পাঠ ৭গণিত

অধ্যায় ৪ অনুশীলনী: সূচক ও লগারিদম

পাঠের সারাংশ

সূচক ও লগারিদম অধ্যায়ের অনুশীলনী — আগে উদাহরণ, তারপর একই ধরনের নতুন অঙ্ক। সংখ্যা ও শব্দ আমাদের নিজের।

আগে পড়ে নাওসূচক ও সূচকের নিয়মভগ্নাংশ সূচক আর সূচকীয় সমীকরণলগারিদম কী: সূচকের উল্টো প্রশ্নলগের সূত্র: গুণ হয় যোগ, ভাগ হয় বিয়োগ

MCQ ও সৃজনশীল শর্টকাট

প্রতিটি অঙ্কে তিন লাইন: প্রশ্ন, তারপর শর্টকাটটা প্রশ্নের ঠিক কোন জায়গায় লাগছে, তারপর উত্তর।

  1. ভিত্তি এক না হলে যোগ নয়

    একই ভিত্তি না হলে ঘাত যোগ করা যায় না। আগে ভিত্তি মিলাও, যেমন ৪ = ২²।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      23×222^3\times 2^2 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে দুটো ঘাতের ভিত্তি 22। শর্টকাট: ভিত্তি একই। ঘাত যোগ 3+2=53+2=5। 25=322^5=32।

      উত্তর

      3232

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      23×422^3\times 4^2 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভিত্তি 22 আর 44 আলাদা। শর্টকাট: আগে 4=224=2^2। 42=244^2=2^4। তারপর 23×24=27=1282^3\times 2^4=2^7=128।

      উত্তর

      128128

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      32×303^2\times 3^0 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে দুটো ঘাতের ভিত্তি 33। শর্টকাট: ভিত্তি একই। ঘাত 2+0=22+0=2। 32=93^2=9।

      উত্তর

      99

  2. লগ ১ আর লগ ভিত্তি

    যেকোনো ভিত্তিতে log ১ = ০। ভিত্তির নিজের লগ ১। অপশনে এটা সরাসরি কাটে।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      log⁡51\log_5 1 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে আর্গুমেন্ট 11, ভিত্তি 55। শর্টকাট: যেকোনো ভিত্তিতে log⁡1=0\log 1=0।

      উত্তর

      00

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      log⁡77\log_7 7 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভিত্তি আর আর্গুমেন্ট দুটোই 77। শর্টকাট: ভিত্তির নিজের লগ ১।

      উত্তর

      11

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      log⁡21+log⁡33\log_2 1+\log_3 3 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে প্রথমটা log⁡21\log_2 1, দ্বিতীয়টা log⁡33\log_3 3। শর্টকাট: প্রথমটা ০, দ্বিতীয়টা ১। যোগ 0+10+1।

      উত্তর

      11

  3. ভিত্তি বদল

    নতুন লগ = পুরোনো লগ ÷ নতুন ভিত্তির লগ। log_a b আর log_b a পরস্পরের বিপরীত।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      log⁡416\log_4 16 কত? ভিত্তি ২ এ আনো।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভিত্তি 44, আর্গুমেন্ট 1616, ভিত্তি ২ এ আনতে বলা। শর্টকাট: log⁡216=4\log_2 16=4, log⁡24=2\log_2 4=2। নতুন লগ 4÷2=24\div 2=2।

      উত্তর

      22

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      log⁡28×log⁡82\log_2 8\times\log_8 2 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে log⁡28\log_2 8 আর তার উল্টো log⁡82\log_8 2। শর্টকাট: log⁡28=3\log_2 8=3। উল্টো লগ log⁡82=13\log_8 2=\dfrac{1}{3}। গুণ 11।

      উত্তর

      11

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      log⁡93\log_9 3 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ভিত্তি 99, আর্গুমেন্ট 33। শর্টকাট: log⁡33=1\log_3 3=1, log⁡39=2\log_3 9=2। ভাগ 1÷21\div 2।

      উত্তর

      12\dfrac{1}{2}

  4. ঋণাত্মক ঘাত উল্টো

    ঘাত মাইনাস দেখলে সরাসরি হরে নামাও। গুণ ভাগে বদলে যায়।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      2−32^{-3} কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ঘাত −3-3। শর্টকাট: মাইনাস ঘাত হরে। 123=18\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}।

      উত্তর

      18\dfrac{1}{8}

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      15−2\dfrac{1}{5^{-2}} কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে হরে ঘাত −2-2। শর্টকাট: হরের ঋণাত্মক ঘাত উল্টে লবে। 52=255^2=25।

      উত্তর

      2525

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      3−1×273^{-1}\times 27 কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে ঘাত −1-1। শর্টকাট: 3−1=133^{-1}=\dfrac{1}{3}। গুণ 13×27=9\dfrac{1}{3}\times 27=9।

      উত্তর

      99

  5. দশমিক সরিয়ে পূর্ণক

    বিন্দু সরিয়ে ১ থেকে ১০ এর মধ্যে আনো। যত ঘর সরালে, পূর্ণক তত। বাঁয়ে সরালে পূর্ণক ঋণ।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      500500 এর log⁡10\log_{10} এর পূর্ণক কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে 500500। শর্টকাট: বিন্দু সরিয়ে 5×1025\times 10^2। দুই ঘর, সংখ্যা ১ এর বড়, পূর্ণক +2+2।

      উত্তর

      22

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      0.050.05 এর log⁡10\log_{10} এর পূর্ণক কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে 0.050.05, ১ এর চেয়ে ছোট। শর্টকাট: বিন্দু সরিয়ে 5×10−25\times 10^{-2}। দুই ঘর, পূর্ণক ঋণ।

      উত্তর

      −2-2

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      88 এর log⁡10\log_{10} এর পূর্ণক কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে 88, ইতিমধ্যে ১ থেকে ১০। শর্টকাট: ঘর সরানো ০। পূর্ণক 00।

      উত্তর

      00

উত্তর যাচাইয়ের কৌশল

প্রতিটি অঙ্কে আগে একটা লেখা উত্তর, তারপর যাচাইটা সেই উত্তরের ঠিক কোন জায়গায় লাগছে।

  1. সূচকে ফিরিয়ে

    লগের উত্তরকে আবার ঘাত বানিয়ে মূল সংখ্যা ফিরে আসে কি না দেখো।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল log⁡28=3\log_2 8=3। সূচকে ফিরিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা ঘাত 33। সূচকে 23=82^3=8। ফিরে এল। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 33

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল log⁡39=3\log_3 9=3। সূচকে ফিরিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা ঘাত 33। 33=273^3=27, ৯ নয়। 32=93^2=9। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, 22

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল log⁡525=2\log_5 25=2। সূচকে ফিরিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা ঘাত 22। 52=255^2=25। ফিরে এল। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 22

  2. ভিত্তি ও আর্গুমেন্ট

    আর্গুমেন্ট ধনাত্মক। ভিত্তি ধনাত্মক এবং ১ নয়। এই শর্ত ভাঙলে লগ লেখা যায় না।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল log⁡2(−4)\log_2 (-4)। লেখা যায় কি, যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: আর্গুমেন্ট −4-4। আর্গুমেন্ট ঋণাত্মক। শর্ত ভাঙল। তাই লেখা যায় না।

      উত্তর

      যায় না

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল log⁡15\log_1 5। লেখা যায় কি, যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: ভিত্তি 11। ভিত্তি ১। শর্ত ভাঙল। তাই লেখা যায় না।

      উত্তর

      যায় না

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল log⁡416\log_4 16। লেখা যায় কি, যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: আর্গুমেন্ট 1616 আর ভিত্তি 44। আর্গুমেন্ট ধনাত্মক, ভিত্তি ৪ এবং ১ নয়। মান 22। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 22

  3. শূন্য ঘাত

    যেকোনো অশূন্য সংখ্যার ঘাত ০ হলে মান ১। ০ পেলে ঘাতের হিসাব ভুল।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 70=17^0=1। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: ঘাত 00। অশূন্য সংখ্যার ঘাত ০। মান ১। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      11

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 50=05^0=0। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা মান 00। ০ পেলে ঘাতের হিসাব ভুল। আসল ১। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, 11

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 20×30=12^0\times 3^0=1। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দুই শূন্য ঘাতের গুণ। 1×1=11\times 1=1। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      11

  4. ছোট ঘাতে মেলাও

    ২³ × ২² = ২⁵ = ৩২। সূত্র সন্দেহ হলে ছোট ঘাত দিয়ে দুই পাশ দেখো।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 23×22=322^3\times 2^2=32। ছোট ঘাতে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা গুণফল 3232। ঘাত যোগ 25=322^5=32। ছোট ঘাতে 8×4=328\times 4=32। মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      3232

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল (23)2=25(2^3)^2=2^5। ছোট ঘাতে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা ঘাত 55। 82=648^2=64, 25=322^5=32। মেলে না। ঘাত গুণে 262^6। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, 6464

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 3532=27\dfrac{3^5}{3^2}=27। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা ভাগফল 2727। ঘাত বিয়োগ 33=273^3=27। 243÷9=27243\div 9=27। মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      2727

  5. পূর্ণকের চিহ্ন

    সংখ্যা ১ এর চেয়ে ছোট হলে পূর্ণক ঋণ। ধনাত্মক পূর্ণক এলে দশমিকের দিক উল্টো হয়েছে।

    1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 0.030.03 এর পূর্ণক +2+2। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: পূর্ণকের চিহ্ন +2+2। ১ এর চেয়ে ছোট, পূর্ণক ঋণ। 3×10−23\times 10^{-2}। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, −2-2

    2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 250250 এর পূর্ণক +2+2। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: পূর্ণক +2+2। 2.5×1022.5\times 10^2। ১ এর বড়, পূর্ণক ধনাত্মক। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, 22

    3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল 66 এর পূর্ণক 11। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা পূর্ণক 11। 6=6×1006=6\times 10^0। পূর্ণক ০। ধনাত্মক ১ হলে দিক উল্টো। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, 00

এই পাঠের সূত্রপত্র

অঙ্ক করার সময় এই সূত্রগুলো খোলা রাখো।

  • গুণে ঘাত যোগ

    am×an=am+na^m\times a^n=a^{m+n}

    একই ভিত্তি গুণ করলে ঘাত যোগ হয়।

  • ভাগে ঘাত বিয়োগ

    aman=am−n\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}

    একই ভিত্তি ভাগ করলে ঘাত বিয়োগ হয়। a শূন্য নয়।

  • ঘাতের ঘাত

    (am)n=amn(a^m)^n=a^{mn}

    ঘাতের ঘাত গুণ হয়, যোগ নয়।

  • শূন্য ও ঋণাত্মক ঘাত

    a0=1 (a≠0)a^0=1\ (a\neq 0)a−n=1ana^{-n}=\dfrac{1}{a^n}

    শূন্য ঘাত ১। ঋণাত্মক ঘাত উল্টে হরে নামে।

  • ভগ্নাংশ সূচক

    am/n=amna^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}

    হর যত, মূল তত। a ধনাত্মক হলে এই রূপ নিরাপদ।

  • লগের সংজ্ঞা

    by=x  ⟺  log⁡bx=yb^y=x\iff\log_b x=y

    কোন ঘাতে ভিত্তি দিলে এই সংখ্যা পাই, সেই ঘাতই লগ।

  • লগের সূত্র

    log⁡b(xy)=log⁡bx+log⁡by\log_b(xy)=\log_b x+\log_b ylog⁡bxy=log⁡bx−log⁡by\log_b\dfrac{x}{y}=\log_b x-\log_b ylog⁡bxn=nlog⁡bx\log_b x^n=n\log_b x

    গুণ হয় যোগ, ভাগ হয় বিয়োগ, ঘাত সামনে নেমে আসে।

  • পূর্ণক ও অংশক

    log⁡10N=n+log⁡10a\log_{10} N=n+\log_{10} aN=a×10nN=a\times 10^n

    ১ ≤ a < ১০। n পূর্ণক, আর log a অংশক।

  • লগ ১ ও ভিত্তি

    log⁡b1=0\log_b 1=0log⁡bb=1\log_b b=1

    b ধনাত্মক এবং ১ নয়।

  • ভিত্তি বদল

    log⁡ax=log⁡bxlog⁡ba\log_a x=\dfrac{\log_b x}{\log_b a}

    লগের ভাগ। ভাগফলের লগ নয়।

  • উল্টো লগ

    log⁡ab=1log⁡ba\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}

    দুই ভিত্তি বদলালে লগ উল্টে যায়।

  • ভিত্তির ঘাত

    log⁡b(bn)=n\log_b(b^n)=n

    যে ঘাত ভিত্তির ওপর, লগ সেই ঘাত।

অনুশীলনী কীভাবে পড়বে

আগে উদাহরণ, পরে নতুন

ধারণার পাঠ শেষ। এখন সূচক ও লগারিদম অধ্যায়ের অনুশীলনী।

প্রতিটা ধরনে: ১. আগে একটা উদাহরণ দেখো। ২. পরে একই রকম নতুন অঙ্ক করো। ৩. রুটিন: পড়ো → দেওয়া/চাওয়া → সূত্র → বসাও → যাচাই।

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

সূচক ও লগারিদম: সূত্র বসিয়ে

এই ধরন চেনার উপায়: দেওয়া সংখ্যা বা রাশি সূত্রে বসাতে হবে।

ধরন ১

সূচক ও লগারিদম: সূত্র বসিয়ে

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

দেওয়া সংখ্যা বা রাশি সূত্রে বসাতে হবে।

সমাধানের ধাপ

  1. কী দেওয়া লেখো
  2. কোন সূত্র লাগবে ঠিক করো
  3. বসাও ও সরল করো
  4. যাচাই করো
অঙ্ক ১.১সহজ

সহজ বসানো

এই অধ্যায় (সূচক ও লগারিদম) এর একটা মৌলিক সূত্র ব্যবহার করে হিসাব করো: যদি a=3a = 3, b=4b = 4 হয়, তাহলে a2+b2a^2 + b^2 কত?

সমাধান

সূত্রে

বসাই

(3)2+(4)2=9+16=25(3)^2 + (4)^2 = 9 + 16 = 25।

যাচাই

52=255^2 = 25 (৩-৪-৫)।

অঙ্ক ১.২মাঝারি

মাঝারি প্রয়োগ

সূচক ও লগারিদম অধ্যায়ের ধরনে: x=5x = 5 হলে 2x2−3x+12x^2 - 3x + 1 এর মান কত?

সমাধান

সূত্রে

বসাই

2(25)−3(5)+1=50−15+1=362(25) - 3(5) + 1 = 50 - 15 + 1 = 36।

যাচাই

62=366^2 = 36.

অঙ্ক ১.৩কঠিন

একটু কঠিন

দুই শর্ত একসাথে: x+y=10x + y = 10, xy=21xy = 21। (x+y)2(x + y)^2 ও x2+y2x^2 + y^2 বের করো।

সমাধান

সূত্রে

যোগের বর্গ

(x+y)2=100(x+y)^2 = 100।

বর্গের যোগ

x2+y2=100−42=58x^2 + y^2 = 100 - 42 = 58।

যাচাই

মূল হতে পারে 3,73,7: 9+49=589+49=58।

সূচক ও লগারিদম: ভুল ধরো

এই ধরন চেনার উপায়: একটা লেখা উত্তর দেওয়া; ঠিক না ভুল বলো।

ধরন ২

সূচক ও লগারিদম: ভুল ধরো

এই ধরন চিনবে কীভাবে, আর কী কী ধাপে করবে

প্রশ্নে যা দেখলে

একটা লেখা উত্তর দেওয়া; ঠিক না ভুল বলো।

সমাধানের ধাপ

  1. প্রশ্নের শর্ত পড়ো
  2. উত্তর বসাও
  3. কোন ধাপ ভাঙল দেখো
  4. সঠিক উত্তর লেখো
অঙ্ক ২.১সহজ

চিহ্নের ভুল

একজন লিখল (5−2)2=25−4=21(5 - 2)^2 = 25 - 4 = 21। যাচাই করো।

সমাধান

যাচাই

সঠিক

(5−2)2=32=9(5-2)^2 = 3^2 = 9.

ভুল কোথায়

A2−B2A^2 - B^2 আর (A−B)2(A-B)^2 এক নয়।

অঙ্ক ২.২মাঝারি

সূত্র বাছাই

সূচক ও লগারিদম নিয়ে একজন শুধু যোগ করে উত্তর দিল, অথচ প্রশ্নে গুণ লাগত। কী করবে?

সমাধান

রুটিন

ধাপ

পড়ো → দেওয়া/চাওয়া → সূত্র → বসাও → যাচাই।

মনে রাখো

চিহ্ন বা সূত্র ভুল হলে পুরো উত্তর ভাঙে।

অঙ্ক ২.৩কঠিন

মিশ্র যাচাই

x=2x = 2 বসিয়ে x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0 সিদ্ধ কি না দেখো। সিদ্ধ হলে আরেকটা মূলও বের করো।

সমাধান

বসাই

4−10+6=04 - 10 + 6 = 0 — সিদ্ধ।

আরেক মূল

x=3x=3: 9−15+6=09-15+6=0।

উত্তর

মূল 22 ও 33।

এক রুটিন সব ধরনে

মনে রাখো

  • পড়ো → দেওয়া/চাওয়া লেখো → সূত্র বাছা → বসাও → যাচাই।
  • চিহ্ন বা সূত্র ভুল হলে আগে সেটা ঠিক করো।
  • সূচক ও লগারিদম অধ্যায়ের সূত্রপত্র খোলা রাখো।