সূচক ও লগারিদম

দ্রুত দেখে নাও — অঙ্ক করার সময় খোলা রাখতে পারো।

• গুণে ঘাত যোগ

  $$a^m\times a^n=a^{m+n}$$

  একই ভিত্তি গুণ করলে ঘাত যোগ হয়।

• ভাগে ঘাত বিয়োগ

  $$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$

  একই ভিত্তি ভাগ করলে ঘাত বিয়োগ হয়। a শূন্য নয়।

• ঘাতের ঘাত

  $$(a^m)^n=a^{mn}$$

  ঘাতের ঘাত গুণ হয়, যোগ নয়।

• শূন্য ও ঋণাত্মক ঘাত

  $$a^0=1\ (a\neq 0)$$$$a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$$

  শূন্য ঘাত ১। ঋণাত্মক ঘাত উল্টে হরে নামে।

• ভগ্নাংশ সূচক

  $$a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$$

  হর যত, মূল তত। a ধনাত্মক হলে এই রূপ নিরাপদ।

• লগের সংজ্ঞা

  $$b^y=x\iff\log_b x=y$$

  কোন ঘাতে ভিত্তি দিলে এই সংখ্যা পাই, সেই ঘাতই লগ।

• লগের সূত্র

  $$\log_b(xy)=\log_b x+\log_b y$$$$\log_b\dfrac{x}{y}=\log_b x-\log_b y$$$$\log_b x^n=n\log_b x$$

  গুণ হয় যোগ, ভাগ হয় বিয়োগ, ঘাত সামনে নেমে আসে।

• পূর্ণক ও অংশক

  $$\log_{10} N=n+\log_{10} a$$$$N=a\times 10^n$$

  ১ ≤ a < ১০। n পূর্ণক, আর log a অংশক।

• লগ ১ ও ভিত্তি

  $$\log_b 1=0$$$$\log_b b=1$$

  b ধনাত্মক এবং ১ নয়।

• ভিত্তি বদল

  $$\log_a x=\dfrac{\log_b x}{\log_b a}$$

  লগের ভাগ। ভাগফলের লগ নয়।

• উল্টো লগ

  $$\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}$$

  দুই ভিত্তি বদলালে লগ উল্টে যায়।

• ভিত্তির ঘাত

  $$\log_b(b^n)=n$$

  যে ঘাত ভিত্তির ওপর, লগ সেই ঘাত।

প্রতিটি অঙ্কে তিন লাইন: প্রশ্ন, তারপর শর্টকাটটা প্রশ্নের ঠিক কোন জায়গায় লাগছে, তারপর উত্তর।

1. ১

   ভিত্তি এক না হলে যোগ নয়

   একই ভিত্তি না হলে ঘাত যোগ করা যায় না। আগে ভিত্তি মিলাও, যেমন ৪ = ২²।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      $2^3\times 2^2$ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে দুটো ঘাতের ভিত্তি $2$। শর্টকাট: ভিত্তি একই। ঘাত যোগ $3+2=5$। $$2^5=32$$।

      উত্তর

      $32$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      $2^3\times 4^2$ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভিত্তি $2$ আর $4$ আলাদা। শর্টকাট: আগে $$4=2^2$$। $$4^2=2^4$$। তারপর $$2^3\times 2^4=2^7=128$$।

      উত্তর

      $128$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      $3^2\times 3^0$ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে দুটো ঘাতের ভিত্তি $3$। শর্টকাট: ভিত্তি একই। ঘাত $2+0=2$। $$3^2=9$$।

      উত্তর

      $9$

2. ২

   লগ ১ আর লগ ভিত্তি

   যেকোনো ভিত্তিতে log ১ = ০। ভিত্তির নিজের লগ ১। অপশনে এটা সরাসরি কাটে।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      $\log_5 1$ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে আর্গুমেন্ট $1$, ভিত্তি $5$। শর্টকাট: যেকোনো ভিত্তিতে $$\log 1=0$$।

      উত্তর

      $0$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      $\log_7 7$ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভিত্তি আর আর্গুমেন্ট দুটোই $7$। শর্টকাট: ভিত্তির নিজের লগ ১।

      উত্তর

      $1$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      $\log_2 1+\log_3 3$ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে প্রথমটা $\log_2 1$, দ্বিতীয়টা $\log_3 3$। শর্টকাট: প্রথমটা ০, দ্বিতীয়টা ১। যোগ $0+1$।

      উত্তর

      $1$

3. ৩

   ভিত্তি বদল

   নতুন লগ = পুরোনো লগ ÷ নতুন ভিত্তির লগ। log_a b আর log_b a পরস্পরের বিপরীত।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      $\log_4 16$ কত? ভিত্তি ২ এ আনো।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভিত্তি $4$, আর্গুমেন্ট $16$, ভিত্তি ২ এ আনতে বলা। শর্টকাট: $$\log_2 16=4$$, $$\log_2 4=2$$। নতুন লগ $$4\div 2=2$$।

      উত্তর

      $2$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      $\log_2 8\times\log_8 2$ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে $\log_2 8$ আর তার উল্টো $\log_8 2$। শর্টকাট: $$\log_2 8=3$$। উল্টো লগ $$\log_8 2=\dfrac{1}{3}$$। গুণ $1$।

      উত্তর

      $1$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      $\log_9 3$ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভিত্তি $9$, আর্গুমেন্ট $3$। শর্টকাট: $$\log_3 3=1$$, $$\log_3 9=2$$। ভাগ $1\div 2$।

      উত্তর

      $\dfrac{1}{2}$

4. ৪

   ঋণাত্মক ঘাত উল্টো

   ঘাত মাইনাস দেখলে সরাসরি হরে নামাও। গুণ ভাগে বদলে যায়।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      $2^{-3}$ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ঘাত $-3$। শর্টকাট: মাইনাস ঘাত হরে। $$\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}$$।

      উত্তর

      $\dfrac{1}{8}$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      $\dfrac{1}{5^{-2}}$ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে হরে ঘাত $-2$। শর্টকাট: হরের ঋণাত্মক ঘাত উল্টে লবে। $$5^2=25$$।

      উত্তর

      $25$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      $3^{-1}\times 27$ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ঘাত $-1$। শর্টকাট: $$3^{-1}=\dfrac{1}{3}$$। গুণ $$\dfrac{1}{3}\times 27=9$$।

      উত্তর

      $9$

5. ৫

   দশমিক সরিয়ে পূর্ণক

   বিন্দু সরিয়ে ১ থেকে ১০ এর মধ্যে আনো। যত ঘর সরালে, পূর্ণক তত। বাঁয়ে সরালে পূর্ণক ঋণ।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      $500$ এর $\log_{10}$ এর পূর্ণক কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে $500$। শর্টকাট: বিন্দু সরিয়ে $5\times 10^2$। দুই ঘর, সংখ্যা ১ এর বড়, পূর্ণক $+2$।

      উত্তর

      $2$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      $0.05$ এর $\log_{10}$ এর পূর্ণক কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে $0.05$, ১ এর চেয়ে ছোট। শর্টকাট: বিন্দু সরিয়ে $5\times 10^{-2}$। দুই ঘর, পূর্ণক ঋণ।

      উত্তর

      $-2$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      $8$ এর $\log_{10}$ এর পূর্ণক কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে $8$, ইতিমধ্যে ১ থেকে ১০। শর্টকাট: ঘর সরানো ০। পূর্ণক $0$।

      উত্তর

      $0$

প্রতিটি অঙ্কে আগে একটা লেখা উত্তর, তারপর যাচাইটা সেই উত্তরের ঠিক কোন জায়গায় লাগছে।

1. ১

   সূচকে ফিরিয়ে

   লগের উত্তরকে আবার ঘাত বানিয়ে মূল সংখ্যা ফিরে আসে কি না দেখো।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $$\log_2 8=3$$। সূচকে ফিরিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা ঘাত $3$। সূচকে $$2^3=8$$। ফিরে এল। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, $3$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $$\log_3 9=3$$। সূচকে ফিরিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা ঘাত $3$। $$3^3=27$$, ৯ নয়। $$3^2=9$$। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, $2$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $$\log_5 25=2$$। সূচকে ফিরিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা ঘাত $2$। $$5^2=25$$। ফিরে এল। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, $2$

2. ২

   ভিত্তি ও আর্গুমেন্ট

   আর্গুমেন্ট ধনাত্মক। ভিত্তি ধনাত্মক এবং ১ নয়। এই শর্ত ভাঙলে লগ লেখা যায় না।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $\log_2 (-4)$। লেখা যায় কি, যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: আর্গুমেন্ট $-4$। আর্গুমেন্ট ঋণাত্মক। শর্ত ভাঙল। তাই লেখা যায় না।

      উত্তর

      যায় না

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $\log_1 5$। লেখা যায় কি, যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: ভিত্তি $1$। ভিত্তি ১। শর্ত ভাঙল। তাই লেখা যায় না।

      উত্তর

      যায় না

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $\log_4 16$। লেখা যায় কি, যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: আর্গুমেন্ট $16$ আর ভিত্তি $4$। আর্গুমেন্ট ধনাত্মক, ভিত্তি ৪ এবং ১ নয়। মান $2$। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, $2$

3. ৩

   শূন্য ঘাত

   যেকোনো অশূন্য সংখ্যার ঘাত ০ হলে মান ১। ০ পেলে ঘাতের হিসাব ভুল।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $$7^0=1$$। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: ঘাত $0$। অশূন্য সংখ্যার ঘাত ০। মান ১। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      $1$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $$5^0=0$$। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা মান $0$। ০ পেলে ঘাতের হিসাব ভুল। আসল ১। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, $1$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $$2^0\times 3^0=1$$। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দুই শূন্য ঘাতের গুণ। $$1\times 1=1$$। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      $1$

4. ৪

   ছোট ঘাতে মেলাও

   ২³ × ২² = ২⁵ = ৩২। সূত্র সন্দেহ হলে ছোট ঘাত দিয়ে দুই পাশ দেখো।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $$2^3\times 2^2=32$$। ছোট ঘাতে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা গুণফল $32$। ঘাত যোগ $$2^5=32$$। ছোট ঘাতে $$8\times 4=32$$। মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      $32$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $$(2^3)^2=2^5$$। ছোট ঘাতে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা ঘাত $5$। $$8^2=64$$, $$2^5=32$$। মেলে না। ঘাত গুণে $2^6$। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, $64$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $$\dfrac{3^5}{3^2}=27$$। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা ভাগফল $27$। ঘাত বিয়োগ $$3^3=27$$। $$243\div 9=27$$। মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      $27$

5. ৫

   পূর্ণকের চিহ্ন

   সংখ্যা ১ এর চেয়ে ছোট হলে পূর্ণক ঋণ। ধনাত্মক পূর্ণক এলে দশমিকের দিক উল্টো হয়েছে।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $0.03$ এর পূর্ণক $+2$। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: পূর্ণকের চিহ্ন $+2$। ১ এর চেয়ে ছোট, পূর্ণক ঋণ। $3\times 10^{-2}$। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, $-2$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $250$ এর পূর্ণক $+2$। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: পূর্ণক $+2$। $2.5\times 10^2$। ১ এর বড়, পূর্ণক ধনাত্মক। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, $2$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $6$ এর পূর্ণক $1$। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা পূর্ণক $1$। $$6=6\times 10^0$$। পূর্ণক ০। ধনাত্মক ১ হলে দিক উল্টো। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, $0$