উৎপাদকে বিশ্লেষণের বিশেষ কৌশল

বর্গের যোগও কি ভাঙে?

যোগ-বিয়োগে পূর্ণবর্গ

$x^4 + 4$ দেখে মনে হয় এটা ভাঙবে না: এটা বর্গের যোগ, আর যোগ তো ভাঙে না! কিন্তু এক চালাকি আছে: এক পদ যোগ করে আবার সেটাই বিয়োগ করলে দাম বদলায় না, অথচ রাশিটা পূর্ণবর্গ বিয়োগ আরেকটা বর্গ হয়ে যায়।

$x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2$ । এখন এটা বর্গের অন্তর, তাই ভাঙে।

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

উৎপাদক বের করার চার কৌশল

কৌশল ১: পূর্ণবর্গ বানাও

১. যোগ-বিয়োগ কৌশল। $a^4 + 4b^4$ । পূর্ণবর্গ বানাতে চাই: $(a^2 + 2b^2)^2 = a^4 + 4a^2b^2 + 4b^4$ । আমাদের রাশিতে মাঝের $4a^2b^2$ নেই। তাই যোগ করি আবার বিয়োগ করি:

$a^4 + 4b^4 = a^4 + 4a^2b^2 + 4b^4 - 4a^2b^2$ ← $+4a^2b^2 - 4a^2b^2 = 0$ , দাম বদলায়নি

$= (a^2 + 2b^2)^2 - (2ab)^2$ ← পূর্ণবর্গ বিয়োগ বর্গ

$= (a^2 + 2b^2 + 2ab)(a^2 + 2b^2 - 2ab)$ ← বর্গের অন্তর সূত্র। ∎

কৌশল ২, ৩, ৪

২. ভগ্নাংশ সহগ। সব ভগ্নাংশের হরের লসাগু বের করে ভগ্নাংশটা বাইরে নাও: $\frac{1}{2}x^2 + \frac{7}{6}x + \frac{1}{3} = \frac{1}{6}(3x^2 + 7x + 2)$ । তারপর ভেতরটা সাধারণ নিয়মে ভাঙো।

৩. দুই অক্ষরে শূন্যায়ন। একটা অক্ষরকে সংখ্যা ধরো, অন্যটাকে চলক। $f(x) = x^3 - 3xy^2 + 2y^3$ এ $x = y$ বসালে $y^3 - 3y^3 + 2y^3 = 0$ । তাই $(x - y)$ একটা উৎপাদক।

৪. ভগ্নাংশ মূল। $(2x + b)$ উৎপাদক হলে $x = -\frac{b}{2}$ বসালে রাশি ০ হয়। মূলটা ভগ্নাংশ হলেও একই নিয়ম।

কোন কৌশল কখন

আটকে গেলে এই তালিকা দেখো: (১) দুই বর্গের যোগ চতুর্থ ঘাতে: যোগ-বিয়োগ। (২) ভগ্নাংশ সহগ: লসাগু বাইরে। (৩) দুই অক্ষর: একটাকে অন্যটার সমান ধরে শূন্যায়ন। (৪) মূল ভগ্নাংশ: ভাজকের মূল বসাও।

যোগ-বিয়োগ কৌশল: যে পদটা থাকলে পূর্ণবর্গ হতো (2 × a² × 8b² = 16a²b²), সেটা যোগ করে আবার বিয়োগ করো; মান বদলায় না, কিন্তু বর্গের অন্তর বেরিয়ে আসে।

রাশির গঠন আগে চেনো

কঠিন রাশিতে ভয় পেয়ো না। প্রথম প্রশ্ন: কোন কৌশলে খাটবে? উত্তর পাওয়া গেলে বাকিটা মামুলি।

একসাথে করি ১

a⁴ + 64b⁴ ভাঙি

$a^4 + 64b^4$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

পড়ি
চতুর্থ ঘাতের দুই পদের যোগ। সরাসরি ভাঙে না।
আঁকি
$a^4 = (a^2)^2$ আর $64b^4 = (8b^2)^2$ । বর্গের যোগ।
ভাবি
পূর্ণবর্গ $(a^2 + 8b^2)^2 = a^4 + 16a^2b^2 + 64b^4$ বানাতে মাঝের $16a^2b^2$ লাগে।
করি
$a^4 + 64b^4 = (a^2 + 8b^2)^2 - 16a^2b^2 = (a^2 + 8b^2)^2 - (4ab)^2 = (a^2 + 4ab + 8b^2)(a^2 - 4ab + 8b^2)$ ।
মেলাই
$a = 1$ , $b = 1$ : বাম $65$ , ডান $13 \times 5 = 65$ ✓।

একসাথে করি ২

x³ − 3xy² + 2y³ ভাঙি

$x^3 - 3xy^2 + 2y^3$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

পড়ি
দুই অক্ষরের তিন ঘাতের রাশি।
আঁকি
$y$ কে ধ্রুবক ধরে $x$ এর বহুপদী ভাবি: $f(x) = x^3 - 3y^2x + 2y^3$ ।
ভাবি
ধ্রুবক পদ $2y^3$ এর উৎপাদক $\pm y$ , $\pm 2y$ । $x = y$ চেষ্টা করি।
করি
$f(y) = y^3 - 3y^3 + 2y^3 = 0$ , তাই $(x - y)$ উৎপাদক। ভাগ করে $x^2 + xy - 2y^2 = (x - y)(x + 2y)$ । তাই $(x - y)^2(x + 2y)$ ।
মেলাই
$x = 3$ , $y = 1$ : বাম $27 - 9 + 2 = 20$ , ডান $4 \times 5 = 20$ ✓।

উৎপাদকের চার বিশেষ কৌশল

চার ধরন: যোগ-বিয়োগ কৌশল, ভগ্নাংশ সহগ, দুই অক্ষর ও ভগ্নাংশ মূলে শূন্যায়ন, আর সাজিয়ে ভাঙা।

ধরন ১

যোগ-বিয়োগ কৌশল

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

চতুর্থ ঘাতের দুই বর্গের যোগ ( $a^4 + kb^4$ ), যা সরাসরি ভাঙে না।

সমাধানের ধাপ

দুই পদ কার কার বর্গ তা বের করো
পূর্ণবর্গ বানাতে যে মাঝের পদ লাগে সেটা যোগ-বিয়োগ করো
পূর্ণবর্গ বিয়োগ বর্গ আকারে লেখো
বর্গের অন্তর সূত্রে ভেঙে খুলে মেলাও

অঙ্ক ১.১কঠিন

a⁴ + 64b⁴

$a^4 + 64b^4$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

কৌশলে

সাজাই

$(a^2 + 8b^2)^2 - 16a^2b^2$ ।

ভাঙি

$(a^2 + 8b^2 + 4ab)(a^2 + 8b^2 - 4ab)$ ।

যাচাই

$a = b = 1$ : $65 = 13 \times 5$ ✓

অঙ্ক ১.২মাঝারি

x⁴ + 4

$x^4 + 4$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

কৌশলে

সাজাই

$(x^2 + 2)^2 - (2x)^2$ ।

ভাঙি

$(x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)$ ।

যাচাই

$x = 1$ : $5 = 5 \times 1$ ✓

অঙ্ক ১.৩কঠিন

4a⁴ + 1

$4a^4 + 1$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

কৌশলে

সাজাই

$(2a^2 + 1)^2 - (2a)^2$ ।

ভাঙি

$(2a^2 + 2a + 1)(2a^2 - 2a + 1)$ ।

যাচাই

$a = 1$ : $5 = 5 \times 1$ ✓

অঙ্ক ১.৪কঠিন

x⁴ + 4y⁴

$x^4 + 4y^4$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

কৌশলে

সাজাই

$(x^2 + 2y^2)^2 - (2xy)^2$ ।

ভাঙি

$(x^2 + 2xy + 2y^2)(x^2 - 2xy + 2y^2)$ ।

যাচাই

$x = y = 1$ : $5 = 5 \times 1$ ✓

ধরন ২

ভগ্নাংশ সহগের রাশি

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

রাশিতে ভগ্নাংশ সহগ বা ভগ্নাংশ ধ্রুবক (যেমন $\frac{1}{2}x^2$ , $a^3 + \frac{1}{8}$ )।

সমাধানের ধাপ

হরগুলোর লসাগু বের করো
লসাগুর উল্টো ভগ্নাংশ বাইরে নাও, ভেতরে পূর্ণসংখ্যা সহগ
ভেতরের রাশি সাধারণ নিয়মে ভাঙো
খুলে মেলাও

অঙ্ক ২.১মাঝারি

½x² + (7/6)x + ⅓

$\dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{7}{6}x + \dfrac{1}{3}$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

লসাগু বাইরে

বাইরে নিই

$\frac{1}{6}(3x^2 + 7x + 2)$ ।

ভাঙি

$3x^2 + 7x + 2 = (3x + 1)(x + 2)$ (গুণফল ৬, যোগফল ৭: ১ আর ৬)।

উত্তর

$\frac{1}{6}(3x + 1)(x + 2)$ ।

যাচাই

$x = 1$ : বাম $\frac{12}{6} = 2$ , ডান $\frac{1}{6} \times 4 \times 3 = 2$ ✓

অঙ্ক ২.২মাঝারি

a³ + 1/8

$a^3 + \dfrac{1}{8}$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

সূত্রে

বসাই

$\left(a + \frac{1}{2}\right)\left(a^2 - \frac{a}{2} + \frac{1}{4}\right)$ ।

যাচাই

$a = 1$ : বাম $\frac{9}{8}$ , ডান $\frac{3}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{8}$ ✓

অঙ্ক ২.৩মাঝারি

(1/3)x² + (5/6)x + 1/3

$\dfrac{1}{3}x^2 + \dfrac{5}{6}x + \dfrac{1}{3}$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

লসাগু বাইরে

ভাঙি

$\frac{1}{6}(2x^2 + 5x + 2) = \frac{1}{6}(2x + 1)(x + 2)$ ।

যাচাই

$x = 1$ : বাম $\frac{1}{3} + \frac{5}{6} + \frac{1}{3} = \frac{3}{2}$ , ডান $\frac{1}{6} \times 3 \times 3 = \frac{3}{2}$ ✓

অঙ্ক ২.৪সহজ

x²/4 − 9

$\dfrac{x^2}{4} - 9$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

সূত্রে

ভাঙি

$\left(\frac{x}{2} + 3\right)\left(\frac{x}{2} - 3\right)$ ।

যাচাই

$x = 2$ : বাম $1 - 9 = -8$ , ডান $4 \times (-2) = -8$ ✓

ধরন ৩

দুই অক্ষর ও ভগ্নাংশ মূলে শূন্যায়ন

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

দুই অক্ষরের তিন বা চার ঘাতের রাশি, বা এমন রাশি যার উৎপাদকের মূল ভগ্নাংশ।

সমাধানের ধাপ

একটা অক্ষরকে ধ্রুবক ধরো
ধ্রুবক পদের উৎপাদক বা ভগ্নাংশ বসিয়ে রাশি শূন্য করো
পাওয়া (x − মূল) দিয়ে ভাগ করো
ভাগফলকে আবার ভাঙো; খুলে মেলাও

অঙ্ক ৩.১কঠিন

x³ − 3xy² + 2y³

$x^3 - 3xy^2 + 2y^3$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

শূন্যায়নে

উৎপাদক

$(x - y)$ ।

ভাগফল ভাঙি

$x^2 + xy - 2y^2 = (x - y)(x + 2y)$ ।

উত্তর

$(x - y)^2(x + 2y)$ ।

যাচাই

$x = 3$ , $y = 1$ : বাম $20$ , ডান $4 \times 5 = 20$ ✓

অঙ্ক ৩.২কঠিন

x³ + 6x²y + 11xy² + 6y³

$x^3 + 6x^2y + 11xy^2 + 6y^3$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

শূন্যায়নে

উৎপাদক

$(x + y)$ ।

ভাগফল

$x^2 + 5xy + 6y^2 = (x + 2y)(x + 3y)$ ।

উত্তর

$(x + y)(x + 2y)(x + 3y)$ ।

যাচাই

$x = y = 1$ : বাম $24$ , ডান $2 \times 3 \times 4 = 24$ ✓

অঙ্ক ৩.৩কঠিন

16x⁴ + 8x³b − 2x − b

$16x^4 + 8bx^3 - 2x - b$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো। (উৎপাদকের একটা মূল ভগ্নাংশ)

সমাধান

শূন্যায়নে

ভাগ

$8x^3(2x + b) - 1 \cdot (2x + b) = (2x + b)(8x^3 - 1)$ ।

ঘনের অন্তর

$8x^3 - 1 = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)$ ।

উত্তর

$(2x + b)(2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)$ ।

যাচাই

$x = 1$ , $b = 1$ : বাম $16 + 8 - 2 - 1 = 21$ , ডান $3 \times 1 \times 7 = 21$ ✓

অঙ্ক ৩.৪কঠিন

x³ − 7xy² + 6y³

$x^3 - 7xy^2 + 6y^3$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

শূন্যায়নে

উৎপাদক

$(x - y)$ ।

ভাগফল ভাঙি

$x^2 + xy - 6y^2 = (x + 3y)(x - 2y)$ ।

উত্তর

$(x - y)(x - 2y)(x + 3y)$ ।

যাচাই

$x = 3$ , $y = 1$ : বাম $27 - 21 + 6 = 12$ , ডান $2 \times 1 \times 6 = 12$ ✓

ধরন ৪

সাজিয়ে ভাঙা

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

রাশিতে বর্গ-ঘনের মিশ্রণ আর এক-দুটো আলাদা পদ, যেগুলো সাজালে সাধারণ উৎপাদক বা বর্গের অন্তর বেরোয়।

সমাধানের ধাপ

কোন পদগুলো একসঙ্গে বর্গ বা বর্গের অন্তর হয়, দেখো
সেই পদগুলোকে একসাথে ভেঙে সাধারণ উৎপাদক বের করো
বাকি পদ থেকে একই উৎপাদক নাও
খুলে মেলাও

অঙ্ক ৪.১মাঝারি

16x² − 25y² − 8xz + 10yz

$16x^2 - 25y^2 - 8xz + 10yz$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

জোড়া করে

ভাঙি

$(4x - 5y)(4x + 5y) - 2z(4x - 5y)$ ।

সাধারণ বন্ধনী

$(4x - 5y)(4x + 5y - 2z)$ ।

যাচাই

$x = y = z = 1$ : বাম $16 - 25 - 8 + 10 = -7$ , ডান $(-1)(7) = -7$ ✓

অঙ্ক ৪.২মাঝারি

x² − y² − 2x − 2y

$x^2 - y^2 - 2x - 2y$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

জোড়া করে

ভাঙি

$(x + y)(x - y) - 2(x + y)$ ।

উত্তর

$(x + y)(x - y - 2)$ ।

যাচাই

$x = 3$ , $y = 1$ : $9 - 1 - 6 - 2 = 0$ , ডান $4 \times 0 = 0$ ✓

অঙ্ক ৪.৩মাঝারি

a² + 2ab + b² − c²

$a^2 + 2ab + b^2 - c^2$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

দুই ধাপে

পূর্ণবর্গ

$(a + b)^2 - c^2$ ।

বর্গের অন্তর

$(a + b + c)(a + b - c)$ ।

যাচাই

$a = b = c = 1$ : $4 - 1 = 3$ , ডান $3 \times 1 = 3$ ✓

অঙ্ক ৪.৪কঠিন

x² − 4y² + 4y − 1

$x^2 - 4y^2 + 4y - 1$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

দুই ধাপে

সাজাই

$x^2 - (2y - 1)^2$ ।

ভাঙি

$(x + 2y - 1)(x - 2y + 1)$ ।

যাচাই

$x = 3$ , $y = 1$ : $9 - 4 + 4 - 1 = 8$ , ডান $4 \times 2 = 8$ ✓

ভেঙে খুলে মান মেলাও

নিচের অঙ্কগুলো নিজে করো। আটকে গেলে ইঙ্গিত দেখো, তারপর উত্তর মিলিয়ে নাও।

ভুল ধরো

তিনটা দেখতে-ঠিক কিন্তু ভুল সমাধান

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

ক: $x^4 + 4 = (x^2 + 2)^2$ ।

খ: $x^3 - 3xy^2 + 2y^3$ এ $x = y$ বসালে ০, তাই উৎপাদক $(x + y)$ ।

গ: $\frac{1}{2}x^2 + \frac{7}{6}x + \frac{1}{3} = \frac{1}{6}(x^2 + 7x + 2)$ ।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ক: $(x^2 + 2)^2 = x^4 + 4x^2 + 4$ , মাঝে $4x^2$ আছে, নেই আমাদের রাশিতে। ঠিক: $(x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)$ ।

খ: $x = y$ বসালে ০ হলে উৎপাদক $(x - y)$ , চিহ্ন উল্টো না।

গ: $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ , তাই ভেতরে $3x^2$ , $x^2$ নয়। ঠিক: $\frac{1}{6}(3x^2 + 7x + 2)$ ।

ধরার উপায়: ভেঙে খুলে মেলাও।

x⁴ + 4 কে ভাঙতে কোন পদ যোগ-বিয়োগ করবে?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) 4x²। মাঝের পদ 4x² লাগে, তাই 4x² যোগ-বিয়োগ।

½x² + ⅔x + ⅙ এর ভেতরের পূর্ণসংখ্যা রাশি (⅙ বাইরে নিলে)?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (ক) 3x² + 4x + 1। 6 × ½ = 3, 6 × ⅔ = 4, 6 × ⅙ = 1।

f(x) = x³ + 2x² − 5xy² ...: x = y বসিয়ে রাশি ০ হলে উৎপাদক?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) x − y। এখানে a = y, তাই (x − y)।

প্রশ্ন ১. উৎপাদকে ভাঙো: (ক) $x^4 + 64$ (খ) $\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{9}$ (গ) $x^3 + 3x^2y - 4y^3$

ইঙ্গিত দেখো

(ক) $64 = 4 \times 16$ । (গ) $x = y$ চেষ্টা করো।

উত্তর দেখো

(ক) $x^4 + 16x^2 + 64 - 16x^2 = (x^2 + 8)^2 - (4x)^2 = (x^2 + 4x + 8)(x^2 - 4x + 8)$ । (খ) $\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{3}\right)\left(\frac{x}{2} - \frac{1}{3}\right)$ । (গ) $(x - y)(x + 2y)^2$ ।

প্রশ্ন ২. উৎপাদকে ভাঙো: $a^2 - b^2 - 4a + 4b$

ইঙ্গিত দেখো

প্রথম দুই পদ ভাঙো, শেষ দুই থেকে $-4$ নাও।

উত্তর দেখো

$(a + b)(a - b) - 4(a - b) = (a - b)(a + b - 4)$ ।

মনে রাখো

যোগ-বিয়োগ: চতুর্থ ঘাতের বর্গের যোগে মাঝের পদ যোগ-বিয়োগ করে পূর্ণবর্গ বিয়োগ বর্গ।
ভগ্নাংশ সহগ: হরের লসাগুর উল্টো বাইরে।
দুই অক্ষর: একটাকে ধ্রুবক ধরে শূন্যায়ন।
সাবধান: $f(a) = 0$ হলে উৎপাদক $(x - a)$ ।