পাঠ ৩গণিত

লগারিদম কী: সূচকের উল্টো প্রশ্ন

পাঠের সারাংশ

২ কে কত ঘাত দিলে ৩২ হয়? এই প্রশ্নের উত্তরের নামই লগ। সূচক আর লগের রূপান্তর, আর লগের মৌলিক মান।

আগে পড়ে নাওভগ্নাংশ সূচক আর সূচকীয় সমীকরণ

MCQ ও সৃজনশীল শর্টকাট

প্রতিটি অঙ্কে তিন লাইন: প্রশ্ন, তারপর শর্টকাটটা প্রশ্নের ঠিক কোন জায়গায় লাগছে, তারপর উত্তর।

  1. ভিত্তি এক না হলে যোগ নয়

    একই ভিত্তি না হলে ঘাত যোগ করা যায় না। আগে ভিত্তি মিলাও, যেমন ৪ = ২²।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      23×222^3\times 2^2 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে দুটো ঘাতের ভিত্তি 22। শর্টকাট: ভিত্তি একই। ঘাত যোগ 3+2=53+2=5। 25=322^5=32।

      উত্তর

      3232

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      23×422^3\times 4^2 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভিত্তি 22 আর 44 আলাদা। শর্টকাট: আগে 4=224=2^2। 42=244^2=2^4। তারপর 23×24=27=1282^3\times 2^4=2^7=128।

      উত্তর

      128128

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      32×303^2\times 3^0 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে দুটো ঘাতের ভিত্তি 33। শর্টকাট: ভিত্তি একই। ঘাত 2+0=22+0=2। 32=93^2=9।

      উত্তর

      99

  2. লগ ১ আর লগ ভিত্তি

    যেকোনো ভিত্তিতে log ১ = ০। ভিত্তির নিজের লগ ১। অপশনে এটা সরাসরি কাটে।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      log⁡51\log_5 1 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে আর্গুমেন্ট 11, ভিত্তি 55। শর্টকাট: যেকোনো ভিত্তিতে log⁡1=0\log 1=0।

      উত্তর

      00

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      log⁡77\log_7 7 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভিত্তি আর আর্গুমেন্ট দুটোই 77। শর্টকাট: ভিত্তির নিজের লগ ১।

      উত্তর

      11

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      log⁡21+log⁡33\log_2 1+\log_3 3 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে প্রথমটা log⁡21\log_2 1, দ্বিতীয়টা log⁡33\log_3 3। শর্টকাট: প্রথমটা ০, দ্বিতীয়টা ১। যোগ 0+10+1।

      উত্তর

      11

  3. ভিত্তি বদল

    নতুন লগ = পুরোনো লগ ÷ নতুন ভিত্তির লগ। log_a b আর log_b a পরস্পরের বিপরীত।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      log⁡416\log_4 16 কত? ভিত্তি ২ এ আনো।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভিত্তি 44, আর্গুমেন্ট 1616, ভিত্তি ২ এ আনতে বলা। শর্টকাট: log⁡216=4\log_2 16=4, log⁡24=2\log_2 4=2। নতুন লগ 4÷2=24\div 2=2।

      উত্তর

      22

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      log⁡28×log⁡82\log_2 8\times\log_8 2 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে log⁡28\log_2 8 আর তার উল্টো log⁡82\log_8 2। শর্টকাট: log⁡28=3\log_2 8=3। উল্টো লগ log⁡82=13\log_8 2=\dfrac{1}{3}। গুণ 11।

      উত্তর

      11

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      log⁡93\log_9 3 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভিত্তি 99, আর্গুমেন্ট 33। শর্টকাট: log⁡33=1\log_3 3=1, log⁡39=2\log_3 9=2। ভাগ 1÷21\div 2।

      উত্তর

      12\dfrac{1}{2}

  4. ঋণাত্মক ঘাত উল্টো

    ঘাত মাইনাস দেখলে সরাসরি হরে নামাও। গুণ ভাগে বদলে যায়।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      2−32^{-3} কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ঘাত −3-3। শর্টকাট: মাইনাস ঘাত হরে। 123=18\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}।

      উত্তর

      18\dfrac{1}{8}

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      15−2\dfrac{1}{5^{-2}} কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে হরে ঘাত −2-2। শর্টকাট: হরের ঋণাত্মক ঘাত উল্টে লবে। 52=255^2=25।

      উত্তর

      2525

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      3−1×273^{-1}\times 27 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ঘাত −1-1। শর্টকাট: 3−1=133^{-1}=\dfrac{1}{3}। গুণ 13×27=9\dfrac{1}{3}\times 27=9।

      উত্তর

      99

  5. দশমিক সরিয়ে পূর্ণক

    বিন্দু সরিয়ে ১ থেকে ১০ এর মধ্যে আনো। যত ঘর সরালে, পূর্ণক তত। বাঁয়ে সরালে পূর্ণক ঋণ।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      500500 এর log⁡10\log_{10} এর পূর্ণক কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে 500500। শর্টকাট: বিন্দু সরিয়ে 5×1025\times 10^2। দুই ঘর, সংখ্যা ১ এর বড়, পূর্ণক +2+2।

      উত্তর

      22

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      0.050.05 এর log⁡10\log_{10} এর পূর্ণক কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে 0.050.05, ১ এর চেয়ে ছোট। শর্টকাট: বিন্দু সরিয়ে 5×10−25\times 10^{-2}। দুই ঘর, পূর্ণক ঋণ।

      উত্তর

      −2-2

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      88 এর log⁡10\log_{10} এর পূর্ণক কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে 88, ইতিমধ্যে ১ থেকে ১০। শর্টকাট: ঘর সরানো ০। পূর্ণক 00।

      উত্তর

      00

উত্তর যাচাইয়ের কৌশল

প্রতিটি অঙ্কে আগে একটা লেখা উত্তর, তারপর যাচাইটা সেই উত্তরের ঠিক কোন জায়গায় লাগছে।

  1. সূচকে ফিরিয়ে

    লগের উত্তরকে আবার ঘাত বানিয়ে মূল সংখ্যা ফিরে আসে কি না দেখো।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল log⁡28=3\log_2 8=3। সূচকে ফিরিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা ঘাত 33। সূচকে 23=82^3=8। ফিরে এল। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 33

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল log⁡39=3\log_3 9=3। সূচকে ফিরিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা ঘাত 33। 33=273^3=27, ৯ নয়। 32=93^2=9। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, 22

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল log⁡525=2\log_5 25=2। সূচকে ফিরিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা ঘাত 22। 52=255^2=25। ফিরে এল। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 22

  2. ভিত্তি ও আর্গুমেন্ট

    আর্গুমেন্ট ধনাত্মক। ভিত্তি ধনাত্মক এবং ১ নয়। এই শর্ত ভাঙলে লগ লেখা যায় না।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল log⁡2(−4)\log_2 (-4)। লেখা যায় কি, যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: আর্গুমেন্ট −4-4। আর্গুমেন্ট ঋণাত্মক। শর্ত ভাঙল। তাই লেখা যায় না।

      উত্তর

      যায় না

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল log⁡15\log_1 5। লেখা যায় কি, যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: ভিত্তি 11। ভিত্তি ১। শর্ত ভাঙল। তাই লেখা যায় না।

      উত্তর

      যায় না

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল log⁡416\log_4 16। লেখা যায় কি, যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: আর্গুমেন্ট 1616 আর ভিত্তি 44। আর্গুমেন্ট ধনাত্মক, ভিত্তি ৪ এবং ১ নয়। মান 22। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 22

  3. শূন্য ঘাত

    যেকোনো অশূন্য সংখ্যার ঘাত ০ হলে মান ১। ০ পেলে ঘাতের হিসাব ভুল।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 70=17^0=1। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: ঘাত 00। অশূন্য সংখ্যার ঘাত ০। মান ১। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      11

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 50=05^0=0। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা মান 00। ০ পেলে ঘাতের হিসাব ভুল। আসল ১। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, 11

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 20×30=12^0\times 3^0=1। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দুই শূন্য ঘাতের গুণ। 1×1=11\times 1=1। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      11

  4. ছোট ঘাতে মেলাও

    ২³ × ২² = ২⁵ = ৩২। সূত্র সন্দেহ হলে ছোট ঘাত দিয়ে দুই পাশ দেখো।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 23×22=322^3\times 2^2=32। ছোট ঘাতে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা গুণফল 3232। ঘাত যোগ 25=322^5=32। ছোট ঘাতে 8×4=328\times 4=32। মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      3232

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (23)2=25(2^3)^2=2^5। ছোট ঘাতে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা ঘাত 55। 82=648^2=64, 25=322^5=32। মেলে না। ঘাত গুণে 262^6। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, 6464

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 3532=27\dfrac{3^5}{3^2}=27। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা ভাগফল 2727। ঘাত বিয়োগ 33=273^3=27। 243÷9=27243\div 9=27। মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      2727

  5. পূর্ণকের চিহ্ন

    সংখ্যা ১ এর চেয়ে ছোট হলে পূর্ণক ঋণ। ধনাত্মক পূর্ণক এলে দশমিকের দিক উল্টো হয়েছে।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 0.030.03 এর পূর্ণক +2+2। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: পূর্ণকের চিহ্ন +2+2। ১ এর চেয়ে ছোট, পূর্ণক ঋণ। 3×10−23\times 10^{-2}। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, −2-2

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 250250 এর পূর্ণক +2+2। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: পূর্ণক +2+2। 2.5×1022.5\times 10^2। ১ এর বড়, পূর্ণক ধনাত্মক। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 22

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 66 এর পূর্ণক 11। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা পূর্ণক 11। 6=6×1006=6\times 10^0। পূর্ণক ০। ধনাত্মক ১ হলে দিক উল্টো। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, 00

এই পাঠের সূত্রপত্র

অঙ্ক করার সময় এই সূত্রগুলো খোলা রাখো।

  • গুণে ঘাত যোগ

    am×an=am+na^m\times a^n=a^{m+n}

    একই ভিত্তি গুণ করলে ঘাত যোগ হয়।

  • ভাগে ঘাত বিয়োগ

    aman=am−n\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}

    একই ভিত্তি ভাগ করলে ঘাত বিয়োগ হয়। a শূন্য নয়।

  • ঘাতের ঘাত

    (am)n=amn(a^m)^n=a^{mn}

    ঘাতের ঘাত গুণ হয়, যোগ নয়।

  • শূন্য ও ঋণাত্মক ঘাত

    a0=1 (a≠0)a^0=1\ (a\neq 0)a−n=1ana^{-n}=\dfrac{1}{a^n}

    শূন্য ঘাত ১। ঋণাত্মক ঘাত উল্টে হরে নামে।

  • ভগ্নাংশ সূচক

    am/n=amna^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}

    হর যত, মূল তত। a ধনাত্মক হলে এই রূপ নিরাপদ।

  • লগের সংজ্ঞা

    by=x  ⟺  log⁡bx=yb^y=x\iff\log_b x=y

    কোন ঘাতে ভিত্তি দিলে এই সংখ্যা পাই, সেই ঘাতই লগ।

  • লগের সূত্র

    log⁡b(xy)=log⁡bx+log⁡by\log_b(xy)=\log_b x+\log_b ylog⁡bxy=log⁡bx−log⁡by\log_b\dfrac{x}{y}=\log_b x-\log_b ylog⁡bxn=nlog⁡bx\log_b x^n=n\log_b x

    গুণ হয় যোগ, ভাগ হয় বিয়োগ, ঘাত সামনে নেমে আসে।

  • পূর্ণক ও অংশক

    log⁡10N=n+log⁡10a\log_{10} N=n+\log_{10} aN=a×10nN=a\times 10^n

    ১ ≤ a < ১০। n পূর্ণক, আর log a অংশক।

  • লগ ১ ও ভিত্তি

    log⁡b1=0\log_b 1=0log⁡bb=1\log_b b=1

    b ধনাত্মক এবং ১ নয়।

  • ভিত্তি বদল

    log⁡ax=log⁡bxlog⁡ba\log_a x=\dfrac{\log_b x}{\log_b a}

    লগের ভাগ। ভাগফলের লগ নয়।

  • উল্টো লগ

    log⁡ab=1log⁡ba\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}

    দুই ভিত্তি বদলালে লগ উল্টে যায়।

  • ভিত্তির ঘাত

    log⁡b(bn)=n\log_b(b^n)=n

    যে ঘাত ভিত্তির ওপর, লগ সেই ঘাত।

২ কে কত ঘাত দিলে ৩২ হয়? উত্তরটার একটা নাম আছে

2⁵ = 32 আর log₂ 32 = 5 একই কথা

25=322^5 = 32। এখানে আমরা ভিত্তি ২ আর সূচক ৫ জানি, ফল জানতে চাই। এবার উল্টো প্রশ্ন: ভিত্তি ২ আর ফল ৩২ জানি, সূচকটা কত? উত্তর ৫।

এই উল্টো প্রশ্নের উত্তরকে বলে লগারিদম (logarithm)। লিখি: log⁡232=5\log_2 32 = 5। পড়ি: “২ ভিত্তিতে ৩২ এর লগ ৫”। মানে: ২ কে ৫ ঘাত দিলে ৩২।

বদলটা শুধু লেখায়: 25=322^5 = 32 আর log⁡232=5\log_2 32 = 5 একই কথা, দুই ভাষায়। এই অনুবাদটা শিখলেই লগারিদমের অর্ধেক হয়ে যায়।

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

লগ হলো সূচক বের করার প্রশ্ন: সংজ্ঞা আর অনুবাদের নিয়ম

অনুবাদের নিয়ম

সংজ্ঞা: b>0b > 0, b≠1b \ne 1 এবং x>0x > 0 হলে, by=xb^y = x হলে এবং কেবল তখনই log⁡bx=y\log_b x = y।

by=x  ⟺  log⁡bx=yb^y = x \iff \log_b x = y

কে কোন জায়গায়

ভিত্তি (bb) দুই ভাষায় ভিত্তিই থাকে। লগ (yy) সূচকের ঘরে বসে। সংখ্যা (xx) ফলের ঘরে। বোর্ডে ভিত্তি বদলে আর xx লিখে দেখো। ঘাতের তালিকায় xx যেখানে মেলে, ওপরের সংখ্যাটাই লগ।

নিজে দেখে বুঝো

নিজে বদলে দেখো
ভিত্তি b:
ঘাত y-2-10123456
2y0.250.51248163264

log2 8 = 3 মানে 23 = 8

ঠিক মান পাওয়া গেল: ঘাত 3।

নিয়মবাম পাশডান পাশ
log(x·y) = log x + log y55✓
log(x ÷ y) = log x − log y11✓
log(xⁿ) = n · log x99✓
ভিত্তি বাছো, x লেখো (যেমন 8, 0.125, 1/4)। ঘাতের তালিকায় x যে ঘরে মেলে সেটা সবুজ হবে, আর ওপরের ঘাতই লগ।

ভিত্তির বোতাম (2, 3, 5, 10), x ও y লেখার ঘর। একটা তালিকায় ভিত্তির ঘাত (−2 থেকে ৬), x মিললে সবুজ। নিচে লগের মান, আর লগের তিন নিয়মের বাম ও ডান পাশ মেলানো।

বিশেষ মান আর নিষেধ

দুটো বিশেষ মান। b0=1b^0 = 1, তাই log⁡b1=0\log_b 1 = 0। b1=bb^1 = b, তাই log⁡bb=1\log_b b = 1। যেকোনো ভিত্তিতে।

কেন ভিত্তি ১ হয় না? 1y1^y সবসময় ১, তাই log⁡15\log_1 5 বলে কিছু হয় না। কেন xx ধনাত্মক? ভিত্তি ধনাত্মক হলে byb^y কখনো ঋণাত্মক বা ০ হয় না, তাই log⁡b(−8)\log_b (-8) বা log⁡b0\log_b 0 নেই।

এক লাইনে লগ

লগ মানে সূচক। ”log⁡bx\log_b x কত?” প্রশ্নটার মানে: ”bb কে কত ঘাত দিলে xx পাব?”। ভিত্তির সঙ্গে সংখ্যা দেখে ঘাত ভাবো।

লগের অঙ্কে কোথা থেকে শুরু: দুটো অঙ্ক একসাথে

সব লগের অঙ্কে প্রথম কাজ: সূচকের আকারে লিখে ফেলো। তারপর আর লগের ভয় থাকে না।

একসাথে করি ১

log₉ 3 এর মান

log⁡93\log_9 3 এর মান কত?

  1. পড়ি

    ভিত্তি ৯, সংখ্যা ৩। ৯ কে কত ঘাত দিলে ৩ হয়?

  2. আঁকি

    ধরি log⁡93=y\log_9 3 = y, তাহলে সূচকে 9y=39^y = 3।

  3. ভাবি

    ৯ আর ৩ দুটোই ৩ এর ঘাত: 9=329 = 3^2।

  4. করি

    (32)y=31(3^2)^y = 3^1, 32y=313^{2y} = 3^1, 2y=12y = 1, y=12y = \frac{1}{2}।

  5. মেলাই

    91/2=9=39^{1/2} = \sqrt{9} = 3 ✓।

একসাথে করি ২

log_x 49 = 2 থেকে x

log⁡x49=2\log_x 49 = 2 হলে xx কত?

  1. পড়ি

    এখানে ভিত্তি অজানা।

  2. আঁকি

    সূচকে লিখি: x2=49x^2 = 49।

  3. ভাবি

    ভিত্তি ধনাত্মক আর ১ নয়, তাই x=7x = 7 নেবো, −7-7 নয়।

  4. করি

    x2=49x^2 = 49, x=7x = 7।

  5. মেলাই

    72=497^2 = 49 ✓, তাই log⁡749=2\log_7 49 = 2।

লগারিদমের চার ধরনের অঙ্ক, প্রতিটায় চারটা করে

চার ধরন: সূচক থেকে লগ, লগ থেকে মান, অজানা ভিত্তি বা সংখ্যা, আর মিশ্র মান।

ধরন ১

সূচক থেকে লগে অনুবাদ

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে বলা 'লগের আকারে লেখো' বা 'সূচকের আকারে লেখো'।

সমাধানের ধাপ

  1. ভিত্তি, ঘাত, ফল আলাদা করে চেনো
  2. ভিত্তি লগের নিচে, ফল লগের পরে, ঘাত সমান চিহ্নের ওপারে
  3. উল্টো করে সূচকে ফিরে মেলাও
অঙ্ক ১.১সহজ

2⁵ = 32

25=322^5 = 32 কে লগের আকারে লেখো।

সমাধান

অনুবাদে

লিখি

log⁡232=5\log_2 32 = 5।

যাচাই

২ কে ৫ ঘাত দিলে ৩২ ✓

অঙ্ক ১.২মাঝারি

10⁻² = 0.01

10−2=0.0110^{-2} = 0.01 কে লগের আকারে লেখো।

সমাধান

অনুবাদে

লিখি

log⁡100.01=−2\log_{10} 0.01 = -2।

যাচাই

10−2=1100=0.0110^{-2} = \frac{1}{100} = 0.01 ✓

অঙ্ক ১.৩সহজ

log₃ 81 = 4 থেকে সূচকে

log⁡381=4\log_3 81 = 4 কে সূচকের আকারে লেখো।

সমাধান

অনুবাদে

লিখি

34=813^4 = 81।

যাচাই

3×3×3×3=813 \times 3 \times 3 \times 3 = 81 ✓

অঙ্ক ১.৪মাঝারি

log₅ 1 = 0

log⁡51=0\log_5 1 = 0 কেন সত্য, সূচকের আকারে বলো।

সমাধান

অনুবাদে

সূচকে

50=15^0 = 1, তাই log⁡51=0\log_5 1 = 0।

সাধারণভাবে

যেকোনো ভিত্তিতে ১ এর লগ ০।

ধরন ২

লগের মান নির্ণয়

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে 'মান নির্ণয় করো' আর একটা log⁡bx\log_b x (ভিত্তি ও সংখ্যা দুটোই দেওয়া)।

সমাধানের ধাপ

  1. log = y ধরো
  2. সূচকে লেখো: bʸ = x
  3. দুই পাশকে একই ভিত্তির ঘাতে লিখে y বের করো
  4. bʸ = x তে বসিয়ে মেলাও
অঙ্ক ২.১সহজ

log₂ 64

log⁡264\log_2 64 এর মান কত?

সমাধান

সূচকে এনে

সমীকরণ

2y=262^y = 2^6, y=6y = 6।

যাচাই

26=642^6 = 64 ✓

অঙ্ক ২.২মাঝারি

log₉ 3

log⁡93\log_9 3 এর মান কত?

সমাধান

সূচকে এনে

সমীকরণ

32y=313^{2y} = 3^1, y=12y = \frac{1}{2}।

যাচাই

91/2=39^{1/2} = 3 ✓

অঙ্ক ২.৩মাঝারি

log₅ (1/25)

log⁡5125\log_5 \dfrac{1}{25} এর মান কত?

সমাধান

সূচকে এনে

সমীকরণ

y=−2y = -2।

যাচাই

5−2=1255^{-2} = \frac{1}{25} ✓

অঙ্ক ২.৪কঠিন

log_(1/2) 8

log⁡1/28\log_{1/2} 8 এর মান কত?

সমাধান

সূচকে এনে

সমীকরণ

2−y=232^{-y} = 2^3, −y=3-y = 3, y=−3y = -3।

যাচাই

(12)−3=23=8\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8 ✓

ধরন ৩

অজানা ভিত্তি বা সংখ্যা

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

লগের সমীকরণে ভিত্তি বা সংখ্যা অজানা, আর লগের মান দেওয়া।

সমাধানের ধাপ

  1. সূচকের আকারে লেখো
  2. অজানা যেখানে, সেই সাধারণ সমীকরণ সমাধান করো
  3. ভিত্তি ধনাত্মক ও ১ নয়, সংখ্যা ধনাত্মক কি না দেখো
  4. লগে বসিয়ে মেলাও
অঙ্ক ৩.১সহজ

log_x 49 = 2

log⁡x49=2\log_x 49 = 2 হলে xx কত?

সমাধান

সূচকে এনে

সমীকরণ

x=7x = 7 (−7-7 নয়, ভিত্তি ধনাত্মক হতে হবে)।

যাচাই

log⁡749=2\log_7 49 = 2 ✓

অঙ্ক ৩.২সহজ

log₃ x = 4

log⁡3x=4\log_3 x = 4 হলে xx কত?

সমাধান

সূচকে এনে

হিসাব

x=81x = 81।

যাচাই

log⁡381=4\log_3 81 = 4 ✓

অঙ্ক ৩.৩মাঝারি

log₂ (x + 1) = 4

log⁡2(x+1)=4\log_2 (x + 1) = 4 হলে xx কত?

সমাধান

সূচকে এনে

সমীকরণ

x+1=16x + 1 = 16, x=15x = 15।

যাচাই

log⁡216=4\log_2 16 = 4 ✓, আর x+1=16>0x + 1 = 16 > 0 ✓

অঙ্ক ৩.৪কঠিন

log_x (1/8) = −3

log⁡x18=−3\log_x \dfrac{1}{8} = -3 হলে xx কত?

সমাধান

সূচকে এনে

সমীকরণ

x3=8x^3 = 8, x=2x = 2।

যাচাই

2−3=182^{-3} = \frac{1}{8} ✓

ধরন ৪

মিশ্র মান

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে একাধিক লগ একসাথে, যোগ-বিয়োগ বা ভেতরে ভেতরে লগ।

সমাধানের ধাপ

  1. প্রতিটা লগ আলাদা করে সূচকে বের করো
  2. log⁡bb=1\log_b b = 1log⁡b1=0কাজেলাগাও\log_b 1 = 0 কাজে লাগাও
  3. ভেতরের লগ আগে, বাইরের লগ পরে
  4. যোগ-বিয়োগ করে মেলাও
অঙ্ক ৪.১সহজ

log₃ 27 + log₂ 8

log⁡327+log⁡28\log_3 27 + \log_2 8 এর মান কত?

সমাধান

আলাদা করে

প্রতিটা

log⁡327=3\log_3 27 = 3, log⁡28=3\log_2 8 = 3।

যোগ

3+3=63 + 3 = 6।

অঙ্ক ৪.২মাঝারি

log₁₀ 1000 − log₅ 25

log⁡101000−log⁡525\log_{10} 1000 - \log_5 25 এর মান কত?

সমাধান

আলাদা করে

প্রতিটা

log⁡101000=3\log_{10} 1000 = 3, log⁡525=2\log_5 25 = 2।

বিয়োগ

3−2=13 - 2 = 1।

অঙ্ক ৪.৩মাঝারি

5·log₇ 7 + 3·log₉ 1

5log⁡77+3log⁡915 \log_7 7 + 3 \log_9 1 এর মান কত?

সমাধান

বিশেষ মানে

বসাই

5×1+3×0=55 \times 1 + 3 \times 0 = 5।

যাচাই

71=77^1 = 7 ✓, 90=19^0 = 1 ✓

অঙ্ক ৪.৪কঠিন

log₂ (log₃ 9)

log⁡2(log⁡39)\log_2 (\log_3 9) এর মান কত?

সমাধান

ভেতর থেকে

ভেতরের

log⁡39=2\log_3 9 = 2।

বাইরের

log⁡22=1\log_2 2 = 1।

লগে সাধারণ ভুল চেনো, নিজে অঙ্ক করো

নিচের অঙ্কগুলো নিজে করো। আটকে গেলে ইঙ্গিত দেখো, তারপর উত্তর মিলিয়ে নাও।

ভুল ধরো

তিনটা দেখতে-ঠিক কিন্তু ভুল সমাধান

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

ক: log⁡28=8÷2=4\log_2 8 = 8 \div 2 = 4।

খ: log⁡10(−100)=−2\log_{10} (-100) = -2।

গ: log⁡31=1\log_3 1 = 1।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ক: লগ মানে ঘাত: ২ কে কত ঘাত দিলে ৮? ৩। log⁡28=3\log_2 8 = 3।

খ: ঋণাত্মক সংখ্যার লগ হয় না, কারণ 10y10^y কখনো ঋণাত্মক হয় না।

গ: 30=13^0 = 1, তাই log⁡31=0\log_3 1 = 0। ১ হয় log⁡33\log_3 3।

ধরার উপায়: লগকে সূচকের আকারে লিখে মেলাও।

log₂ 16 = ?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (ক) ৪। 2⁴ = 16।

10³ = 1000 কে লগে লিখলে?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) log₁₀ 1000 = 3। ভিত্তি লগের নিচে, ফল লগের পরে: log₁₀ 1000 = 3।

log_x 25 = 2 হলে x = ?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (ক) ৫। x = 5।

প্রশ্ন ১. মান নির্ণয় করো: (ক) log⁡42\log_4 2 (খ) log⁡0.1100\log_{0.1} 100

ইঙ্গিত দেখো

(ক) 4y=24^y = 2। (খ) 0.1=10−10.1 = 10^{-1}।

উত্তর দেখো

(ক) y=12y = \frac{1}{2}। (খ) (10−1)y=102(10^{-1})^y = 10^2, y=−2y = -2।

প্রশ্ন ২. xx এর মান বের করো: (ক) log⁡5(2x−1)=2\log_5 (2x - 1) = 2 (খ) log⁡x81=4\log_x 81 = 4

ইঙ্গিত দেখো

(ক) 2x−1=252x - 1 = 25। (খ) x4=81x^4 = 81।

উত্তর দেখো

(ক) x=13x = 13। (খ) x=3x = 3।

মনে রাখো

  • সংজ্ঞা: by=x  ⟺  log⁡bx=yb^y = x \iff \log_b x = y।
  • বিশেষ মান: log⁡b1=0\log_b 1 = 0, log⁡bb=1\log_b b = 1।
  • শর্ত: ভিত্তি ধনাত্মক ও ≠1\ne 1; সংখ্যা ধনাত্মক।
  • কৌশল: আটকে গেলে সূচকের আকারে লেখো।