চাঁদা, নল ও লাভ-ক্ষতির সমীকরণ

গল্পে দ্বিঘাত সমীকরণ এলে কী করবে?

দ্বিঘাত সমীকরণ থেকে বাস্তব উত্তর

কিছু গল্পের অঙ্কে সমীকরণ বানালে $x^2 - 5x - 150 = 0$ এর মতো দ্বিঘাত সমীকরণ বেরোয়। ভয়ের কিছু নেই: আগের পাঠে মধ্যপদ ভেঙে উৎপাদক করা শিখেছ। উৎপাদক করলে দুটো উত্তর আসে, আর গল্পের সঙ্গে মিলিয়ে একটা বাদ দিতে হয় (সদস্য সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না)।

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

অপরিবর্তিত রাশি থেকে সমীকরণ

চাঁদার সমীকরণ

চাঁদা (সদস্য কমলে): মোট চাঁদা $T$ টাকা, সদস্য $x$ জন, মাথাপিছু $\frac{T}{x}$ । $m$ জন কম হলে সদস্য $x - m$ , মাথাপিছু $\frac{T}{x - m}$ । মাথাপিছু বাড়ল $p$ টাকা, তাই:

$(x - m)\left(\dfrac{T}{x} + p\right) = T$ ← কম সদস্য, বেশি মাথাপিছু, তবু মোট একই।

খুলে: $T + px - \dfrac{mT}{x} - mp = T$ , অর্থাৎ $px - \dfrac{mT}{x} - mp = 0$ । $x$ দিয়ে গুণ করে: $px^2 - mpx - mT = 0$ , তারপর $p$ দিয়ে ভাগ: $x^2 - mx - \dfrac{mT}{p} = 0$ ।

নল আর “টাকায় কয়টি”

নল ও চৌবাচ্চা: চৌবাচ্চার মোট পানি $y$ । প্রথম নল প্রতি মিনিটে $x$ লিটার ঢালে আর $t_1$ মিনিটে ভরে, তাই $y = t_1 x$ । দ্বিতীয় নল প্রতি মিনিটে $d$ লিটার বের করে। দুটো একসাথে খুললে $t_2$ মিনিটে ভরলে ওই সময়ের নিট পানি $= t_2(x - d) = y$ ।

টাকায় $n$ টি: ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে $r\%$ ক্ষতিতে বিক্রয় $(100 - r)$ । $s\%$ লাভে বিক্রয় $(100 + s)$ । টাকায় $n$ টি বিক্রয় মানে একটার বিক্রয়মূল্য $\frac{1}{n}$ টাকা।

সমীকরণ বানানোর চাবি

প্রতিটা গল্পে একটা জিনিস অপরিবর্তিত থাকে: মোট চাঁদা, চৌবাচ্চার ধারণক্ষমতা, ক্রয়মূল্য। সেটাকে দুভাবে লিখে ”=” দিলেই সমীকরণ।

মোট চাঁদা অপরিবর্তিত (দুই সারির দৈর্ঘ্য সমান)। মানুষ কমলে প্রতিটা খোপ চওড়া হয়: মাথাপিছু চাঁদা বাড়ে। বনভোজনের উদাহরণে 1500 ÷ 10 − 1500 ÷ 15 = 150 − 100 = 50।

দুটো নল একসাথে খোলা থাকলে প্রতি মিনিটে জমে (C/10 − 6) লিটার। ৪০ মিনিটে পুরো চৌবাচ্চা: 40(C/10 − 6) = C, তাই C = 80 লিটার।

যা বদলায় না, আগে লেখো

প্রতি অঙ্কে প্রথমে লেখো কোনটা বদলায় না। সেটাই সমীকরণের দুই পাশ।

একসাথে করি ১

বনভোজনের চাঁদা

বনভোজনের জন্য মোট ১৫০০ টাকা চাঁদা তোলার কথা, সব সদস্য সমান দেবে। ৫ জন দিতে না পারায় বাকিদের মাথাপিছু ৫০ টাকা বেড়ে গেল। সদস্য ছিল কতজন?

পড়ি
মোট একই (১৫০০), সদস্য কমেছে ৫, মাথাপিছু বেড়েছে ৫০।
নাম দিই
সদস্য $x$ জন। মাথাপিছু আগে $\frac{1500}{x}$ ।
সমীকরণ লিখি
এখন সদস্য $x - 5$ , মাথাপিছু $\frac{1500}{x} + 50$ । মোট একই: $(x - 5)\left(\frac{1500}{x} + 50\right) = 1500$ ।
সমাধান করি
খুলে $1500 + 50x - \frac{7500}{x} - 250 = 1500$ , তাই $50x - \frac{7500}{x} - 250 = 0$ । $50x$ দিয়ে ভাগ করে $x$ দিয়ে গুণ: $x^2 - 5x - 150 = 0$ , $(x - 15)(x + 10) = 0$ । $x = 15$ (ঋণাত্মক বাদ)।
মেলাই
১৫ জনে ১০০ টাকা করে ১৫০০। ১০ জনে ১৫০ টাকা করে ১৫০০, আর 150 − 100 = 50 ✓।

একসাথে করি ২

দুটো নলের চৌবাচ্চা

একটা নল একা ১০ মিনিটে একটা খালি চৌবাচ্চা ভরে। আরেকটা নল প্রতি মিনিটে ৬ লিটার বের করে। চৌবাচ্চা খালি অবস্থায় দুটো নল একসাথে খুললে ৪০ মিনিটে ভরে। চৌবাচ্চায় কত লিটার পানি ধরে?

পড়ি
চৌবাচ্চার ধারণক্ষমতা একই। ভরার নল আর খালির নল।
নাম দিই
প্রথম নল প্রতি মিনিটে $x$ লিটার ঢালে, ধারণক্ষমতা $y$ লিটার।
সমীকরণ লিখি
একা ১০ মিনিটে ভরলে $y = 10x$ । দুটো খুললে ৪০ মিনিটে নিট $x - 6$ করে: $y = 40(x - 6)$ ।
সমাধান করি
$10x = 40x - 240$ , $30x = 240$ , $x = 8$ , তাই $y = 80$ ।
মেলাই
প্রতি মিনিটে ৮ ঢালে, ৬ বের হয়, নিট ২। ৪০ মিনিটে $40 \times 2 = 80$ ✓।

বাস্তব সমীকরণের তিন রূপ

তিন ধরন: চাঁদা (দ্বিঘাত), নল ও চৌবাচ্চা, আর টাকায় কয়টি। প্রতিটার প্রথম অঙ্ক বইয়ের উদাহরণের ধরনের।

ধরন ১

সদস্য কমলে চাঁদা বাড়া

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

মোট একই, কিছু সদস্য কম, মাথাপিছু বেশি, আর সদস্য সংখ্যা চাওয়া।

সমাধানের ধাপ

সদস্য x ধরো; মাথাপিছু T/x
কমার পর সদস্য x − m, মাথাপিছু T/x + p
মোট একই: (x − m)(T/x + p) = T
x² − mx − mT/p = 0 ভেঙে ধনাত্মক মূল নাও

অঙ্ক ১.১সহজ

বনভোজনের চাঁদা

বনভোজনের জন্য মোট ১৫০০ টাকা চাঁদা তোলার কথা, সবাই সমান দেবে। ৫ জন দিতে না পারায় বাকিদের মাথাপিছু ৫০ টাকা বেড়ে গেল। সদস্য ছিল কতজন?

সমাধান

সমীকরণে

সমীকরণ

$x^2 - 5x - 150 = (x - 15)(x + 10) = 0$ ।

উত্তর

$x = 15$ , ঋণাত্মক সদস্য হয় না তাই $-10$ বাদ।

যাচাই

১৫ জনে ১০০, ১০ জনে ১৫০, পার্থক্য ৫০ ✓

অঙ্ক ১.২মাঝারি

কলেজ ক্লাবের টাকা

একটা ক্লাব ১০৮০ টাকা সমানভাবে চাঁদা তুলে একটা উপহার কিনবে। ৩ জন কম দেওয়ায় বাকিদের মাথাপিছু ৩০ টাকা বেশি দিতে হলো। ক্লাবে সদস্য কতজন?

সমাধান

সমীকরণে

ভাঙি

$(x - 12)(x + 9) = 0$ , $x = 12$ ।

যাচাই

১২ জনে ৯০, ৯ জনে ১২০ (+30), $12 \times 90 = 1080 = 9 \times 120$ ✓

অঙ্ক ১.৩কঠিন

বাসভাড়া

বনভোজনে যাওয়ার জন্য ৫৭০০ টাকায় একটা বাস ভাড়া করা হলো, সবাই সমান ভাড়া দেবে। ৫ জন না যাওয়ায় বাকিদের মাথাপিছু ৩ টাকা বেড়ে গেল। কতজন যাত্রী গিয়েছিল?

সমাধান

সমীকরণে

ভাঙি

$x^2 - 5x - 9500 = (x - 100)(x + 95) = 0$ । $x = 100$ ।

গিয়েছিল

$100 - 5 = 95$ জন। মাথাপিছু ৫৭ আর ৬০ ✓

যাচাই

$100 \times 57 = 5700$ , $95 \times 60 = 5700$ ✓

অঙ্ক ১.৪কঠিন

পিকনিকের ভাড়া

পিকনিকের জন্য ২৪০০ টাকার বাস ভাড়া সবার সমান ভাগে দেওয়ার কথা। ৪ জন না আসায় বাকিদের মাথাপিছু ২০ টাকা বেশি দিতে হলো। প্রথমে কতজনের যাওয়ার কথা ছিল?

সমাধান

সমীকরণে

ভাঙি

$(x - 24)(x + 20) = 0$ , $x = 24$ ।

যাচাই

২৪ জনে ১০০ করে, ২০ জনে ১২০ করে ( $+20$ ), $24 \times 100 = 2400 = 20 \times 120$ ✓

ধরন ২

দুটো নল ও চৌবাচ্চা

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

একটা নল ভরে (বা খালি করে), আরেকটা বিপরীত কাজ করে, আর একসাথে খুললে সময় বদলায়; ধারণক্ষমতা বা নলের হার চাওয়া।

সমাধানের ধাপ

ধারণক্ষমতা y, প্রথম নলের হার x ধরো
একা: y = সময় × x
দুটো মিলে: y = নতুন সময় × (x ∓ দ্বিতীয় হার)
দুই সমীকরণ থেকে x, তারপর y

অঙ্ক ২.১সহজ

ভরা ও খালির নল

একটা নল ১০ মিনিটে একটা খালি চৌবাচ্চা ভরে। আরেকটা নল প্রতি মিনিটে ৬ লিটার বের করে। খালি চৌবাচ্চায় দুটো নল একসাথে খুললে ৪০ মিনিটে ভরে। চৌবাচ্চায় কত লিটার ধরে?

সমাধান

দুই সমীকরণে

সমাধান

$10x = 40x - 240$ , $x = 8$ , $y = 80$ লিটার।

যাচাই

নিট ২ লি/মিনিট, ৪০ মিনিটে ৮০ ✓

অঙ্ক ২.২মাঝারি

১৫ মিনিট, ৪ লি/মিনিট

একটা নল ১৫ মিনিটে একটা খালি চৌবাচ্চা ভরে। আরেকটা নল প্রতি মিনিটে ৪ লিটার বের করে। দুটো একসাথে খুললে ৪৫ মিনিটে ভরে। চৌবাচ্চায় কত লিটার?

সমাধান

দুই সমীকরণে

সমাধান

$30x = 180$ , $x = 6$ , $y = 90$ লিটার।

যাচাই

নিট ২ লি/মিনিট, ৪৫ মিনিটে ৯০ ✓

অঙ্ক ২.৩মাঝারি

৮ ঘণ্টা, ২০ লি/ঘণ্টা

একটা নল ৮ ঘণ্টায় একটা ট্যাংক ভরে। আরেকটা নল ঘণ্টায় ২০ লিটার বের করে। দুটো একসাথে খুললে ২৪ ঘণ্টায় ট্যাংক ভরে। ট্যাংকে কত লিটার ধরে?

সমাধান

দুই সমীকরণে

সমাধান

$16x = 480$ , $x = 30$ , $y = 240$ লিটার।

যাচাই

নিট ১০ লি/ঘণ্টা, ২৪ ঘণ্টায় ২৪০ ✓

অঙ্ক ২.৪কঠিন

খালির হার বের করা

একটা ১২০ লিটারের চৌবাচ্চা একটা নল ১০ মিনিটে ভরে। দুটো নল একসাথে খুললে চৌবাচ্চা ভরতে ৩০ মিনিট লাগে। দ্বিতীয় নলটা প্রতি মিনিটে কত লিটার বের করে?

সমাধান

সমীকরণে

সমাধান

$12 - d = 4$ , $d = 8$ লি/মিনিট।

যাচাই

নিট ৪ লি/মিনিট, ৩০ মিনিটে ১২০ ✓

ধরন ৩

টাকায় কয়টি, লাভ-ক্ষতি

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে 'টাকায় n টি বিক্রয়ে r% ক্ষতি, s% লাভ করতে টাকায় কয়টি?'

সমাধানের ধাপ

ক্রয়মূল্য ১০০ ধরে বিক্রয়মূল্য লেখো
বিক্রয় (100 ± r) হলে ক্রয় ১০০: ১ টাকা বিক্রয়ে ক্রয় 100/(100 ∓ r)
নতুন লাভে ১ টাকার ক্রয়ে বিক্রয় (100 + s)/100
টাকায় সংখ্যা = n(100 − r) ÷ (100 + s)

অঙ্ক ৩.১সহজ

কমলা: ২৫% ক্ষতি থেকে ২৫% লাভ

টাকায় ১৫টি কমলা বিক্রয় করায় ২৫% ক্ষতি হয়। ২৫% লাভ করতে হলে টাকায় কয়টি কমলা বিক্রি করতে হবে?

সমাধান

সূত্রে

হিসাব

$\frac{15 \times 75}{125} = 9$ টি।

যাচাই

১৫টির ক্রয় $\frac{100}{75} = \frac{4}{3}$ টাকা, প্রতিটা $\frac{4}{45}$ । ৯টির ক্রয় $\frac{4}{5}$ টাকা, লাভ ২৫%: $\frac{4}{5} \times 1.25 = 1$ টাকা ✓

অঙ্ক ৩.২মাঝারি

আইসক্রিম কাঠি

টাকায় ১০টি আইসক্রিমের কাঠি বিক্রয় করলে ২০% ক্ষতি হয়। ৬০% লাভ করতে হলে টাকায় কয়টি বিক্রয় করতে হবে?

সমাধান

সূত্রে

হিসাব

$\frac{10 \times 80}{160} = 5$ টি।

যাচাই

১০টির ক্রয় $\frac{100}{80} = 1.25$ টাকা। ৫টির ক্রয় $0.625$ , ৬০% লাভে $0.625 \times 1.6 = 1$ টাকা ✓

অঙ্ক ৩.৩কঠিন

টাকায় ৮টি: ২০% ক্ষতি থেকে ৬০% লাভ

টাকায় ৮টি বিক্রয় করলে ২০% ক্ষতি হয়। ৬০% লাভ করতে টাকায় কয়টি বিক্রয় করতে হবে?

সমাধান

সূত্রে

হিসাব

$\frac{8 \times 80}{160} = 4$ টি।

যাচাই

৮টির ক্রয় 1.25 টাকা, ৪টির 0.625, ৬০% লাভে ১ টাকা ✓

অঙ্ক ৩.৪কঠিন

সূত্রের প্রমাণ

প্রমাণ করো: টাকায় $n$ টি বিক্রয়ে $r\%$ ক্ষতি হলে $s\%$ লাভ করতে টাকায় $\dfrac{n(100 - r)}{100 + s}$ টি বিক্রয় করতে হবে।

সমাধান

প্রমাণ

n টির ক্রয়

$n$ টির বিক্রয় ১ টাকা, ক্রয় $\frac{100}{100 - r}$ । লাভ $s\%$ হলে ওই $n$ টির বিক্রয় $\frac{100}{100 - r} \times \frac{100 + s}{100} = \frac{100 + s}{100 - r}$ টাকা।

এক টাকায়

$\frac{100 + s}{100 - r}$ টাকায় $n$ টি, তাই ১ টাকায় $\frac{n(100 - r)}{100 + s}$ টি ∎

যাচাই

$n = 15$ , $r = s = 25$ : $\frac{15 \times 75}{125} = 9$ ✓

বাস্তব শর্তে উত্তর মেলাও

নিচের অঙ্কগুলো নিজে করো। আটকে গেলে ইঙ্গিত দেখো, তারপর উত্তর মিলিয়ে নাও।

ভুল ধরো

তিনটা দেখতে-ঠিক কিন্তু ভুল সমাধান

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

ক: চাঁদার অঙ্কে $x^2 - 5x - 150 = 0$ থেকে $x = 15$ বা $x = -10$ , তাই সদস্য ১৫ বা −10 জন।

খ: নলের অঙ্কে দুটো নলের হার যোগ করা: নিট $= x + 6$ ।

গ: টাকায় ১৫টি, ২৫% ক্ষতিতে লাভ ২৫% করতে টাকায় $15 \times 125 \div 75 = 25$ টি।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ক: সদস্য সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না। শুধু ১৫। উত্তরে বাদ দেওয়ার কারণ লেখো।

খ: একটা ভরে, একটা বের করে। নিট $= x - 6$ , বিয়োগ।

গ: লাভ বাড়াতে চাইলে বিক্রয়মূল্য বাড়বে, তাই টাকায় কম সংখ্যা: $15 \times 75 \div 125 = 9$ । ২৫টি হলে বিক্রয়মূল্য কমে যেত।

ধরার উপায়: উত্তর যুক্তিসঙ্গত কি না ভাবো: বেশি লাভ চাইলে টাকায় কম জিনিস।

x² − 4x − 60 = 0 এর ধনাত্মক মূল?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (ক) ১০। গুণফল −60, যোগফল −4: −10 আর ৬। তাই (x − 10)(x + 6) = 0, ধনাত্মক মূল ১০।

একটা নল ভরে প্রতি মিনিটে ১০ লি, আরেকটা বের করে ৪ লি। দুটো খোলা থাকলে প্রতি মিনিটে নিট?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) ৬। 10 − 4 = 6 লি/মিনিট।

বেশি লাভ চাইলে টাকায় বিক্রয় করা জিনিসের সংখ্যা কী হবে?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) কমবে। বিক্রয়মূল্য বাড়ে, তাই এক টাকায় কম জিনিস।

প্রশ্ন ১. একটা ক্লাব ২০০০ টাকা সমান চাঁদা তুলে উপহার কিনবে। ৫ জন কম দেওয়ায় মাথাপিছু ২০ টাকা বেড়ে গেল। সদস্য কতজন ছিল?

ইঙ্গিত দেখো

$x^2 - 5x - \frac{5 \times 2000}{20} = 0$ ।

উত্তর দেখো

$x^2 - 5x - 500 = (x - 25)(x + 20) = 0$ । ২৫ জন।

প্রশ্ন ২. টাকায় ১২টি বিক্রয়ে ২০% ক্ষতি হয়। ২০% লাভে টাকায় কয়টি বিক্রয় করতে হবে?

ইঙ্গিত দেখো

$\frac{12 \times 80}{120}$ ।

উত্তর দেখো

৮টি।

মনে রাখো

চাঁদা: মোট একই; $(x - m)\left(\frac{T}{x} + p\right) = T$ থেকে দ্বিঘাত, ধনাত্মক মূল।
নল: ভরা যোগ, খালি বিয়োগ; ধারণক্ষমতা একই।
টাকায় কয়টি: $\frac{n(100 - r)}{100 + s}$ ; বেশি লাভে কম সংখ্যা।
সবসময়: উত্তর গল্পে বসিয়ে মেলাও।