সূচক ও লগের বাকি ধরন

লম্বা সূচকের গুণফল কেটে ১ হয়ে যায়: কীভাবে বুঝব?

ঘাত যোগ করে ০ পেলেই উত্তর ১

বইয়ের কিছু অঙ্ক দেখতে ভীষণ লম্বা: $(x^{a-b})^{a+b} \cdot (x^{b-c})^{b+c} \cdot (x^{c-a})^{c+a}$ , আর বলা আছে “দেখাও এটা ১”। ভয় লাগে, কিন্তু কৌশল একটাই: সব ঘাত একই ভিত্তির ঘাতে এনে সূচকগুলো যোগ করো, যোগফল ০ হলে ফল $x^0 = 1$ ।

এই পাঠে সেই কৌশল, আর মূলসহ সূচকের সরল, অমূলদ ভিত্তির লগ, আর লগের প্রমাণ ও ভগ্নাংশ সরলের ধরনগুলো বাকি আছে।

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

চারটা কৌশল আর কেন কাজ করে

চার কৌশল পাশাপাশি

১. ঘাতের গুণফল: একই ভিত্তির সূচক যোগ হয়। $(x^{a-b})^{a+b} = x^{(a-b)(a+b)} = x^{a^2 - b^2}$ (ঘাতের ঘাতে গুণ, আর বর্গের অন্তর)। তিনটা পদের সূচক যোগ: $(a^2 - b^2) + (b^2 - c^2) + (c^2 - a^2) = 0$ , তাই ফল $x^0 = 1$ । ∎

২. মূলসহ সূচক: সব মূলকে ভগ্নাংশ ঘাতে লিখো ( $\sqrt[3]{54} = 54^{1/3}$ ), সংখ্যাকে মৌলিক উৎপাদকের ঘাতে ভাঙো ( $54 = 2 \times 3^3$ )।

৩. অমূলদ সংখ্যার লগ: $5\sqrt{5} = 5 \times 5^{1/2} = 5^{3/2}$ , তাই $\log_5 5\sqrt{5} = \frac{3}{2}$ ।

৪. লগ প্রমাণ: এক পাশ থেকে শুরু করে লগের সূত্রে অন্য পাশে যাও: $3\log 2 + \log 5 = \log 2^3 + \log 5 = \log (8 \times 5) = \log 40$ । ∎

এক লাইনে

সব কৌশলের মূল কথা: সব কিছু একই ভিত্তির ঘাতে আনো। তারপর সূচক বা লগের সূত্র নিজে নিজে কাজ করে।

একই ভিত্তি x এর ঘাতগুলো গুণ করলে ঘাত যোগ হয়। প্রতিটা ঘাত বর্গের অন্তর, আর যোগ করলে সব কেটে শূন্য; তাই উত্তর x⁰ = 1। (a = 3, b = 2, c = 1 নিলে ঘাত ৫, ৩, −8; যোগ ০।)

লম্বা অঙ্কে কোথা থেকে শুরু: দুটো অঙ্ক একসাথে

লম্বা অঙ্ক দেখে আঁতকে উঠো না। প্রথম কাজ: প্রতিটা অংশকে সবচেয়ে ছোট ভিত্তির ঘাতে লেখো।

একসাথে করি ১

log₅ (5√5)

$\log_5 5\sqrt{5}$ এর মান কত?

পড়ি
লগের ভেতরে একটা মূলযুক্ত সংখ্যা।
আঁকি
$5\sqrt{5} = 5 \times \sqrt{5} = 5^1 \times 5^{1/2}$ ।
ভাবি
সূচকের গুণ নিয়মে ঘাত যোগ: $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ ।
করি
$\log_5 5^{3/2} = \frac{3}{2} \log_5 5 = \frac{3}{2} \times 1 = \frac{3}{2}$ ।
মেলাই
$5^{3/2} = \sqrt{5^3} = \sqrt{125} \approx 11.18$ আর $5\sqrt{5} \approx 11.18$ ✓।

একসাথে করি ২

(x^(a−b))^(a+b) · ... = 1

$a = 3$ , $b = 2$ , $c = 1$ নিয়ে দেখাও যে $(x^{a-b})^{a+b} \cdot (x^{b-c})^{b+c} \cdot (x^{c-a})^{c+a} = 1$ । তারপর সাধারণভাবে প্রমাণ করো।

পড়ি
তিনটা ঘাতের গুণফল ১ দেখাতে হবে।
আঁকি
সংখ্যা বসিয়ে: $(x^1)^5 \cdot (x^1)^3 \cdot (x^{-2})^4$ ।
ভাবি
ঘাতের ঘাতে গুণ: $x^5 \cdot x^3 \cdot x^{-8}$ । ঘাত যোগ: $5 + 3 - 8 = 0$ ।
করি
সাধারণভাবে সূচক $(a^2 - b^2) + (b^2 - c^2) + (c^2 - a^2) = 0$ , তাই $x^0 = 1$ ∎
মেলাই
$x = 2$ : $2^5 \times 2^3 \times 2^{-8} = 32 \times 8 \div 256 = 1$ ✓।

বইয়ের বাকি চার ধরনের অঙ্ক, প্রতিটায় চারটা করে

চার ধরন: ঘাতের গুণফল ১ প্রমাণ, মূলসহ সূচকের সরল, অমূলদ ভিত্তি বা সংখ্যার লগ, আর লগের প্রমাণ ও ভগ্নাংশ সরল।

ধরন ১

ঘাতের গুণফল ১ প্রমাণ

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে 'দেখাও যে ... = 1' আর অক্ষরের ঘাতে (a − b), (b − c) ইত্যাদির গুণফল।

সমাধানের ধাপ

প্রতিটা ঘাতের ঘাতে গুণ করে একটা ঘাত বানাও
একই ভিত্তির সব ঘাত যোগ করো
যোগফল ০ হয় কি না দেখো
সংখ্যা বসিয়ে মেলাও

অঙ্ক ১.১মাঝারি

(x^(a−b))^(a+b)(x^(b−c))^(b+c)(x^(c−a))^(c+a) = 1

দেখাও যে $\left(x^{a-b}\right)^{a+b} \cdot \left(x^{b-c}\right)^{b+c} \cdot \left(x^{c-a}\right)^{c+a} = 1$ ।

সমাধান

সূচক যোগ করে

যোগ

$x^{(a^2 - b^2) + (b^2 - c^2) + (c^2 - a^2)} = x^0$ ।

উত্তর

$x^0 = 1$ ∎

যাচাই

$x = 2$ , $a = 3$ , $b = 2$ , $c = 1$ : $2^5 \cdot 2^3 \cdot 2^{-8} = 1$ ✓

অঙ্ক ১.২মাঝারি

(xᵖ/x^q)^(p+q) ...

দেখাও যে $\left(\dfrac{x^p}{x^q}\right)^{p+q} \cdot \left(\dfrac{x^q}{x^r}\right)^{q+r} \cdot \left(\dfrac{x^r}{x^p}\right)^{r+p} = 1$ ।

সমাধান

সূচক যোগ করে

যোগ

$p^2 - q^2 + q^2 - r^2 + r^2 - p^2 = 0$ ।

উত্তর

$x^0 = 1$ ∎

যাচাই

$x = 3$ , $p = 3$ , $q = 2$ , $r = 1$ : $3^5 \cdot 3^3 \cdot 3^{-8} = 1$ ✓

অঙ্ক ১.৩কঠিন

x^(a(b−c)) · x^(b(c−a)) · x^(c(a−b))

দেখাও যে $x^{a(b-c)} \cdot x^{b(c-a)} \cdot x^{c(a-b)} = 1$ ।

সমাধান

সূচক যোগ করে

যোগ

$(ab - ac) + (bc - ab) + (ca - bc) = 0$ ।

উত্তর

$x^0 = 1$ ∎

যাচাই

$a = 1$ , $b = 2$ , $c = 3$ : সূচক $-1 + 2 - 1 = 0$ ✓

অঙ্ক ১.৪কঠিন

aˣ = b, bʸ = c, cᶻ = a হলে xyz = 1

$a^x = b$ , $b^y = c$ , $c^z = a$ হলে দেখাও যে $xyz = 1$ ।

সমাধান

বসিয়ে

বসাই

$a = c^z = (a^{xy})^z = a^{xyz}$ ।

সিদ্ধান্ত

$a^1 = a^{xyz}$ , তাই $xyz = 1$ ∎

যাচাই

$a = 2$ , $x = 1$ , $b = 2$ , $y = 1$ , $c = 2$ , $z = 1$ : $xyz = 1$ ✓

ধরন ২

মূলসহ সূচকের সরল

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে $\sqrt[3]{54}$ , $12^{-1/2}$ , $(-3)^3$ এর মতো মিশ্র রাশি, আর সরল বা মান।

সমাধানের ধাপ

প্রতিটা সংখ্যাকে মৌলিক উৎপাদকের ঘাতে লেখো
মূলকে ভগ্নাংশ ঘাত করো
একই ভিত্তির ঘাত যোগ-বিয়োগ করো
দশমিকে আনুমানিক মান মেলাও

অঙ্ক ২.১মাঝারি

8^(2/3) × 16^(−1/4)

$8^{2/3} \times 16^{-1/4}$ এর মান কত?

সমাধান

ভিত্তি এক করে

ঘাত

$2^2 \times 2^{-1} = 2$ ।

যাচাই

$4 \times \frac{1}{2} = 2$ ✓

অঙ্ক ২.২সহজ

(−2)³ × (−1/3)²

$(-2)^3 \times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^2$ এর মান কত?

সমাধান

আলাদা করে

গুণ

$-8 \times \frac{1}{9} = -\frac{8}{9}$ ।

যাচাই

ঋণাত্মক (একটা ঋণ ঘাত বিজোড়) ✓

অঙ্ক ২.৩কঠিন

32^(−1/5) × ∛16

$32^{-1/5} \times \sqrt[3]{16}$ কে সরল করো।

সমাধান

ভিত্তি এক করে

ঘাত যোগ

$2^{-1 + 4/3} = 2^{1/3}$ ।

উত্তর

$\sqrt[3]{2}$ । যাচাই: $\frac{1}{2} \times 2.52 = 1.26 = \sqrt[3]{2}$ ✓

অঙ্ক ২.৪মাঝারি

(−27)^(1/3) × (1/4)^(−1/2)

$(-27)^{1/3} \times \left(\dfrac{1}{4}\right)^{-1/2}$ এর মান কত?

সমাধান

আলাদা করে

গুণ

$-3 \times 2 = -6$ ।

যাচাই

$(-3)^3 = -27$ ✓

ধরন ৩

অমূলদ সংখ্যা ও অজানা ভিত্তির লগ

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

লগের ভেতরে বা ভিত্তিতে মূল (√) আছে, বা ভিত্তি অজানা।

সমাধানের ধাপ

অমূলদ সংখ্যাকে ঘাতে লেখো ( $5\sqrt{5} = 5^{3/2}$ )
লগের সূত্রে ঘাত সামনে আনো
অজানা ভিত্তি হলে সূচকের আকারে লিখে সমীকরণ
সূচকে বসিয়ে মেলাও

অঙ্ক ৩.১মাঝারি

log₅ (5√5)

$5\sqrt{5}$ এর $5$ ভিত্তিক লগ কত?

সমাধান

ঘাতে লিখে

মান

$\frac{3}{2} \log_5 5 = \frac{3}{2}$ ।

যাচাই

$5^{1.5} = 11.18 = 5\sqrt{5}$ ✓

অঙ্ক ৩.২কঠিন

log_a 400 = 4

$400$ এর লগ $4$ হলে লগের ভিত্তি কত?

সমাধান

সূচকে এনে

সমাধান

$a^2 = 20$ , $a = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ ।

যাচাই

$(2\sqrt{5})^4 = 16 \times 25 = 400$ ✓

অঙ্ক ৩.৩কঠিন

log_√3 81

$\log_{\sqrt{3}} 81$ এর মান কত?

সমাধান

সূচকে এনে

সমাধান

$y = 8$ ।

যাচাই

$(\sqrt{3})^8 = 3^4 = 81$ ✓

অঙ্ক ৩.৪মাঝারি

log₂ (4√2)

$\log_2 4\sqrt{2}$ এর মান কত?

সমাধান

ঘাতে লিখে

মান

$\frac{5}{2}$ ।

যাচাই

$2^{2.5} = 5.657 = 4 \times 1.414$ ✓

অঙ্ক ৩.৫কঠিন

log_x 324 = 4

$\log_x 324 = 4$ হলে $x$ এর মান কত?

সমাধান

সূচকে এনে

সমাধান

$x^4 = (3\sqrt{2})^4$ , $x = 3\sqrt{2}$ ।

যাচাই

$(3\sqrt{2})^4 = 81 \times 4 = 324$ ✓

ধরন ৪

লগের প্রমাণ ও ভগ্নাংশ সরল

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে 'প্রমাণ করো যে ... লগ' বা 'সরল করো' আর লগের ভগ্নাংশ।

সমাধানের ধাপ

এক পাশ থেকে শুরু করো
সামনের সংখ্যাকে ঘাত বানাও, যোগে গুণ, বিয়োগে ভাগ
লব ও হরকে আলাদা করে একটা লগে আনো
দশমিকে মেলাও

অঙ্ক ৪.১মাঝারি

প্রমাণ: 3 log 2 + log 5 = log 40

প্রমাণ করো: $3 \log_{10} 2 + \log_{10} 5 = \log_{10} 40$ ।

সমাধান

বামপাশ থেকে

ঘাত

$\log_{10} 8 + \log_{10} 5$ ।

গুণফল

$\log_{10} (8 \times 5) = \log_{10} 40$ ∎

যাচাই

$0.9031 + 0.6990 = 1.6021 = \log_{10} 40$ ✓

অঙ্ক ৪.২মাঝারি

প্রমাণ: 2 log 5 + log 4 = 2

প্রমাণ করো: $2 \log_{10} 5 + \log_{10} 4 = 2$ ।

সমাধান

বামপাশ থেকে

জুড়ি

$\log_{10} 25 + \log_{10} 4 = \log_{10} 100$ ।

মান

$\log_{10} 100 = 2$ ∎

যাচাই

$1.3979 + 0.6021 = 2$ ✓

অঙ্ক ৪.৩সহজ

(log 25 + log 4) ÷ log 100

$\dfrac{\log_{10} 25 + \log_{10} 4}{\log_{10} 100}$ কে সরল করো।

সমাধান

লব-হর আলাদা করে

সরল

$\frac{\log 100}{\log 100} = 1$ ।

যাচাই

$\frac{2}{2} = 1$ ✓

অঙ্ক ৪.৪কঠিন

(log 50 + log 2) ÷ (log 100 − log 10)

$\dfrac{\log_{10} 50 + \log_{10} 2}{\log_{10} 100 - \log_{10} 10}$ কে সরল করো।

সমাধান

লব-হর আলাদা করে

সরল

$\frac{\log 100}{\log 10} = \frac{2}{1} = 2$ ।

যাচাই

$\frac{1.699 + 0.301}{2 - 1} = 2$ ✓

বাকি ধরনগুলোর সাধারণ ভুল চেনো, নিজে অঙ্ক করো

নিচের অঙ্কগুলো নিজে করো। আটকে গেলে ইঙ্গিত দেখো, তারপর উত্তর মিলিয়ে নাও।

ভুল ধরো

তিনটা দেখতে-ঠিক কিন্তু ভুল সমাধান

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

ক: $(x^{a-b})^{a+b} = x^{(a-b)+(a+b)} = x^{2a}$ ।

খ: $\log_5 5\sqrt{5} = \log_5 5 \times \log_5 \sqrt{5}$ ।

গ: $\dfrac{\log 100}{\log 10} = \log \dfrac{100}{10} = \log 10 = 1$ ।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ক: ঘাতের ঘাতে গুণ হয়, যোগ নয়: $x^{(a-b)(a+b)} = x^{a^2 - b^2}$ ।

খ: গুণফলের লগ যোগ: $\log_5 5 + \log_5 \sqrt{5} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ । গুণ নয়।

গ: লগের ভাগ আর ভাগফলের লগ আলাদা। $\frac{\log 100}{\log 10} = \frac{2}{1} = 2$ , আর $\log \frac{100}{10} = 1$ । ভাগফলের লগের সূত্র বিয়োগ, লগের ভাগ নয়।

ধরার উপায়: ছোট সংখ্যা বসিয়ে দুই পাশ মেলাও।

(x²)³ · x⁻⁶ = ?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (ক) x⁰ = 1। x⁶ · x⁻⁶ = x⁰ = 1।

log₂ (2√2) = ?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (ক) 1.5। 2 × 2^½ = 2^(3/2), লগ 1.5।

(log 8 − log 2) ÷ log 4 = ?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (ক) ১। লব = log 4, তাই ১।

প্রশ্ন ১. প্রমাণ করো: $\left(\dfrac{x^m}{x^n}\right)^{m+n} \cdot \left(\dfrac{x^n}{x^l}\right)^{n+l} \cdot \left(\dfrac{x^l}{x^m}\right)^{l+m} = 1$ ।

ইঙ্গিত দেখো

প্রতিটা $x^{m^2 - n^2}$ ইত্যাদি।

উত্তর দেখো

সূচক $(m^2 - n^2) + (n^2 - l^2) + (l^2 - m^2) = 0$ , তাই $x^0 = 1$ ।

প্রশ্ন ২. মান বের করো: (ক) $\log_3 9\sqrt{3}$ (খ) $\log_{\sqrt{2}} 32$ (গ) $\log_x 64 = 3$ এ $x$

ইঙ্গিত দেখো

(ক) $9\sqrt{3} = 3^{5/2}$ ।

উত্তর দেখো

(ক) $\frac{5}{2}$ । (খ) $(2^{1/2})^y = 2^5$ , $y = 10$ । (গ) $x = 4$ ।

মনে রাখো

১ প্রমাণ: সব ঘাত একই ভিত্তিতে, সূচক যোগ করলে ০।
মূল: ভগ্নাংশ ঘাতে, সংখ্যাকে মৌলিক উৎপাদকের ঘাতে।
অমূলদ লগ: $\sqrt{}$ কে ঘাতে লিখে সামনে আনো।
লগ ভগ্নাংশ: লব-হর আলাদা করে একটা লগে এনে সরল।