সূচক ও সূচকের নিয়ম

২ কে ১০ বার গুণ করতে গিয়ে হাত ব্যথা হয় কেন, আর কীভাবে এড়াব?

গুণ করলাম, ঘাত যোগ হলো

$2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$ লিখতে অনেক জায়গা লাগে। তাই লিখি $2^{10}$ । এখানে ২ হলো ভিত্তি (base), আর ১০ হলো সূচক বা ঘাত (index/power): ২ কে কতবার গুণ হচ্ছে।

এবার একটা মজার প্রশ্ন: $2^3 \times 2^2$ কত? $8 \times 4 = 32$ , আর $32 = 2^5$ । লক্ষ করো, $3 + 2 = 5$ । গুণ করলাম, কিন্তু সূচক যোগ হলো! এটা কাকতালীয় নয়। আজ আমরা প্রমাণ করব এটা কেন হয়, আর ভাগ, ঘাতের ঘাত, এমনকি শূন্য ও ঋণাত্মক ঘাতেরও নিয়ম বের করব।

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

সূচকের নিয়ম গোনা থেকে প্রমাণ

নিয়ম ১: গুণে ঘাত যোগ

গুণের নিয়ম। $a^m$ মানে $a$ কে $m$ বার গুণ। $a^n$ মানে $n$ বার।

$a^m \times a^n = \underbrace{(a \times \dots \times a)}_{m \text{ বার}} \times \underbrace{(a \times \dots \times a)}_{n \text{ বার}} = a^{m + n}$

মোট $m + n$ বার $a$ গুণ হয়েছে। ∎

নিয়ম ২: ভাগে ঘাত বিয়োগ

ভাগের নিয়ম ( $m > n$ হলে)। $\dfrac{a^m}{a^n} = \dfrac{a \times a \times \dots \times a}{a \times \dots \times a}$ । নিচের $n$ টা $a$ , ওপরের $n$ টা $a$ কে কেটে দেয়। বাকি থাকে $m - n$ টা $a$ :

$a^m \div a^n = a^{m - n}$

নিয়ম ৩: ঘাতের ঘাতে গুণ

ঘাতের ঘাত। $(a^m)^n$ মানে $a^m$ কে $n$ বার গুণ: $a^m \times a^m \times \dots$ ( $n$ বার)। নিয়ম ১ বারবার খাটালে ঘাত $m$ করে $n$ বার যোগ হয়, অর্থাৎ $m \times n$ :

$(a^m)^n = a^{mn}$

নিয়ম ৪, ৫: শূন্য ও ঋণাত্মক ঘাত নিজে নিজেই বেরিয়ে আসে

শূন্য ঘাত। ভাগের নিয়মে $\dfrac{a^m}{a^m} = a^{m - m} = a^0$ । আবার যেকোনো সংখ্যাকে নিজেই ভাগ করলে ১ হয়, তাই $\dfrac{a^m}{a^m} = 1$ । দুটো মিলিয়ে: $a^0 = 1$ ( $a \ne 0$ )।

ঋণাত্মক ঘাত। $a^{-n} = a^{0 - n} = \dfrac{a^0}{a^n} = \dfrac{1}{a^n}$ । ঋণাত্মক ঘাত মানে উল্টে ফেলা।

নিজে দেখে বুঝো

নিয়ম বাছো, a, m, n বদলাও। বোর্ড দুই পাশ আলাদা করে হিসাব করে মেলায়। ধনাত্মক ঘাতে গুণ করে লেখাটাও দেখতে পাবে।

তিন নিয়মের বোতাম (গুণ, ভাগ, ঘাতের ঘাত) আর a, m, n এর স্লাইডার। নিচে দুই পাশের মান আলাদা করে হিসাব, আর সমান কি না।

মূল কথা

সূচকের নিয়ম একই ভিত্তি হলে খাটে: গুণে সূচক যোগ, ভাগে বিয়োগ, ঘাতের ঘাতে গুণ। ভিত্তি আলাদা হলে আগে একই ভিত্তিতে আনো।

সূচকের অঙ্ক হাতে পেলে কোথা থেকে শুরু: দুটো অঙ্ক একসাথে

প্রথমে দেখো সব ভিত্তি এক কি না। এক হলে নিয়ম, না হলে ভিত্তি এক করো।

একসাথে করি ১

4³ × 2⁻⁴ এর মান

$4^3 \times 2^{-4}$ এর মান বের করো।

পড়ি
দুটো ভিত্তি আলাদা: ৪ আর ২।
আঁকি
$4 = 2^2$ । তাই $4^3 = (2^2)^3$ ।
ভাবি
ঘাতের ঘাতে গুণ: $(2^2)^3 = 2^6$ । এখন দুটোই ভিত্তি ২।
করি
$2^6 \times 2^{-4} = 2^{6 - 4} = 2^2 = 4$ ।
মেলাই
সরাসরি: $4^3 = 64$ , $2^{-4} = \frac{1}{16}$ , $64 \times \frac{1}{16} = 4$ ✓।

একসাথে করি ২

সূচকীয় সমীকরণ 3^(x+1) = 81

$3^{x + 1} = 81$ হলে $x$ কত?

পড়ি
অজানা সূচকে আছে।
আঁকি
$81 = 3^4$ , কারণ $3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$ ।
ভাবি
দুই পাশের ভিত্তি এক হলে সূচক সমান: $a^p = a^q$ হলে $p = q$ ।
করি
$3^{x + 1} = 3^4$ , তাই $x + 1 = 4$ , $x = 3$ ।
মেলাই
$3^{3 + 1} = 3^4 = 81$ ✓।

সূচকের চার ধরনের অঙ্ক, প্রতিটায় চারটা করে

চার ধরন: সরল করা, ঋণাত্মক-শূন্য ঘাত, ভিত্তি এক করে মান, আর সূচকীয় সমীকরণ।

ধরন ১

নিয়ম খাটিয়ে সরল করা

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে 'সরল করো' বা 'মান নির্ণয় করো' আর একই ভিত্তির সূচকের গুণ-ভাগ-ঘাতের ঘাত।

সমাধানের ধাপ

একই ভিত্তি আলাদা করো
গুণে ঘাত যোগ, ভাগে বিয়োগ, ঘাতের ঘাতে গুণ
সংখ্যা ও অক্ষর আলাদা করে হিসাব
ছোট মান বসিয়ে মেলাও

অঙ্ক ১.১সহজ

2⁵ × 2³

$2^5 \times 2^3$ কে সরল করে মান বের করো।

সমাধান

নিয়মে

হিসাব

$2^{5 + 3} = 2^8 = 256$ ।

যাচাই

$32 \times 8 = 256$ ✓

অঙ্ক ১.২সহজ

3⁷ ÷ 3⁴

$3^7 \div 3^4$ এর মান কত?

সমাধান

নিয়মে

হিসাব

$3^{7 - 4} = 3^3 = 27$ ।

যাচাই

$2187 \div 81 = 27$ ✓

অঙ্ক ১.৩মাঝারি

(5²)³ ÷ 5⁴

$(5^2)^3 \div 5^4$ এর মান বের করো।

সমাধান

ধাপে ধাপে

ঘাতের ঘাত

$5^6$ ।

ভাগ

$5^6 \div 5^4 = 5^2 = 25$ ।

যাচাই

$15625 \div 625 = 25$ ✓

অঙ্ক ১.৪কঠিন

(x³y²)² × x⁻¹y³

$(x^3y^2)^2 \times x^{-1}y^3$ কে সরল করো।

সমাধান

অক্ষর আলাদা করে

প্রথম অংশ

$(x^3y^2)^2 = x^{6}y^{4}$ ।

গুণ

$x^{6 + (-1)} \cdot y^{4 + 3} = x^5y^7$ ।

যাচাই

$x = 2$ , $y = 1$ : বাম $(8)^2 \times \frac{1}{2} = 32$ , ডান $2^5 = 32$ ✓

ধরন ২

শূন্য ও ঋণাত্মক ঘাত

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে ঘাত ঋণাত্মক বা ০, অথবা ভগ্নাংশের ঘাত ঋণাত্মক।

সমাধানের ধাপ

ঋণাত্মক ঘাত মানে উল্টো: a⁻ⁿ = 1/aⁿ
শূন্য ঘাতে ১ (ভিত্তি ০ নয়)
ভগ্নাংশের ঋণাত্মক ঘাতে ভগ্নাংশ উল্টে যায়
ধনাত্মক ঘাতে এনে মান বের করো

অঙ্ক ২.১সহজ

2⁻³

$2^{-3}$ এর মান কত?

সমাধান

নিয়মে

হিসাব

$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$ ।

যাচাই

$2^{-3} \times 2^3 = 2^0 = 1$ ✓

অঙ্ক ২.২মাঝারি

(3/2)⁻²

$\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-2}$ এর মান কত?

সমাধান

উল্টে

উল্টাই

$\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$ ।

যাচাই

$\frac{9}{4} \times \frac{4}{9} = 1$ ✓, অর্থাৎ $\left(\frac{3}{2}\right)^2 \times \left(\frac{3}{2}\right)^{-2} = 1$

অঙ্ক ২.৩মাঝারি

7⁰ + 2⁻²

$7^0 + 2^{-2}$ এর মান কত?

সমাধান

আলাদা করে

প্রতিটা

$7^0 = 1$ , $2^{-2} = \frac{1}{4}$ ।

যোগ

$1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ ।

অঙ্ক ২.৪কঠিন

(x⁻²y³)⁻¹ সরল

$(x^{-2}y^3)^{-1}$ কে ধনাত্মক ঘাতে লিখে সরল করো।

সমাধান

ঘাতের ঘাতে

গুণ

$x^2 y^{-3}$ ।

ধনাত্মক ঘাতে

$\frac{x^2}{y^3}$ ।

যাচাই

$x = 2$ , $y = 2$ : বাম $(\frac{1}{4} \cdot 8)^{-1} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$ , ডান $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ ✓

ধরন ৩

ভিত্তি এক করে মান বের করা

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে আলাদা ভিত্তির সূচক (4, 8, 9, 27) কিন্তু সবাই ২ বা ৩ এর ঘাত।

সমাধানের ধাপ

প্রতিটা ভিত্তিকে ছোট কোনো সংখ্যার ঘাত হিসেবে লেখো (4 = 2², 8 = 2³, 9 = 3²)
ঘাতের ঘাতে গুণ করে সূচক বের করো
এখন নিয়ম খাটাও
আসল সংখ্যায় ফিরে মেলাও

অঙ্ক ৩.১সহজ

4³ × 2⁻⁴

$4^3 \times 2^{-4}$ এর মান কত?

সমাধান

ভিত্তি এক করে

রূপান্তর

$2^6 \times 2^{-4} = 2^2 = 4$ ।

যাচাই

$64 \times \frac{1}{16} = 4$ ✓

অঙ্ক ৩.২মাঝারি

8² ÷ 4³

$8^2 \div 4^3$ এর মান বের করো।

সমাধান

ভিত্তি এক করে

রূপান্তর

$2^6 \div 2^6 = 2^0 = 1$ ।

যাচাই

$64 \div 64 = 1$ ✓

অঙ্ক ৩.৩মাঝারি

9³ × 3⁻⁴

$9^3 \times 3^{-4}$ এর মান কত?

সমাধান

ভিত্তি এক করে

রূপান্তর

$3^{6 - 4} = 3^2 = 9$ ।

যাচাই

$729 \div 81 = 9$ ✓

অঙ্ক ৩.৪কঠিন

(2ⁿ⁺² + 2ⁿ) ÷ (5 · 2ⁿ)

$\dfrac{2^{n+2} + 2^n}{5 \cdot 2^n}$ কে সরল করো।

সমাধান

উৎপাদক নিয়ে

ওপর

$2^n(4 + 1) = 5 \cdot 2^n$ ।

সরল

$\frac{5 \cdot 2^n}{5 \cdot 2^n} = 1$ ।

যাচাই

$n = 1$ : $\frac{8 + 2}{10} = 1$ ✓; $n = 3$ : $\frac{32 + 8}{40} = 1$ ✓

ধরন ৪

সূচকীয় সমীকরণ

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

অজানা $x$ সূচকে আছে, দুই পাশে ভিত্তি এক করা যায়।

সমাধানের ধাপ

দুই পাশকে একই ভিত্তির ঘাতে লেখো
সূচক সমান করে সাধারণ সমীকরণ বানাও
সমাধান করো
মূল সমীকরণে বসিয়ে মেলাও

অঙ্ক ৪.১সহজ

2ˣ = 32

$2^x = 32$ হলে $x$ কত?

সমাধান

ভিত্তি এক করে

রূপ

$2^x = 2^5$ , তাই $x = 5$ ।

যাচাই

$2^5 = 32$ ✓

অঙ্ক ৪.২মাঝারি

3ˣ⁺¹ = 81

$3^{x+1} = 81$ হলে $x$ কত?

সমাধান

ভিত্তি এক করে

রূপ

$x + 1 = 4$ , $x = 3$ ।

যাচাই

$3^4 = 81$ ✓

অঙ্ক ৪.৩কঠিন

4ˣ = 2ˣ⁺³

$4^x = 2^{x+3}$ হলে $x$ কত?

সমাধান

ভিত্তি এক করে

রূপ

$2^{2x} = 2^{x + 3}$ , $2x = x + 3$ , $x = 3$ ।

যাচাই

$4^3 = 64$ , $2^6 = 64$ ✓

অঙ্ক ৪.৪কঠিন

5²ˣ⁻¹ = 1/25

$5^{2x - 1} = \dfrac{1}{25}$ হলে $x$ কত?

সমাধান

ভিত্তি এক করে

রূপ

$2x - 1 = -2$ , $2x = -1$ , $x = -\frac{1}{2}$ ।

যাচাই

$5^{2(-1/2) - 1} = 5^{-2} = \frac{1}{25}$ ✓

সূচকে সাধারণ ভুল চেনো, নিজে অঙ্ক করো

নিচের অঙ্কগুলো নিজে করো। আটকে গেলে ইঙ্গিত দেখো, তারপর উত্তর মিলিয়ে নাও।

ভুল ধরো

তিনটা দেখতে-ঠিক কিন্তু ভুল সমাধান

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

ক: $2^3 \times 2^2 = 2^6$ ।

খ: $2^3 \times 3^3 = 6^6$ ।

গ: $2^{-3} = -8$ ।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ক: গুণে ঘাত যোগ হয়: $2^{3 + 2} = 2^5 = 32$ , আর $2^6 = 64$ ।

খ: ভিত্তি আলাদা হলে ঘাত যোগ নয়: $2^3 \times 3^3 = (2 \times 3)^3 = 6^3 = 216$ । $6^6$ অনেক বড়।

গ: ঋণাত্মক ঘাত মানে উল্টো, ঋণ সংখ্যা নয়: $2^{-3} = \frac{1}{8}$ ।

ধরার উপায়: ছোট ঘাত নিয়ে গুণ করে গুনে দেখো।

a⁵ × a⁻² = ?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (ক) a³। 5 + (−2) = 3, তাই a³।

(2³)² = ?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) 2⁶। 3 × 2 = 6, তাই 2⁶ = 64।

10⁻² = ?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) 1/100। 10⁻² = 1/10² = 1/100।

প্রশ্ন ১. সরল করো: (ক) $\dfrac{3^5 \times 3^{-2}}{3^2}$ (খ) $(a^2b^{-1})^3 \times ab^4$

ইঙ্গিত দেখো

আগে প্রতি ভিত্তির ঘাত আলাদা করে যোগ-বিয়োগ করো।

উত্তর দেখো

(ক) $3^{5 - 2 - 2} = 3^1 = 3$ । (খ) $a^6 b^{-3} \cdot a b^4 = a^7 b$ ।

প্রশ্ন ২. $x$ এর মান বের করো: (ক) $2^{x} = \dfrac{1}{16}$ (খ) $9^x = 27$

ইঙ্গিত দেখো

(ক) $\frac{1}{16} = 2^{-4}$ । (খ) $9 = 3^2$ , $27 = 3^3$ ।

উত্তর দেখো

(ক) $x = -4$ । (খ) $3^{2x} = 3^3$ , $x = \frac{3}{2}$ ।

মনে রাখো

নিয়ম: $a^m a^n = a^{m+n}$ , $a^m \div a^n = a^{m-n}$ , $(a^m)^n = a^{mn}$ ।
বিশেষ: $a^0 = 1$ , $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ ।
কৌশল: ভিত্তি আলাদা হলে আগে একই ভিত্তিতে আনো।
সমীকরণ: ভিত্তি এক হলে সূচক সমান।