পাঠ ৪গণিত

লগের সূত্র: গুণ হয় যোগ, ভাগ হয় বিয়োগ

পাঠের সারাংশ

লগ গুণকে যোগে, ভাগকে বিয়োগে আর ঘাতকে গুণে বদলে দেয়। সূত্রগুলো সূচকের নিয়ম থেকে প্রমাণ আর তাদের প্রয়োগ।

আগে পড়ে নাওলগারিদম কী: সূচকের উল্টো প্রশ্ন

MCQ ও সৃজনশীল শর্টকাট

প্রতিটি অঙ্কে তিন লাইন: প্রশ্ন, তারপর শর্টকাটটা প্রশ্নের ঠিক কোন জায়গায় লাগছে, তারপর উত্তর।

  1. ভিত্তি এক না হলে যোগ নয়

    একই ভিত্তি না হলে ঘাত যোগ করা যায় না। আগে ভিত্তি মিলাও, যেমন ৪ = ২²।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      23×222^3\times 2^2 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে দুটো ঘাতের ভিত্তি 22। শর্টকাট: ভিত্তি একই। ঘাত যোগ 3+2=53+2=5। 25=322^5=32।

      উত্তর

      3232

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      23×422^3\times 4^2 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভিত্তি 22 আর 44 আলাদা। শর্টকাট: আগে 4=224=2^2। 42=244^2=2^4। তারপর 23×24=27=1282^3\times 2^4=2^7=128।

      উত্তর

      128128

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      32×303^2\times 3^0 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে দুটো ঘাতের ভিত্তি 33। শর্টকাট: ভিত্তি একই। ঘাত 2+0=22+0=2। 32=93^2=9।

      উত্তর

      99

  2. লগ ১ আর লগ ভিত্তি

    যেকোনো ভিত্তিতে log ১ = ০। ভিত্তির নিজের লগ ১। অপশনে এটা সরাসরি কাটে।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      log⁡51\log_5 1 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে আর্গুমেন্ট 11, ভিত্তি 55। শর্টকাট: যেকোনো ভিত্তিতে log⁡1=0\log 1=0।

      উত্তর

      00

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      log⁡77\log_7 7 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভিত্তি আর আর্গুমেন্ট দুটোই 77। শর্টকাট: ভিত্তির নিজের লগ ১।

      উত্তর

      11

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      log⁡21+log⁡33\log_2 1+\log_3 3 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে প্রথমটা log⁡21\log_2 1, দ্বিতীয়টা log⁡33\log_3 3। শর্টকাট: প্রথমটা ০, দ্বিতীয়টা ১। যোগ 0+10+1।

      উত্তর

      11

  3. ভিত্তি বদল

    নতুন লগ = পুরোনো লগ ÷ নতুন ভিত্তির লগ। log_a b আর log_b a পরস্পরের বিপরীত।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      log⁡416\log_4 16 কত? ভিত্তি ২ এ আনো।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভিত্তি 44, আর্গুমেন্ট 1616, ভিত্তি ২ এ আনতে বলা। শর্টকাট: log⁡216=4\log_2 16=4, log⁡24=2\log_2 4=2। নতুন লগ 4÷2=24\div 2=2।

      উত্তর

      22

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      log⁡28×log⁡82\log_2 8\times\log_8 2 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে log⁡28\log_2 8 আর তার উল্টো log⁡82\log_8 2। শর্টকাট: log⁡28=3\log_2 8=3। উল্টো লগ log⁡82=13\log_8 2=\dfrac{1}{3}। গুণ 11।

      উত্তর

      11

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      log⁡93\log_9 3 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভিত্তি 99, আর্গুমেন্ট 33। শর্টকাট: log⁡33=1\log_3 3=1, log⁡39=2\log_3 9=2। ভাগ 1÷21\div 2।

      উত্তর

      12\dfrac{1}{2}

  4. ঋণাত্মক ঘাত উল্টো

    ঘাত মাইনাস দেখলে সরাসরি হরে নামাও। গুণ ভাগে বদলে যায়।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      2−32^{-3} কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ঘাত −3-3। শর্টকাট: মাইনাস ঘাত হরে। 123=18\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}।

      উত্তর

      18\dfrac{1}{8}

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      15−2\dfrac{1}{5^{-2}} কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে হরে ঘাত −2-2। শর্টকাট: হরের ঋণাত্মক ঘাত উল্টে লবে। 52=255^2=25।

      উত্তর

      2525

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      3−1×273^{-1}\times 27 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ঘাত −1-1। শর্টকাট: 3−1=133^{-1}=\dfrac{1}{3}। গুণ 13×27=9\dfrac{1}{3}\times 27=9।

      উত্তর

      99

  5. দশমিক সরিয়ে পূর্ণক

    বিন্দু সরিয়ে ১ থেকে ১০ এর মধ্যে আনো। যত ঘর সরালে, পূর্ণক তত। বাঁয়ে সরালে পূর্ণক ঋণ।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      500500 এর log⁡10\log_{10} এর পূর্ণক কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে 500500। শর্টকাট: বিন্দু সরিয়ে 5×1025\times 10^2। দুই ঘর, সংখ্যা ১ এর বড়, পূর্ণক +2+2।

      উত্তর

      22

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      0.050.05 এর log⁡10\log_{10} এর পূর্ণক কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে 0.050.05, ১ এর চেয়ে ছোট। শর্টকাট: বিন্দু সরিয়ে 5×10−25\times 10^{-2}। দুই ঘর, পূর্ণক ঋণ।

      উত্তর

      −2-2

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      88 এর log⁡10\log_{10} এর পূর্ণক কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে 88, ইতিমধ্যে ১ থেকে ১০। শর্টকাট: ঘর সরানো ০। পূর্ণক 00।

      উত্তর

      00

উত্তর যাচাইয়ের কৌশল

প্রতিটি অঙ্কে আগে একটা লেখা উত্তর, তারপর যাচাইটা সেই উত্তরের ঠিক কোন জায়গায় লাগছে।

  1. সূচকে ফিরিয়ে

    লগের উত্তরকে আবার ঘাত বানিয়ে মূল সংখ্যা ফিরে আসে কি না দেখো।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল log⁡28=3\log_2 8=3। সূচকে ফিরিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা ঘাত 33। সূচকে 23=82^3=8। ফিরে এল। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 33

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল log⁡39=3\log_3 9=3। সূচকে ফিরিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা ঘাত 33। 33=273^3=27, ৯ নয়। 32=93^2=9। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, 22

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল log⁡525=2\log_5 25=2। সূচকে ফিরিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা ঘাত 22। 52=255^2=25। ফিরে এল। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 22

  2. ভিত্তি ও আর্গুমেন্ট

    আর্গুমেন্ট ধনাত্মক। ভিত্তি ধনাত্মক এবং ১ নয়। এই শর্ত ভাঙলে লগ লেখা যায় না।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল log⁡2(−4)\log_2 (-4)। লেখা যায় কি, যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: আর্গুমেন্ট −4-4। আর্গুমেন্ট ঋণাত্মক। শর্ত ভাঙল। তাই লেখা যায় না।

      উত্তর

      যায় না

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল log⁡15\log_1 5। লেখা যায় কি, যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: ভিত্তি 11। ভিত্তি ১। শর্ত ভাঙল। তাই লেখা যায় না।

      উত্তর

      যায় না

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল log⁡416\log_4 16। লেখা যায় কি, যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: আর্গুমেন্ট 1616 আর ভিত্তি 44। আর্গুমেন্ট ধনাত্মক, ভিত্তি ৪ এবং ১ নয়। মান 22। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 22

  3. শূন্য ঘাত

    যেকোনো অশূন্য সংখ্যার ঘাত ০ হলে মান ১। ০ পেলে ঘাতের হিসাব ভুল।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 70=17^0=1। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: ঘাত 00। অশূন্য সংখ্যার ঘাত ০। মান ১। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      11

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 50=05^0=0। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা মান 00। ০ পেলে ঘাতের হিসাব ভুল। আসল ১। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, 11

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 20×30=12^0\times 3^0=1। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দুই শূন্য ঘাতের গুণ। 1×1=11\times 1=1। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      11

  4. ছোট ঘাতে মেলাও

    ২³ × ২² = ২⁵ = ৩২। সূত্র সন্দেহ হলে ছোট ঘাত দিয়ে দুই পাশ দেখো।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 23×22=322^3\times 2^2=32। ছোট ঘাতে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা গুণফল 3232। ঘাত যোগ 25=322^5=32। ছোট ঘাতে 8×4=328\times 4=32। মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      3232

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (23)2=25(2^3)^2=2^5। ছোট ঘাতে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা ঘাত 55। 82=648^2=64, 25=322^5=32। মেলে না। ঘাত গুণে 262^6। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, 6464

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 3532=27\dfrac{3^5}{3^2}=27। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা ভাগফল 2727। ঘাত বিয়োগ 33=273^3=27। 243÷9=27243\div 9=27। মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      2727

  5. পূর্ণকের চিহ্ন

    সংখ্যা ১ এর চেয়ে ছোট হলে পূর্ণক ঋণ। ধনাত্মক পূর্ণক এলে দশমিকের দিক উল্টো হয়েছে।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 0.030.03 এর পূর্ণক +2+2। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: পূর্ণকের চিহ্ন +2+2। ১ এর চেয়ে ছোট, পূর্ণক ঋণ। 3×10−23\times 10^{-2}। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, −2-2

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 250250 এর পূর্ণক +2+2। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: পূর্ণক +2+2। 2.5×1022.5\times 10^2। ১ এর বড়, পূর্ণক ধনাত্মক। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 22

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 66 এর পূর্ণক 11। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা পূর্ণক 11। 6=6×1006=6\times 10^0। পূর্ণক ০। ধনাত্মক ১ হলে দিক উল্টো। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, 00

এই পাঠের সূত্রপত্র

অঙ্ক করার সময় এই সূত্রগুলো খোলা রাখো।

  • গুণে ঘাত যোগ

    am×an=am+na^m\times a^n=a^{m+n}

    একই ভিত্তি গুণ করলে ঘাত যোগ হয়।

  • ভাগে ঘাত বিয়োগ

    aman=am−n\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}

    একই ভিত্তি ভাগ করলে ঘাত বিয়োগ হয়। a শূন্য নয়।

  • ঘাতের ঘাত

    (am)n=amn(a^m)^n=a^{mn}

    ঘাতের ঘাত গুণ হয়, যোগ নয়।

  • শূন্য ও ঋণাত্মক ঘাত

    a0=1 (a≠0)a^0=1\ (a\neq 0)a−n=1ana^{-n}=\dfrac{1}{a^n}

    শূন্য ঘাত ১। ঋণাত্মক ঘাত উল্টে হরে নামে।

  • ভগ্নাংশ সূচক

    am/n=amna^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}

    হর যত, মূল তত। a ধনাত্মক হলে এই রূপ নিরাপদ।

  • লগের সংজ্ঞা

    by=x  ⟺  log⁡bx=yb^y=x\iff\log_b x=y

    কোন ঘাতে ভিত্তি দিলে এই সংখ্যা পাই, সেই ঘাতই লগ।

  • লগের সূত্র

    log⁡b(xy)=log⁡bx+log⁡by\log_b(xy)=\log_b x+\log_b ylog⁡bxy=log⁡bx−log⁡by\log_b\dfrac{x}{y}=\log_b x-\log_b ylog⁡bxn=nlog⁡bx\log_b x^n=n\log_b x

    গুণ হয় যোগ, ভাগ হয় বিয়োগ, ঘাত সামনে নেমে আসে।

  • পূর্ণক ও অংশক

    log⁡10N=n+log⁡10a\log_{10} N=n+\log_{10} aN=a×10nN=a\times 10^n

    ১ ≤ a < ১০। n পূর্ণক, আর log a অংশক।

  • লগ ১ ও ভিত্তি

    log⁡b1=0\log_b 1=0log⁡bb=1\log_b b=1

    b ধনাত্মক এবং ১ নয়।

  • ভিত্তি বদল

    log⁡ax=log⁡bxlog⁡ba\log_a x=\dfrac{\log_b x}{\log_b a}

    লগের ভাগ। ভাগফলের লগ নয়।

  • উল্টো লগ

    log⁡ab=1log⁡ba\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}

    দুই ভিত্তি বদলালে লগ উল্টে যায়।

  • ভিত্তির ঘাত

    log⁡b(bn)=n\log_b(b^n)=n

    যে ঘাত ভিত্তির ওপর, লগ সেই ঘাত।

লগ কেন এত কাজের: কঠিন গুণকে সহজ যোগ বানায়

গুণ হলো যোগ

log⁡24=2\log_2 4 = 2 আর log⁡28=3\log_2 8 = 3। এবার 4×8=324 \times 8 = 32 এর লগ নাও: log⁡232=5\log_2 32 = 5। দেখো: 2+3=52 + 3 = 5!

দুটো সংখ্যা গুণ করলে তাদের লগ যোগ হয়। এটাই লগারিদম আবিষ্কারের মূল কারণ: কম্পিউটার-ক্যালকুলেটরের আগে বিজ্ঞানীরা বিশাল গুণ লগের ছক দেখে সহজ যোগে বদলে নিতেন।

এই সূত্র সূচকের গুণ নিয়ম (aman=am+na^m a^n = a^{m+n}) থেকেই আসে। আজ প্রমাণ করব, আর সূত্রগুলো কাজে লাগাব।

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

লগের সূত্র সূচকের নিয়ম থেকে লাইন ধরে প্রমাণ

সূত্র ১: গুণের লগ

ধরি log⁡bx=p\log_b x = p আর log⁡by=q\log_b y = q। সংজ্ঞা অনুযায়ী bp=xb^p = x আর bq=yb^q = y।

x⋅y=bp⋅bq=bp+qx \cdot y = b^p \cdot b^q = b^{p + q} ← সূচকের গুণ নিয়ম।

আবার সংজ্ঞায় ফিরে: log⁡b(xy)=p+q=log⁡bx+log⁡by\log_b (xy) = p + q = \log_b x + \log_b y। ∎

log⁡b(xy)=log⁡bx+log⁡by\log_b (xy) = \log_b x + \log_b y

সূত্র ২ ও ৩: ভাগ আর ঘাত

একই পথে ভাগ: xy=bpbq=bp−q\dfrac{x}{y} = \dfrac{b^p}{b^q} = b^{p - q}, তাই log⁡bxy=p−q\log_b \dfrac{x}{y} = p - q।

ঘাত: xn=(bp)n=bpnx^n = (b^p)^n = b^{pn}, তাই log⁡bxn=pn=nlog⁡bx\log_b x^n = pn = n \log_b x।

log⁡bxy=log⁡bx−log⁡by\log_b \dfrac{x}{y} = \log_b x - \log_b y, log⁡bxn=nlog⁡bx\log_b x^n = n \log_b x

সূত্র ৪: ভিত্তি বদল

ভিত্তি বদল। log⁡ax=y\log_a x = y ধরি, তাই ay=xa^y = x। দুই পাশে bb ভিত্তিতে লগ নিই: ylog⁡ba=log⁡bxy \log_b a = \log_b x। তাহলে y=log⁡bxlog⁡bay = \dfrac{\log_b x}{\log_b a}:

log⁡ax=log⁡bxlog⁡ba\log_a x = \dfrac{\log_b x}{\log_b a}, বিশেষ করে log⁡ab=1log⁡ba\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}

নিজে দেখে বুঝো

নিজে বদলে দেখো
ভিত্তি b:
ঘাত y-2-10123456
2y0.250.51248163264

log2 8 = 3 মানে 23 = 8

ঠিক মান পাওয়া গেল: ঘাত 3।

নিয়মবাম পাশডান পাশ
log(x·y) = log x + log y55✓
log(x ÷ y) = log x − log y11✓
log(xⁿ) = n · log x99✓
যেকোনো x, y, n বসাও। তিন সূত্রের বাম আর ডান পাশ বোর্ড আলাদা করে হিসাব করে মেলায়।

ভিত্তি বাছা, x, y, n লেখার ঘর। নিচের তালিকায় তিন সূত্র: গুণ, ভাগ, ঘাত; প্রতিটার বাম ও ডান পাশের মান আর সমান কি না।

এক লাইনে সূত্র

গুণ → যোগ, ভাগ → বিয়োগ, ঘাত → গুণ। আর সব সূত্র একই ভিত্তির লগের জন্য। ভিত্তি আলাদা হলে আগে ভিত্তি বদলাও।

লগের সূত্র বসিয়ে অঙ্ক: দুটো অঙ্ক একসাথে

লগের অঙ্কে একই ভিত্তির কি না আগে দেখো, তারপর কোন সূত্র লাগবে ঠিক করো: যোগ থাকলে গুণফল, বিয়োগ থাকলে ভাগফল, সামনে সংখ্যা থাকলে ঘাত।

একসাথে করি ১

log 2 + log 5

log⁡102+log⁡105\log_{10} 2 + \log_{10} 5 এর মান কত?

  1. পড়ি

    দুটো লগ যোগ, একই ভিত্তি ১০।

  2. আঁকি

    যোগ দেখলে গুণফলের লগ ভাবি।

  3. ভাবি

    log⁡x+log⁡y=log⁡(xy)\log x + \log y = \log (xy)।

  4. করি

    log⁡10(2×5)=log⁡1010=1\log_{10} (2 \times 5) = \log_{10} 10 = 1।

  5. মেলাই

    দশমিকে 0.3010+0.6990=1.00000.3010 + 0.6990 = 1.0000 ✓।

একসাথে করি ২

2 log 3 + log 4 − log 6

2log⁡3+log⁡4−log⁡62 \log 3 + \log 4 - \log 6 কে একটা লগে লেখো।

  1. পড়ি

    তিনটা লগ, সামনে একটায় ২।

  2. আঁকি

    আগে ঘাতের সূত্রে ২ কে ঘাত বানাই।

  3. ভাবি

    2log⁡3=log⁡32=log⁡92 \log 3 = \log 3^2 = \log 9।

  4. করি

    log⁡9+log⁡4−log⁡6=log⁡9×46=log⁡6\log 9 + \log 4 - \log 6 = \log \dfrac{9 \times 4}{6} = \log 6।

  5. মেলাই

    log⁡9+log⁡4=log⁡36\log 9 + \log 4 = \log 36, তারপর log⁡36−log⁡6=log⁡6\log 36 - \log 6 = \log 6 ✓।

লগের সূত্রের চার ধরনের অঙ্ক, প্রতিটায় চারটা করে

চার ধরন: সূত্র বসিয়ে মান, ভেঙে বা জুড়ে লেখা, ভিত্তি বদল, আর লগের সমীকরণ ও প্রয়োগ।

ধরন ১

সূত্র বসিয়ে মান নির্ণয়

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে 'মান নির্ণয় করো' আর একাধিক লগ যোগ-বিয়োগ করা (একই ভিত্তি)।

সমাধানের ধাপ

  1. সবগুলো একই ভিত্তির কি না দেখো
  2. যোগে গুণফল, বিয়োগে ভাগফল, সামনের সংখ্যা ঘাত
  3. একটা লগে এনে সংখ্যাটাকে ঘাত হিসেবে চেনো
  4. দশমিকে মেলাও
অঙ্ক ১.১সহজ

log 2 + log 5

log⁡102+log⁡105\log_{10} 2 + \log_{10} 5 এর মান কত?

সমাধান

সূত্রে

জুড়ি

log⁡1010=1\log_{10} 10 = 1।

যাচাই

0.3010+0.6990=10.3010 + 0.6990 = 1 ✓

অঙ্ক ১.২সহজ

log₆ 2 + log₆ 3

log⁡62+log⁡63\log_6 2 + \log_6 3 এর মান কত?

সমাধান

সূত্রে

জুড়ি

log⁡66=1\log_6 6 = 1।

যাচাই

61=66^1 = 6 ✓

অঙ্ক ১.৩মাঝারি

log₃ 54 − log₃ 2

log⁡354−log⁡32\log_3 54 - \log_3 2 এর মান কত?

সমাধান

সূত্রে

জুড়ি

log⁡327=3\log_3 27 = 3।

যাচাই

33=273^3 = 27 ✓

অঙ্ক ১.৪মাঝারি

3 log₂ 4

3log⁡243 \log_2 4 এর মান কত?

সমাধান

দুই পথে

ঘাতের সূত্রে

log⁡264=6\log_2 64 = 6।

সরাসরি

log⁡24=2\log_2 4 = 2, 3×2=63 \times 2 = 6 ✓

ধরন ২

ভেঙে বা জুড়ে লেখা

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে 'একটি লগের আকারে প্রকাশ করো' বা 'লগের সূত্র দিয়ে বিস্তৃত করো'।

সমাধানের ধাপ

  1. ঘাত ও গুণ-ভাগের সংখ্যাগুলো আলাদা করো
  2. সামনের সংখ্যা ঘাতে তোলো (জুড়তে) বা নামাও (ভাঙতে)
  3. যোগ গুণফলে, বিয়োগ ভাগফলে
  4. দুই দিকের সংখ্যা মেলাও
অঙ্ক ২.১মাঝারি

log (a²b³/c) ভাঙো

log⁡a2b3c\log \dfrac{a^2 b^3}{c} কে log⁡a\log a, log⁡b\log b, log⁡c\log c এর মাধ্যমে লেখো।

সমাধান

ধাপে ধাপে

ভাগ

log⁡(a2b3)−log⁡c\log (a^2b^3) - \log c।

গুণ

log⁡a2+log⁡b3−log⁡c\log a^2 + \log b^3 - \log c।

ঘাত

2log⁡a+3log⁡b−log⁡c2\log a + 3\log b - \log c।

অঙ্ক ২.২মাঝারি

2 log 3 + log 4 − log 6 একটা লগে

2log⁡3+log⁡4−log⁡62 \log 3 + \log 4 - \log 6 কে একটা লগে লেখো।

সমাধান

ধাপে ধাপে

ঘাত

log⁡9+log⁡4−log⁡6\log 9 + \log 4 - \log 6।

জুড়ি

log⁡9×46=log⁡6\log \frac{9 \times 4}{6} = \log 6।

যাচাই

2(0.4771)+0.6021−0.7782=0.7781≈log⁡62(0.4771) + 0.6021 - 0.7782 = 0.7781 \approx \log 6 ✓

অঙ্ক ২.৩কঠিন

log (x² − 1) ভাঙো

log⁡(x2−1)\log (x^2 - 1) কে দুটো লগের যোগে লেখো (x>1x > 1)।

সমাধান

উৎপাদকে ভেঙে

ভাঙি

log⁡(x+1)(x−1)\log (x + 1)(x - 1)।

সূত্র

log⁡(x+1)+log⁡(x−1)\log (x + 1) + \log (x - 1)।

যাচাই

x=3x = 3: log⁡8=log⁡4+log⁡2\log 8 = \log 4 + \log 2 ✓

অঙ্ক ২.৪কঠিন

প্রমাণ log(1/x) = −log x

প্রমাণ করো: log⁡b1x=−log⁡bx\log_b \dfrac{1}{x} = -\log_b x।

সমাধান

প্রমাণ

ভাগের সূত্র

log⁡b1x=log⁡b1−log⁡bx\log_b \frac{1}{x} = \log_b 1 - \log_b x।

বসাই

0−log⁡bx=−log⁡bx0 - \log_b x = -\log_b x ∎

যাচাই

log⁡101100=−2=−log⁡10100\log_{10} \frac{1}{100} = -2 = -\log_{10} 100 ✓

ধরন ৩

ভিত্তি বদল

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে আলাদা ভিত্তির লগ (2, 3, 4, 8) একসাথে, বা লগ ঘোরানোর সূত্র।

সমাধানের ধাপ

  1. কোন ভিত্তিতে সব আনব ঠিক করো
  2. log_a x = log_b x ÷ log_b a বসাও
  3. সরল করো
  4. ছোট মানে মেলাও
অঙ্ক ৩.১মাঝারি

log₄ 8

log⁡48\log_4 8 এর মান কত?

সমাধান

ভিত্তি বদলে

বসাই

log⁡28log⁡24=32\frac{\log_2 8}{\log_2 4} = \frac{3}{2}।

যাচাই

43/2=84^{3/2} = 8 ✓

অঙ্ক ৩.২কঠিন

log₂ 3 × log₃ 8

log⁡23×log⁡38\log_2 3 \times \log_3 8 এর মান কত?

সমাধান

ভিত্তি বদলে

বসাই

log⁡23×3log⁡23=3\log_2 3 \times \frac{3}{\log_2 3} = 3।

যাচাই

দশমিকে 1.585×1.893=3.001.585 \times 1.893 = 3.00 ✓

অঙ্ক ৩.৩মাঝারি

log₈ 32

log⁡832\log_8 32 এর মান কত?

সমাধান

ভিত্তি বদলে

বসাই

53\frac{5}{3}।

যাচাই

85/3=(23)5/3=25=328^{5/3} = (2^3)^{5/3} = 2^5 = 32 ✓

অঙ্ক ৩.৪কঠিন

log_a b · log_b a = 1

প্রমাণ করো: log⁡ab×log⁡ba=1\log_a b \times \log_b a = 1।

সমাধান

প্রমাণ

বদলাই

log⁡ab=1log⁡ba\log_a b = \frac{1}{\log_b a}।

গুণ

1log⁡ba×log⁡ba=1\frac{1}{\log_b a} \times \log_b a = 1 ∎

যাচাই

log⁡28×log⁡82=3×13=1\log_2 8 \times \log_8 2 = 3 \times \frac{1}{3} = 1 ✓

ধরন ৪

লগের সমীকরণ ও প্রয়োগ

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে লগের সমীকরণ, বা pH, ডেসিবেল, 10ˣ = সংখ্যার মতো বাস্তব সূত্র।

সমাধানের ধাপ

  1. লগগুলোকে একটা লগে জুড়ে সংখ্যা সমান করো
  2. সূচকে এনে সাধারণ সমীকরণ সমাধান করো
  3. লগের ভেতরের রাশি ধনাত্মক কি না দেখে মূল বাদ দাও
  4. গল্পে মেলাও
অঙ্ক ৪.১কঠিন

log₂ x + log₂ (x − 2) = 3

log⁡2x+log⁡2(x−2)=3\log_2 x + \log_2 (x - 2) = 3 হলে xx কত?

সমাধান

জুড়ে

সমীকরণ

x2−2x−8=0x^2 - 2x - 8 = 0, (x−4)(x+2)=0(x - 4)(x + 2) = 0।

শর্ত

x=4x = 4 বা x=−2x = -2। লগের ভেতর ধনাত্মক চাই, x=−2x = -2 বাদ।

যাচাই

log⁡24+log⁡22=2+1=3\log_2 4 + \log_2 2 = 2 + 1 = 3 ✓

অঙ্ক ৪.২মাঝারি

10ˣ = 50

log⁡105=0.699\log_{10} 5 = 0.699 দেওয়া আছে। 10x=5010^x = 50 হলে xx এর মান কত?

সমাধান

লগ নিয়ে

সূত্রে

x=log⁡105+log⁡1010=0.699+1=1.699x = \log_{10} 5 + \log_{10} 10 = 0.699 + 1 = 1.699।

যাচাই

101.699≈5010^{1.699} \approx 50 ✓

অঙ্ক ৪.৩কঠিন

2ˣ = 10

2x=102^x = 10 হলে xx এর মান কত? (log⁡102=0.3010\log_{10} 2 = 0.3010 দেওয়া)

সমাধান

লগ নিয়ে

সূত্রে

x=10.3010≈3.32x = \frac{1}{0.3010} \approx 3.32।

যাচাই

23=82^{3} = 8, 24=162^{4} = 16, ১০ মাঝে, 3.32 যুক্তিসঙ্গত ✓

অঙ্ক ৪.৪মাঝারি

pH মান

কোনো দ্রবণে হাইড্রোজেন আয়নের ঘনমাত্রা [H+]=10−5[H^+] = 10^{-5} মোল/লিটার। pH=−log⁡10[H+]pH = -\log_{10}[H^+] হলে pH কত?

সমাধান

সূত্রে

হিসাব

pH=−log⁡1010−5=−(−5)=5pH = -\log_{10} 10^{-5} = -(-5) = 5।

অর্থ

pH ৭ এর কম, তাই দ্রবণটা অম্লীয়।

লগের সূত্রে সাধারণ ভুল চেনো, নিজে অঙ্ক করো

নিচের অঙ্কগুলো নিজে করো। আটকে গেলে ইঙ্গিত দেখো, তারপর উত্তর মিলিয়ে নাও।

ভুল ধরো

তিনটা দেখতে-ঠিক কিন্তু ভুল সমাধান

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

ক: log⁡(a+b)=log⁡a+log⁡b\log (a + b) = \log a + \log b।

খ: log⁡ab=log⁡alog⁡b\log \dfrac{a}{b} = \dfrac{\log a}{\log b}।

গ: log⁡a2=(log⁡a)2\log a^2 = (\log a)^2।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ক: যোগফলের লগের এমন সূত্র নেই। গুণফলের লগ যোগ হয়: log⁡(ab)=log⁡a+log⁡b\log (ab) = \log a + \log b। যাচাই a=b=4a = b = 4 (ভিত্তি ২): log⁡28=3\log_2 8 = 3 কিন্তু 2+2=42 + 2 = 4।

খ: ভাগফলের লগ হলো বিয়োগ: log⁡a−log⁡b\log a - \log b। যাচাই ভিত্তি ১০, a=100a = 100, b=10b = 10: log⁡10=1\log 10 = 1, আর 2−1=12 - 1 = 1 ✓, কিন্তু 21=2\frac{2}{1} = 2 ✗।

গ: log⁡a2=2log⁡a\log a^2 = 2 \log a। (log⁡a)2(\log a)^2 আলাদা। a=100a = 100: 2log⁡100=42 \log 100 = 4, কিন্তু (log⁡100)2=4(\log 100)^2 = 4 মিলে যায় কাকতালীয়ভাবে; a=1000a = 1000: 2×3=62 \times 3 = 6 আর 32=93^2 = 9।

ধরার উপায়: ছোট ঘাতের সংখ্যা (10, 100, 1000) বসাও।

log₁₀ 4 + log₁₀ 25 = ?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) ২। log₁₀ (4 × 25) = log₁₀ 100 = 2।

log₂ 40 − log₂ 5 = ?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) ৩। log₂ (40/5) = log₂ 8 = 3।

log₃ 9² = ?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (ক) ৪। 2 × 2 = 4, বা log₃ 81 = 4।

প্রশ্ন ১. সরল করো: (ক) log⁡212+log⁡223\log_2 12 + \log_2 \frac{2}{3} (খ) log⁡108+log⁡10125\log_{10} 8 + \log_{10} 125

ইঙ্গিত দেখো

যোগে গুণফল।

উত্তর দেখো

(ক) log⁡28=3\log_2 8 = 3। (খ) log⁡101000=3\log_{10} 1000 = 3।

প্রশ্ন ২. log⁡3(x+2)+log⁡3(x−4)=3\log_3 (x + 2) + \log_3 (x - 4) = 3 হলে xx কত?

ইঙ্গিত দেখো

জুড়ে (x+2)(x−4)=27(x + 2)(x - 4) = 27।

উত্তর দেখো

x2−2x−8=27x^2 - 2x - 8 = 27, x2−2x−35=0x^2 - 2x - 35 = 0, (x−7)(x+5)=0(x - 7)(x + 5) = 0। x=7x = 7 (x=−5x = -5 বাদ)। যাচাই: log⁡39+log⁡33=3\log_3 9 + \log_3 3 = 3 ✓।

মনে রাখো

  • সূত্র: log⁡(xy)=log⁡x+log⁡y\log (xy) = \log x + \log y, log⁡xy=log⁡x−log⁡y\log \frac{x}{y} = \log x - \log y, log⁡xn=nlog⁡x\log x^n = n \log x।
  • ভিত্তি বদল: log⁡ax=log⁡bxlog⁡ba\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}।
  • উৎস: সূচকের গুণ, ভাগ, ঘাতের নিয়ম।
  • সাবধান: log⁡(x+y)\log (x + y) এর সূত্র নেই; লগের ভেতর ধনাত্মক হতে হবে।