দ্বিঘাত সমীকরণ: উৎপাদকে ভেঙে সমাধান

দুটো সংখ্যার গুণফল শূন্য: তাহলে কী বলা যায়?

শূন্য গুণফলের ধর্ম

$a \times b = 0$ । $a$ আর $b$ সম্পর্কে কী বলতে পারো? কোনো সংখ্যাকে অশূন্য সংখ্যা দিয়ে গুণ করে শূন্য পাওয়া যায় না। তাই অন্তত একটা শূন্য হতেই হবে।

দ্বিঘাত সমীকরণ $x^2 - 5x + 6 = 0$ এ এটাই কাজে লাগে। বাম পাশ ভাঙলে $(x - 2)(x - 3) = 0$ । তাহলে $x - 2 = 0$ বা $x - 3 = 0$ , অর্থাৎ $x = 2$ বা $3$ । একটা কঠিন দেখতে সমীকরণ দুটো সহজ একঘাত সমীকরণ হয়ে গেল।

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

শূন্য গুণফলের ধর্মের প্রমাণ, আর দ্বিঘাত সমীকরণে তার ব্যবহার

প্রমাণ আর পদ্ধতি

ধর্ম: $ab = 0$ হলে $a = 0$ অথবা $b = 0$ ।

প্রমাণ: ধরো $a \ne 0$ । তাহলে দুই পাশকে $a$ দিয়ে ভাগ করা যায়: $\frac{ab}{a} = \frac{0}{a}$ , অর্থাৎ $b = 0$ । তাই হয় $a = 0$ , নয়তো $b = 0$ । ∎

দ্বিঘাত সমীকরণ: $ax^2 + bx + c = 0$ ( $a \ne 0$ )। আগে ডান পাশ শূন্য করো, বাম পাশ উৎপাদকে ভাঙো, তারপর প্রতিটা উৎপাদক শূন্য ধরো। দ্বিঘাতে সাধারণত দুটো মূল পাওয়া যায় (কখনো দুটো সমান)।

নিজে দেখে বুঝো

নিজে বদলে দেখো

রাশি: x² + x +

লক্ষ্য: দুটো সংখ্যা চাই যাদের গুণফল = 1 × 6 = 6 আর যোগফল = 5।

এক সংখ্যা	অন্য সংখ্যা	গুণফল	যোগফল
−2	−3	6	−5
−1	−6	6	−7
1	6	6	7
2	3	6	5	✓ এটাই

মধ্যপদ ভাঙি: x² + 2x + 3x + 6

দুই জোড়ায় উৎপাদক বের করি: x(x + 2) + 3(x + 2)

উৎপাদক: (x + 2)(x + 3)

সমীকরণের বাম পাশের a, b, c বসাও। বোর্ড উৎপাদকে ভেঙে দেবে; তারপর প্রতিটা বন্ধনী শূন্য ধরলেই মূল।

মধ্যপদ ভাঙার বোর্ড: ax² + bx + c এর উৎপাদক।

নিজে দেখে বুঝো

নিজে বদলে দেখো

সমীকরণ:

চলক x (বা y)। গুণ বোঝাতে পাশাপাশি লেখো: 3x, (x+1)(x−2)। ভাগ /, ঘাত ^, বর্গমূল √। ওপরের বোতামেও চিহ্নগুলো বসানো যায়।

একটি মান বসাও: x =

বাম পাশ = 0, ডান পাশ = 0

x = 2 মূল ✓ (দুই পাশ সমান)

পাওয়া মূলগুলো বসিয়ে দেখো দুই পাশ সমান হয় কি না।

সমীকরণে মান বসানো ও মূল খোঁজার বোর্ড।

সবচেয়ে চেনা ভুল এড়াও

ভাগ করে চলক হারিয়ো না। $y^2 = \sqrt{5}y$ এ দুই পাশ $y$ দিয়ে ভাগ করলে $y = 0$ মূলটা হারিয়ে যায়। সব পদ এক পাশে এনে $y$ সাধারণ উৎপাদক নাও: $y(y - \sqrt{5}) = 0$ ।

দ্বিঘাত সমীকরণে কোথা থেকে শুরু: দুটো অঙ্ক একসাথে

প্রথম কাজ: সব পদ এক পাশে, অন্য পাশ শূন্য। তারপর ভাঙা।

নিজে দেখে বুঝো

বোর্ডে লাইন ধরে: প্রতিটা লাইন কেন লিখলাম, নিচে কারণ।

x² − 5x + 6 = 0 থেকে x = 2, 3 পর্যন্ত সাতটি লাইন, একটি একটি করে, প্রতিটির কারণসহ।

একসাথে করি ১

x − 3 = (x − 3)/x

$x - 3 = \dfrac{x - 3}{x}$ সমাধান করো।

পড়ি
চলক হরে আছে, $x \ne 0$ ।
আঁকি
দুই পাশ $x$ দিয়ে গুণ: $x(x - 3) = x - 3$ ।
ভাবি
দুই পাশে $(x - 3)$ আছে। ভাগ করলে $x = 3$ মূল হারিয়ে যাবে! তাই এক পাশে এনে সাধারণ উৎপাদক।
করি
$x(x - 3) - (x - 3) = 0$ , $(x - 3)(x - 1) = 0$ । $x = 3$ বা $x = 1$ ।
মেলাই
দুটোই $x \ne 0$ । $x = 3$ : $0 = 0$ ✓। $x = 1$ : $-2 = -2$ ✓।

একসাথে করি ২

নতুন অক্ষর ধরে

$\left(\dfrac{x + 1}{x - 1}\right)^2 - 5\left(\dfrac{x + 1}{x - 1}\right) + 6 = 0$ সমাধান করো।

পড়ি
একই ভগ্নাংশ দুবার আসছে।
আঁকি
ধরি $t = \frac{x + 1}{x - 1}$ । তাহলে $t^2 - 5t + 6 = 0$ ।
ভাবি
$(t - 2)(t - 3) = 0$ , $t = 2$ বা $3$ ।
করি
$\frac{x + 1}{x - 1} = 2$ থেকে $x = 3$ । $\frac{x + 1}{x - 1} = 3$ থেকে $x = 2$ ।
মেলাই
$x = 3$ : $t = 2$ , $4 - 10 + 6 = 0$ ✓। $x = 2$ : $t = 3$ , $9 - 15 + 6 = 0$ ✓।

দ্বিঘাত সমীকরণের চার ধরন, প্রতিটায় চারটা করে

চার ধরন: সরাসরি ভেঙে, সাধারণ উৎপাদক ও মূলযুক্ত, চলক হরে, আর নতুন অক্ষর ধরে।

ধরন ১

উৎপাদকে ভেঙে সমাধান

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

সমীকরণ $ax^2 + bx + c = 0$ আকারে বা খুললে সেই আকারে আসে।

সমাধানের ধাপ

সব পদ এক পাশে, অন্য পাশ ০
বাম পাশ উৎপাদকে ভাঙো
প্রতিটা উৎপাদক = 0
দুটো মূলই বসিয়ে মেলাও

অঙ্ক ১.১সহজ

(x + 4)(x − 1) = 0

$(x + 4)(x - 1) = 0$ সমাধান করো।

সমাধান

ধর্মে

মূল

$x = -4$ বা $x = 1$ ।

যাচাই

দুটোতেই একটা বন্ধনী ০ ✓

অঙ্ক ১.২সহজ

x² − 5x + 6 = 0

$x^2 - 5x + 6 = 0$ সমাধান করো।

সমাধান

ভেঙে

মূল

$x = 2$ বা $x = 3$ ।

যাচাই

$4 - 10 + 6 = 0$ , $9 - 15 + 6 = 0$ ✓

অঙ্ক ১.৩মাঝারি

2x² − 7x + 3 = 0

$2x^2 - 7x + 3 = 0$ সমাধান করো।

সমাধান

ভেঙে

মূল

$x = \frac{1}{2}$ বা $x = 3$ ।

যাচাই

$\frac{1}{2} - \frac{7}{2} + 3 = 0$ ✓

অঙ্ক ১.৪মাঝারি

(y + 4)(y − 4) = 33

$(y + 4)(y - 4) = 33$ সমাধান করো।

সমাধান

খুলে

সমীকরণ

$y^2 - 49 = 0$ , $(y + 7)(y - 7) = 0$ ।

মূল

$y = \pm 7$ ।

যাচাই

$11 \times 3 = 33$ , $(-3)(-11) = 33$ ✓

ধরন ২

সাধারণ উৎপাদক ও মূলযুক্ত সহগ

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

সমীকরণে ধ্রুবক পদ নেই ( $y^2 = \sqrt{5}y$ ), বা সহগে বর্গমূল।

সমাধানের ধাপ

সব পদ এক পাশে আনো, ভাগ কোরো না
সাধারণ উৎপাদক বাইরে নাও
প্রতিটা উৎপাদক = 0, ০ মূলটা রাখো
মেলাও

অঙ্ক ২.১মাঝারি

y² = √5 y

$y^2 = \sqrt{5}y$ এর সমাধান সেট নির্ণয় করো।

সমাধান

উৎপাদকে

মূল

$y = 0$ বা $y = \sqrt{5}$ ।

উত্তর

সমাধান সেট $\{0, \sqrt{5}\}$ ।

যাচাই

$5 = \sqrt{5} \times \sqrt{5}$ ✓

অঙ্ক ২.২সহজ

x² = 5x

$x^2 = 5x$ সমাধান করো।

সমাধান

উৎপাদকে

মূল

$x = 0$ বা $5$ ।

যাচাই

$25 = 25$ ✓

অঙ্ক ২.৩মাঝারি

2z² = 7z

$2z^2 = 7z$ সমাধান করো।

সমাধান

উৎপাদকে

মূল

$z = 0$ বা $z = \frac{7}{2}$ ।

যাচাই

$2 \times 12.25 = 24.5 = 7 \times 3.5$ ✓

অঙ্ক ২.৪কঠিন

(√3 x + 2)(√2 x − 5) = 0

$(\sqrt{3}x + 2)(\sqrt{2}x - 5) = 0$ সমাধান করো।

সমাধান

ধর্মে

মূল

$x = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ বা $x = \frac{5}{\sqrt{2}}$ ।

যাচাই

বোর্ডে $x \approx -1.1547$ আর $3.5355$ মূল হিসেবে আসে ✓

ধরন ৩

চলক হরে থাকা সমীকরণ

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

সমীকরণে ভগ্নাংশের হরে চলক, যা গুণ করলে দ্বিঘাত হয়।

সমাধানের ধাপ

নিষিদ্ধ মান লিখে রাখো
লসাগু দিয়ে গুণ করে ভগ্নাংশ সরাও
দ্বিঘাত সমীকরণ ভেঙে সমাধান
নিষিদ্ধ মান বাদ দিয়ে মেলাও

অঙ্ক ৩.১মাঝারি

x − 3 = (x − 3)/x

$x - 3 = \dfrac{x - 3}{x}$ এর সমাধান সেট নির্ণয় করো।

সমাধান

গুণ করে

মূল

$x = 3$ বা $1$ ।

উত্তর

$\{1, 3\}$ ।

অঙ্ক ৩.২মাঝারি

4x + 1/x = 4

$4x + \dfrac{1}{x} = 4$ সমাধান করো।

সমাধান

গুণ করে

মূল

$x = \frac{1}{2}$ (দুটো মূলই সমান)।

যাচাই

$2 + 2 = 4$ ✓

অঙ্ক ৩.৩কঠিন

1/x + 4/(x + 1) = 3

$\dfrac{1}{x} + \dfrac{4}{x + 1} = 3$ সমাধান করো।

সমাধান

গুণ করে

ভাঙি

$(3x + 1)(x - 1) = 0$ ।

মূল

$x = 1$ বা $x = -\frac{1}{3}$ ।

যাচাই

$x = 1$ : $1 + 2 = 3$ ✓। $x = -\frac{1}{3}$ : $-3 + 6 = 3$ ✓

অঙ্ক ৩.৪কঠিন

x/(x − 1) + (x − 1)/x = 5/2

$\dfrac{x}{x - 1} + \dfrac{x - 1}{x} = \dfrac{5}{2}$ সমাধান করো।

সমাধান

গুণ করে

ভাঙি

$(x - 2)(x + 1) = 0$ ।

মূল

$x = 2$ বা $-1$ ।

যাচাই

$x = 2$ : $2 + \frac{1}{2}$ ✓; $x = -1$ : $\frac{1}{2} + 2$ ✓

ধরন ৪

নতুন অক্ষর ধরে

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

একই রাশি সমীকরণে বর্গ আর এক ঘাতে আসছে ( $x^4$ আর $x^2$ , বা একই ভগ্নাংশ দুবার)।

সমাধানের ধাপ

পুনরাবৃত্ত রাশিকে t ধরো
t এর দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান
প্রতিটা t থেকে x বের করো
সব মূল মূল সমীকরণে মেলাও

অঙ্ক ৪.১কঠিন

((x + 1)/(x − 1))² − 5(x + 1)/(x − 1) + 6 = 0

$\left(\dfrac{x + 1}{x - 1}\right)^2 - 5\left(\dfrac{x + 1}{x - 1}\right) + 6 = 0$ সমাধান করো।

সমাধান

অক্ষর বদলে

t = 2

$x + 1 = 2x - 2$ , $x = 3$ ।

t = 3

$x + 1 = 3x - 3$ , $x = 2$ ।

যাচাই

দুটোই মূল সমীকরণে ০ দেয় ✓

অঙ্ক ৪.২মাঝারি

x⁴ − 13x² + 36 = 0

$x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ সমাধান করো।

সমাধান

অক্ষর বদলে

t

$x^2 = 4$ বা $9$ ।

মূল

$x = \pm 2, \pm 3$ ।

যাচাই

$16 - 52 + 36 = 0$ , $81 - 117 + 36 = 0$ ✓

অঙ্ক ৪.৩কঠিন

(x² − x)² − 8(x² − x) + 12 = 0

$(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12 = 0$ সমাধান করো।

সমাধান

অক্ষর বদলে

t = 2

$x^2 - x - 2 = 0$ , $x = 2$ বা $-1$ ।

t = 6

$x^2 - x - 6 = 0$ , $x = 3$ বা $-2$ ।

যাচাই

চারটা মূলই বসালে ০ ✓

অঙ্ক ৪.৪কঠিন

2^(2x) − 5·2^x + 4 = 0

$2^{2x} - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$ সমাধান করো।

সমাধান

অক্ষর বদলে

t = 1

$2^x = 1$ , $x = 0$ ।

t = 4

$2^x = 4$ , $x = 2$ ।

যাচাই

$1 - 5 + 4 = 0$ , $16 - 20 + 4 = 0$ ✓

দ্বিঘাত সমীকরণে সাধারণ ভুল চেনো, নিজে অঙ্ক করো

নিচের অঙ্কগুলো নিজে করো। আটকে গেলে ইঙ্গিত দেখো, তারপর উত্তর মিলিয়ে নাও।

ভুল ধরো

তিনটা দেখতে-ঠিক কিন্তু ভুল সমাধান

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

ক: $x^2 = 5x$ এর দুই পাশ $x$ দিয়ে ভাগ করে $x = 5$ ।

খ: $(x - 1)(x - 3) = 8$ থেকে $x - 1 = 8$ বা $x - 3 = 8$ ।

গ: $x^2 = 9$ থেকে শুধু $x = 3$ ।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ক: ভাগ করলে $x = 0$ মূল হারায়। ঠিক: $\{0, 5\}$ ।

খ: শূন্য গুণফলের ধর্ম শুধু ডান পাশ ০ হলে খাটে। ঠিক: $x^2 - 4x + 3 = 8$ , $x^2 - 4x - 5 = 0$ , $(x - 5)(x + 1) = 0$ , $x = 5$ বা $-1$ ।

গ: $(-3)^2 = 9$ ও, তাই $x = \pm 3$ ।

ধরার উপায়: দ্বিঘাতে দুটো মূল খোঁজো, আর প্রতিটা বসিয়ে মেলাও।

x² − 7x + 12 = 0 এর মূল?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (ক) ৩, ৪। (x − 3)(x − 4) = 0।

x² = 3x এর সমাধান সেট?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) {০, ৩}। x(x − 3) = 0।

(x − 4)² = 0 এর মূল কয়টি?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (ক) ১টি (দুবার)। দুটো সমান মূল, x = 4।

প্রশ্ন ১. সমাধান করো: (ক) $(y + 3)(y - 3) = 27$ (খ) $3(z^2 - 4) + 5z = 0$

ইঙ্গিত দেখো

(ক) খুলে $y^2 = 36$ । (খ) $3z^2 + 5z - 12 = 0$ ।

উত্তর দেখো

(ক) $y = \pm 6$ । (খ) $(3z - 4)(z + 3) = 0$ , $z = \frac{4}{3}$ বা $-3$ ।

প্রশ্ন ২. সমাধান করো: $\dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{x + 2} = 1$

ইঙ্গিত দেখো

$x(x + 2)$ দিয়ে গুণ।

উত্তর দেখো

$2(x + 2) + 3x = x(x + 2)$ , $x^2 - 3x - 4 = 0$ , $x = 4$ বা $-1$ ।

মনে রাখো

ধর্ম: $ab = 0$ হলে $a = 0$ বা $b = 0$ ।
পদ্ধতি: এক পাশ ০, উৎপাদকে ভাঙো, প্রতিটা ০।
সাবধান: চলক দিয়ে ভাগ কোরো না; চলক হরে থাকলে নিষিদ্ধ মান বাদ দাও।
কৌশল: পুনরাবৃত্ত রাশিকে নতুন অক্ষর ধরো।