পাঠ ৫গণিত

বৈজ্ঞানিক রূপ, লগের পূর্ণক ও অংশক, স্বাভাবিক লগ

পাঠের সারাংশ

বিশাল ও ক্ষুদ্র সংখ্যাকে a × 10ⁿ রূপে লেখা, সাধারণ লগের পূর্ণক ও অংশক বের করা (ক্যালকুলেটরসহ ও ছাড়া), আর স্বাভাবিক লগ।

আগে পড়ে নাওলগের সূত্র: গুণ হয় যোগ, ভাগ হয় বিয়োগ

MCQ ও সৃজনশীল শর্টকাট

প্রতিটি অঙ্কে তিন লাইন: প্রশ্ন, তারপর শর্টকাটটা প্রশ্নের ঠিক কোন জায়গায় লাগছে, তারপর উত্তর।

  1. ভিত্তি এক না হলে যোগ নয়

    একই ভিত্তি না হলে ঘাত যোগ করা যায় না। আগে ভিত্তি মিলাও, যেমন ৪ = ২²।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      23×222^3\times 2^2 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে দুটো ঘাতের ভিত্তি 22। শর্টকাট: ভিত্তি একই। ঘাত যোগ 3+2=53+2=5। 25=322^5=32।

      উত্তর

      3232

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      23×422^3\times 4^2 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভিত্তি 22 আর 44 আলাদা। শর্টকাট: আগে 4=224=2^2। 42=244^2=2^4। তারপর 23×24=27=1282^3\times 2^4=2^7=128।

      উত্তর

      128128

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      32×303^2\times 3^0 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে দুটো ঘাতের ভিত্তি 33। শর্টকাট: ভিত্তি একই। ঘাত 2+0=22+0=2। 32=93^2=9।

      উত্তর

      99

  2. লগ ১ আর লগ ভিত্তি

    যেকোনো ভিত্তিতে log ১ = ০। ভিত্তির নিজের লগ ১। অপশনে এটা সরাসরি কাটে।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      log⁡51\log_5 1 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে আর্গুমেন্ট 11, ভিত্তি 55। শর্টকাট: যেকোনো ভিত্তিতে log⁡1=0\log 1=0।

      উত্তর

      00

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      log⁡77\log_7 7 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভিত্তি আর আর্গুমেন্ট দুটোই 77। শর্টকাট: ভিত্তির নিজের লগ ১।

      উত্তর

      11

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      log⁡21+log⁡33\log_2 1+\log_3 3 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে প্রথমটা log⁡21\log_2 1, দ্বিতীয়টা log⁡33\log_3 3। শর্টকাট: প্রথমটা ০, দ্বিতীয়টা ১। যোগ 0+10+1।

      উত্তর

      11

  3. ভিত্তি বদল

    নতুন লগ = পুরোনো লগ ÷ নতুন ভিত্তির লগ। log_a b আর log_b a পরস্পরের বিপরীত।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      log⁡416\log_4 16 কত? ভিত্তি ২ এ আনো।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভিত্তি 44, আর্গুমেন্ট 1616, ভিত্তি ২ এ আনতে বলা। শর্টকাট: log⁡216=4\log_2 16=4, log⁡24=2\log_2 4=2। নতুন লগ 4÷2=24\div 2=2।

      উত্তর

      22

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      log⁡28×log⁡82\log_2 8\times\log_8 2 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে log⁡28\log_2 8 আর তার উল্টো log⁡82\log_8 2। শর্টকাট: log⁡28=3\log_2 8=3। উল্টো লগ log⁡82=13\log_8 2=\dfrac{1}{3}। গুণ 11।

      উত্তর

      11

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      log⁡93\log_9 3 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভিত্তি 99, আর্গুমেন্ট 33। শর্টকাট: log⁡33=1\log_3 3=1, log⁡39=2\log_3 9=2। ভাগ 1÷21\div 2।

      উত্তর

      12\dfrac{1}{2}

  4. ঋণাত্মক ঘাত উল্টো

    ঘাত মাইনাস দেখলে সরাসরি হরে নামাও। গুণ ভাগে বদলে যায়।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      2−32^{-3} কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ঘাত −3-3। শর্টকাট: মাইনাস ঘাত হরে। 123=18\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}।

      উত্তর

      18\dfrac{1}{8}

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      15−2\dfrac{1}{5^{-2}} কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে হরে ঘাত −2-2। শর্টকাট: হরের ঋণাত্মক ঘাত উল্টে লবে। 52=255^2=25।

      উত্তর

      2525

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      3−1×273^{-1}\times 27 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ঘাত −1-1। শর্টকাট: 3−1=133^{-1}=\dfrac{1}{3}। গুণ 13×27=9\dfrac{1}{3}\times 27=9।

      উত্তর

      99

  5. দশমিক সরিয়ে পূর্ণক

    বিন্দু সরিয়ে ১ থেকে ১০ এর মধ্যে আনো। যত ঘর সরালে, পূর্ণক তত। বাঁয়ে সরালে পূর্ণক ঋণ।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      500500 এর log⁡10\log_{10} এর পূর্ণক কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে 500500। শর্টকাট: বিন্দু সরিয়ে 5×1025\times 10^2। দুই ঘর, সংখ্যা ১ এর বড়, পূর্ণক +2+2।

      উত্তর

      22

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      0.050.05 এর log⁡10\log_{10} এর পূর্ণক কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে 0.050.05, ১ এর চেয়ে ছোট। শর্টকাট: বিন্দু সরিয়ে 5×10−25\times 10^{-2}। দুই ঘর, পূর্ণক ঋণ।

      উত্তর

      −2-2

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      88 এর log⁡10\log_{10} এর পূর্ণক কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে 88, ইতিমধ্যে ১ থেকে ১০। শর্টকাট: ঘর সরানো ০। পূর্ণক 00।

      উত্তর

      00

উত্তর যাচাইয়ের কৌশল

প্রতিটি অঙ্কে আগে একটা লেখা উত্তর, তারপর যাচাইটা সেই উত্তরের ঠিক কোন জায়গায় লাগছে।

  1. সূচকে ফিরিয়ে

    লগের উত্তরকে আবার ঘাত বানিয়ে মূল সংখ্যা ফিরে আসে কি না দেখো।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল log⁡28=3\log_2 8=3। সূচকে ফিরিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা ঘাত 33। সূচকে 23=82^3=8। ফিরে এল। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 33

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল log⁡39=3\log_3 9=3। সূচকে ফিরিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা ঘাত 33। 33=273^3=27, ৯ নয়। 32=93^2=9। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, 22

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল log⁡525=2\log_5 25=2। সূচকে ফিরিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা ঘাত 22। 52=255^2=25। ফিরে এল। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 22

  2. ভিত্তি ও আর্গুমেন্ট

    আর্গুমেন্ট ধনাত্মক। ভিত্তি ধনাত্মক এবং ১ নয়। এই শর্ত ভাঙলে লগ লেখা যায় না।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল log⁡2(−4)\log_2 (-4)। লেখা যায় কি, যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: আর্গুমেন্ট −4-4। আর্গুমেন্ট ঋণাত্মক। শর্ত ভাঙল। তাই লেখা যায় না।

      উত্তর

      যায় না

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল log⁡15\log_1 5। লেখা যায় কি, যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: ভিত্তি 11। ভিত্তি ১। শর্ত ভাঙল। তাই লেখা যায় না।

      উত্তর

      যায় না

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল log⁡416\log_4 16। লেখা যায় কি, যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: আর্গুমেন্ট 1616 আর ভিত্তি 44। আর্গুমেন্ট ধনাত্মক, ভিত্তি ৪ এবং ১ নয়। মান 22। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 22

  3. শূন্য ঘাত

    যেকোনো অশূন্য সংখ্যার ঘাত ০ হলে মান ১। ০ পেলে ঘাতের হিসাব ভুল।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 70=17^0=1। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: ঘাত 00। অশূন্য সংখ্যার ঘাত ০। মান ১। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      11

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 50=05^0=0। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা মান 00। ০ পেলে ঘাতের হিসাব ভুল। আসল ১। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, 11

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 20×30=12^0\times 3^0=1। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দুই শূন্য ঘাতের গুণ। 1×1=11\times 1=1। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      11

  4. ছোট ঘাতে মেলাও

    ২³ × ২² = ২⁵ = ৩২। সূত্র সন্দেহ হলে ছোট ঘাত দিয়ে দুই পাশ দেখো।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 23×22=322^3\times 2^2=32। ছোট ঘাতে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা গুণফল 3232। ঘাত যোগ 25=322^5=32। ছোট ঘাতে 8×4=328\times 4=32। মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      3232

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (23)2=25(2^3)^2=2^5। ছোট ঘাতে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা ঘাত 55। 82=648^2=64, 25=322^5=32। মেলে না। ঘাত গুণে 262^6। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, 6464

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 3532=27\dfrac{3^5}{3^2}=27। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা ভাগফল 2727। ঘাত বিয়োগ 33=273^3=27। 243÷9=27243\div 9=27। মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      2727

  5. পূর্ণকের চিহ্ন

    সংখ্যা ১ এর চেয়ে ছোট হলে পূর্ণক ঋণ। ধনাত্মক পূর্ণক এলে দশমিকের দিক উল্টো হয়েছে।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 0.030.03 এর পূর্ণক +2+2। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: পূর্ণকের চিহ্ন +2+2। ১ এর চেয়ে ছোট, পূর্ণক ঋণ। 3×10−23\times 10^{-2}। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, −2-2

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 250250 এর পূর্ণক +2+2। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: পূর্ণক +2+2। 2.5×1022.5\times 10^2। ১ এর বড়, পূর্ণক ধনাত্মক। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 22

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 66 এর পূর্ণক 11। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা পূর্ণক 11। 6=6×1006=6\times 10^0। পূর্ণক ০। ধনাত্মক ১ হলে দিক উল্টো। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, 00

এই পাঠের সূত্রপত্র

অঙ্ক করার সময় এই সূত্রগুলো খোলা রাখো।

  • গুণে ঘাত যোগ

    am×an=am+na^m\times a^n=a^{m+n}

    একই ভিত্তি গুণ করলে ঘাত যোগ হয়।

  • ভাগে ঘাত বিয়োগ

    aman=am−n\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}

    একই ভিত্তি ভাগ করলে ঘাত বিয়োগ হয়। a শূন্য নয়।

  • ঘাতের ঘাত

    (am)n=amn(a^m)^n=a^{mn}

    ঘাতের ঘাত গুণ হয়, যোগ নয়।

  • শূন্য ও ঋণাত্মক ঘাত

    a0=1 (a≠0)a^0=1\ (a\neq 0)a−n=1ana^{-n}=\dfrac{1}{a^n}

    শূন্য ঘাত ১। ঋণাত্মক ঘাত উল্টে হরে নামে।

  • ভগ্নাংশ সূচক

    am/n=amna^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}

    হর যত, মূল তত। a ধনাত্মক হলে এই রূপ নিরাপদ।

  • লগের সংজ্ঞা

    by=x  ⟺  log⁡bx=yb^y=x\iff\log_b x=y

    কোন ঘাতে ভিত্তি দিলে এই সংখ্যা পাই, সেই ঘাতই লগ।

  • লগের সূত্র

    log⁡b(xy)=log⁡bx+log⁡by\log_b(xy)=\log_b x+\log_b ylog⁡bxy=log⁡bx−log⁡by\log_b\dfrac{x}{y}=\log_b x-\log_b ylog⁡bxn=nlog⁡bx\log_b x^n=n\log_b x

    গুণ হয় যোগ, ভাগ হয় বিয়োগ, ঘাত সামনে নেমে আসে।

  • পূর্ণক ও অংশক

    log⁡10N=n+log⁡10a\log_{10} N=n+\log_{10} aN=a×10nN=a\times 10^n

    ১ ≤ a < ১০। n পূর্ণক, আর log a অংশক।

  • লগ ১ ও ভিত্তি

    log⁡b1=0\log_b 1=0log⁡bb=1\log_b b=1

    b ধনাত্মক এবং ১ নয়।

  • ভিত্তি বদল

    log⁡ax=log⁡bxlog⁡ba\log_a x=\dfrac{\log_b x}{\log_b a}

    লগের ভাগ। ভাগফলের লগ নয়।

  • উল্টো লগ

    log⁡ab=1log⁡ba\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}

    দুই ভিত্তি বদলালে লগ উল্টে যায়।

  • ভিত্তির ঘাত

    log⁡b(bn)=n\log_b(b^n)=n

    যে ঘাত ভিত্তির ওপর, লগ সেই ঘাত।

আলোর বেগ ৩০০০০০০০০ মিটার/সেকেন্ড, এটা ছোট করে লিখি কীভাবে?

বড় ও ছোট সংখ্যা সূচকে

আলোর বেগ 300000000300000000 মি./সে. লিখতে আটটা শূন্য লাগে, আর একটা শূন্য ভুলে গেলে হিসাব ভুল। আবার হাইড্রোজেন পরমাণুর ব্যাসার্ধ 0.00000000370.0000000037 সেমি.। এত বড় আর এত ছোট সংখ্যা লেখার সহজ উপায় সূচক: 3×1083 \times 10^8 আর 3.7×10−93.7 \times 10^{-9}।

এই রূপের নাম বৈজ্ঞানিক রূপ (scientific form): প্রথম অংশ সবসময় ১ থেকে ১০ এর মাঝে, তারপর ১০ এর একটা ঘাত। আর এই রূপ থেকেই লগের পূর্ণক ও অংশক সহজে বেরিয়ে আসে।

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

লগ = পূর্ণক + অংশক: বৈজ্ঞানিক রূপ থেকে প্রমাণ

গুণফলের লগ আর ঘাতের লগ দিয়ে

N=a×10nN = a \times 10^n (1≤a<101 \le a < 10, nn পূর্ণসংখ্যা)। দুই পাশে ভিত্তি ১০ এ লগ নিই:

log⁡10N=log⁡10(a×10n)\log_{10} N = \log_{10} (a \times 10^n)

=log⁡10a+log⁡1010n= \log_{10} a + \log_{10} 10^n ← গুণফলের লগ

=log⁡10a+nlog⁡1010= \log_{10} a + n \log_{10} 10 ← ঘাতের লগ

=n+log⁡10a= n + \log_{10} a ← log⁡1010=1\log_{10} 10 = 1। ∎

1≤a<101 \le a < 10 বলে 0≤log⁡10a<10 \le \log_{10} a < 1। তাই nn হলো লগের পূর্ণক আর log⁡10a\log_{10} a হলো অংশক (সবসময় ০ থেকে ১ এর মাঝে, ধনাত্মক)।

log⁡10N=n+log⁡10a\log_{10} N = n + \log_{10} a, পূর্ণক =n= n, অংশক =log⁡10a= \log_{10} a

নিজে দেখে বুঝো

নিজে বদলে দেখো

N = 2.717 × 103

বৈজ্ঞানিক রূপ: প্রথম অংশ ১ থেকে ১০ এর মধ্যে (১ ≤ a < ১০), আর ১০ এর ঘাত 3।

log₁₀ N3.43409= 3 + 0.43409
পূর্ণক (characteristic)3= ১০ এর ঘাত n
অংশক (mantissa).43409সবসময় ০ ও ১ এর মাঝে, ধনাত্মক

বইয়ের নিয়মে: পূর্ণ অংশে 4টি অঙ্ক, তাই পূর্ণক = 4 − ১ = 3। সূত্রে মিলেছে ✓

যেকোনো সংখ্যা লেখো। বোর্ড বৈজ্ঞানিক রূপ, পূর্ণক ও অংশক দেখাবে, আর বইয়ের অঙ্ক-গোনা নিয়মের সঙ্গে মেলাবে।

সংখ্যা লেখার ঘর। নিচে বৈজ্ঞানিক রূপ a × 10^n, লগের মান, পূর্ণক, অংশক, আর বইয়ের নিয়মে পূর্ণক গোনা (পূর্ণ অংশের অঙ্ক সংখ্যা − 1, বা দশমিকের পর শূন্য সংখ্যা + 1 ঋণাত্মক)।

গোনার নিয়ম

ক্যালকুলেটর ছাড়া পূর্ণক: N≥1N \ge 1 হলে পূর্ণ অংশে যতটা অঙ্ক, তার চেয়ে ১ কম। যেমন 55705570 এ ৪ অঙ্ক, পূর্ণক 33। N<1N < 1 হলে দশমিক বিন্দুর পর প্রথম সার্থক অঙ্কের আগে যতগুলো শূন্য, তার চেয়ে ১ বেশি, আর তা ঋণাত্মক। যেমন 0.0004350.000435 এ ৩টা শূন্য, পূর্ণক −4-4, লেখা হয় 4ˉ\bar{4}।

ঋণাত্মক পূর্ণকের কথা

পূর্ণক ঋণাত্মক হলে ঋণ চিহ্ন সংখ্যার ওপরে লেখা হয় (3ˉ\bar{3}), কারণ অংশক ধনাত্মকই থাকে। log⁡0.00836=−2.07779=−3+0.92221=3ˉ.92221\log 0.00836 = -2.07779 = -3 + 0.92221 = \bar{3}.92221। এখানে −2.07779-2.07779 থেকে সরাসরি পূর্ণক −2-2 ধরলে ভুল হবে।

বৈজ্ঞানিক রূপ আর পূর্ণকের অঙ্কে কোথা থেকে শুরু: দুটো অঙ্ক একসাথে

প্রথম কাজ: দশমিক বিন্দু কত ঘর সরালে সংখ্যা ১ থেকে ১০ এর মাঝে আসে? সেই ঘর সংখ্যাই ঘাত।

একসাথে করি ১

0.000512 বৈজ্ঞানিক রূপে

0.0005120.000512 কে বৈজ্ঞানিক রূপে লেখো।

  1. পড়ি

    সংখ্যাটা ১ এর চেয়ে অনেক ছোট।

  2. আঁকি

    প্রথম সার্থক অঙ্ক ৫। দশমিক বিন্দুকে ৫ এর ঠিক পরে আনতে ডানে কত ঘর?

  3. ভাবি

    ডানে ৪ ঘর সরালে 5.125.12, যা ১ ও ১০ এর মাঝে। ডানে সরালে সংখ্যা বড় হয়, তাই ঘাত ঋণাত্মক।

  4. করি

    0.000512=5.12×10−40.000512 = 5.12 \times 10^{-4}।

  5. মেলাই

    5.12×10−4=5.12×0.0001=0.0005125.12 \times 10^{-4} = 5.12 \times 0.0001 = 0.000512 ✓।

একসাথে করি ২

0.00836 এর পূর্ণক ও অংশক

log⁡0.00836=−2.07779\log 0.00836 = -2.07779 হলে এর পূর্ণক ও অংশক কত?

  1. পড়ি

    লগের মান ঋণাত্মক, কিন্তু অংশক ধনাত্মক হতে হবে।

  2. আঁকি

    সংখ্যায় দশমিকের পর ২টা শূন্য। বইয়ের নিয়মে পূর্ণক −(2+1)=−3-(2 + 1) = -3।

  3. ভাবি

    −2.07779=−3+(অংশক)-2.07779 = -3 + (\text{অংশক})। অংশক =−2.07779+3= -2.07779 + 3।

  4. করি

    অংশক =0.92221= 0.92221। তাই log⁡0.00836=3ˉ.92221\log 0.00836 = \bar{3}.92221।

  5. মেলাই

    −3+0.92221=−2.07779-3 + 0.92221 = -2.07779 ✓, আর 0≤0.92221<10 \le 0.92221 < 1 ✓।

বৈজ্ঞানিক রূপ, পূর্ণক-অংশক আর স্বাভাবিক লগের পাঁচ ধরন, প্রতিটায় চারটা করে

পাঁচ ধরন: বৈজ্ঞানিক রূপে লেখা, সাধারণ দশমিকে ফেরা, ক্যালকুলেটর ছাড়া পূর্ণক, লগের মান থেকে পূর্ণক-অংশক, আর স্বাভাবিক লগ।

ধরন ১

বৈজ্ঞানিক রূপে লেখা

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে 'বৈজ্ঞানিক আকারে প্রকাশ করো' আর একটা বড় বা ছোট সংখ্যা।

সমাধানের ধাপ

  1. প্রথম সার্থক অঙ্ক চিনে দশমিক বিন্দু তার পরে আনো
  2. কত ঘর সরালে তা গোনো
  3. বাঁয়ে সরালে (বড় সংখ্যা) ঘাত ধনাত্মক, ডানে সরালে ঋণাত্মক
  4. গুণ করে মূল সংখ্যায় ফিরে মেলাও
অঙ্ক ১.১সহজ

15000

1500015000 কে বৈজ্ঞানিক রূপে লেখো।

সমাধান

সরিয়ে

রূপ

1.5×1041.5 \times 10^4।

যাচাই

1.5×10000=150001.5 \times 10000 = 15000 ✓

অঙ্ক ১.২মাঝারি

0.000512

0.0005120.000512 কে বৈজ্ঞানিক রূপে লেখো।

সমাধান

সরিয়ে

রূপ

5.12×10−45.12 \times 10^{-4}।

যাচাই

5.12×0.0001=0.0005125.12 \times 0.0001 = 0.000512 ✓

অঙ্ক ১.৩মাঝারি

123.000512

123.000512123.000512 কে বৈজ্ঞানিক রূপে লেখো।

সমাধান

সরিয়ে

রূপ

1.23000512×1021.23000512 \times 10^2।

যাচাই

1.23000512×100=123.0005121.23000512 \times 100 = 123.000512 ✓

অঙ্ক ১.৪কঠিন

0.0000000037

একটা হাইড্রোজেন পরমাণুর ব্যাসার্ধ 0.00000000370.0000000037 সেমি.। বৈজ্ঞানিক রূপে লেখো।

সমাধান

সরিয়ে

রূপ

3.7×10−93.7 \times 10^{-9} সেমি.।

যাচাই

3.7×10−9=0.00000000373.7 \times 10^{-9} = 0.0000000037 ✓

ধরন ২

সাধারণ দশমিকে ফেরা

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে 'সাধারণ দশমিকে প্রকাশ করো' আর a×10na \times 10^n আকারের সংখ্যা।

সমাধানের ধাপ

  1. ঘাত ধনাত্মক হলে দশমিক বিন্দু ডানে সরাও
  2. ঋণাত্মক হলে বাঁয়ে সরাও
  3. খালি ঘরে শূন্য বসাও
  4. বৈজ্ঞানিক রূপে আবার লিখে মেলাও
অঙ্ক ২.১সহজ

10⁵

10510^5 কে সাধারণ দশমিকে লেখো।

সমাধান

শূন্য বসিয়ে

লিখি

100000100000।

যাচাই

102×103=100×1000=10000010^2 \times 10^3 = 100 \times 1000 = 100000 ✓

অঙ্ক ২.২মাঝারি

10⁻⁵

10−510^{-5} কে সাধারণ দশমিকে লেখো।

সমাধান

শূন্য বসিয়ে

লিখি

0.000010.00001।

যাচাই

0.00001×100000=10.00001 \times 100000 = 1 ✓

অঙ্ক ২.৩মাঝারি

2.53 × 10⁴

2.53×1042.53 \times 10^4 কে সাধারণ দশমিকে লেখো।

সমাধান

সরিয়ে

লিখি

2530025300।

যাচাই

2.53×10000=253002.53 \times 10000 = 25300 ✓

অঙ্ক ২.৪কঠিন

9.813 × 10⁻³

9.813×10−39.813 \times 10^{-3} কে সাধারণ দশমিকে লেখো।

সমাধান

সরিয়ে

লিখি

0.0098130.009813।

যাচাই

9.813×0.001=0.0098139.813 \times 0.001 = 0.009813 ✓

ধরন ৩

ক্যালকুলেটর ছাড়া পূর্ণক

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে 'ক্যালকুলেটর ব্যবহার না করে সাধারণ লগের পূর্ণক নির্ণয় করো'।

সমাধানের ধাপ

  1. সংখ্যা ১ এর বেশি হলে পূর্ণ অংশের অঙ্ক গোনো, ১ বিয়োগ
  2. সংখ্যা ১ এর কম হলে দশমিকের পর প্রথম সার্থক অঙ্কের আগে শূন্য গোনো, ১ যোগ, ঋণ চিহ্ন
  3. ঋণাত্মক পূর্ণক ওপরে বার দিয়ে লেখো
  4. বৈজ্ঞানিক রূপের ঘাতের সঙ্গে মেলাও
অঙ্ক ৩.১সহজ

5570

55705570 এর সাধারণ লগের পূর্ণক কত?

সমাধান

নিয়মে

গুনি

4−1=34 - 1 = 3।

যাচাই

বৈজ্ঞানিক রূপে ঘাত ৩ ✓

অঙ্ক ৩.২সহজ

45.70

45.7045.70 এর সাধারণ লগের পূর্ণক কত?

সমাধান

নিয়মে

গুনি

পূর্ণক 11।

যাচাই

45.70=4.570×10145.70 = 4.570 \times 10^1 ✓

অঙ্ক ৩.৩মাঝারি

0.4305

0.43050.4305 এর সাধারণ লগের পূর্ণক কত?

সমাধান

নিয়মে

গুনি

পূর্ণক −1-1, লেখা হয় 1ˉ\bar{1}।

যাচাই

0.4305=4.305×10−10.4305 = 4.305 \times 10^{-1} ✓

অঙ্ক ৩.৪কঠিন

0.000435

0.0004350.000435 এর সাধারণ লগের পূর্ণক কত?

সমাধান

নিয়মে

গুনি

পূর্ণক −4-4, লেখা হয় 4ˉ\bar{4}।

যাচাই

0.000435=4.35×10−40.000435 = 4.35 \times 10^{-4} ✓

ধরন ৪

লগের মান থেকে পূর্ণক ও অংশক

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে 'ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে সাধারণ লগের পূর্ণক ও অংশক নির্ণয় করো'।

সমাধানের ধাপ

  1. ক্যালকুলেটর বা বোর্ড থেকে লগের মান নাও
  2. মান ধনাত্মক হলে পূর্ণ অংশ পূর্ণক, দশমিক অংশ অংশক
  3. মান ঋণাত্মক হলে পরের পূর্ণসংখ্যা নিয়ে অংশক ধনাত্মক বানাও
  4. পূর্ণক + অংশক = মূল মান দিয়ে মেলাও
অঙ্ক ৪.১সহজ

log 2717

log⁡2717=3.43409\log 2717 = 3.43409 হলে এর পূর্ণক ও অংশক কত?

সমাধান

ভাগ করে

পূর্ণক

৩, অংশক 0.434090.43409।

যাচাই

3+0.43409=3.434093 + 0.43409 = 3.43409; ২৭১৭ এ ৪ অঙ্ক, 4−1=34 - 1 = 3 ✓

অঙ্ক ৪.২সহজ

log 43.517

log⁡43.517=1.63866\log 43.517 = 1.63866 হলে পূর্ণক ও অংশক কত?

সমাধান

ভাগ করে

পূর্ণক

১, অংশক 0.638660.63866।

যাচাই

1+0.63866=1.638661 + 0.63866 = 1.63866 ✓

অঙ্ক ৪.৩কঠিন

log 0.00836

log⁡0.00836=−2.07779\log 0.00836 = -2.07779 হলে পূর্ণক ও অংশক কত?

সমাধান

ঋণাত্মক মান ভেঙে

পূর্ণক

−3-3, লেখা হয় 3ˉ\bar{3}।

অংশক

−2.07779+3=0.92221-2.07779 + 3 = 0.92221। তাই 3ˉ.92221\bar{3}.92221।

যাচাই

−3+0.92221=−2.07779-3 + 0.92221 = -2.07779 ✓

অঙ্ক ৪.৪কঠিন

log 0.0742

log⁡0.0742=−1.12960\log 0.0742 = -1.12960 (প্রায়) হলে পূর্ণক ও অংশক কত?

সমাধান

ঋণাত্মক মান ভেঙে

পূর্ণক

2ˉ\bar{2}।

অংশক

−1.12960+2=0.87040-1.12960 + 2 = 0.87040। তাই 2ˉ.87040\bar{2}.87040।

যাচাই

−2+0.87040=−1.12960-2 + 0.87040 = -1.12960 ✓

ধরন ৫

স্বাভাবিক লগ

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে log⁡e\log_e বা ln⁡\ln, আর ১০ এর স্বাভাবিক লগ বা ক্যালকুলেটরে ln⁡\ln দিয়ে মান।

সমাধানের ধাপ

  1. স্বাভাবিক লগের ভিত্তি e ≈ 2.71828
  2. ln⁡x=log⁡10x÷log⁡10e\ln x = \log_{10} x \div \log_{10} e
  3. ln⁡e=1\ln e = 1ln⁡1=0\ln 1 = 0
  4. ln এর সূত্রও লগের সূত্রের মতো
অঙ্ক ৫.১মাঝারি

log_e 10

log⁡e10\log_e 10 এর মান নির্ণয় করো। (log⁡10e=0.43429\log_{10} e = 0.43429)

সমাধান

সূত্রে

হিসাব

10.43429=2.30259\frac{1}{0.43429} = 2.30259 (প্রায়)।

যাচাই

e2.30259≈10e^{2.30259} \approx 10 ✓

অঙ্ক ৫.২মাঝারি

ln 100

ln⁡10=2.30259\ln 10 = 2.30259 হলে ln⁡100\ln 100 এর মান কত?

সমাধান

সূত্রে

হিসাব

4.605184.60518 (প্রায় 4.60517)।

যাচাই

e4.605≈100e^{4.605} \approx 100 ✓

অঙ্ক ৫.৩কঠিন

log₁₀ 20

ln⁡20=2.99573\ln 20 = 2.99573 ও ln⁡10=2.30259\ln 10 = 2.30259 হলে log⁡1020\log_{10} 20 এর মান কত?

সমাধান

সূত্রে

হিসাব

≈1.30103\approx 1.30103।

যাচাই

log⁡1020=log⁡102+1=0.30103+1\log_{10} 20 = \log_{10} 2 + 1 = 0.30103 + 1 ✓

অঙ্ক ৫.৪সহজ

ln e³

ln⁡e3\ln e^3 এর মান কত?

সমাধান

সূত্রে

হিসাব

3×1=33 \times 1 = 3।

যাচাই

e3=e3e^3 = e^3 ✓, তাই লগ ৩

এই অংশের সাধারণ ভুল চেনো, নিজে অঙ্ক করো

নিচের অঙ্কগুলো নিজে করো। আটকে গেলে ইঙ্গিত দেখো, তারপর উত্তর মিলিয়ে নাও।

ভুল ধরো

তিনটা দেখতে-ঠিক কিন্তু ভুল সমাধান

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

ক: 0.000512=5.12×1040.000512 = 5.12 \times 10^{4}।

খ: log⁡0.00836=−2.07779\log 0.00836 = -2.07779, তাই পূর্ণক −2-2, অংশক −0.07779-0.07779।

গ: 0.43050.4305 এর পূর্ণক 00।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ক: ১ এর কম সংখ্যায় ঘাত ঋণাত্মক: 5.12×10−45.12 \times 10^{-4}। ধনাত্মক ঘাত দিলে সংখ্যা বিশাল (৫১২০০) হয়ে যায়।

খ: অংশক ঋণাত্মক হয় না। ঠিক: পূর্ণক −3-3, অংশক 0.922210.92221।

গ: 0.4305=4.305×10−10.4305 = 4.305 \times 10^{-1}, তাই পূর্ণক −1-1 (1ˉ\bar{1}), ০ নয়।

ধরার উপায়: বৈজ্ঞানিক রূপে লিখে ঘাতটা দেখো।

6.02 × 10²³ কে সাধারণ দশমিকে লিখলে অঙ্ক কতটা (শূন্যসহ)?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) ২৪। ঘাত ২৩ মানে মোট ২৪ অঙ্ক।

0.0035 এর লগের পূর্ণক কত?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) −3। −(2 + 1) = −3, লেখা ৩̄।

log N = 2.5 হলে অংশক কত?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) 0.5। পূর্ণক ২, অংশক 0.5।

প্রশ্ন ১. বৈজ্ঞানিক রূপে প্রকাশ করো: (ক) 65306530 (খ) 60.83160.831 (গ) 0.000000140.00000014

ইঙ্গিত দেখো

প্রথম সার্থক অঙ্ক ১ থেকে ৯ হবে।

উত্তর দেখো

(ক) 6.53×1036.53 \times 10^3। (খ) 6.0831×1016.0831 \times 10^1। (গ) 1.4×10−71.4 \times 10^{-7}।

প্রশ্ন ২. ক্যালকুলেটর ছাড়া পূর্ণক নির্ণয় করো: (ক) 48204820 (খ) 1.7341.734 (গ) 0.0000360.000036

ইঙ্গিত দেখো

(গ) এ ৪টা শূন্য।

উত্তর দেখো

(ক) ৩। (খ) ০। (গ) −(4+1)=−5-(4 + 1) = -5, অর্থাৎ 5ˉ\bar{5}।

মনে রাখো

  • বৈজ্ঞানিক রূপ: a×10na \times 10^n, 1≤a<101 \le a < 10।
  • লগ: log⁡N=n+log⁡a\log N = n + \log a, পূর্ণক nn, অংশক log⁡a\log a (ধনাত্মক)।
  • পূর্ণক গোনা: N≥1N \ge 1: অঙ্ক − 1; N<1N < 1: −(শূন্য + 1)।
  • স্বাভাবিক লগ: ln⁡x=log⁡10xlog⁡10e\ln x = \frac{\log_{10} x}{\log_{10} e}, ln⁡e=1\ln e = 1।