 \times 20 = 240 টাকা ছাড়। দিতে হবে 1200−240=9601200 - 240 = 960 টাকা।

সবগুলোর পেছনে একটাই ধারণা: শতকরা মানে প্রতি ১০০-এ কত।

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

এক ভিত্তি থেকে চার সূত্র

শতকরা আর বৃদ্ধি-হ্রাস

শতকরা: r%r\% মানে r100\frac{r}{100}। তাই bb এর r%r\% =b×r100= b \times \frac{r}{100}।

বৃদ্ধি বা হ্রাসের পর: r%r\% বাড়লে নতুন মান =b+b⋅r100=b(1+r100)= b + b \cdot \frac{r}{100} = b\left(1 + \frac{r}{100}\right)। কমলে b(1−r100)b\left(1 - \frac{r}{100}\right)। ছাড়, লাভ, ক্ষতি সব এই এক সূত্র।

S=C(1±r100)S = C\left(1 \pm \frac{r}{100}\right)

লাভ-ক্ষতি আর সরল মুনাফা

এখানে CC ক্রয়মূল্য, SS বিক্রয়মূল্য, rr লাভ (++) বা ক্ষতির (−-) শতকরা হার। লাভ =S−C= S - C, লাভের হার =S−CC×100%= \frac{S - C}{C} \times 100\%।

সরল মুনাফা: মূলধন PP, বছরে হার rr, nn বছর। প্রতি বছরের সুদ একই: P×r100P \times \frac{r}{100}। nn বছরে I=P⋅n⋅r100I = P \cdot n \cdot \frac{r}{100}। মোট (সুদাসল) =P+I= P + I।

I=PnrI = Pnr (এখানে rr দশমিকে, যেমন 8%=0.088\% = 0.08)

চক্রবৃদ্ধি: সুদের ওপরও সুদ

চক্রবৃদ্ধি মুনাফা: প্রতি বছরের সুদ পরের বছরের মূলধনের সঙ্গে যোগ হয়। প্রথম বছরের শেষে P(1+r)P(1 + r)। দ্বিতীয় বছরে এই পুরো অঙ্কই মূলধন, তাই P(1+r)(1+r)=P(1+r)2P(1 + r)(1 + r) = P(1 + r)^2। এভাবে nn বছরে:

C=P(1+r)nC = P(1 + r)^n

সরল আর চক্রবৃদ্ধির পার্থক্য

সরল মুনাফায় প্রতি বছর একই সুদ, চক্রবৃদ্ধিতে প্রতি বছর সুদ বাড়ে। তাই চক্রবৃদ্ধি মুনাফা সরলের চেয়ে বেশি (দুই বছরে P⋅r2P \cdot r^2 বেশি)।

ক্রয়মূল্য C২০% ক্ষতি: × 0.8বিক্রয়মূল্য 640 টাকাউল্টো পথে ফিরি: ÷ 0.8C = 800 টাকা
শতকরার পরিবর্তন মানে একটা গুণ: ২০% ক্ষতি মানে × 0.8। দাম জানা থাকলে উল্টো পথে ভাগ করে ক্রয়মূল্যে ফেরা যায়।

শতকরার পরিবর্তন মানে একটা গুণ: ২০% ক্ষতি মানে × 0.8। দাম জানা থাকলে উল্টো পথে ভাগ করে ক্রয়মূল্যে ফেরা যায়।

শুরুতে১ বছর পর২ বছর পরসরল100001100012000চক্রবৃদ্ধি100001100012100
প্রথম বছরে দুটো সমান। দ্বিতীয় বছরে চক্রবৃদ্ধিতে আগের বছরের সুদ ১০০০ টাকার ওপরেও ১০% (১০০ টাকা) যোগ হয়, তাই ১২১০০।

প্রথম বছরে দুটো সমান। দ্বিতীয় বছরে চক্রবৃদ্ধিতে আগের বছরের সুদ ১০০০ টাকার ওপরেও ১০% (১০০ টাকা) যোগ হয়, তাই ১২১০০।

আগে ভিত্তি মান চেনো

সব অঙ্কে প্রথম প্রশ্ন: কিসের ওপর শতকরা? সেটাই ভিত্তি (১০০%)। লাভ-ক্ষতিতে সবসময় ক্রয়মূল্যের ওপর।

একসাথে করি ১

ক্ষতির পর ক্রয়মূল্য বের করা

একটা জিনিস ২০% ক্ষতিতে ৬৪০ টাকায় বিক্রি হলো। জিনিসটা কত টাকায় কিনেছিল?

  1. পড়ি

    বিক্রয়মূল্য ৬৪০, ক্ষতি ২০%। ক্রয়মূল্য চাই।

  2. নাম দিই

    ক্রয়মূল্য CC ধরি।

  3. সমীকরণ লিখি

    ক্ষতি ২০% মানে বিক্রয়মূল্য ক্রয়মূল্যের ৮০%: C×0.8=640C \times 0.8 = 640।

  4. সমাধান করি

    C=640÷0.8=800C = 640 \div 0.8 = 800।

  5. মেলাই

    ৮০০ এর ২০% =160= 160, 800−160=640800 - 160 = 640 ✓।

একসাথে করি ২

চক্রবৃদ্ধি মুনাফা

১০০০০ টাকা বছরে ১০% চক্রবৃদ্ধি হারে ২ বছরের জন্য জমা রাখলে সুদাসল কত হবে?

  1. পড়ি

    সুদের ওপর সুদ হবে, তাই চক্রবৃদ্ধি।

  2. নাম দিই

    P=10000P = 10000, r=0.1r = 0.1, n=2n = 2।

  3. সমীকরণ লিখি

    C=P(1+r)n=10000×1.12C = P(1 + r)^n = 10000 \times 1.1^2।

  4. সমাধান করি

    1.12=1.211.1^2 = 1.21, তাই C=12100C = 12100 টাকা।

  5. মেলাই

    প্রথম বছর শেষে ১১০০০। দ্বিতীয় বছরে 11000 এর 10% = 1100, মোট ১২১০০ ✓।

শতকরা ও মুনাফার চার রূপ

চার ধরন: শতকরা ও ছাড়, লাভ-ক্ষতি, সরল মুনাফা, চক্রবৃদ্ধি মুনাফা।

ধরন ১

শতকরা ও ছাড়

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে কোনো সংখ্যার কত শতাংশ, বা কত শতাংশ বাড়ল-কমল, বা ছাড়ের পর দাম।

সমাধানের ধাপ

  1. কিসের ওপর শতকরা, সেটা ঠিক করো
  2. শতকরা = অংশ ÷ মোট × 100
  3. বৃদ্ধি/ছাড়ে নতুন মান = মূল × (1 ± r)
  4. যুক্তিসঙ্গত কি না দেখো
অঙ্ক ১.১সহজ

২৪০ এর ১৫%

২৪০ এর ১৫% কত?

সমাধান

সূত্রে

হিসাব

240×0.15=36240 \times 0.15 = 36।

যাচাই

১০% =24= 24, ৫% =12= 12, মোট 3636 ✓

অঙ্ক ১.২সহজ

৪৫ কে ১৮০ এর কত শতাংশ

৪৫ হলো ১৮০ এর কত শতাংশ?

সমাধান

সূত্রে

হিসাব

45180×100=25%\frac{45}{180} \times 100 = 25\%।

যাচাই

১৮০ এর 25%=4525\% = 45 ✓

অঙ্ক ১.৩মাঝারি

৮০০ থেকে ৯২০ হলে বৃদ্ধি

কোনো জিনিসের দাম ৮০০ টাকা থেকে বেড়ে ৯২০ টাকা হলো। শতকরা কত বৃদ্ধি পেল?

সমাধান

সূত্রে

হিসাব

120800×100=15%\frac{120}{800} \times 100 = 15\%।

যাচাই

800×1.15=920800 \times 1.15 = 920 ✓

অঙ্ক ১.৪মাঝারি

১২৫০ টাকায় ১২% ছাড়

একটা জিনিসের মূল্য ১২৫০ টাকা। ১২% ছাড় দিলে কত টাকায় কেনা যাবে?

সমাধান

সূত্রে

হিসাব

1250×(1−0.12)=1250×0.88=11001250 \times (1 - 0.12) = 1250 \times 0.88 = 1100।

যাচাই

1250−150=11001250 - 150 = 1100 ✓

ধরন ২

লাভ-ক্ষতি

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

ক্রয়মূল্য আর বিক্রয়মূল্য আছে, লাভ বা ক্ষতি বা তার শতকরা হার জানতে বা তা থেকে দাম জানতে চাওয়া হয়েছে।

সমাধানের ধাপ

  1. ক্রয়মূল্য (C) আর বিক্রয়মূল্য (S) আলাদা করো
  2. লাভ = S − C, ক্ষতি = C − S
  3. হার সবসময় ক্রয়মূল্যের ওপর
  4. দাম খুঁজতে S = C(1 ± r) ঘুরিয়ে নাও
অঙ্ক ২.১সহজ

লাভের শতকরা হার

একটা জিনিস ৪০০ টাকায় কিনে ৪৬০ টাকায় বিক্রি করা হলো। শতকরা কত লাভ হলো?

সমাধান

সূত্রে

হিসাব

60400×100=15%\frac{60}{400} \times 100 = 15\%।

যাচাই

400×1.15=460400 \times 1.15 = 460 ✓

অঙ্ক ২.২মাঝারি

ক্ষতির পর ক্রয়মূল্য

একটা জিনিস ২০% ক্ষতিতে ৬৪০ টাকায় বিক্রি হলো। ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান

সূত্রে

সমীকরণ

0.8C=6400.8C = 640, C=800C = 800।

যাচাই

800 এর 20% = 160, 800−160=640800 - 160 = 640 ✓

অঙ্ক ২.৩সহজ

২৫% লাভে বিক্রয়মূল্য

ক্রয়মূল্য ৩৬০ টাকা হলে ২৫% লাভ করতে কত টাকায় বিক্রি করতে হবে?

সমাধান

সূত্রে

হিসাব

S=360×1.25=450S = 360 \times 1.25 = 450।

যাচাই

450−360=90450 - 360 = 90, আর 90360=25%\frac{90}{360} = 25\% ✓

অঙ্ক ২.৪কঠিন

একটায় লাভ, একটায় ক্ষতি

দুটো জিনিস প্রতিটা ৬০০ টাকায় বিক্রি হলো। একটায় ২০% লাভ, অন্যটায় ২০% ক্ষতি হলো। সব মিলিয়ে লাভ না ক্ষতি, কত?

সমাধান

আলাদা করে

ক্রয়মূল্য

লাভের জিনিস 600÷1.2=500600 \div 1.2 = 500। ক্ষতির জিনিস 600÷0.8=750600 \div 0.8 = 750।

মোট

মোট ক্রয় 12501250, মোট বিক্রয় 12001200। ক্ষতি 5050 টাকা।

যাচাই

501250=4%\frac{50}{1250} = 4\% ক্ষতি। কাটাকাটি হয়নি ✓

ধরন ৩

সরল মুনাফা (সুদ)

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

মূলধন, বছর আর মুনাফার হার আছে, কিন্তু সুদ বা সুদাসল বা এদের একটা অজানা।

সমাধানের ধাপ

  1. P, n, r লেখো (r দশমিকে)
  2. I=P×n×rI = P \times n \times r
  3. সুদাসল = P + I
  4. অজানা বের করতে সূত্র ঘুরিয়ে নাও
অঙ্ক ৩.১সহজ

৫০০০ টাকার সুদ

৫০০০ টাকা বার্ষিক ৮% সরল মুনাফায় ৩ বছর রাখলে মুনাফা ও সুদাসল কত?

সমাধান

সূত্রে

সুদ

5000×3×0.08=12005000 \times 3 \times 0.08 = 1200।

সুদাসল

5000+1200=62005000 + 1200 = 6200 টাকা।

যাচাই

প্রতি বছর ৪০০, তিন বছরে ১২০০ ✓

অঙ্ক ৩.২মাঝারি

মূলধন বের করা

৬% সরল মুনাফায় ২ বছরে সুদ হলো ৯৬০ টাকা। মূলধন কত?

সমাধান

সূত্র ঘুরিয়ে

সমীকরণ

P=9600.12=8000P = \frac{960}{0.12} = 8000 টাকা।

যাচাই

8000×2×0.06=9608000 \times 2 \times 0.06 = 960 ✓

অঙ্ক ৩.৩মাঝারি

কত বছরে

১২০০০ টাকা ৬% সরল মুনাফায় কত বছরে ১৮০০ টাকা সুদ দেবে?

সমাধান

সূত্র ঘুরিয়ে

হিসাব

n=1800720=2.5n = \frac{1800}{720} = 2.5 বছর।

যাচাই

720×2.5=1800720 \times 2.5 = 1800 ✓

অঙ্ক ৩.৪কঠিন

হার বের করা

৫০০০ টাকা ২ বছরে সুদাসলে ৭০০০ টাকা হলো। বার্ষিক সরল মুনাফার হার কত?

সমাধান

সূত্র ঘুরিয়ে

হিসাব

r=200010000=0.2=20%r = \frac{2000}{10000} = 0.2 = 20\%।

যাচাই

5000×2×0.2=20005000 \times 2 \times 0.2 = 2000 ✓

ধরন ৪

চক্রবৃদ্ধি মুনাফা

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে 'চক্রবৃদ্ধি' বা 'সুদের ওপর সুদ' বা 'প্রতি বছর x% হারে বাড়ে'।

সমাধানের ধাপ

  1. P, r (দশমিকে), n লেখো
  2. C=P(1+r)nC = P(1 + r)^{n}
  3. (1 + r)ⁿ ধাপে ধাপে গুণ করে বের করো
  4. সরল মুনাফার সঙ্গে তুলনা করলে যুক্তি মেলে
অঙ্ক ৪.১সহজ

১০০০০ টাকা, ১০%, ২ বছর

১০০০০ টাকা বার্ষিক ১০% চক্রবৃদ্ধি হারে ২ বছরের জন্য জমা রাখলে সুদাসল কত?

সমাধান

সূত্রে

হিসাব

10000×1.21=1210010000 \times 1.21 = 12100 টাকা।

যাচাই

প্রথম বছর ১১০০০, দ্বিতীয় বছর 11000 এর 10% = 1100 যোগ: ১২১০০ ✓

অঙ্ক ৪.২মাঝারি

চক্রবৃদ্ধি আর সরল তুলনা

১০০০০ টাকা ৫% হারে ২ বছরে চক্রবৃদ্ধি মুনাফা আর সরল মুনাফা কত করে? কোনটা বেশি?

সমাধান

দুই পথে

সরল

মুনাফা ১০০০।

চক্রবৃদ্ধি

1.052=1.10251.05^2 = 1.1025, সুদাসল ১১০২৫, মুনাফা ১০২৫।

তুলনা

চক্রবৃদ্ধি মুনাফা ২৫ টাকা বেশি।

যাচাই

1025−1000=25=10000×0.0521025 - 1000 = 25 = 10000 \times 0.05^2 ✓

অঙ্ক ৪.৩মাঝারি

২০০০০ টাকা, ৫%, ৩ বছর

২০০০০ টাকা বার্ষিক ৫% চক্রবৃদ্ধি হারে ৩ বছরে সুদাসল কত?

সমাধান

সূত্রে

হিসাব

1.053=1.1576251.05^3 = 1.157625, C=20000×1.157625=23152.50C = 20000 \times 1.157625 = 23152.50 টাকা।

যাচাই

ধাপে: ২১০০০ → ২২০৫০ → 23152.50 ✓

অঙ্ক ৪.৪কঠিন

জনসংখ্যা বৃদ্ধি

একটি গ্রামের জনসংখ্যা ৫০০০০। প্রতি বছর ২% হারে বাড়লে ২ বছর পর কত হবে?

সমাধান

সূত্রে

হিসাব

50000×1.0404=5202050000 \times 1.0404 = 52020।

যাচাই

প্রথম বছর ৫১০০০, দ্বিতীয় বছর 51000 এর 2% = 1020 যোগ: ৫২০২০ ✓

কোন মানটি ভিত্তি, মেলাও

নিচের অঙ্কগুলো নিজে করো। আটকে গেলে ইঙ্গিত দেখো, তারপর উত্তর মিলিয়ে নাও।

ভুল ধরো

তিনটা দেখতে-ঠিক কিন্তু ভুল সমাধান

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

ক: ৮০০ থেকে ৯২০ হলে বৃদ্ধি 120920×100\frac{120}{920} \times 100।

খ: ১০০ টাকা ১০% হারে ২ বছরে চক্রবৃদ্ধিতে 100+10+10=120100 + 10 + 10 = 120।

গ: ২০% লাভের পর ২০% ক্ষতি হলে ঠিক আগের দামে ফিরে আসে।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ক: হার সবসময় আগের (ভিত্তি) মানের ওপর: 120800\frac{120}{800}। 120920\frac{120}{920} ভুল।

খ: দ্বিতীয় বছরে সুদ 110 এর 10% = 11। ঠিক: 100×1.21=121100 \times 1.21 = 121। ১২০ হলো সরল মুনাফা।

গ: ১০০ → ২০% লাভে ১২০ → ২০% ক্ষতি (120 এর 20% = 24) → ৯৬। আগের দামে ফেরে না।

ধরার উপায়: প্রতিবার ভিত্তি কোনটা, তা মনে রাখো।

৫০০ টাকার ২০% কত?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) ১০০। 500 × 0.20 = 100।

১০০০ টাকা ১০% সরল মুনাফায় ৩ বছরে সুদ?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) ৩০০। 1000 × 3 × 0.1 = 300।

১০০০ টাকা ১০% চক্রবৃদ্ধিতে ২ বছরে সুদাসল?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) ১২১০। 1.1² = 1.21, 1000 × 1.21 = 1210।

প্রশ্ন ১. একটা বই ৩০% ছাড়ে ৫৬০ টাকায় বিক্রি হলো। বইয়ের মূল্য কত ছিল?

ইঙ্গিত দেখো

বিক্রয় = মূল্য × 0.7।

উত্তর দেখো

মূল্য =560÷0.7=800= 560 \div 0.7 = 800 টাকা।

প্রশ্ন ২. ৮০০০ টাকা ৫% সরল মুনাফায় কত বছরে ২০০০ টাকা সুদ দেবে?

ইঙ্গিত দেখো

প্রতি বছর ৪০০ সুদ।

উত্তর দেখো

n=2000÷400=5n = 2000 \div 400 = 5 বছর।

মনে রাখো

  • শতকরা: r%r\% মানে r100\frac{r}{100}, আর ভিত্তি সবসময় আগের মান।
  • লাভ-ক্ষতি: S=C(1±r)S = C(1 \pm r), হার ক্রয়মূল্যের ওপর।
  • সরল: I=PnrI = Pnr। চক্রবৃদ্ধি: C=P(1+r)nC = P(1 + r)^n।
  • সাবধান: একই বিক্রয়মূল্যে ২০% লাভ আর ২০% ক্ষতি কাটাকাটি হয় না (মোটে ক্ষতি)।