এক চলকবিশিষ্ট সমীকরণ

দ্রুত দেখে নাও — অঙ্ক করার সময় খোলা রাখতে পারো।

• একঘাত সমীকরণ

  $$ax+b=0\Rightarrow x=-\dfrac{b}{a}\ (a\neq 0)$$

  অজানা এক পাশে, সংখ্যা অন্য পাশে। দুই পাশে একই কাজ করলে সমতা থাকে।

• দুই অঙ্কের সংখ্যা

  $$N=10a+b$$

  a দশকের অঙ্ক, b এককের অঙ্ক। ab লিখলে সেটা গুণফল হয়ে যায়।

• শতকরা অংশ

  $\dfrac{rx}{100}$

  x টাকার r শতাংশ। মুনাফা বা ক্ষতি এই অংশ।

• গতি

  $$t=\dfrac{d}{v}$$

  সময় = দূরত্ব ÷ বেগ। দূরত্ব = বেগ × সময়।

• দ্বিঘাত সমীকরণ

  $$ax^2+bx+c=0\ (a\neq 0)$$

  আগে সব পদ বাম পাশে আনো। ডান পাশ শূন্য না হলে ভাঙা যাবে না।

• শূন্য গুণফল

  $$ab=0\Rightarrow a=0\ \text{অথবা}\ b=0$$

  প্রতিটা উৎপাদক আলাদা করে শূন্য ধরো।

• মধ্যপদের উৎপাদক

  $$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$$

  দুই সংখ্যার যোগ মধ্যপদ, গুণ শেষ পদ।

• উল্টো সংখ্যা

  $$M=10b+a$$

  অঙ্ক বদলালে। a দশক, b একক ছিল।

• গড়

  $$\bar{x}=\dfrac{S}{n}$$

  S মোট, n সংখ্যা। মোট $$=n\bar{x}$$।

• আয়তের ক্ষেত্রফল

  $$A=lw$$

  গল্পে আয়ত বা রাস্তা এলে দৈর্ঘ্য গুণ প্রস্থ। ঋণাত্মক মাপ বাদ।

প্রতিটি অঙ্কে তিন লাইন: প্রশ্ন, তারপর শর্টকাটটা প্রশ্নের ঠিক কোন জায়গায় লাগছে, তারপর উত্তর।

1. ১

   ভগ্নাংশে লসাগু

   হরগুলোর লসাগু দিয়ে দুই পাশ গুণ করো। ভগ্নাংশ উঠে গেলে সরল সমীকরণ।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      $$\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{3}=5$$ সমাধান করো।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে হর $2$ আর $3$। শর্টকাট: লসাগু ৬। দুই পাশ ×৬: $$3x+2x=30$$।

      উত্তর

      $x=6$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      $$\dfrac{x}{4}-\dfrac{x}{6}=1$$ সমাধান করো।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে হর $4$ আর $6$। শর্টকাট: লসাগু ১২। ×১২: $$3x-2x=12$$।

      উত্তর

      $x=12$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      $$\dfrac{x+1}{2}=3$$ সমাধান করো।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে হর $2$। শর্টকাট: হর ২ দিয়ে গুণ। $$x+1=6$$।

      উত্তর

      $x=5$

2. ২

   হর শূন্য নিষেধ

   চলক হরে থাকলে যে মানে হর ০, সেটা আগে লিখে রাখো। পরে সেই মান বাদ।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      $$\dfrac{2}{x-1}=2$$। কোন মান বাদ, মূল কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে হর $x-1$। শর্টকাট: হর ০ যখন $x=1$, আগে বাদ। বাকি $x=2$।

      উত্তর

      বাদ $1$, মূল $2$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      $$\dfrac{6}{x}=3$$। কোন মান বাদ, মূল কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে হর $x$। শর্টকাট: $x=0$ বাদ। $x=2$।

      উত্তর

      বাদ $0$, মূল $2$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      $$\dfrac{x}{x-3}=0$$। $x=3$ মূল কি?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে $x=3$। শর্টকাট: $x=3$ হর শূন্য, বাদ। লব ০ তে মূল $x=0$।

      উত্তর

      মূল $0$

3. ৩

   চলক দিয়ে ভাগ নয়

   দুই পাশ y দিয়ে ভাগ করলে y = ০ মূল হারায়। সব পদ এক পাশে এনে সাধারণ উৎপাদক নাও।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      $$x^2=5x$$ সমাধান করো।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে দুই পাশে $x$। শর্টকাট: $x$ দিয়ে ভাগ নয়। $$x^2-5x=0$$, $$x(x-5)=0$$।

      উত্তর

      $0$ বা $5$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      $$y^2=3y$$ সমাধান করো।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে দুই পাশে $y$। শর্টকাট: $$y(y-3)=0$$। $y=0$ থাকে।

      উত্তর

      $0$ বা $3$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      $$x^2=4x$$ থেকে একজন শুধু $x=4$ লিখল। মূল কী কী?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে শুধু $x=4$। শর্টকাট: ভাগ করলে $0$ হারায়। $$x(x-4)=0$$।

      উত্তর

      $0$ আর $4$

4. ৪

   গল্পে অপরিবর্তিত জিনিস

   কী একই আছে খুঁজে সমীকরণ বানাও। দাম, দূরত্ব, মোট টাকা, এগুলো প্রায়ই সমান থাকে।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      বেগ ৪ কিমি/ঘণ্টা, সময় ২ ঘণ্টা। দূরত্ব কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে বেগ ৪ আর সময় ২। শর্টকাট: দূরত্ব = বেগ × সময়, এটাই অপরিবর্তিত রাশি। $4\times 2$।

      উত্তর

      $8$ কিমি

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      মোট মুদ্রা ১০। ১ টাকার $x$টি। ৫০ পয়সার মুদ্রা কতটি?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে মোট সংখ্যা ১০। শর্টকাট: মোট সংখ্যা অপরিবর্তিত। $10-x$টি।

      উত্তর

      $10-x$টি

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      ৫ বছর পর দুজনের বয়সের যোগ ৪০। এখন যোগ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ৫ বছর পর যোগ ৪০। শর্টকাট: যোগে ১০ যোগ হয়েছে। এখন $40-10=30$।

      উত্তর

      $30$

5. ৫

   উত্তর বসিয়ে বাদ

   MCQ তে অপশন সমীকরণে বসাও। দুই পাশ সমান না হলে সেই অপশন কাটো।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      $$2x+1=7$$। অপশন $3$ মিলবে কি?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে অপশন $3$। শর্টকাট: $$2\times 3+1=7$$। সমান, রাখো।

      উত্তর

      ঠিক, $3$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      $$x+4=9$$। অপশন $4$ মিলবে কি?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে অপশন $4$। শর্টকাট: $4+4=8$, ৯ নয়। কাটো।

      উত্তর

      বাদ

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      $3x=12$। অপশন $4$ মিলবে কি?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে অপশন $4$। শর্টকাট: $$3\times 4=12$$। মেলে।

      উত্তর

      ঠিক, $4$

প্রতিটি অঙ্কে আগে একটা লেখা উত্তর, তারপর যাচাইটা সেই উত্তরের ঠিক কোন জায়গায় লাগছে।

1. ১

   মূলে বসাও

   পাওয়া x মূল সমীকরণের দুই পাশে বসাও। সংখ্যা মিললেই মূল।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, $$2x+3=11$$ এর মূল $x=4$। বসিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা মূল $x=4$। বাম $8+3=11$। মিলল। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, $4$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, $$x+5=9$$ এর মূল $3$। বসিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা মূল $3$। বাম $8$, ৯ নয়। আসল $4$। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, $4$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, $$x^2-5x+6=0$$ এর মূল $x=2$। বসিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা মূল $x=2$। $4-10+6=0$। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, $2$

2. ২

   হর আবার দেখো

   যে উত্তর হরকে শূন্য করে, সেটা মূল নয়।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, $$\dfrac{x-1}{x-2}=0$$ এর মূল $2$। হর দেখে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা মূল $2$ হরকে শূন্য করে কি না। $x=2$ হর শূন্য। মূল নয়। মূল $1$। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, মূল $1$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, $$\dfrac{3}{x}=1$$ এর মূল $3$। হর দেখে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা মূল $3$ হরকে শূন্য করে কি না। হর $3\neq 0$। $3/3=1$। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, $3$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, $$\dfrac{x}{x}=1$$ এ $x=0$ রাখা যায়। হর দেখে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা $x=0$। হর শূন্য। মূল নয়। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, $0$ বাদ

3. ৩

   দ্বিঘাতে দুই মূল

   দুটো মূলই বসাও। একটা মিললেও অন্যটা ভুল থাকতে পারে।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, $$x^2-5x+6=0$$ এর মূল $2$ আর $3$। দুটোই বসিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দুই মূল $2$ আর $3$। দুটোতেই বাম পাশ $0$। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, $2$ ও $3$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল, $$x^2-3x+2=0$$ এর মূল $1$ আর $3$। দুটোই বসিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দ্বিতীয় মূল $3$। $x=1$ এ $0$। $x=3$ এ $2\neq 0$। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      দ্বিতীয়টা ভুল, আসল $2$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $$(x-4)(x+1)=0$$ এর মূল $4$ আর $-1$। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দুই মূল $4$ আর $-1$। দুটোই বসালে গুণফল $0$। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      $4$ ও $-1$

4. ৪

   গল্পের মাপ

   বয়স, দাম, দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হলে সেই মূল গল্পে বাদ। অঙ্ক মিললেও গল্প না মানলে উত্তর নয়।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল রাস্তার চওড়া $3$ বা $-2$ দুটোই রাখা যায়। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: চওড়া $-2$। চওড়া ঋণাত্মক হয় না। $-2$ বাদ, থাকে $3$।

      উত্তর

      $3$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল বয়স $-4$। গল্পে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: বয়স $-4$। বয়স ঋণাত্মক গল্পে বাদ। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      বাদ

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল কলম $5$টি। গল্প মানে কি, যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: সংখ্যা $5$। ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। গল্প মানে। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, $5$

5. ৫

   অভেদ নাকি সমীকরণ

   যেকোনো মানে সত্য হলে অভেদ। কয়েকটা মানেই সত্য হলে সমীকরণ।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $$(x+1)^2-(x-1)^2=4x$$ অভেদ। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা সমতা সব $x$ এ সত্য কি। বাম পাশ খুললে $4x$। সব $x$ এ সত্য। অভেদ। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      অভেদ

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $$x^2-5x+6=0$$ অভেদ। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: সব মানে সত্য কি। $x=0$ এ বাম $6\neq 0$। সমীকরণ। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, সমীকরণ

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $$2(x+3)=2x+6$$ অভেদ। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দুই পাশ। দুই পাশ $2x+6$, সব $x$ এ। অভেদ। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      অভেদ