পাঠ ৫গণিত

অমূলদ সংখ্যা: √2 কেন ভগ্নাংশ নয়

পাঠের সারাংশ

√2 সংখ্যারেখায় আছে, কিন্তু কোনো ভগ্নাংশ হতে পারে না। ধাপে ধাপে প্রমাণ দেখো, আর দুটি সংখ্যার মাঝে অমূলদ সংখ্যা বানাও।

আগে পড়ে নাওসংখ্যার পরিবার ভগ্নাংশ থেকে দশমিক: থামে, নাকি ঘুরে আসে?

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

সব সংখ্যাই কি ভগ্নাংশ হয়? √2 এর সমস্যা

১ মিটার বাই ১ মিটার একটা মেঝের কর্ণ মাপলে পাওয়া যায় $\sqrt{2}$ মিটার। এটা বানানো যায়, মাপা যায়, সংখ্যারেখার ঠিক একটা জায়গায় বসে। অথচ কোনো ভগ্নাংশ $\frac{p}{q}$ দিয়েই এর ঠিক মান লেখা যায় না।

কথাটা বিশ্বাস করা কঠিন। তাই এই পাঠে বিশ্বাস নয়, প্রমাণ করব। আর সেজন্য একটা বুদ্ধি লাগবে: উল্টোটা সত্যি ধরে নাও, তারপর দেখো তাতে অসম্ভব কিছু ঘটে কি না।

নিজে দেখে বুঝো

নিজে বদলে দেখো

n = 2 (√2 দেখছি)

ত্রিভুজের ভূমি 1, লম্ব ১। পিথাগোরাস: অতিভুজ² = 1 + ১ = 2, তাই অতিভুজ = √2।

অতিভুজকে বৃত্তচাপে সংখ্যারেখায় নামালে সেটা ছোঁয় 1.414 এর কাছে।

1 < 2 < 4, তাই 1 < √2 < 2। 2 পূর্ণবর্গ নয়, তাই √2 একটা অমূলদ সংখ্যা। সংখ্যারেখায় বিন্দুটা আছে, শুধু ভগ্নাংশ হিসেবে লেখা যায় না।

n বদলাও। দেখো ভূমি √(n−1) আর লম্ব ১ নিয়ে ত্রিভুজ আঁকলে অতিভুজ কীভাবে √n হয়, আর বৃত্তচাপ তাকে সংখ্যারেখায় নামিয়ে আনে।

সংখ্যারেখা ০ থেকে ৪। একটা সমকোণী ত্রিভুজ, যার একটা বাহু সংখ্যারেখার ওপরে ০ থেকে √(n−1) পর্যন্ত, লম্ব বাহুর দৈর্ঘ্য ১। অতিভুজ √n। একটা বিন্দু-বিন্দু বৃত্তচাপ ত্রিভুজের শীর্ষ থেকে নেমে সংখ্যারেখায় √n এ ছুঁয়েছে। পূর্ণবর্গ সংখ্যায় চাপ পূর্ণসংখ্যায় পড়ে, অন্য সংখ্যায় দুই পূর্ণসংখ্যার মাঝখানে পড়ে।

নিজে চেষ্টা করো: ২ থেকে শুরু করো। তারপর ৩, ৪, ৫ চাপো। কোন কোন সংখ্যায় চাপটা ঠিক পূর্ণসংখ্যায় পড়ল?

√2 ভগ্নাংশ হলে কী গোলমাল হয়, ধাপে ধাপে দেখি

প্রথমে একটা সুবিধার কথা। যেকোনো ভগ্নাংশকে সরল করে ফেলা যায়, তখন লব আর হরের ১ ছাড়া আর কোনো সাধারণ উৎপাদক থাকে না। যেমন $\frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ । এমন লব-হরকে বলে পরস্পর সহমৌলিক (coprime)।

দাবি: $\sqrt{2}$ একটা অমূলদ সংখ্যা।

উল্টোটা ধরি। ধরি $\sqrt{2}$ একটা মূলদ সংখ্যা। তাহলে $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ , যেখানে $p$ , $q$ স্বাভাবিক সংখ্যা। সরল করে নিয়েছি, তাই $p$ আর $q$ সহমৌলিক। (এটাই আমাদের ধরে নেওয়া কথা, মনে রাখো।)
দুই পাশে বর্গ করি। $2 = \frac{p^2}{q^2}$ , অর্থাৎ $p^2 = 2q^2$ ।
$p^2$ জোড়। কারণ $p^2 = 2q^2$ আর ২ দিয়ে গুণ করলে জোড় সংখ্যাই হয়।
তাহলে $p$ নিজেও জোড়। কারণ $p$ বিজোড় হলে $p^2$ ও বিজোড় হতো (বিজোড় × বিজোড় = বিজোড়)। তাই ধরি $p = 2k$ ।
বসিয়ে দেখি। $p^2 = 2q^2$ এ $p = 2k$ বসালে $4k^2 = 2q^2$ , অর্থাৎ $q^2 = 2k^2$ ।
$q$ ও জোড়। একই যুক্তি আবার: $q^2$ জোড়, তাই $q$ জোড়।
বিরোধ! $p$ জোড় আর $q$ জোড়। তাহলে ২ দুটোরই উৎপাদক। কিন্তু ১ নম্বর ধাপে আমরা ধরেছিলাম $p$ , $q$ সহমৌলিক, তাদের কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। দুটো কথা একসঙ্গে সত্যি হতে পারে না।
সিদ্ধান্ত। ধরে নেওয়া কথাটাই ভুল ছিল। $\sqrt{2}$ কে $\frac{p}{q}$ আকারে লেখা সম্ভব নয়। তাই $\sqrt{2}$ অমূলদ। ∎

দ্বিতীয় একটা চেনার উপায়। পাঠ ২ এ দেখেছি, কোনো ভগ্নাংশের দশমিক সবসময় হয় থামে, নয়তো ঘুরে আসে। তাই যে দশমিক থামেও না, ঘুরেও আসে না, সেটা ভগ্নাংশ হতেই পারে না। সেটা অমূলদ। যেমন $\sqrt{2} = 1.41421356\ldots$ এর অঙ্কে কোনো ঘোরা নেই। (কিন্তু শুধু “দেখে” বললে প্রমাণ হয় না, কারণ কোথাও ঘোরা শুরু হবে কি না আগে থেকে জানি না। প্রমাণটা ওপরেরটাই।)

অমূলদ সংখ্যা নিয়ে ছয়টা পরিস্থিতি

চেনা জীবন

কর্ণ বরাবর ফিতা

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

১ মিটার বাই ১ মিটার মেঝের কর্ণ বরাবর ফিতা বসাতে হবে। হিসাব বলছে দৈর্ঘ্য $\sqrt{2}$ মিটার। দোকানদার বলল, ” $1.41$ মিটার কেটে দিই?” ঠিক $\sqrt{2}$ মিটার কেটে দেওয়া কি সম্ভব?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা: $\sqrt{2}$ অমূলদ। তাই কোনো সসীম বা আবৃত্ত দশমিক বা ভগ্নাংশ দিয়ে এর ঠিক মান লেখা যায় না। যা-ই লিখি, কাছাকাছি।

যাচাই করো: $1.41^2 = 1.9881$ , যা ২ এর চেয়ে ছোট। $1.42^2 = 2.0164$ , যা ২ এর চেয়ে বড়। তাই $1.41 < \sqrt{2} < 1.42$ । আরও কাছে: $1.414^2 = 1.999396$ আর $1.415^2 = 2.002225$ , তাই $1.414 < \sqrt{2} < 1.415$ ।

উত্তরের মানে কী: কাজ চালানোর জন্য 1.41 মিটার যথেষ্ট কাছে। কিন্তু ঠিক √2 মিটার কোনো দশমিক সংখ্যায় ধরা পড়ে না। যত অঙ্কই নাও, একটু কম বা একটু বেশি হবে।

ছবি / গ্রাফ

ছবিতে বসাও

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

ওপরের ছবিতে $n = 5$ রাখো। $\sqrt{5}$ কোন দুই পূর্ণসংখ্যার মাঝখানে? তারপর $n = 9$ রাখো, চাপটা কোথায় পড়ল?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা: চাপ যেখানে সংখ্যারেখা ছোঁয়, সেটাই $\sqrt{n}$ ।

$n = 5$ এ চাপ ২ আর ৩ এর মাঝখানে পড়ে। কারণ $2^2 = 4 < 5 < 9 = 3^2$ , তাই $2 < \sqrt{5} < 3$ । ৫ পূর্ণবর্গ নয়, তাই অমূলদ।

$n = 9$ এ চাপ ঠিক ৩ এ পড়ে। কারণ $9 = 3 \times 3$ , তাই $\sqrt{9} = 3$ ।

উত্তরের মানে কী: অমূলদ সংখ্যাও সংখ্যারেখায় আছে, শুধু তার জায়গা কোনো ভগ্নাংশের সঙ্গে মেলে না। পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল (১, ২, ৩ …) পূর্ণসংখ্যায় পড়ে।

সংখ্যা

কোনটা মূলদ, কোনটা অমূলদ

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

দেওয়া আছে: পাঁচটি সংখ্যা: $\sqrt{7}$ , $\sqrt{36}$ , $\sqrt{50}$ , $\sqrt{\frac{9}{16}}$ , $\sqrt{0.25}$
খুঁজতে হবে: প্রতিটা মূলদ না অমূলদ? অমূলদ হলে কোন দুই পূর্ণসংখ্যার মাঝখানে?
কোন সূত্র কেন: ভেতরের সংখ্যাটা কোনো সংখ্যার বর্গ কি না দেখি। বর্গ হলে বর্গমূল মূলদ। না হলে দুটি ক্রমিক বর্গের মাঝখানে বসিয়ে অবস্থান বের করি।

$\sqrt{7}$ : ৭ পূর্ণবর্গ নয়। $2^2 = 4 < 7 < 9 = 3^2$ , তাই $2 < \sqrt{7} < 3$ । অমূলদ।
$\sqrt{36}$ : $6 \times 6 = 36$ , তাই $\sqrt{36} = 6$ । মূলদ।
$\sqrt{50}$ : $7^2 = 49 < 50 < 64 = 8^2$ , তাই $7 < \sqrt{50} < 8$ । ৫০ পূর্ণবর্গ নয়। অমূলদ।
$\sqrt{\frac{9}{16}}$ : $\frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$ , তাই $\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$ । মূলদ।
$\sqrt{0.25}$ : $0.5 \times 0.5 = 0.25$ , তাই $\sqrt{0.25} = 0.5$ । মূলদ।

উত্তরের মানে কী: পাঁচটার মধ্যে অমূলদ মাত্র দুটো ( $\sqrt{7}$ আর $\sqrt{50}$ )। ভগ্নাংশ বা দশমিকের ভেতরে বর্গমূল থাকলেও সেটা বর্গ হতে পারে। তাই আগে দেখো ভেতরের সংখ্যাটা কারও বর্গ কি না।

উল্টো করে

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

(ক) ৩ আর ৪ এর মাঝখানে একটা অমূলদ সংখ্যা বলো।

(খ) $2.1$ আর $2.2$ এর মাঝখানে একটা অমূলদ সংখ্যা বানাও।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা (ক): $3^2 = 9$ আর $4^2 = 16$ । এই দুইয়ের মাঝখানে যেকোনো পূর্ণবর্গ-নয় এমন সংখ্যা নাও, যেমন ১০। তাহলে $3 < \sqrt{10} < 4$ , আর $\sqrt{10}$ অমূলদ। ( $\sqrt{11}$ , $\sqrt{12}$ , … $\sqrt{15}$ ও চলবে।)

ধারণা (খ): এমন একটা দশমিক বানাই যেটা থামে না আবার ঘোরেও না। ধরো ১ এর মাঝের শূন্যগুলো একটা একটা করে বাড়ছে:

2.15\,0\,1\,00\,1\,000\,1\,0000\,1\ldots

এটা 2.1 এর চেয়ে বড়, 2.2 এর চেয়ে ছোট। শূন্যের সারি ক্রমেই বড় হচ্ছে, তাই কোনো অংশই বারবার ফিরে আসে না। দশমিকটা থামেও না, ঘোরেও না, তাই ভগ্নাংশ নয়, অমূলদ।

উত্তরের মানে কী: দুটি সংখ্যার মাঝখানে যত ইচ্ছে অমূলদ সংখ্যা পাওয়া যায়। বর্গমূল ধরে বা এমন নকশার দশমিক বানিয়ে।

ভুল ধরো

ভুলটা ধরো

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

দুটো যুক্তি। দুটোই ভুল।

ক: $\sqrt{2} = 1.414$ , আর $1.414 = \frac{1414}{1000}$ । তাই $\sqrt{2}$ একটা ভগ্নাংশ, মূলদ।

খ: $\sqrt{2} = 1.41421356\ldots$ এর অঙ্ক শেষ হয় না। তাই এটা অমূলদ। (এটাই প্রমাণ।)

ভুল কোথায়?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ক এর ভুল: $1.414$ হলো $\sqrt{2}$ এর আসন্ন মান, ঠিক মান নয়। যাচাই: $1.414^2 = 1.999396$ , ২ নয়। যদি $\sqrt{2}$ সত্যিই $1.414$ হতো, বর্গ করলে ঠিক ২ আসত।

খ এর ভুল: “শেষ হয় না” মানেই অমূলদ নয়। $\frac{1}{3} = 0.333\ldots$ এরও শেষ নেই, অথচ সে মূলদ (পাঠ ১ আর ২)। অমূলদ হতে হলে অঙ্ক শেষও হবে না, ঘুরেও আসবে না। আর এটা যে সত্যি, তা “দেখে” বলা যায় না, প্রমাণ করতে হয়। প্রমাণ হলো ওপরের বিরোধের যুক্তি।

ঠিক নিয়ম: অমূলদ দেখাতে হলে বিরোধ দেখিয়ে প্রমাণ করো। কয়েকটা অঙ্ক দেখে সিদ্ধান্ত নিয়ো না।

পরীক্ষার ধরন

পরীক্ষার ধরনে

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

পরীক্ষায় এই ধারণা সাধারণত তিন চেহারায় আসে:

(ক) “প্রমাণ করো যে $\sqrt{3}$ (বা $\sqrt{5}$ , $\sqrt{6}$ ) একটি অমূলদ সংখ্যা।”
(খ) “দুটি সংখ্যার মধ্যবর্তী দুটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় করো।”
(গ) বহুনির্বাচনি: “নিচের কোনটি অমূলদ?” প্রতিটার ভেতরের সংখ্যা পূর্ণবর্গ কি না দেখো।

নিচে (ক) এর নমুনা, $\sqrt{2}$ এর প্রমাণেরই ছোট রূপ।

দেওয়া আছে: সংখ্যাটা $\sqrt{3}$ ।
খুঁজতে হবে: প্রমাণ করো যে $\sqrt{3}$ একটি অমূলদ সংখ্যা।
কোন সূত্র কেন: বিরোধ দেখিয়ে প্রমাণ। ধরি মূলদ, তারপর দেখাই লব আর হর দুটোই ৩ দিয়ে ভাগ যায়, যা সহমৌলিক হওয়ার সঙ্গে মেলে না।

ধরি $\sqrt{3}$ মূলদ। তাহলে $\sqrt{3} = \frac{p}{q}$ , যেখানে $p$ , $q$ স্বাভাবিক সংখ্যা এবং পরস্পর সহমৌলিক।
দুই পাশে বর্গ: $3 = \frac{p^2}{q^2}$ , অর্থাৎ $p^2 = 3q^2$ ।
তাহলে $p^2$ ৩ দিয়ে ভাগ যায়। এ থেকে $p$ ও ৩ দিয়ে ভাগ যায়। (কারণ $p$ কে ৩ দিয়ে ভাগ করে বাকি ১ বা ২ থাকলে $p^2$ কে ৩ দিয়ে ভাগ করলে বাকি সবসময় ১ থাকে, ০ নয়।) ধরি $p = 3k$ ।
বসাই: $9k^2 = 3q^2$ , অর্থাৎ $q^2 = 3k^2$ ।
তাহলে $q^2$ ৩ দিয়ে ভাগ যায়, তাই $q$ ও ৩ দিয়ে ভাগ যায়।
$p$ আর $q$ দুটোই ৩ দিয়ে ভাগ যায়। এর মানে ৩ তাদের সাধারণ উৎপাদক। কিন্তু তারা সহমৌলিক। এটা বিরোধ।
তাই ধরে নেওয়া কথা ভুল। $\sqrt{3}$ অমূলদ। ∎

যাচাই: $p = 3k + 1$ হলে $p^2 = 9k^2 + 6k + 1$ , আর $p = 3k + 2$ হলে $p^2 = 9k^2 + 12k + 4$ । দুটোকেই ৩ দিয়ে ভাগ করলে বাকি ১।

উত্তরের মানে কী: $\sqrt{2}$ এ “জোড়” ব্যবহার করেছিলাম, এখানে “৩ দিয়ে ভাগ যায়”। কাঠামো একই। $\sqrt{5}$ , $\sqrt{6}$ এর বেলায়ও একই পথ।

একই ধারণা, নানা রকম অঙ্ক

অঙ্কগুলো সহজ থেকে ধীরে ধীরে কঠিন হয়েছে, আর সবগুলো একই পথে সমাধান করা। প্রতিটিতে আগে নিজে চেষ্টা করো। আটকে গেলে নিচের পাঁচটি ধাপ মিলিয়ে নাও, তারপর সমাধান দেখো।

আটকে গেলে এই পাঁচটি ধাপ

পড়ো: প্রশ্নটা দুবার পড়ো। নিজের ভাষায় বলো, কী ঘটছে?
লেখো: কী দেওয়া আছে, আর কী চাওয়া হয়েছে?
চেনো: কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে?
করো: ধাপে ধাপে, কিছু বাদ না দিয়ে।
মেলাও: উত্তরটা যুক্তিসঙ্গত কি না দেখো, আর উত্তরের মানে বলো।

অঙ্ক ১সহজগল্পের অঙ্ক

মাঠের কর্ণ

একটা আয়তাকার মাঠ ৬ মিটার বাই ৮ মিটার। আরেকটা ৪ মিটার বাই ৫ মিটার। দুটোর কর্ণের দৈর্ঘ্য মূলদ না অমূলদ?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: দুটি আয়তক্ষেত্র: $6 \times 8$ আর $4 \times 5$
খুঁজতে হবে: কর্ণ, মূলদ না অমূলদ
কোন ধারণা কাজ করছে: পিথাগোরাস: কর্ণ $^2$ = দৈর্ঘ্য $^2$ + প্রস্থ $^2$ । তারপর দেখি পূর্ণবর্গ কি না।

প্রথম মাঠ: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ , কর্ণ $= \sqrt{100} = 10$ মিটার। মূলদ।
দ্বিতীয় মাঠ: $4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$ , কর্ণ $= \sqrt{41}$ । $6^2 = 36 < 41 < 49 = 7^2$ , তাই কর্ণ ৬ আর ৭ মিটারের মাঝে। ৪১ পূর্ণবর্গ নয়, তাই অমূলদ।

যাচাই: $\sqrt{41} \approx 6.403$ , ৬ আর ৭ এর মাঝে ✓

উত্তরের মানে কী: আয়তক্ষেত্রের কর্ণ মূলদও হতে পারে, অমূলদও। ফল নির্ভর করে $a^2 + b^2$ পূর্ণবর্গ হয় কি না তার ওপর।

অঙ্ক ২সহজশনাক্ত করা

কোনগুলো অমূলদ?

$\sqrt{12}$ , $\sqrt{16}$ , $\sqrt{\frac{25}{4}}$ , $\sqrt{0.09}$ , $\sqrt{28}$ এর কোনগুলো অমূলদ?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: পাঁচটি বর্গমূল
খুঁজতে হবে: কোনগুলো অমূলদ
কোন ধারণা কাজ করছে: ভেতরের সংখ্যাটা কারও বর্গ হলে মূলদ, নইলে অমূলদ।

$\sqrt{12}$ : ১২ পূর্ণবর্গ নয় ( $9 < 12 < 16$ )। অমূলদ।
$\sqrt{16} = 4$ । মূলদ।
$\sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$ (কারণ $\frac{5}{2} \times \frac{5}{2} = \frac{25}{4}$ )। মূলদ।
$\sqrt{0.09} = 0.3$ (কারণ $0.3 \times 0.3 = 0.09$ )। মূলদ।
$\sqrt{28}$ : ২৮ পূর্ণবর্গ নয় ( $25 < 28 < 36$ )। অমূলদ।

যাচাই: $3.46^2 = 11.97$ ( $\sqrt{12} \approx 3.46$ ) আর $5.29^2 = 27.98$ ( $\sqrt{28} \approx 5.29$ ), কিন্তু ঠিক ১২, ২৮ হয় না ✓

উত্তরের মানে কী: অমূলদ দুটো: $\sqrt{12}$ আর $\sqrt{28}$ ।

অঙ্ক ৩মাঝারিতৈরি করা

দুই সংখ্যার মাঝে অমূলদ

৪ আর ৫ এর মাঝখানে দুটি অমূলদ সংখ্যা লেখো।

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: দুটি সংখ্যা ৪ ও ৫
খুঁজতে হবে: মাঝের দুটি অমূলদ সংখ্যা
কোন ধারণা কাজ করছে: ৪ আর ৫ এর বর্গ ১৬ আর ২৫। এদের মাঝে পূর্ণবর্গ নয় এমন সংখ্যার বর্গমূল নাও।

$4^2 = 16$ , $5^2 = 25$
১৬ আর ২৫ এর মাঝে ১৭, ১৮, ১৯ … ২৪ সবই পূর্ণবর্গ নয়। ধরি ১৭ আর ১৯।
$16 < 17 < 19 < 25$ , তাই $4 < \sqrt{17} < \sqrt{19} < 5$ ।

যাচাই: $\sqrt{17} \approx 4.123$ , $\sqrt{19} \approx 4.359$ , দুটোই ৪ আর ৫ এর মাঝে ✓

উত্তরের মানে কী: ১৭ থেকে ২৪ পর্যন্ত আটটা সংখ্যার প্রতিটার বর্গমূল ৪ আর ৫ এর মাঝের একটা করে অমূলদ। শুধু বর্গমূল ধরেই আটটা পাওয়া গেল, আর আরও অসংখ্য আছে।

অঙ্ক ৪মাঝারিছবি আঁকা

কোন দুই পূর্ণ বাহুতে আঁকব?

সংখ্যারেখায় $\sqrt{13}$ , $\sqrt{10}$ , $\sqrt{5}$ আঁকতে সমকোণী ত্রিভুজের দুটো বাহু কত নিতে হবে (পূর্ণ সংখ্যায়)? $\sqrt{7}$ এর বেলায় কী হয়?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: অতিভুজ $\sqrt{13}$ , $\sqrt{10}$ , $\sqrt{5}$ , $\sqrt{7}$
খুঁজতে হবে: পূর্ণ সংখ্যার দুই বাহু
কোন ধারণা কাজ করছে: অতিভুজ $^2$ = বাহু $^2$ + বাহু $^2$ , তাই ভেতরের সংখ্যাকে দুটো পূর্ণবর্গের যোগফল বানাই।

$13 = 4 + 9 = 2^2 + 3^2$ । বাহু ২ আর ৩।
$10 = 1 + 9 = 1^2 + 3^2$ । বাহু ১ আর ৩।
$5 = 1 + 4 = 1^2 + 2^2$ । বাহু ১ আর ২।
$7$ : ১, ৪, ৯ … থেকে দুটো নিয়ে ৭ হয় না ( $1 + 4 = 5$ , $4 + 4 = 8$ , …)। পূর্ণ দুই বাহুতে হবে না।
তাই $\sqrt{7}$ দুই ধাপে আঁকি: আগে $\sqrt{6}$ (বাহু $\sqrt{5}$ ও ১, কারণ $5 + 1 = 6$ ), তারপর $\sqrt{7}$ (বাহু $\sqrt{6}$ ও ১)। (উইজেটে $n = 7$ রাখলে এই ত্রিভুজই দেখবে, ভূমি $\sqrt{6}$ আর লম্ব ১।)

যাচাই: $4 + 9 = 13$ ✓, $1 + 9 = 10$ ✓, $1 + 4 = 5$ ✓, $5 + 1 = 6$ ✓, $6 + 1 = 7$ ✓

উত্তরের মানে কী: যেকোনো $\sqrt{n}$ আঁকা যায়, দরকার হলে ধাপে ধাপে ( $\sqrt{n-1}$ আর ১ নিয়ে)। উইজেটের ছবিটা ঠিক এই কৌশল।

অঙ্ক ৫কঠিনতুলনা

কোনটা বড়?

$\sqrt{5} + \sqrt{3}$ আর $\sqrt{8}$ এর মধ্যে কোনটা বড়? কেন?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ আর $\sqrt{8}$
খুঁজতে হবে: কোনটা বড়
কোন ধারণা কাজ করছে: দুটোই ধনাত্মক, তাই বর্গ করে তুলনা করলে বড়-ছোট একই থাকে।

$(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}$
$(\sqrt{8})^2 = 8$
$2\sqrt{15}$ ধনাত্মক, তাই $8 + 2\sqrt{15} > 8$
বর্গ বড়, আর দুটোই ধনাত্মক, তাই $\sqrt{5} + \sqrt{3} > \sqrt{8}$ ।

যাচাই: $2.236 + 1.732 = 3.968$ আর $\sqrt{8} \approx 2.828$ । $3.968 > 2.828$ ✓

উত্তরের মানে কী: দুটো বর্গমূলের যোগফল যোগফলের বর্গমূলের চেয়ে বড়। ( $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ আর $\sqrt{5 + 3}$ এক নয়।)

অঙ্ক ৬কঠিনধারণা পরীক্ষা

অমূলদের যোগ-গুণ

(ক) দুটি অমূলদ সংখ্যার গুণফল মূলদ হতে পারে কি? (খ) দুটি অমূলদ সংখ্যার যোগফল মূলদ হতে পারে কি? উদাহরণ দাও।

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: অমূলদ সংখ্যাদের নিয়ে গুণ আর যোগ
খুঁজতে হবে: ফল মূলদ হতে পারে কি না
কোন ধারণা কাজ করছে: একটা উদাহরণ খুঁজলেই 'পারে' প্রমাণ হয়। উদাহরণ বানাতে ভেতরের সংখ্যা এমন নিই যাতে বর্গমূল মিলে যায়।

(ক) $\sqrt{2}$ আর $\sqrt{8}$ দুটোই অমূলদ। গুণফল $\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$ । মূলদ। আরেকটা: $(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) = 2 - 1 = 1$ ।
(খ) $2 + \sqrt{3}$ আর $2 - \sqrt{3}$ দুটোই অমূলদ। যোগফল $= 4$ । মূলদ।

যাচাই: $1.4142 \times 2.8284 \approx 3.9999$ , ৪ এর খুব কাছে ✓ (গোল করা মান বলে সামান্য ফারাক)। আর $3.7321 + 0.2679 = 4$ ✓

উত্তরের মানে কী: অমূলদ সংখ্যা যোগ বা গুণ করলে সবসময় অমূলদ হয় না। (আবার অনেক সময় অমূলদই হয়, যেমন $\sqrt{2} \times 3 = 3\sqrt{2}$ ।)

নিজে করো

৫ আর ৬ এর মাঝখানে কোন সংখ্যাটা অমূলদ?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) √30। 25 < 30 < 36, তাই 5 < √30 < 6। আর ৩০ পূর্ণবর্গ নয়, তাই √30 অমূলদ। √24 আছে ৪ আর ৫ এর মাঝে। √25 = 5 আর √36 = 6 মূলদ।

√2 এর প্রমাণে শুরুতে কেন ধরা হয় যে p আর q এর ১ ছাড়া কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (ক) যাতে শেষে দুটোই জোড় পেলে ধরে নেওয়া কথার সঙ্গে বিরোধ হয়। সরল করা ভগ্নাংশ ধরলে শেষে যখন p আর q দুটোই জোড় পাওয়া যায়, তখন বোঝা যায় ধরে নেওয়া কথা (কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই) মিথ্যা। এটাই বিরোধ।

একটা দশমিকের অঙ্ক শেষও হয় না, ঘুরেও আসে না। সংখ্যাটা কেমন?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (ক) অমূলদ। ভগ্নাংশের দশমিক হয় থামে, নয়তো ঘোরে। যে দশমিক দুটোর একটাও করে না, সে ভগ্নাংশ নয়, তাই অমূলদ।

প্রশ্ন ১. প্রমাণ করো যে $\sqrt{5}$ একটি অমূলদ সংখ্যা।

ইঙ্গিত দেখো

$\sqrt{3}$ এর প্রমাণের মতো। $p^2 = 5q^2$ থেকে শুরু করো। ৫ দিয়ে ভাগ যাওয়ার কথা ভাবো।

উত্তর দেখো

ধরি $\sqrt{5} = \frac{p}{q}$ , $p$ , $q$ সহমৌলিক স্বাভাবিক সংখ্যা। বর্গ করে $p^2 = 5q^2$ । তাই $p^2$ ৫ দিয়ে ভাগ যায়, ফলে $p$ ও ৫ দিয়ে ভাগ যায় (না গেলে $p^2$ কে ৫ দিয়ে ভাগ করলে বাকি ১ বা ৪ থাকত)। ধরি $p = 5k$ । তাহলে $25k^2 = 5q^2$ , $q^2 = 5k^2$ , তাই $q$ ও ৫ দিয়ে ভাগ যায়। $p$ , $q$ দুটোই ৫ দিয়ে ভাগ যায়, কিন্তু তারা সহমৌলিক। বিরোধ। তাই $\sqrt{5}$ অমূলদ। ∎

প্রশ্ন ২. ১ আর ২ এর মাঝখানে তিনটা অমূলদ সংখ্যা লেখো। কেন প্রতিটা মাঝখানে, তাও বলো।

ইঙ্গিত দেখো

১ আর ২ এর বর্গ ১ আর ৪। এই দুইয়ের মাঝখানে পূর্ণবর্গ নয় এমন কয়টা সংখ্যা আছে? আর দরকার হলে নকশার দশমিক বানাও।

উত্তর দেখো

$\sqrt{2}$ আর $\sqrt{3}$ : কারণ $1 < 2 < 3 < 4$ , তাই $1 < \sqrt{2} < \sqrt{3} < 2$ , আর ২, ৩ পূর্ণবর্গ নয়। তৃতীয়টা বর্গমূল থেকে আর পাওয়া যায় না (১ আর ৪ এর মাঝে মাত্র ২, ৩), তাই একটা নকশার দশমিক: $1.5010010001\ldots$ (১ এর মাঝের শূন্য বাড়ছে)। এটা ১ এর চেয়ে বড়, ২ এর চেয়ে ছোট, থামেও না, ঘোরেও না।

মনে রাখো

$\sqrt{n}$ সংখ্যারেখায় একটা নির্দিষ্ট বিন্দু (ভূমি $\sqrt{n-1}$ আর লম্ব ১ এর ত্রিভুজ থেকে পাওয়া যায়)। $n$ পূর্ণবর্গ হলে $\sqrt{n}$ মূলদ, না হলে অমূলদ। $\sqrt{2}$ অমূলদ, এর প্রমাণ: ভগ্নাংশ ধরো, $p^2 = 2q^2$ থেকে $p$ , $q$ দুটোকেই জোড় পাও, যা সহমৌলিক হওয়ার সঙ্গে মেলে না। সাবধান: 1.414 হলো আসন্ন মান, ঠিক মান নয়। আর “অঙ্ক শেষ হয় না” বললেই অমূলদ হয় না, ঘুরেও আসা চলবে না।

অমূলদ সংখ্যা: √2 কেন ভগ্নাংশ নয়

MCQ ও সৃজনশীল শর্টকাট

উত্তর যাচাইয়ের কৌশল

এই পাঠের সূত্রপত্র

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবে

সব সংখ্যাই কি ভগ্নাংশ হয়? √2 এর সমস্যা

√2 ভগ্নাংশ হলে কী গোলমাল হয়, ধাপে ধাপে দেখি

অমূলদ সংখ্যা নিয়ে ছয়টা পরিস্থিতি

কর্ণ বরাবর ফিতা

ছবিতে বসাও

কোনটা মূলদ, কোনটা অমূলদ

উল্টো করে

ভুলটা ধরো

পরীক্ষার ধরনে

একই ধারণা, নানা রকম অঙ্ক

মাঠের কর্ণ

কোনগুলো অমূলদ?

দুই সংখ্যার মাঝে অমূলদ

কোন দুই পূর্ণ বাহুতে আঁকব?

কোনটা বড়?

অমূলদের যোগ-গুণ

নিজে করো

মনে রাখো