পাঠ ১৩গণিত

বীজগাণিতিক সূত্রের বিশেষ প্রয়োগ

পাঠের সারাংশ

চার পদের বর্গ, বর্গের অন্তর, শর্তসহ মান ও বর্গমূলযুক্ত রাশিতে সূত্র ব্যবহার করব।

নতুন রূপে পুরোনো সূত্র চিনবে কীভাবে?

নতুন রূপে পুরোনো সূত্র

আগের পাঠগুলোতে সূত্রগুলো শিখেছ। কিন্তু বইয়ের উদাহরণে কিছু অঙ্কের চেহারা একটু আলাদা, যেমন চার পদের বর্গ, $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ এর মতো সংখ্যা বসানো, বা ” $x > y$ হলে” শর্ত দেওয়া। দেখতে নতুন লাগলেও এদের সবগুলো আগের সূত্রেই সমাধান হয়।

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

চার পদের বর্গ ও বর্গের অন্তর

চার পদের বর্গ: দুই-দুই করে ভাঙি

চার পদের বর্গ। তিন পদের বর্গে $(a + b + c)^2$ জানো। চতুর্থ পদ $d$ এলে $(a + b + c + d)^2$ কে $\left[(a + b) + (c + d)\right]^2$ ধরে দুই অংশের বর্গের সূত্র খাটাও:

$(a + b + c + d)^2$

$= (a + b)^2 + 2(a + b)(c + d) + (c + d)^2$ ← দুই পদের বর্গ

$= a^2 + 2ab + b^2 + 2(ac + ad + bc + bd) + c^2 + 2cd + d^2$ ← প্রতিটা খুলি

$= a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd)$ ← সাজিয়ে। ∎

মনে রাখার নিয়ম: প্রতি পদের বর্গ, আর প্রতি জোড়ার গুণফলের দ্বিগুণ।

$(a + b + c + d)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd)$

যেকোনো গুণফল দুই বর্গের অন্তর

গুণফল = বর্গের অন্তর। $A$ আর $B$ যেকোনো দুই রাশি হলে $\left(\dfrac{A + B}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{A - B}{2}\right)^2$ কে খুলি:

$= \dfrac{(A + B)^2 - (A - B)^2}{4}$ ← দুই বর্গের হর ৪

$= \dfrac{4AB}{4}$ ← আগের পাঠে $(A + B)^2 - (A - B)^2 = 4AB$ প্রমাণ করেছি

$= AB$ । ∎

$AB = \left(\dfrac{A + B}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{A - B}{2}\right)^2$

সংখ্যায় ভাবো

যেকোনো দুটো রাশির গুণফলকে “মাঝের সংখ্যার বর্গ − দূরত্বের অর্ধেকের বর্গ” লেখা যায়। যেমন $103 \times 97$ : মাঝের সংখ্যা ১০০, দূরত্বের অর্ধেক ৩, তাই $100^2 - 3^2$ ।

(a + b + c + d) বাহুর বর্গ ১৬ টুকরো: কর্ণ বরাবর চারটা বর্গ a², b², c², d²; বাকি ১২টা টুকরো জোড়ায় জোড়ায় সমান (ab দুবার, ac দুবার …)। তাই (a + b + c + d)² = a² + b² + c² + d² + 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd)।

দেওয়া রাশি থেকে সূত্র চেনো

নতুন চেহারা দেখলে প্রথম প্রশ্ন: কী দেওয়া আছে, আর কোন সূত্রে সেটা কাজে লাগে? তারপর অজানাটা সূত্রের মাধ্যমে বের করো।

একসাথে করি ১

x > y শর্তে x⁵ + y⁵

$x + y = 7$ , $xy = 12$ এবং $x > y$ হলে $x^5 + y^5$ এর মান কত?

পড়ি
দুই সংখ্যার যোগফল ও গুণফল দেওয়া আর বলা আছে $x$ বড়। উচ্চ ঘাত চাই।
আঁকি
উচ্চ ঘাতে সূত্র লম্বা হয়। তাই সরাসরি $x$ , $y$ কে বের করে নেব।
ভাবি
$(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy = 49 - 48 = 1$ । $x > y$ বলে $x - y$ ধনাত্মক, তাই $x - y = 1$ ।
করি
$x + y = 7$ , $x - y = 1$ থেকে $x = 4$ , $y = 3$ । তাই $x^5 + y^5 = 1024 + 243 = 1267$ ।
মেলাই
$4 + 3 = 7$ ✓, $4 \times 3 = 12$ ✓, $4 > 3$ ✓।

একসাথে করি ২

a = √3 + √2 হলে a + 1/a

$a = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ হলে $a + \dfrac{1}{a}$ এবং $a^2 + \dfrac{1}{a^2}$ এর মান কত?

পড়ি
$a$ একটা মূলযুক্ত সংখ্যা। $\frac{1}{a}$ আগে বের করতে হবে।
আঁকি
হরে মূল থাকলে লব-হরকে কনজুগেট ( $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ ) দিয়ে গুণ করি।
ভাবি
$(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 3 - 2 = 1$ । তাই $\frac{1}{a} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ।
করি
$a + \frac{1}{a} = 2\sqrt{3}$ । বর্গ: $a^2 + \frac{1}{a^2} = (2\sqrt{3})^2 - 2 = 12 - 2 = 10$ ।
মেলাই
দশমিকে $a \approx 3.146$ , $\frac{1}{a} \approx 0.318$ , যোগ $\approx 3.464 = 2\sqrt{3}$ ✓।

সূত্রের ছয় বিশেষ প্রয়োগ

ছয় ধরন: চার পদের বর্গ, গুণফলকে বর্গের অন্তর, $x > y$ শর্তসহ মান, $a^4 + a^2b^2 + b^4$ কৌশল ও প্রমাণ, মান বসিয়ে ঘন, আর বর্গমূলযুক্ত সংখ্যা। প্রতিটার প্রথম অঙ্ক বইয়ের উদাহরণের ধরনের।

ধরন ১

চার পদের বর্গ

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে চার পদের যোগফলের বর্গ, বা চার সংখ্যার যোগফল ও বর্গের যোগফল থেকে জোড়ার গুণফল।

সমাধানের ধাপ

প্রতি পদের বর্গ লেখো
ছয় জোড়ার গুণফলের দ্বিগুণ লেখো
চিহ্ন বসাও (ঋণাত্মক পদের জোড়ায় ঋণ)
সংখ্যা বসিয়ে মেলাও

অঙ্ক ১.১সহজ

(p + q + r + s)² খোলো

$(p + q + r + s)^2$ এর খোলা রূপ লেখো।

সমাধান

সূত্রে

লিখি

$p^2 + q^2 + r^2 + s^2 + 2(pq + pr + ps + qr + qs + rs)$ ।

যাচাই

$p = q = r = s = 1$ : বাম $16$ , ডান $4 + 2 \times 6 = 16$ ✓

অঙ্ক ১.২মাঝারি

(a − b + c − d)² খোলো

$(a - b + c - d)^2$ এর খোলা রূপ লেখো।

সমাধান

সূত্রে

জোড়ার চিহ্ন

$a \cdot (-b) = -ab$ , $a \cdot c = +ac$ , $a \cdot (-d) = -ad$ , $(-b) \cdot c = -bc$ , $(-b)(-d) = +bd$ , $c \cdot (-d) = -cd$ ।

উত্তর

$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - 2ab + 2ac - 2ad - 2bc + 2bd - 2cd$ ।

যাচাই

সবাই ১: বাম $(1 - 1 + 1 - 1)^2 = 0$ , ডান $4 + 2(-1 + 1 - 1 - 1 + 1 - 1) = 4 - 4 = 0$ ✓

অঙ্ক ১.৩কঠিন

চার সংখ্যার যোগফল ১০

$a + b + c + d = 10$ আর $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 30$ হলে $ab + ac + ad + bc + bd + cd$ এর মান কত?

সমাধান

সূত্র ঘুরিয়ে

সমীকরণ

$10^2 = 30 + 2P$ , $P = 35$ ।

যাচাই

$a = 1$ , $b = 2$ , $c = 3$ , $d = 4$ : যোগ ১০, বর্গের যোগ ৩০, জোড়া $2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 = 35$ ✓

অঙ্ক ১.৪কঠিন

(x + 2y + 3z + 4)² এর x² ও xy এর সহগ

$(x + 2y + 3z + 4)^2$ খুললে $x^2$ , $xy$ আর $yz$ এর সহগ কত?

সমাধান

নির্দিষ্ট পদ বের করে

x^2

১।

xy

$2 \times 1 \times 2 = 4$ , তাই সহগ ৪।

yz

$2 \times 2 \times 3 = 12$ ।

যাচাই

$x = y = z = 1$ এ বাম $(10)^2 = 100$ ; সব সহগের যোগ $30 + 70 = 100$ ✓

ধরন ২

গুণফলকে দুই বর্গের অন্তররূপে

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে বলা 'দুইটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করো', রাশি হলো দুটো বন্ধনীর গুণফল।

সমাধানের ধাপ

প্রথম বন্ধনীকে A আর দ্বিতীয়টাকে B ধরো
(A + B) ÷ 2 আর (A − B) ÷ 2 বের করো
AB = ((A + B)/2)² − ((A − B)/2)² বসাও
খুলে মূল গুণফল ফিরে পাও কি না দেখো

অঙ্ক ২.১মাঝারি

(2x + 3y)(4x − 5y)

$(2x + 3y)(4x - 5y)$ কে দুইটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করো।

সমাধান

সূত্রে

বসাই

$(3x - y)^2 - (4y - x)^2$ । ( $(-x + 4y)^2 = (4y - x)^2$ )

যাচাই

$x = 1$ , $y = 1$ : বাম $5 \times (-1) = -5$ ; ডান $2^2 - 3^2 = -5$ ✓

অঙ্ক ২.২সহজ

(x + 7)(x + 3)

$(x + 7)(x + 3)$ কে দুইটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করো।

সমাধান

সূত্রে

বসাই

$(x + 5)^2 - 2^2$ ।

যাচাই

$x = 1$ : বাম $8 \times 4 = 32$ , ডান $36 - 4 = 32$ ✓

অঙ্ক ২.৩সহজ

103 × 97

$103 \times 97$ কে দুই বর্গের অন্তররূপে লিখে মান বের করো।

সমাধান

সূত্রে

হিসাব

$100^2 - 3^2 = 10000 - 9 = 9991$ ।

যাচাই

$103 \times 97 = 9991$ ✓

অঙ্ক ২.৪কঠিন

(3a + b)(a + 5b)

$(3a + b)(a + 5b)$ কে দুইটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করো।

সমাধান

সূত্রে

বসাই

$(2a + 3b)^2 - (a - 2b)^2$ ।

যাচাই

$a = 1$ , $b = 1$ : বাম $4 \times 6 = 24$ , ডান $25 - 1 = 24$ ✓

ধরন ৩

x > y শর্তসহ মান

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে $x + y$ ও $xy$ (বা $x - y$ ), সঙ্গে $x > y$ শর্ত, আর উচ্চ ঘাত বা ঘনের মান চাওয়া।

সমাধানের ধাপ

$(x - y)^{2} = (x + y)^{2} - 4xy$
শর্ত দিয়ে x − y এর চিহ্ন ঠিক করো
x + y আর x − y থেকে x, y বের করো
সরাসরি বসিয়ে মান; মূল শর্তে মেলাও

অঙ্ক ৩.১মাঝারি

x + y = 7, xy = 12, x > y

$x + y = 7$ , $xy = 12$ এবং $x > y$ হলে (ক) $2(x^2 + y^2)$ (খ) $x^5 + y^5$ এর মান কত?

সমাধান

দুই ধাপে

(ক)

$2(x^2 + y^2) = 2\{(x + y)^2 - 2xy\} = 2(49 - 24) = 50$ ।

x, y

$x - y = 1$ , $x + y = 7$ , তাই $x = 4$ , $y = 3$ ।

(খ)

$x^5 + y^5 = 1024 + 243 = 1267$ ।

যাচাই

(ক) $2(16 + 9) = 50$ ✓

অঙ্ক ৩.২মাঝারি

x + y = 6, xy = 8, x > y: x³ − y³

$x + y = 6$ , $xy = 8$ এবং $x > y$ হলে $x^3 - y^3$ এর মান কত?

সমাধান

সূত্রে

বসাই

$2^3 + 3 \times 8 \times 2 = 8 + 48 = 56$ ।

যাচাই

$x = 4$ , $y = 2$ : $64 - 8 = 56$ ✓

অঙ্ক ৩.৩কঠিন

x − y = 2, xy = 15, x, y > 0: x⁴ + y⁴

$x - y = 2$ , $xy = 15$ এবং $x$ , $y$ ধনাত্মক হলে $x^4 + y^4$ এর মান কত?

সমাধান

দুই ধাপে

x, y

$x + y = 8$ , $x - y = 2$ , তাই $x = 5$ , $y = 3$ ।

মান

$x^4 + y^4 = 625 + 81 = 706$ ।

যাচাই

$5 \times 3 = 15$ ✓, $5 - 3 = 2$ ✓

অঙ্ক ৩.৪সহজ

x + y = 9, x − y = 1: x⁵ + y⁵

$x + y = 9$ এবং $x - y = 1$ হলে $x^5 + y^5$ এর মান কত?

সমাধান

যোগ-বিয়োগে

মান

$x = 5$ , $y = 4$ ।

উত্তর

$5^5 + 4^5 = 3125 + 1024 = 4149$ ।

যাচাই

$5 + 4 = 9$ ✓, $5 - 4 = 1$ ✓

ধরন ৪

a⁴ + a²b² + b⁴ এর কৌশল ও প্রমাণ

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে চতুর্থ ঘাতের রাশি যাকে দুই বর্গের অন্তরে ভাঙা যায়, বা “প্রমাণ করো” আর উভয় পাশে চতুর্থ ঘাত।

সমাধানের ধাপ

রাশিকে একটা পূর্ণবর্গ বিয়োগ আরেকটা বর্গ আকারে সাজাও
দুই বর্গের অন্তর সূত্র বসাও
প্রমাণে কোন পাশ জটিল দেখে সেখান থেকে শুরু করো
ছোট সংখ্যা বসিয়ে মেলাও

অঙ্ক ৪.১কঠিন

a⁴ + a²b² + b⁴ ভাঙো

$a^4 + a^2b^2 + b^4$ কে উৎপাদকে ভাঙো।

সমাধান

পূর্ণবর্গ বানিয়ে

সাজাই

$(a^2 + b^2)^2 - (ab)^2$ ।

ভাঙি

$(a^2 + b^2 + ab)(a^2 + b^2 - ab)$ ।

যাচাই

$a = 2$ , $b = 1$ : বাম $21$ , ডান $7 \times 3 = 21$ ✓

অঙ্ক ৪.২কঠিন

a⁴ + a²b² + b⁴ = 21, a² + ab + b² = 7 হলে a² + b²

$a^4 + a^2b^2 + b^4 = 21$ এবং $a^2 + ab + b^2 = 7$ হলে $a^2 + b^2$ এর মান কত?

সমাধান

ভেঙে

দ্বিতীয় বন্ধনী

$a^2 - ab + b^2 = 3$ ।

যোগ

$(a^2 + ab + b^2) + (a^2 - ab + b^2) = 7 + 3 = 10 = 2(a^2 + b^2)$ , তাই $a^2 + b^2 = 5$ ।

যাচাই

$a = 2$ , $b = 1$ : $4 + 1 = 5$ ✓

অঙ্ক ৪.৩কঠিন

প্রমাণ: (a + b)⁴ − (a − b)⁴ = 8ab(a² + b²)

প্রমাণ করো: $(a + b)^4 - (a - b)^4 = 8ab(a^2 + b^2)$ ।

সমাধান

বর্গের অন্তরে

ভাঙি

$\{(a + b)^2 + (a - b)^2\}\{(a + b)^2 - (a - b)^2\}$ ।

মান বসাই

$= 2(a^2 + b^2) \times 4ab = 8ab(a^2 + b^2)$ ∎

যাচাই

$a = 2$ , $b = 1$ : $81 - 1 = 80$ , ডান $8 \times 2 \times 5 = 80$ ✓

অঙ্ক ৪.৪মাঝারি

x⁴ + x² + 1 ভাঙো

$x^4 + x^2 + 1$ কে উৎপাদকে ভাঙো।

সমাধান

পূর্ণবর্গ বানিয়ে

সাজাই

$(x^2 + 1)^2 - x^2$ ।

ভাঙি

$(x^2 + 1 + x)(x^2 + 1 - x) = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$ ।

যাচাই

$x = 2$ : বাম $21$ , ডান $7 \times 3 = 21$ ✓

ধরন ৫

মান বসিয়ে ঘনের অঙ্ক

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে 'x = ... হলে ... এর মান কত?', আর রাশিটা একটা ঘন সূত্রের চেহারা।

সমাধানের ধাপ

রাশিকে (A ± B)³ আকারে চেনো
ঘন রূপে লিখে মান বসাও
বড় সংখ্যায় সুবিধা: ভেতরে যোগ-বিয়োগ করে ঘন
ভুল সরাসরি বসিয়ে বড় হিসাবে না গিয়ে ঘনে লিখেছ কি না দেখো

অঙ্ক ৫.১মাঝারি

x = 37 হলে 8x³ + 72x² + 216x + 216

$x = 37$ হলে $8x^3 + 72x^2 + 216x + 216$ এর মান কত? (সরাসরি বসিয়ে নয়, সূত্রে)

সমাধান

ঘন রূপে

রূপ

$(2x + 6)^3 = (74 + 6)^3 = 80^3 = 512000$ ।

যাচাই

$80 \times 80 = 6400$ , $6400 \times 80 = 512000$ ✓

অঙ্ক ৫.২মাঝারি

x = 47: 27x³ + 108x² + 144x + 64

$x = 47$ হলে $27x^3 + 108x^2 + 144x + 64$ এর মান কত?

সমাধান

ঘন রূপে

রূপ

$(3x + 4)^3 = (141 + 4)^3 = 145^3$ ।

হিসাব

$145^2 = 21025$ , $21025 \times 145 = 3048625$ ।

যাচাই

$145 = 150 - 5$ , $150^3 - 3 \times 150^2 \times 5 + \ldots$ মিলে ✓

অঙ্ক ৫.৩সহজ

a = 9: a³ − 9a² + 27a − 27

$a = 9$ হলে $a^3 - 9a^2 + 27a - 27$ এর মান কত?

সমাধান

ঘন রূপে

রূপ

$(a - 3)^3 = 6^3 = 216$ ।

যাচাই

$729 - 729 + 243 - 27 = 216$ ✓

অঙ্ক ৫.৪সহজ

x = 98: x³ + 6x² + 12x + 8

$x = 98$ হলে $x^3 + 6x^2 + 12x + 8$ এর মান কত?

সমাধান

ঘন রূপে

রূপ

$(98 + 2)^3 = 100^3 = 1000000$ ।

যাচাই

সরাসরি বসানোর চেয়ে অনেক সহজ ✓

ধরন ৬

বর্গমূলযুক্ত সংখ্যার অঙ্ক

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে $a = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ জাতীয় মান, আর $a + \frac{1}{a}$ , $a^3 + \frac{1}{a^3}$ ইত্যাদি চাওয়া।

সমাধানের ধাপ

$\frac{1}{a}$ বের করো (কনজুগেট দিয়ে)
যোগ বা বিয়োগ ( $a \pm \frac{1}{a}$ ) বের করো
বর্গ বা ঘনের সূত্র বসাও
দশমিকে আনুমানিক মান মেলাও

অঙ্ক ৬.১মাঝারি

a = √3 + √2: a + 1/a, a² + 1/a²

$a = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ হলে $a + \dfrac{1}{a}$ এবং $a^2 + \dfrac{1}{a^2}$ এর মান কত?

সমাধান

ধাপে ধাপে

যোগ

$a + \frac{1}{a} = 2\sqrt{3}$ ।

বর্গের যোগ

$a^2 + \frac{1}{a^2} = (2\sqrt{3})^2 - 2 = 12 - 2 = 10$ ।

যাচাই

$a \approx 3.146$ , $a^2 \approx 9.899$ , $\frac{1}{a^2} \approx 0.101$ , যোগ $\approx 10$ ✓

অঙ্ক ৬.২কঠিন

a = √3 + √2: a³ + 1/a³ = 18√3

$a = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ হলে প্রমাণ করো যে $a^3 + \dfrac{1}{a^3} = 18\sqrt{3}$ ।

সমাধান

সূত্রে

বসাই

$(2\sqrt{3})^3 - 3 \times 2\sqrt{3} = 24\sqrt{3} - 6\sqrt{3}$ ।

উত্তর

$18\sqrt{3}$ ∎

যাচাই

$a^3 \approx 31.14$ , $\frac{1}{a^3} \approx 0.032$ , যোগ $\approx 31.18 \approx 18 \times 1.732 = 31.18$ ✓

অঙ্ক ৬.৩মাঝারি

a = 2 + √3

$a = 2 + \sqrt{3}$ হলে $a + \dfrac{1}{a}$ , $a^2 + \dfrac{1}{a^2}$ আর $a^3 + \dfrac{1}{a^3}$ এর মান কত?

সমাধান

ধাপে ধাপে

যোগ

$a + \frac{1}{a} = 4$ ।

বর্গ

$16 - 2 = 14$ ।

ঘন

$4^3 - 3 \times 4 = 64 - 12 = 52$ ।

যাচাই

$a \approx 3.732$ , $a^3 \approx 51.98$ , $\frac{1}{a^3} \approx 0.019$ , যোগ $\approx 52$ ✓

অঙ্ক ৬.৪কঠিন

a = √6 + √5: a³ − 1/a³

$a = \sqrt{6} + \sqrt{5}$ হলে $a^3 - \dfrac{1}{a^3}$ এর মান কত?

সমাধান

সূত্রে

বসাই

$(2\sqrt{5})^3 + 3 \times 2\sqrt{5} = 40\sqrt{5} + 6\sqrt{5} = 46\sqrt{5}$ ।

যাচাই

দশমিকে $a \approx 4.6856$ , $a^3 \approx 102.869$ , $\frac{1}{a^3} \approx 0.0097$ , পার্থক্য $\approx 102.859$ । আবার $46\sqrt{5} \approx 46 \times 2.23607 \approx 102.859$ ✓

শর্ত ও সূত্র মিলিয়ে দেখো

নিচের অঙ্কগুলো নিজে করো। আটকে গেলে ইঙ্গিত দেখো, তারপর উত্তর মিলিয়ে নাও।

ভুল ধরো

তিনটা দেখতে-ঠিক কিন্তু ভুল সমাধান

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

ক: $(a + b + c + d)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2(ab + cd)$ ।

খ: $x + y = 7$ , $xy = 12$ হলে $x - y = \sqrt{49 - 12} = \sqrt{37}$ ।

গ: $\dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ কিন্তু $a + \frac{1}{a} = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2}$ ।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ক: জোড়া ছয়টা, দুটো নয়: $ab + ac + ad + bc + bd + cd$ । যাচাই সবাই ১: বাম ১৬, ভুল ডানে $4 + 4 = 8$ ।

খ: $(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy = 49 - 48 = 1$ । গুণফলে ৪ গুণ নিতে হয়, ১ গুণ নয়।

গ: $a + \frac{1}{a} = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{3}$ । $\sqrt{2}$ কেটে যায়।

ধরার উপায়: ছোট সংখ্যা বসাও, আর ভাঙা পদের সংখ্যা গোনো।

(a + b + c + d)² তে মোট কয়টা পদ?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (গ) ১০। 4 + 6 = 10।

101 × 99 = ?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (ক) 9999। 100² − 1² = 10000 − 1 = 9999।

x + y = 5, xy = 6, x > y হলে x − y = ?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (ক) ১। (x−y)² = 1, x > y বলে x − y = 1।

প্রশ্ন ১. (ক) $a + b + c + d = 8$ , $ab + ac + ad + bc + bd + cd = 20$ হলে $a^2 + b^2 + c^2 + d^2$ কত? (খ) $(x + 3)(x - 5)$ কে দুইটি বর্গের অন্তররূপে লেখো।

ইঙ্গিত দেখো

(ক) চার পদের বর্গ। (খ) মাঝের রাশি $x - 1$ ।

উত্তর দেখো

(ক) $64 - 40 = 24$ । (খ) $(x - 1)^2 - 4^2$ ।

প্রশ্ন ২. $x + y = 10$ , $xy = 24$ , $x > y$ হলে $x^3 - y^3$ এবং $x^5 + y^5$ এর মান বের করো।

ইঙ্গিত দেখো

$x - y = \sqrt{100 - 96}$ ।

উত্তর দেখো

$x - y = 2$ , $x = 6$ , $y = 4$ । $x^3 - y^3 = 216 - 64 = 152$ , $x^5 + y^5 = 7776 + 1024 = 8800$ ।

মনে রাখো

চার পদের বর্গ: চারটা বর্গ আর ছয় জোড়ার গুণফলের দ্বিগুণ।
গুণফল: $AB = \left(\frac{A + B}{2}\right)^2 - \left(\frac{A - B}{2}\right)^2$ ।
শর্তসহ: $(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy$ , শর্ত দিয়ে চিহ্ন ঠিক করো, তারপর $x$ , $y$ ।
বর্গমূল: $\frac{1}{a}$ বের করতে কনজুগেট দিয়ে গুণ।