পাঠ ১গণিত

সমীকরণ, অভেদ আর একঘাত সমীকরণের সমাধান

পাঠের সারাংশ

সমীকরণ মানে একটা দাঁড়িপাল্লা: দুই পাশে একই কাজ করলে সমতা থাকে। ভগ্নাংশ, গুণফল আর চলক হরে থাকা একঘাত সমীকরণের সমাধান।

MCQ ও সৃজনশীল শর্টকাট

প্রতিটি অঙ্কে তিন লাইন: প্রশ্ন, তারপর শর্টকাটটা প্রশ্নের ঠিক কোন জায়গায় লাগছে, তারপর উত্তর।

  1. ভগ্নাংশে লসাগু

    হরগুলোর লসাগু দিয়ে দুই পাশ গুণ করো। ভগ্নাংশ উঠে গেলে সরল সমীকরণ।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      x2+x3=5\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{3}=5 সমাধান করো।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে হর 22 আর 33। শর্টকাট: লসাগু ৬। দুই পাশ ×৬: 3x+2x=303x+2x=30।

      উত্তর

      x=6x=6

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      x4−x6=1\dfrac{x}{4}-\dfrac{x}{6}=1 সমাধান করো।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে হর 44 আর 66। শর্টকাট: লসাগু ১২। ×১২: 3x−2x=123x-2x=12।

      উত্তর

      x=12x=12

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      x+12=3\dfrac{x+1}{2}=3 সমাধান করো।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে হর 22। শর্টকাট: হর ২ দিয়ে গুণ। x+1=6x+1=6।

      উত্তর

      x=5x=5

  2. হর শূন্য নিষেধ

    চলক হরে থাকলে যে মানে হর ০, সেটা আগে লিখে রাখো। পরে সেই মান বাদ।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      2x−1=2\dfrac{2}{x-1}=2। কোন মান বাদ, মূল কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে হর x−1x-1। শর্টকাট: হর ০ যখন x=1x=1, আগে বাদ। বাকি x=2x=2।

      উত্তর

      বাদ 11, মূল 22

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      6x=3\dfrac{6}{x}=3। কোন মান বাদ, মূল কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে হর xx। শর্টকাট: x=0x=0 বাদ। x=2x=2।

      উত্তর

      বাদ 00, মূল 22

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      xx−3=0\dfrac{x}{x-3}=0। x=3x=3 মূল কি?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে x=3x=3। শর্টকাট: x=3x=3 হর শূন্য, বাদ। লব ০ তে মূল x=0x=0।

      উত্তর

      মূল 00

  3. চলক দিয়ে ভাগ নয়

    দুই পাশ y দিয়ে ভাগ করলে y = ০ মূল হারায়। সব পদ এক পাশে এনে সাধারণ উৎপাদক নাও।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      x2=5xx^2=5x সমাধান করো।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে দুই পাশে xx। শর্টকাট: xx দিয়ে ভাগ নয়। x2−5x=0x^2-5x=0, x(x−5)=0x(x-5)=0।

      উত্তর

      00 বা 55

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      y2=3yy^2=3y সমাধান করো।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে দুই পাশে yy। শর্টকাট: y(y−3)=0y(y-3)=0। y=0y=0 থাকে।

      উত্তর

      00 বা 33

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      x2=4xx^2=4x থেকে একজন শুধু x=4x=4 লিখল। মূল কী কী?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে শুধু x=4x=4। শর্টকাট: ভাগ করলে 00 হারায়। x(x−4)=0x(x-4)=0।

      উত্তর

      00 আর 44

  4. গল্পে অপরিবর্তিত জিনিস

    কী একই আছে খুঁজে সমীকরণ বানাও। দাম, দূরত্ব, মোট টাকা, এগুলো প্রায়ই সমান থাকে।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      বেগ ৪ কিমি/ঘণ্টা, সময় ২ ঘণ্টা। দূরত্ব কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে বেগ ৪ আর সময় ২। শর্টকাট: দূরত্ব = বেগ × সময়, এটাই অপরিবর্তিত রাশি। 4×24\times 2।

      উত্তর

      88 কিমি

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      মোট মুদ্রা ১০। ১ টাকার xxটি। ৫০ পয়সার মুদ্রা কতটি?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে মোট সংখ্যা ১০। শর্টকাট: মোট সংখ্যা অপরিবর্তিত। 10−x10-xটি।

      উত্তর

      10−x10-xটি

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      ৫ বছর পর দুজনের বয়সের যোগ ৪০। এখন যোগ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ৫ বছর পর যোগ ৪০। শর্টকাট: যোগে ১০ যোগ হয়েছে। এখন 40−10=3040-10=30।

      উত্তর

      3030

  5. উত্তর বসিয়ে বাদ

    MCQ তে অপশন সমীকরণে বসাও। দুই পাশ সমান না হলে সেই অপশন কাটো।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      2x+1=72x+1=7। অপশন 33 মিলবে কি?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে অপশন 33। শর্টকাট: 2×3+1=72\times 3+1=7। সমান, রাখো।

      উত্তর

      ঠিক, 33

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      x+4=9x+4=9। অপশন 44 মিলবে কি?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে অপশন 44। শর্টকাট: 4+4=84+4=8, ৯ নয়। কাটো।

      উত্তর

      বাদ

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      3x=123x=12। অপশন 44 মিলবে কি?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে অপশন 44। শর্টকাট: 3×4=123\times 4=12। মেলে।

      উত্তর

      ঠিক, 44

উত্তর যাচাইয়ের কৌশল

প্রতিটি অঙ্কে আগে একটা লেখা উত্তর, তারপর যাচাইটা সেই উত্তরের ঠিক কোন জায়গায় লাগছে।

  1. মূলে বসাও

    পাওয়া x মূল সমীকরণের দুই পাশে বসাও। সংখ্যা মিললেই মূল।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, 2x+3=112x+3=11 এর মূল x=4x=4। বসিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা মূল x=4x=4। বাম 8+3=118+3=11। মিলল। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 44

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, x+5=9x+5=9 এর মূল 33। বসিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা মূল 33। বাম 88, ৯ নয়। আসল 44। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, 44

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, x2−5x+6=0x^2-5x+6=0 এর মূল x=2x=2। বসিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা মূল x=2x=2। 4−10+6=04-10+6=0। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 22

  2. হর আবার দেখো

    যে উত্তর হরকে শূন্য করে, সেটা মূল নয়।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, x−1x−2=0\dfrac{x-1}{x-2}=0 এর মূল 22। হর দেখে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা মূল 22 হরকে শূন্য করে কি না। x=2x=2 হর শূন্য। মূল নয়। মূল 11। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, মূল 11

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, 3x=1\dfrac{3}{x}=1 এর মূল 33। হর দেখে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা মূল 33 হরকে শূন্য করে কি না। হর 3≠03\neq 0। 3/3=13/3=1। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 33

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, xx=1\dfrac{x}{x}=1 এ x=0x=0 রাখা যায়। হর দেখে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা x=0x=0। হর শূন্য। মূল নয়। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, 00 বাদ

  3. দ্বিঘাতে দুই মূল

    দুটো মূলই বসাও। একটা মিললেও অন্যটা ভুল থাকতে পারে।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, x2−5x+6=0x^2-5x+6=0 এর মূল 22 আর 33। দুটোই বসিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দুই মূল 22 আর 33। দুটোতেই বাম পাশ 00। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 22 ও 33

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, x2−3x+2=0x^2-3x+2=0 এর মূল 11 আর 33। দুটোই বসিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দ্বিতীয় মূল 33। x=1x=1 এ 00। x=3x=3 এ 2≠02\neq 0। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      দ্বিতীয়টা ভুল, আসল 22

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (x−4)(x+1)=0(x-4)(x+1)=0 এর মূল 44 আর −1-1। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দুই মূল 44 আর −1-1। দুটোই বসালে গুণফল 00। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      44 ও −1-1

  4. গল্পের মাপ

    বয়স, দাম, দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হলে সেই মূল গল্পে বাদ। অঙ্ক মিললেও গল্প না মানলে উত্তর নয়।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল রাস্তার চওড়া 33 বা −2-2 দুটোই রাখা যায়। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: চওড়া −2-2। চওড়া ঋণাত্মক হয় না। −2-2 বাদ, থাকে 33।

      উত্তর

      33

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল বয়স −4-4। গল্পে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: বয়স −4-4। বয়স ঋণাত্মক গল্পে বাদ। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      বাদ

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল কলম 55টি। গল্প মানে কি, যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: সংখ্যা 55। ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। গল্প মানে। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 55

  5. অভেদ নাকি সমীকরণ

    যেকোনো মানে সত্য হলে অভেদ। কয়েকটা মানেই সত্য হলে সমীকরণ।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (x+1)2−(x−1)2=4x(x+1)^2-(x-1)^2=4x অভেদ। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা সমতা সব xx এ সত্য কি। বাম পাশ খুললে 4x4x। সব xx এ সত্য। অভেদ। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      অভেদ

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল x2−5x+6=0x^2-5x+6=0 অভেদ। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: সব মানে সত্য কি। x=0x=0 এ বাম 6≠06\neq 0। সমীকরণ। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, সমীকরণ

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 2(x+3)=2x+62(x+3)=2x+6 অভেদ। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দুই পাশ। দুই পাশ 2x+62x+6, সব xx এ। অভেদ। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      অভেদ

এই পাঠের সূত্রপত্র

অঙ্ক করার সময় এই সূত্রগুলো খোলা রাখো।

  • একঘাত সমীকরণ

    ax+b=0⇒x=−ba (a≠0)ax+b=0\Rightarrow x=-\dfrac{b}{a}\ (a\neq 0)

    অজানা এক পাশে, সংখ্যা অন্য পাশে। দুই পাশে একই কাজ করলে সমতা থাকে।

  • দুই অঙ্কের সংখ্যা

    N=10a+bN=10a+b

    a দশকের অঙ্ক, b এককের অঙ্ক। ab লিখলে সেটা গুণফল হয়ে যায়।

  • শতকরা অংশ

    rx100\dfrac{rx}{100}

    x টাকার r শতাংশ। মুনাফা বা ক্ষতি এই অংশ।

  • গতি

    t=dvt=\dfrac{d}{v}

    সময় = দূরত্ব ÷ বেগ। দূরত্ব = বেগ × সময়।

  • দ্বিঘাত সমীকরণ

    ax2+bx+c=0 (a≠0)ax^2+bx+c=0\ (a\neq 0)

    আগে সব পদ বাম পাশে আনো। ডান পাশ শূন্য না হলে ভাঙা যাবে না।

  • শূন্য গুণফল

    ab=0⇒a=0 অথবা b=0ab=0\Rightarrow a=0\ \text{অথবা}\ b=0

    প্রতিটা উৎপাদক আলাদা করে শূন্য ধরো।

  • মধ্যপদের উৎপাদক

    x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)

    দুই সংখ্যার যোগ মধ্যপদ, গুণ শেষ পদ।

  • উল্টো সংখ্যা

    M=10b+aM=10b+a

    অঙ্ক বদলালে। a দশক, b একক ছিল।

  • গড়

    xˉ=Sn\bar{x}=\dfrac{S}{n}

    S মোট, n সংখ্যা। মোট =nxˉ=n\bar{x}।

  • আয়তের ক্ষেত্রফল

    A=lwA=lw

    গল্পে আয়ত বা রাস্তা এলে দৈর্ঘ্য গুণ প্রস্থ। ঋণাত্মক মাপ বাদ।

দাঁড়িপাল্লার দুই পাশ সমান রাখলে অজানাটা বেরিয়ে আসে

দাঁড়িপাল্লা

একটা দাঁড়িপাল্লার এক পাশে একটা বাক্স (xx কেজি) আর ৩ কেজির বাটখারা, অন্য পাশে ৮ কেজি। পাল্লা সমান। বাক্সের ওজন কত? দুই পাশ থেকে ৩ কেজি সরালেও পাল্লা সমান থাকে: বাক্স =5= 5 কেজি।

এটাই সমীকরণ: x+3=8x + 3 = 8। দুই পাশে একই কাজ করলে সমতা নষ্ট হয় না। এই একটা নিয়ম দিয়েই সব একঘাত সমীকরণ সমাধান হয়, যত জটিল চেহারাই হোক।

আর একটা জিনিস: (x+1)2−(x−1)2=4x(x + 1)^2 - (x - 1)^2 = 4x এর মতো কিছু সমতা যেকোনো xx এ সত্য। এগুলো অভেদ, সমীকরণ নয়।

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

সমীকরণ সমাধানের চার নিয়ম, আর কেন ঠিক

চার নিয়ম

a=ba = b হলে আর cc যেকোনো সংখ্যা হলে:

১. a+c=b+ca + c = b + c (দুই পাশে যোগ) ২. a−c=b−ca - c = b - c (দুই পাশে বিয়োগ) ৩. ac=bcac = bc (দুই পাশে গুণ) ৪. ac=bc\frac{a}{c} = \frac{b}{c}, c≠0c \ne 0 (দুই পাশে ভাগ)।

কারণ: aa আর bb একই সংখ্যা। একই সংখ্যায় একই কাজ করলে ফলও একই। পক্ষান্তর (x+3=8x + 3 = 8 থেকে x=8−3x = 8 - 3) আসলে নিয়ম ২: দুই পাশ থেকে ৩ বিয়োগ।

দুই কৌশল

ভগ্নাংশ থাকলে: হরগুলোর লসাগু দিয়ে দুই পাশ গুণ করো, ভগ্নাংশ উঠে যাবে। চলক হরে থাকলে: আগে লিখে রাখো হর শূন্য করা মান নিষেধ, তারপর আড়গুণন।

নিজে দেখে বুঝো

নিজে বদলে দেখো

চলক x (বা y)। গুণ বোঝাতে পাশাপাশি লেখো: 3x, (x+1)(x−2)। ভাগ /, ঘাত ^, বর্গমূল √। ওপরের বোতামেও চিহ্নগুলো বসানো যায়।

বাম পাশ = 0, ডান পাশ = 0

x = 2 মূল ✓ (দুই পাশ সমান)

যেকোনো সমীকরণ লেখো। একটা মান বসিয়ে দেখো দুই পাশ সমান হয় কি না, বা বোর্ডকে মূল খুঁজে দিতে বলো। নিজের সমাধান এভাবে যাচাই করো।

সমীকরণ লেখার ঘর আর একটা মান বসানোর ঘর। বোর্ড দুই পাশের মান দেখায় আর সমান কি না বলে। মূল খোঁজার বোতাম −60 থেকে 60 এর মধ্যের সব মূল তালিকা করে।

অভেদ চেনার উপায়

সমীকরণ না অভেদ? (x+1)2−(x−1)2=4x(x + 1)^2 - (x - 1)^2 = 4x: বাম পাশ খুললে 4x4x, যেকোনো xx এ সত্য, তাই অভেদ। x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0: শুধু x=2x = 2 আর 33 এ সত্য, তাই সমীকরণ। বোর্ডে দুটো লিখে মূল খুঁজে দেখো।

সমীকরণ দেখে কোথা থেকে শুরু: দুটো অঙ্ক একসাথে

প্রথম প্রশ্ন: ভগ্নাংশ আছে কি? চলক হরে আছে কি? উত্তর অনুযায়ী লসাগু দিয়ে গুণ, বা আড়গুণন।

একসাথে করি ১

x/3 − 1/2 = x/4 + 1/6

x3−12=x4+16\dfrac{x}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{x}{4} + \dfrac{1}{6} সমাধান করো।

  1. পড়ি

    চারটা ভগ্নাংশ, হর ৩, ২, ৪, ৬। চলক হরে নেই।

  2. আঁকি

    হরগুলোর লসাগু ১২। দুই পাশ ১২ দিয়ে গুণ করলে ভগ্নাংশ উঠে যাবে।

  3. ভাবি

    12×x3=4x12 \times \frac{x}{3} = 4x, 12×12=612 \times \frac{1}{2} = 6, 12×x4=3x12 \times \frac{x}{4} = 3x, 12×16=212 \times \frac{1}{6} = 2।

  4. করি

    4x−6=3x+24x - 6 = 3x + 2, তাই 4x−3x=2+64x - 3x = 2 + 6, x=8x = 8।

  5. মেলাই

    বাম: 83−12=136\frac{8}{3} - \frac{1}{2} = \frac{13}{6}। ডান: 2+16=1362 + \frac{1}{6} = \frac{13}{6} ✓। বোর্ডেও মিলিয়ে নাও।

একসাথে করি ২

(x + 3)/(x − 1) = 2

x+3x−1=2\dfrac{x + 3}{x - 1} = 2 সমাধান করো।

  1. পড়ি

    চলক হরে আছে।

  2. আঁকি

    হর শূন্য হলে ভাগ চলে না, তাই x≠1x \ne 1।

  3. ভাবি

    দুই পাশ (x−1)(x - 1) দিয়ে গুণ (আড়গুণন)।

  4. করি

    x+3=2(x−1)=2x−2x + 3 = 2(x - 1) = 2x - 2, তাই x=5x = 5।

  5. মেলাই

    x=5≠1x = 5 \ne 1 ✓। 84=2\frac{8}{4} = 2 ✓।

একঘাত সমীকরণের চার ধরন, প্রতিটায় চারটা করে

চার ধরন: ভগ্নাংশ সহগ, গুণফল খুলে, চলক হরে আড়গুণন, আর দুই পাশে দুটো ভগ্নাংশের যোগ। প্রথম অঙ্কটা বইয়ের উদাহরণের ধরনের।

ধরন ১

ভগ্নাংশ সহগের সমীকরণ

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

সমীকরণের পদগুলো ভগ্নাংশ, কিন্তু চলক শুধু লবে।

সমাধানের ধাপ

  1. হরগুলোর লসাগু বের করো
  2. দুই পাশ লসাগু দিয়ে গুণ করো
  3. চলক এক পাশে, সংখ্যা অন্য পাশে আনো
  4. মূল সমীকরণে বসিয়ে মেলাও
অঙ্ক ১.১সহজ

x/3 − 1/2 = x/4 + 1/6

x3−12=x4+16\dfrac{x}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{x}{4} + \dfrac{1}{6} সমাধান করো।

সমাধান

লসাগু দিয়ে গুণ

গুণ

4x−6=3x+24x - 6 = 3x + 2।

পক্ষান্তর

x=8x = 8।

যাচাই

দুই পাশ 136\frac{13}{6} ✓

অঙ্ক ১.২মাঝারি

(x + 1)/2 + (x − 1)/3 = 4

x+12+x−13=4\dfrac{x + 1}{2} + \dfrac{x - 1}{3} = 4 সমাধান করো।

সমাধান

লসাগু দিয়ে গুণ

গুণ

3x+3+2x−2=243x + 3 + 2x - 2 = 24, 5x+1=245x + 1 = 24।

সমাধান

x=235x = \frac{23}{5}।

যাচাই

28/52+18/53=145+65=4\frac{28/5}{2} + \frac{18/5}{3} = \frac{14}{5} + \frac{6}{5} = 4 ✓

অঙ্ক ১.৩মাঝারি

3x/5 − 2/3 = x/3 + 2/5

3x5−23=x3+25\dfrac{3x}{5} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{x}{3} + \dfrac{2}{5} সমাধান করো।

সমাধান

লসাগু দিয়ে গুণ

গুণ

9x−10=5x+69x - 10 = 5x + 6।

সমাধান

4x=164x = 16, x=4x = 4।

যাচাই

দুই পাশ 2615\frac{26}{15} ✓

অঙ্ক ১.৪কঠিন

(2x − 1)/3 − (x + 2)/4 = (x − 3)/6

2x−13−x+24=x−36\dfrac{2x - 1}{3} - \dfrac{x + 2}{4} = \dfrac{x - 3}{6} সমাধান করো।

সমাধান

লসাগু দিয়ে গুণ

খুলি

8x−4−3x−6=2x−68x - 4 - 3x - 6 = 2x - 6, অর্থাৎ 5x−10=2x−65x - 10 = 2x - 6।

সমাধান

3x=43x = 4, x=43x = \frac{4}{3}।

যাচাই

বোর্ডে বসিয়ে দুই পাশ −518-\frac{5}{18} ✓

ধরন ২

গুণফল খুলে সমাধান

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

দুই পাশে দুটো বন্ধনীর গুণফল; খুললে বর্গ পদ কেটে যায়।

সমাধানের ধাপ

  1. দুই পাশের গুণফল খোলো
  2. দুই পাশের বর্গ পদ কেটে দাও
  3. বাকিটা সাধারণ একঘাত সমীকরণ
  4. মূল সমীকরণে মেলাও
অঙ্ক ২.১সহজ

(y − 2)(y + 3) = (y + 1)(y − 1)

(y−2)(y+3)=(y+1)(y−1)(y - 2)(y + 3) = (y + 1)(y - 1) সমাধান করো।

সমাধান

খুলে

খুলি

y2+y−6=y2−1y^2 + y - 6 = y^2 - 1।

কাটি

y−6=−1y - 6 = -1, y=5y = 5।

যাচাই

3×8=24=6×43 \times 8 = 24 = 6 \times 4 ✓

অঙ্ক ২.২মাঝারি

(x + 1)(x + 4) = (x + 2)(x + 1)

(x+1)(x+4)=(x+2)(x+1)(x + 1)(x + 4) = (x + 2)(x + 1) সমাধান করো।

সমাধান

খুলে

কাটি

5x+4=3x+25x + 4 = 3x + 2, 2x=−22x = -2, x=−1x = -1।

যাচাই

x=−1x = -1: দুই পাশ ০ ✓

অঙ্ক ২.৩মাঝারি

(z + 1)(z − 2) = (z − 4)(z + 2)

(z+1)(z−2)=(z−4)(z+2)(z + 1)(z - 2) = (z - 4)(z + 2) সমাধান করো।

সমাধান

খুলে

কাটি

−z−2=−2z−8-z - 2 = -2z - 8, z=−6z = -6।

যাচাই

(−5)(−8)=40=(−10)(−4)(-5)(-8) = 40 = (-10)(-4) ✓

অঙ্ক ২.৪কঠিন

(2x − 1)(x + 3) = 2(x + 1)(x − 2)

(2x−1)(x+3)=2(x+1)(x−2)(2x - 1)(x + 3) = 2(x + 1)(x - 2) সমাধান করো।

সমাধান

খুলে

কাটি

5x−3=−2x−45x - 3 = -2x - 4, 7x=−17x = -1, x=−17x = -\frac{1}{7}।

যাচাই

বোর্ডে x=−1/7x = -1/7 বসাও, দুই পাশ সমান ✓

ধরন ৩

চলক হরে: আড়গুণন

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

ভগ্নাংশের হরে চলক আছে।

সমাধানের ধাপ

  1. হর শূন্য করে এমন মান নিষেধ, লিখে রাখো
  2. আড়গুণন বা লসাগু দিয়ে গুণ করো
  3. সাধারণ সমীকরণ সমাধান করো
  4. উত্তর নিষিদ্ধ মান কি না দেখো, মূলে মেলাও
অঙ্ক ৩.১সহজ

(x + 3)/(x − 1) = 2

x+3x−1=2\dfrac{x + 3}{x - 1} = 2 সমাধান করো।

সমাধান

আড়গুণন

সমাধান

x+3=2x−2x + 3 = 2x - 2, x=5x = 5।

যাচাই

84=2\frac{8}{4} = 2 ✓

অঙ্ক ৩.২মাঝারি

3/(2x + 1) = 2/(x − 1)

32x+1=2x−1\dfrac{3}{2x + 1} = \dfrac{2}{x - 1} সমাধান করো।

সমাধান

আড়গুণন

খুলি

3x−3=4x+23x - 3 = 4x + 2, x=−5x = -5।

যাচাই

3−9=−13\frac{3}{-9} = -\frac{1}{3}, 2−6=−13\frac{2}{-6} = -\frac{1}{3} ✓

অঙ্ক ৩.৩কঠিন

(2x + 1)/(x + 2) = (2x − 3)/(x − 1)

2x+1x+2=2x−3x−1\dfrac{2x + 1}{x + 2} = \dfrac{2x - 3}{x - 1} সমাধান করো।

সমাধান

আড়গুণন

খুলি

2x2−x−1=2x2+x−62x^2 - x - 1 = 2x^2 + x - 6।

সমাধান

−2x=−5-2x = -5, x=52x = \frac{5}{2}।

যাচাই

64.5=43\frac{6}{4.5} = \frac{4}{3}, 21.5=43\frac{2}{1.5} = \frac{4}{3} ✓

অঙ্ক ৩.৪কঠিন

(4x + 1)/12 − (x − 2)/(3x − 1) = (2x − 1)/6

4x+112−x−23x−1=2x−16\dfrac{4x + 1}{12} - \dfrac{x - 2}{3x - 1} = \dfrac{2x - 1}{6} সমাধান করো।

সমাধান

সাজিয়ে

বাম

4x+1−2(2x−1)12=312=14\frac{4x + 1 - 2(2x - 1)}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}।

আড়গুণন

14=x−23x−1\frac{1}{4} = \frac{x - 2}{3x - 1}, 3x−1=4x−83x - 1 = 4x - 8, x=7x = 7।

যাচাই

বাম 2912−520=136\frac{29}{12} - \frac{5}{20} = \frac{13}{6}, ডান 136\frac{13}{6} ✓

ধরন ৪

দুই পাশে দুটো ভগ্নাংশের যোগ

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রতি পাশে 1x−a+1x−b\frac{1}{x - a} + \frac{1}{x - b} আকারের দুটো ভগ্নাংশ।

সমাধানের ধাপ

  1. প্রতি পাশের দুটো ভগ্নাংশ যোগ করো
  2. দুই পাশের লব একই হলে দেখো হর আলাদা কি না
  3. লব সমান, হর আলাদা হলে লব = 0
  4. নিষিদ্ধ মান বাদ দিয়ে মেলাও
অঙ্ক ৪.১কঠিন

1/(x − 1) + 1/(x − 6) = 1/(x − 2) + 1/(x − 5)

1x−1+1x−6=1x−2+1x−5\dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{1}{x - 6} = \dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{1}{x - 5} সমাধান করো।

সমাধান

লব সমান করে

যোগ

দুই পাশের লব 2x−72x - 7, কিন্তু হর আলাদা।

সিদ্ধান্ত

লব ০ হলেই দুই পাশ সমান: 2x−7=02x - 7 = 0, x=72x = \frac{7}{2}।

যাচাই

বোর্ডে x=3.5x = 3.5: দুই পাশ ০ ✓

অঙ্ক ৪.২মাঝারি

1/(x + 1) + 1/(x + 6) = 1/(x + 2) + 1/(x + 5)

1x+1+1x+6=1x+2+1x+5\dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{1}{x + 6} = \dfrac{1}{x + 2} + \dfrac{1}{x + 5} সমাধান করো।

সমাধান

লব সমান করে

সিদ্ধান্ত

2x+7=02x + 7 = 0, x=−72x = -\frac{7}{2}।

যাচাই

দুই পাশ ০ ✓

অঙ্ক ৪.৩মাঝারি

1/(x − 2) + 1/(x − 8) = 1/(x − 4) + 1/(x − 6)

1x−2+1x−8=1x−4+1x−6\dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{1}{x - 8} = \dfrac{1}{x - 4} + \dfrac{1}{x - 6} সমাধান করো।

সমাধান

লব সমান করে

সিদ্ধান্ত

x=5x = 5।

যাচাই

13−13=0=1−1\frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 0 = 1 - 1 ✓

অঙ্ক ৪.৪কঠিন

1/x + 1/(x − 4) = 1/(x − 1) + 1/(x − 3)

1x+1x−4=1x−1+1x−3\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x - 4} = \dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{1}{x - 3} সমাধান করো।

সমাধান

লব সমান করে

সিদ্ধান্ত

x=2x = 2।

যাচাই

12−12=0=1−1\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 = 1 - 1 ✓

একঘাত সমীকরণে সাধারণ ভুল চেনো, নিজে অঙ্ক করো

নিচের অঙ্কগুলো নিজে করো। আটকে গেলে ইঙ্গিত দেখো, তারপর উত্তর মিলিয়ে নাও।

ভুল ধরো

তিনটা দেখতে-ঠিক কিন্তু ভুল সমাধান

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

ক: x3+2=5\frac{x}{3} + 2 = 5 থেকে x+2=15x + 2 = 15।

খ: x+12−x−13=1\frac{x + 1}{2} - \frac{x - 1}{3} = 1 থেকে ৬ দিয়ে গুণ করে 3x+3−2x−2=63x + 3 - 2x - 2 = 6, তাই x=5x = 5।

গ: xx−2=2x−2\frac{x}{x - 2} = \frac{2}{x - 2} থেকে x=2x = 2।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ক: শুধু x3\frac{x}{3} কে নয়, পুরো দুই পাশকে ৩ দিয়ে গুণ: x+6=15x + 6 = 15, x=9x = 9।

খ: −x−13-\frac{x - 1}{3} কে ৬ দিয়ে গুণ করলে −2(x−1)=−2x+2-2(x - 1) = -2x + 2, −2x−2-2x - 2 নয়। ঠিক: 3x+3−2x+2=63x + 3 - 2x + 2 = 6, x=1x = 1। যাচাই: 22−0=1\frac{2}{2} - 0 = 1 ✓।

গ: x=2x = 2 হরকে শূন্য করে, তাই এটা মূল নয়। এই সমীকরণের কোনো সমাধান নেই।

ধরার উপায়: উত্তর বসিয়ে দেখো, আর হর শূন্য হয় কি না দেখো।

x/2 + x/3 = 10 হলে x = ?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (ক) ১২। 3x + 2x = 60, x = 12।

(x+1)² − (x−1)² = 4x কী?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) অভেদ। বাম পাশ = 4x, সব x এ সত্য, তাই অভেদ।

(x+5)/(x−2) = 3 এ কোন মান নিষিদ্ধ?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) ২। x = 2 হলে হর শূন্য।

প্রশ্ন ১. সমাধান করো: (ক) x2−x5=3\dfrac{x}{2} - \dfrac{x}{5} = 3 (খ) (x+3)(x−2)=(x−1)(x+4)(x + 3)(x - 2) = (x - 1)(x + 4)

ইঙ্গিত দেখো

(ক) লসাগু ১০। (খ) খুলে বর্গ কাটো।

উত্তর দেখো

(ক) 5x−2x=305x - 2x = 30, x=10x = 10। (খ) x2+x−6=x2+3x−4x^2 + x - 6 = x^2 + 3x - 4, x=−1x = -1।

প্রশ্ন ২. সমাধান করো: 1x−1+1x−7=1x−3+1x−5\dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{1}{x - 7} = \dfrac{1}{x - 3} + \dfrac{1}{x - 5}

ইঙ্গিত দেখো

দুই পাশের লব 2x−82x - 8।

উত্তর দেখো

x=4x = 4।

মনে রাখো

  • নিয়ম: দুই পাশে একই কাজ করলে সমতা থাকে।
  • ভগ্নাংশ: লসাগু দিয়ে দুই পাশ গুণ।
  • চলক হরে: নিষিদ্ধ মান আগে লিখে রাখো, শেষে বাদ দাও।
  • অভেদ: সব মানে সত্য; সমীকরণ নির্দিষ্ট মানে।