পাঠ ২গণিত

ভগ্নাংশ সূচক আর সূচকীয় সমীকরণ

পাঠের সারাংশ

a^(1/2) মানে বর্গমূল, a^(1/3) মানে ঘনমূল। ভগ্নাংশ সূচকের নিয়ম আর তা দিয়ে সূচকীয় সমীকরণ, আর বাস্তব দ্বিগুণ-তিনগুণ হওয়ার অঙ্ক।

আগে পড়ে নাওসূচক ও সূচকের নিয়ম

MCQ ও সৃজনশীল শর্টকাট

প্রতিটি অঙ্কে তিন লাইন: প্রশ্ন, তারপর শর্টকাটটা প্রশ্নের ঠিক কোন জায়গায় লাগছে, তারপর উত্তর।

  1. ভিত্তি এক না হলে যোগ নয়

    একই ভিত্তি না হলে ঘাত যোগ করা যায় না। আগে ভিত্তি মিলাও, যেমন ৪ = ২²।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      23×222^3\times 2^2 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে দুটো ঘাতের ভিত্তি 22। শর্টকাট: ভিত্তি একই। ঘাত যোগ 3+2=53+2=5। 25=322^5=32।

      উত্তর

      3232

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      23×422^3\times 4^2 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভিত্তি 22 আর 44 আলাদা। শর্টকাট: আগে 4=224=2^2। 42=244^2=2^4। তারপর 23×24=27=1282^3\times 2^4=2^7=128।

      উত্তর

      128128

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      32×303^2\times 3^0 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে দুটো ঘাতের ভিত্তি 33। শর্টকাট: ভিত্তি একই। ঘাত 2+0=22+0=2। 32=93^2=9।

      উত্তর

      99

  2. লগ ১ আর লগ ভিত্তি

    যেকোনো ভিত্তিতে log ১ = ০। ভিত্তির নিজের লগ ১। অপশনে এটা সরাসরি কাটে।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      log⁡51\log_5 1 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে আর্গুমেন্ট 11, ভিত্তি 55। শর্টকাট: যেকোনো ভিত্তিতে log⁡1=0\log 1=0।

      উত্তর

      00

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      log⁡77\log_7 7 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভিত্তি আর আর্গুমেন্ট দুটোই 77। শর্টকাট: ভিত্তির নিজের লগ ১।

      উত্তর

      11

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      log⁡21+log⁡33\log_2 1+\log_3 3 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে প্রথমটা log⁡21\log_2 1, দ্বিতীয়টা log⁡33\log_3 3। শর্টকাট: প্রথমটা ০, দ্বিতীয়টা ১। যোগ 0+10+1।

      উত্তর

      11

  3. ভিত্তি বদল

    নতুন লগ = পুরোনো লগ ÷ নতুন ভিত্তির লগ। log_a b আর log_b a পরস্পরের বিপরীত।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      log⁡416\log_4 16 কত? ভিত্তি ২ এ আনো।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভিত্তি 44, আর্গুমেন্ট 1616, ভিত্তি ২ এ আনতে বলা। শর্টকাট: log⁡216=4\log_2 16=4, log⁡24=2\log_2 4=2। নতুন লগ 4÷2=24\div 2=2।

      উত্তর

      22

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      log⁡28×log⁡82\log_2 8\times\log_8 2 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে log⁡28\log_2 8 আর তার উল্টো log⁡82\log_8 2। শর্টকাট: log⁡28=3\log_2 8=3। উল্টো লগ log⁡82=13\log_8 2=\dfrac{1}{3}। গুণ 11।

      উত্তর

      11

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      log⁡93\log_9 3 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভিত্তি 99, আর্গুমেন্ট 33। শর্টকাট: log⁡33=1\log_3 3=1, log⁡39=2\log_3 9=2। ভাগ 1÷21\div 2।

      উত্তর

      12\dfrac{1}{2}

  4. ঋণাত্মক ঘাত উল্টো

    ঘাত মাইনাস দেখলে সরাসরি হরে নামাও। গুণ ভাগে বদলে যায়।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      2−32^{-3} কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ঘাত −3-3। শর্টকাট: মাইনাস ঘাত হরে। 123=18\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}।

      উত্তর

      18\dfrac{1}{8}

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      15−2\dfrac{1}{5^{-2}} কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে হরে ঘাত −2-2। শর্টকাট: হরের ঋণাত্মক ঘাত উল্টে লবে। 52=255^2=25।

      উত্তর

      2525

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      3−1×273^{-1}\times 27 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ঘাত −1-1। শর্টকাট: 3−1=133^{-1}=\dfrac{1}{3}। গুণ 13×27=9\dfrac{1}{3}\times 27=9।

      উত্তর

      99

  5. দশমিক সরিয়ে পূর্ণক

    বিন্দু সরিয়ে ১ থেকে ১০ এর মধ্যে আনো। যত ঘর সরালে, পূর্ণক তত। বাঁয়ে সরালে পূর্ণক ঋণ।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      500500 এর log⁡10\log_{10} এর পূর্ণক কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে 500500। শর্টকাট: বিন্দু সরিয়ে 5×1025\times 10^2। দুই ঘর, সংখ্যা ১ এর বড়, পূর্ণক +2+2।

      উত্তর

      22

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      0.050.05 এর log⁡10\log_{10} এর পূর্ণক কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে 0.050.05, ১ এর চেয়ে ছোট। শর্টকাট: বিন্দু সরিয়ে 5×10−25\times 10^{-2}। দুই ঘর, পূর্ণক ঋণ।

      উত্তর

      −2-2

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      88 এর log⁡10\log_{10} এর পূর্ণক কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে 88, ইতিমধ্যে ১ থেকে ১০। শর্টকাট: ঘর সরানো ০। পূর্ণক 00।

      উত্তর

      00

উত্তর যাচাইয়ের কৌশল

প্রতিটি অঙ্কে আগে একটা লেখা উত্তর, তারপর যাচাইটা সেই উত্তরের ঠিক কোন জায়গায় লাগছে।

  1. সূচকে ফিরিয়ে

    লগের উত্তরকে আবার ঘাত বানিয়ে মূল সংখ্যা ফিরে আসে কি না দেখো।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল log⁡28=3\log_2 8=3। সূচকে ফিরিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা ঘাত 33। সূচকে 23=82^3=8। ফিরে এল। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 33

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল log⁡39=3\log_3 9=3। সূচকে ফিরিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা ঘাত 33। 33=273^3=27, ৯ নয়। 32=93^2=9। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, 22

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল log⁡525=2\log_5 25=2। সূচকে ফিরিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা ঘাত 22। 52=255^2=25। ফিরে এল। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 22

  2. ভিত্তি ও আর্গুমেন্ট

    আর্গুমেন্ট ধনাত্মক। ভিত্তি ধনাত্মক এবং ১ নয়। এই শর্ত ভাঙলে লগ লেখা যায় না।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল log⁡2(−4)\log_2 (-4)। লেখা যায় কি, যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: আর্গুমেন্ট −4-4। আর্গুমেন্ট ঋণাত্মক। শর্ত ভাঙল। তাই লেখা যায় না।

      উত্তর

      যায় না

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল log⁡15\log_1 5। লেখা যায় কি, যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: ভিত্তি 11। ভিত্তি ১। শর্ত ভাঙল। তাই লেখা যায় না।

      উত্তর

      যায় না

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল log⁡416\log_4 16। লেখা যায় কি, যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: আর্গুমেন্ট 1616 আর ভিত্তি 44। আর্গুমেন্ট ধনাত্মক, ভিত্তি ৪ এবং ১ নয়। মান 22। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 22

  3. শূন্য ঘাত

    যেকোনো অশূন্য সংখ্যার ঘাত ০ হলে মান ১। ০ পেলে ঘাতের হিসাব ভুল।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 70=17^0=1। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: ঘাত 00। অশূন্য সংখ্যার ঘাত ০। মান ১। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      11

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 50=05^0=0। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা মান 00। ০ পেলে ঘাতের হিসাব ভুল। আসল ১। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, 11

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 20×30=12^0\times 3^0=1। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দুই শূন্য ঘাতের গুণ। 1×1=11\times 1=1। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      11

  4. ছোট ঘাতে মেলাও

    ২³ × ২² = ২⁵ = ৩২। সূত্র সন্দেহ হলে ছোট ঘাত দিয়ে দুই পাশ দেখো।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 23×22=322^3\times 2^2=32। ছোট ঘাতে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা গুণফল 3232। ঘাত যোগ 25=322^5=32। ছোট ঘাতে 8×4=328\times 4=32। মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      3232

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (23)2=25(2^3)^2=2^5। ছোট ঘাতে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা ঘাত 55। 82=648^2=64, 25=322^5=32। মেলে না। ঘাত গুণে 262^6। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, 6464

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 3532=27\dfrac{3^5}{3^2}=27। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা ভাগফল 2727। ঘাত বিয়োগ 33=273^3=27। 243÷9=27243\div 9=27। মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      2727

  5. পূর্ণকের চিহ্ন

    সংখ্যা ১ এর চেয়ে ছোট হলে পূর্ণক ঋণ। ধনাত্মক পূর্ণক এলে দশমিকের দিক উল্টো হয়েছে।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 0.030.03 এর পূর্ণক +2+2। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: পূর্ণকের চিহ্ন +2+2। ১ এর চেয়ে ছোট, পূর্ণক ঋণ। 3×10−23\times 10^{-2}। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, −2-2

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 250250 এর পূর্ণক +2+2। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: পূর্ণক +2+2। 2.5×1022.5\times 10^2। ১ এর বড়, পূর্ণক ধনাত্মক। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 22

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 66 এর পূর্ণক 11। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা পূর্ণক 11। 6=6×1006=6\times 10^0। পূর্ণক ০। ধনাত্মক ১ হলে দিক উল্টো। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, 00

এই পাঠের সূত্রপত্র

অঙ্ক করার সময় এই সূত্রগুলো খোলা রাখো।

  • গুণে ঘাত যোগ

    am×an=am+na^m\times a^n=a^{m+n}

    একই ভিত্তি গুণ করলে ঘাত যোগ হয়।

  • ভাগে ঘাত বিয়োগ

    aman=am−n\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}

    একই ভিত্তি ভাগ করলে ঘাত বিয়োগ হয়। a শূন্য নয়।

  • ঘাতের ঘাত

    (am)n=amn(a^m)^n=a^{mn}

    ঘাতের ঘাত গুণ হয়, যোগ নয়।

  • শূন্য ও ঋণাত্মক ঘাত

    a0=1 (a≠0)a^0=1\ (a\neq 0)a−n=1ana^{-n}=\dfrac{1}{a^n}

    শূন্য ঘাত ১। ঋণাত্মক ঘাত উল্টে হরে নামে।

  • ভগ্নাংশ সূচক

    am/n=amna^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}

    হর যত, মূল তত। a ধনাত্মক হলে এই রূপ নিরাপদ।

  • লগের সংজ্ঞা

    by=x  ⟺  log⁡bx=yb^y=x\iff\log_b x=y

    কোন ঘাতে ভিত্তি দিলে এই সংখ্যা পাই, সেই ঘাতই লগ।

  • লগের সূত্র

    log⁡b(xy)=log⁡bx+log⁡by\log_b(xy)=\log_b x+\log_b ylog⁡bxy=log⁡bx−log⁡by\log_b\dfrac{x}{y}=\log_b x-\log_b ylog⁡bxn=nlog⁡bx\log_b x^n=n\log_b x

    গুণ হয় যোগ, ভাগ হয় বিয়োগ, ঘাত সামনে নেমে আসে।

  • পূর্ণক ও অংশক

    log⁡10N=n+log⁡10a\log_{10} N=n+\log_{10} aN=a×10nN=a\times 10^n

    ১ ≤ a < ১০। n পূর্ণক, আর log a অংশক।

  • লগ ১ ও ভিত্তি

    log⁡b1=0\log_b 1=0log⁡bb=1\log_b b=1

    b ধনাত্মক এবং ১ নয়।

  • ভিত্তি বদল

    log⁡ax=log⁡bxlog⁡ba\log_a x=\dfrac{\log_b x}{\log_b a}

    লগের ভাগ। ভাগফলের লগ নয়।

  • উল্টো লগ

    log⁡ab=1log⁡ba\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}

    দুই ভিত্তি বদলালে লগ উল্টে যায়।

  • ভিত্তির ঘাত

    log⁡b(bn)=n\log_b(b^n)=n

    যে ঘাত ভিত্তির ওপর, লগ সেই ঘাত।

৪ এর অর্ধেক ঘাত কত? সূচক যখন ভগ্নাংশ

4^(1/2) কেন ২

41=44^1 = 4, 42=164^2 = 16। তাহলে 41/24^{1/2} কী হবে, যেখানে সূচক একটা ভগ্নাংশ?

সূচকের নিয়ম ধরে ভাবো: 41/2×41/2=41/2+1/2=41=44^{1/2} \times 4^{1/2} = 4^{1/2 + 1/2} = 4^1 = 4। কোন সংখ্যাকে নিজের সঙ্গে গুণ করলে ৪ হয়? ২। তাই 41/2=2=44^{1/2} = 2 = \sqrt{4}।

এভাবেই ভগ্নাংশ সূচক এল: a1/2a^{1/2} হলো বর্গমূল, a1/3a^{1/3} হলো ঘনমূল। আজ এই ধারণা দিয়ে দেখব মূল আর ঘাত আসলে এক ভাষার দুই রূপ।

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

ভগ্নাংশ সূচক কেন মূল, প্রমাণসহ

ঘাতের ঘাতের নিয়ম থেকেই

a1/na^{1/n} কে nn বার গুণ করি: (a1/n)n=a1n×n=a1=a\left(a^{1/n}\right)^n = a^{\frac{1}{n} \times n} = a^1 = a। অর্থাৎ a1/na^{1/n} এমন সংখ্যা, যাকে nn বার গুণ করলে aa হয়। সেটাই aa এর nn-তম মূল:

a1/n=ana^{1/n} = \sqrt[n]{a}, আর am/n=(an)m=amna^{m/n} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m}

আগে মূল, পরে ঘাত

272/327^{2/3}: আগে মূল, পরে ঘাত: 273=3\sqrt[3]{27} = 3, তারপর 32=93^2 = 9। উল্টো করলেও একই: 272=72927^2 = 729, তার ঘনমূল ৯। সবসময় আগে মূল নিলে সংখ্যা ছোট থাকে, হিসাব সহজ।

নিজে দেখে বুঝো

নিজে বদলে দেখো

2³ × 2²

2³ = 2 × 2 × 2
2² = 2 × 2

বাম পাশ: 32

নিয়ম অনুযায়ী: 2⁵ = 32 (3 + 2 = 5)

দুই পাশ সমান ✓

সূচকের নিয়ম পূর্ণসংখ্যা সূচকে চালাও। ভগ্নাংশের ক্ষেত্রেও একই নিয়ম খাটে, এটাই ভগ্নাংশ সূচকের সংজ্ঞার কারণ।

সূচকের তিন নিয়মের বোর্ড: গুণ, ভাগ, ঘাতের ঘাত। a, m, n বদলে দুই পাশ মেলানো যায়।

সমাধানের মূল চাবি

সূচকীয় সমীকরণ: দুই পাশকে একই ভিত্তির ঘাতে লিখলে সূচক সমান: ap=aq⇒p=qa^p = a^q \Rightarrow p = q (a>0a > 0, a≠1a \ne 1)। বেশি জটিল হলে একটা নতুন অক্ষর ধরো (3x=t3^x = t)।

ভগ্নাংশ সূচকের অঙ্কে কোথা থেকে শুরু: দুটো অঙ্ক একসাথে

ভগ্নাংশ সূচক দেখলে হর হলো কত-তম মূল, লব হলো ঘাত। আর ঋণ চিহ্ন থাকলে আগে উল্টে নাও।

একসাথে করি ১

27^(2/3) এর মান

272/327^{2/3} এর মান কত?

  1. পড়ি

    ঘাত ভগ্নাংশ 23\frac{2}{3}।

  2. আঁকি

    হর ৩ মানে ঘনমূল, লব ২ মানে বর্গ।

  3. ভাবি

    আগে মূল নিলে ছোট সংখ্যা থাকে: 27=3327 = 3^3।

  4. করি

    272/3=(33)2/3=33×2/3=32=927^{2/3} = (3^3)^{2/3} = 3^{3 \times 2/3} = 3^2 = 9।

  5. মেলাই

    93/2=(9)3=279^{3/2} = (\sqrt{9})^3 = 27। উল্টো করে দেখো: 93=7299^3 = 729… কিন্তু 272=72927^2 = 729 আর তার ঘনমূল 99 ✓।

একসাথে করি ২

2^(x+1) + 2^x = 24

2x+1+2x=242^{x+1} + 2^x = 24 হলে xx কত?

  1. পড়ি

    যোগ আছে, তাই সরাসরি সূচক সমান করা যাবে না।

  2. আঁকি

    2x+1=2x×22^{x+1} = 2^x \times 2। দুই পদেই 2x2^x আছে।

  3. ভাবি

    সাধারণ উৎপাদক 2x2^x বাইরে নিই।

  4. করি

    2x(2+1)=242^x(2 + 1) = 24, 2x=8=232^x = 8 = 2^3, তাই x=3x = 3।

  5. মেলাই

    24+23=16+8=242^4 + 2^3 = 16 + 8 = 24 ✓।

ভগ্নাংশ সূচক ও সমীকরণের চার ধরনের অঙ্ক, প্রতিটায় চারটা করে

চার ধরন: মূলদ ঘাতের মান, সরল করা, সূচকীয় সমীকরণ, আর দ্বিগুণ-অর্ধেক হওয়ার গল্প।

ধরন ১

মূলদ ঘাতের মান

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে ভগ্নাংশ সূচক (1/2, 2/3, −3/4)।

সমাধানের ধাপ

  1. ঋণ চিহ্ন থাকলে আগে উল্টে ধনাত্মক করো
  2. ভিত্তিকে ছোট সংখ্যার ঘাতে লেখো
  3. ঘাত গুণ করে মান বের করো
  4. বিকল্প পথে মেলাও
অঙ্ক ১.১সহজ

8^(1/3)

81/38^{1/3} এর মান কত?

সমাধান

মূল নিয়ে

হিসাব

81/3=(23)1/3=28^{1/3} = (2^3)^{1/3} = 2।

যাচাই

23=82^3 = 8 ✓

অঙ্ক ১.২মাঝারি

27^(2/3)

272/327^{2/3} এর মান কত?

সমাধান

ঘাত গুণ করে

হিসাব

33×2/3=32=93^{3 \times 2/3} = 3^2 = 9।

যাচাই

93=729=2729^3 = 729 = 27^2 ✓

অঙ্ক ১.৩কঠিন

16^(−3/4)

16−3/416^{-3/4} এর মান কত?

সমাধান

ঘাত গুণ করে

হিসাব

24×(−3/4)=2−3=182^{4 \times (-3/4)} = 2^{-3} = \frac{1}{8}।

যাচাই

163/4=816^{3/4} = 8, আর ঋণ ঘাত তার উল্টো 18\frac{1}{8} ✓

অঙ্ক ১.৪মাঝারি

(1/4)^(−1/2)

(14)−1/2\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-1/2} এর মান কত?

সমাধান

উল্টে

হিসাব

41/2=24^{1/2} = 2।

যাচাই

(14)1/2=12\left(\frac{1}{4}\right)^{1/2} = \frac{1}{2}, তার উল্টো ২ ✓

ধরন ২

সরল করা

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

প্রশ্নে অক্ষরের ভগ্নাংশ সূচক, আর 'সরল করো' বা 'প্রমাণ করো'।

সমাধানের ধাপ

  1. সব ভিত্তি এক করে নাও
  2. গুণে ঘাত যোগ, ভাগে বিয়োগ, ঘাতের ঘাতে গুণ
  3. ভগ্নাংশ যোগ-গুণে সাধারণ হর
  4. ছোট সংখ্যা বসিয়ে মেলাও
অঙ্ক ২.১সহজ

x^(1/2) · x^(3/2)

x1/2⋅x3/2x^{1/2} \cdot x^{3/2} কে সরল করো।

সমাধান

নিয়মে

ঘাত

12+32=2\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2।

উত্তর

x2x^2। যাচাই x=4x = 4: 2×8=162 \times 8 = 16 ✓

অঙ্ক ২.২মাঝারি

(x^(2/3))^(3/2)

(x2/3)3/2\left(x^{2/3}\right)^{3/2} কে সরল করো।

সমাধান

নিয়মে

ঘাত

23×32=1\frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = 1।

উত্তর

xx। যাচাই x=8x = 8: 82/3=48^{2/3} = 4, 43/2=84^{3/2} = 8 ✓

অঙ্ক ২.৩মাঝারি

(a^(1/2) b^(1/3))^6

(a1/2b1/3)6\left(a^{1/2}b^{1/3}\right)^6 কে সরল করো।

সমাধান

নিয়মে

ঘাত

a3b2a^3 b^2।

যাচাই

a=4a = 4, b=8b = 8: (2⋅2)6=4096(2 \cdot 2)^6 = 4096, ডান 64×64=409664 \times 64 = 4096 ✓

অঙ্ক ২.৪কঠিন

√x · ∛x

x×x3\sqrt{x} \times \sqrt[3]{x} কে এক মূলে বা এক ঘাতে লেখো।

সমাধান

ভগ্নাংশ সূচকে

ঘাত

x1/2+1/3=x5/6x^{1/2 + 1/3} = x^{5/6}।

যাচাই

x=64x = 64: 8×4=328 \times 4 = 32, 645/6=25=3264^{5/6} = 2^5 = 32 ✓

ধরন ৩

সূচকীয় সমীকরণ

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

অজানা সূচকে, দুই পাশ একই ভিত্তির ঘাতে লেখা যায়, বা যোগ-বিয়োগ আছে।

সমাধানের ধাপ

  1. দুই পাশ একই ভিত্তির ঘাতে লেখো
  2. যোগ থাকলে সাধারণ উৎপাদক বা নতুন অক্ষর ধরো
  3. সূচক সমান করে সমাধান করো
  4. মূল সমীকরণে বসিয়ে মেলাও
অঙ্ক ৩.১মাঝারি

2ˣ = 4√2

2x=422^x = 4\sqrt{2} হলে xx কত?

সমাধান

ভিত্তি এক করে

রূপ

2x=25/22^x = 2^{5/2}, তাই x=52x = \frac{5}{2}।

যাচাই

22.5=5.657=4×1.4142^{2.5} = 5.657 = 4 \times 1.414 ✓

অঙ্ক ৩.২মাঝারি

9ˣ = 27

9x=279^x = 27 হলে xx কত?

সমাধান

ভিত্তি এক করে

সমীকরণ

32x=333^{2x} = 3^3, 2x=32x = 3, x=32x = \frac{3}{2}।

যাচাই

91.5=279^{1.5} = 27 ✓

অঙ্ক ৩.৩কঠিন

2^(x+1) + 2^x = 24

2x+1+2x=242^{x+1} + 2^x = 24 হলে xx কত?

সমাধান

উৎপাদক নিয়ে

সমীকরণ

3⋅2x=243 \cdot 2^x = 24, 2x=82^x = 8, x=3x = 3।

যাচাই

16+8=2416 + 8 = 24 ✓

অঙ্ক ৩.৪কঠিন

3^(2x) − 4·3^x + 3 = 0

32x−4⋅3x+3=03^{2x} - 4 \cdot 3^x + 3 = 0 হলে xx কত?

সমাধান

অক্ষর বদলে

সমীকরণ

(t−1)(t−3)=0(t - 1)(t - 3) = 0, t=1t = 1 বা t=3t = 3।

x বের করি

3x=1⇒x=03^x = 1 \Rightarrow x = 0। 3x=3⇒x=13^x = 3 \Rightarrow x = 1।

যাচাই

x=0x = 0: 1−4+3=01 - 4 + 3 = 0 ✓। x=1x = 1: 9−12+3=09 - 12 + 3 = 0 ✓

ধরন ৪

দ্বিগুণ-অর্ধেক হওয়ার গল্প

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

কোনো জিনিস নির্দিষ্ট সময় পরপর দ্বিগুণ, তিনগুণ বা অর্ধেক হচ্ছে।

সমাধানের ধাপ

  1. প্রতি ধাপে গুণক (২, ৩, 1/2) লেখো
  2. কত ধাপে কত সময় তা n ধরো
  3. মোট = শুরু × (গুণক)ⁿ
  4. সূচকীয় সমীকরণ সমাধান করো
অঙ্ক ৪.১সহজ

ব্যাকটেরিয়া দ্বিগুণ

একটা পাত্রে ১০০০ ব্যাকটেরিয়া আছে, প্রতি ঘণ্টায় সংখ্যা দ্বিগুণ হয়। কত ঘণ্টায় ৬৪০০০ হবে?

সমাধান

সূচকীয় সমীকরণে

সমীকরণ

1000×2n=640001000 \times 2^n = 64000, 2n=64=262^n = 64 = 2^6, n=6n = 6।

যাচাই

1000×64=640001000 \times 64 = 64000 ✓

অঙ্ক ৪.২মাঝারি

তেজস্ক্রিয় অর্ধেক

একটা তেজস্ক্রিয় পদার্থ প্রতি ৩ দিনে অর্ধেক হয়ে যায়। ৮০ গ্রাম থেকে ১০ গ্রাম বাকি থাকতে কত দিন লাগবে?

সমাধান

সূচকীয় সমীকরণে

সমীকরণ

k=3k = 3 বার অর্ধেক হয়েছে।

সময়

3×3=93 \times 3 = 9 দিন।

যাচাই

৮০ → ৪০ → ২০ → ১০ ✓

অঙ্ক ৪.৩মাঝারি

কাগজ ভাঁজ

একটা কাগজকে বারবার অর্ধেক ভাঁজ করলে প্রতি ভাঁজে স্তর দ্বিগুণ হয়। ১০ বার ভাঁজ করলে কত স্তর হবে?

সমাধান

সূত্রে

হিসাব

210=10242^{10} = 1024 স্তর।

যাচাই

25×25=32×32=10242^5 \times 2^5 = 32 \times 32 = 1024 ✓

অঙ্ক ৪.৪কঠিন

ভাইরাস তিনগুণ

একটা ভাইরাস প্রতি ২ দিনে তিনগুণ হয়। ১টা ভাইরাস থেকে কত দিনে ২৪৩টা হবে?

সমাধান

সূচকীয় সমীকরণে

সমীকরণ

3k=243=353^k = 243 = 3^5, k=5k = 5।

সময়

5×2=105 \times 2 = 10 দিন।

যাচাই

3×3×3×3×3=2433 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243 ✓

ভগ্নাংশ সূচকে সাধারণ ভুল চেনো, নিজে অঙ্ক করো

নিচের অঙ্কগুলো নিজে করো। আটকে গেলে ইঙ্গিত দেখো, তারপর উত্তর মিলিয়ে নাও।

ভুল ধরো

তিনটা দেখতে-ঠিক কিন্তু ভুল সমাধান

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

ক: 81/3=8÷38^{1/3} = 8 \div 3 (ঘাত 13\frac{1}{3} মানে ৩ দিয়ে ভাগ)।

খ: 9+16=9+16=7\sqrt{9 + 16} = \sqrt{9} + \sqrt{16} = 7।

গ: 272/3=27×2÷3=1827^{2/3} = 27 \times 2 \div 3 = 18।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ক: a1/na^{1/n} মানে nn-তম মূল, nn দিয়ে ভাগ নয়। 81/3=28^{1/3} = 2 (কারণ 23=82^3 = 8), 83\frac{8}{3} নয়।

খ: মূল যোগে ভাঙে না। ঠিক: 25=5\sqrt{25} = 5।

গ: ঘাত গুণ বা ভাগ নয়: 272/3=(273)2=927^{2/3} = (\sqrt[3]{27})^2 = 9।

ধরার উপায়: ভিত্তিকে ঘাত আকারে লিখে ঘাত গুণ করো: 27=3327 = 3^3, (33)2/3=32(3^3)^{2/3} = 3^2।

9^(1/2) = ?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) ৩। √9 = 3।

8^(2/3) = ?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (ক) ৪। ∛8 = 2, 2² = 4।

2^x = 1/8 হলে x = ?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) −3। ২ˣ = 2⁻³, তাই x = −3।

প্রশ্ন ১. মান নির্ণয় করো: (ক) 323/532^{3/5} (খ) (278)−2/3\left(\dfrac{27}{8}\right)^{-2/3}

ইঙ্গিত দেখো

(ক) 32=2532 = 2^5। (খ) ঋণাত্মক ঘাতে ভগ্নাংশ উল্টে নাও।

উত্তর দেখো

(ক) 23=82^3 = 8। (খ) (827)2/3=(23)2=49\left(\frac{8}{27}\right)^{2/3} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}।

প্রশ্ন ২. সমাধান করো: (ক) 5x+2=1255^{x+2} = 125 (খ) 2x+2−2x=122^{x+2} - 2^x = 12

ইঙ্গিত দেখো

(খ) 2x2^x সাধারণ উৎপাদক।

উত্তর দেখো

(ক) x+2=3x + 2 = 3, x=1x = 1। (খ) 2x(4−1)=122^x(4 - 1) = 12, 2x=42^x = 4, x=2x = 2।

মনে রাখো

  • ভগ্নাংশ সূচক: a1/n=ana^{1/n} = \sqrt[n]{a}, am/n=(an)ma^{m/n} = (\sqrt[n]{a})^m।
  • কৌশল: ভিত্তি ঘাতে লিখে ঘাত গুণ করো, আগে মূল নাও।
  • সমীকরণ: একই ভিত্তি হলে সূচক সমান; যোগ থাকলে সাধারণ উৎপাদক বা নতুন অক্ষর।
  • সাবধান: মূল যোগ-বিয়োগে ভাঙে না।