পাঠ ৪গণিত

আবৃত্ত দশমিকের চার ক্রিয়া: ভগ্নাংশ বানিয়ে হিসাব করো

পাঠের সারাংশ

যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ: আবৃত্ত দশমিকের শেষ অঙ্ক নেই, তাই আগে ভগ্নাংশে লেখো, হিসাব করো, দরকার হলে আবার দশমিকে ফেরো।

আগে পড়ে নাওভগ্নাংশ থেকে দশমিক: থামে, নাকি ঘুরে আসে?আবৃত্ত দশমিক থেকে সাধারণ ভগ্নাংশ

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

0.333… + 0.666… কীভাবে যোগ করব?

সাধারণ দশমিক যোগ করতে আমরা ডান দিকের শেষ অঙ্ক থেকে শুরু করি, তারপর হাতের সংখ্যা বাঁয়ে পাঠাই। কিন্তু $0.333\ldots$ এর শেষ অঙ্ক বলে কিছু নেই। শুরু করব কোথা থেকে?

কেটে ছেঁটে নিলে ভুল হয়। $0.333 + 0.666 = 0.999$ , অথচ ফিতার দুই টুকরো জুড়লে পাই পুরো ১ মিটার। তাই দরকার একটা অন্য পথ।

ভগ্নাংশের শেষ আছে। তাই আবৃত্ত দশমিককে আগে ভগ্নাংশ বানাও, হিসাব ভগ্নাংশে করো, দরকার হলে শেষে দশমিকে ফেরো। দুটো পথই আমরা আগের দুই পাঠে শিখে ফেলেছি।

নিজে দেখে বুঝো

চার ক্রিয়ার একটাই পথ। যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ, সবার জন্য এটাই।

একটা ওপর থেকে নিচে পথের ছবি, চারটা ঘর। প্রথম ঘর: দুটি আবৃত্ত দশমিক। তির নিচে, পাঠ ৩ অনুযায়ী ভগ্নাংশে বদলাও। দ্বিতীয় ঘর: দুটি ভগ্নাংশ। তির নিচে, ভগ্নাংশের নিয়মে যোগ বিয়োগ গুণ ভাগ। তৃতীয় ঘর: ফল একটি ভগ্নাংশ। তির নিচে, প্রশ্নে চাইলে পাঠ ২ অনুযায়ী ভাগ করে দশমিক। চতুর্থ ঘর: ফল দশমিক।

ছবির প্রতিটা ঘর আগের পাঠগুলোর কাজ। নতুন শেখার জিনিস শুধু মাঝের ধাপ: ভগ্নাংশের হিসাব, যা তুমি আগে থেকেই জানো।

আগে ভগ্নাংশ বানাও, তারপর হিসাব: এই পথ কেন নিরাপদ

শেষ অঙ্ক নেই বলে সরাসরি যোগ করা যায় না। ডান দিক থেকে যোগ শুরু করার জায়গাই নেই। কেটে নিলে মান বদলে যায় (0.999 আর ১ এক নয়)।
ভগ্নাংশ হলো সীমিত জিনিস। একটা ভগ্নাংশে দুটো মাত্র সংখ্যা: লব আর হর। তাই তাদের যোগ-গুণ ঠিকঠাক করা যায়।
প্রতিটা আবৃত্ত দশমিক আসলে একটা ভগ্নাংশ। পাঠ ৩ এ দেখেছি, গুণ আর বিয়োগ করে লেজ কেটে ফেললে ভগ্নাংশ পাওয়া যায়। তাই বদলে নিলে মান একটুও বদলায় না।
দুটো ভগ্নাংশ নিয়ে হিসাব করলে আবার ভগ্নাংশই পাওয়া যায় (ভাগের সময় ভাজক শূন্য না হলে)। তাই ফলও মূলদ।
আর মূলদ সংখ্যার দশমিক হয় থামে, নয়তো ঘোরে (পাঠ ২)। তাই ফলকে দশমিকে লিখলে হয় সসীম, নয়তো আবৃত্ত দশমিক হবে। অমূলদ হওয়ার সুযোগই নেই।

ভগ্নাংশের হিসাব মনে করিয়ে দিই

ক্রিয়া	নিয়ম	উদাহরণ
যোগ, বিয়োগ	হরের ল.সা.গু. বের করে সমান হর বানাও, তারপর লব যোগ বা বিয়োগ	$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$
গুণ	লবে লবে, হরে হরে গুণ	$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
ভাগ	যাকে ভাগ করছ তাকে রেখে, ভাজককে উল্টে গুণ	$\frac{1}{2} \div \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{1} = 2$

শব্দ: সদৃশ আবৃত্ত দশমিক (similar recurring decimals)

দুটি আবৃত্ত দশমিকের অনাবৃত্ত অংশে অঙ্ক সমান আর আবৃত্ত অংশেও অঙ্ক সমান হলে তারা সদৃশ। যেমন $0.\dot{3}$ আর $0.\dot{7}$ (দুটোতে অনাবৃত্ত ০টি, আবৃত্ত ১টি), বা $0.2\dot{5}$ আর $0.4\dot{1}$ । এর অন্যথা হলে অসদৃশ, যেমন $0.\dot{3}$ আর $0.\dot{2}\dot{7}$ । নামটা জেনে রাখো। কিন্তু আমাদের পথে ভগ্নাংশে বদলে নিই, তাই সদৃশ না অসদৃশ, সেটা নিয়ে মাথা ঘামাতে হয় না।

আবৃত্ত দশমিকের চার ক্রিয়া নিয়ে ছয়টা পরিস্থিতি

চেনা জীবন

দুই টুকরো ফিতা

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

রুমি দুটো ফিতা জুড়ল। একটা $0.333\ldots$ মিটার, আরেকটা $0.666\ldots$ মিটার (দুটোই অসীম)। এক বন্ধু বলল মোট $0.999$ মিটার, আরেক বন্ধু বলল ঠিক ১ মিটার। কে ঠিক?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা: আবৃত্ত দশমিককে ভগ্নাংশ বানিয়ে যোগ করি।

$0.333\ldots = \frac{1}{3}$ আর $0.666\ldots = \frac{2}{3}$ । যোগ: $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} = 1$ ।

উত্তরের মানে কী: দ্বিতীয় বন্ধু ঠিক। প্রথম বন্ধু অসীম অঙ্ককে তিন অঙ্কে কেটে ফেলেছে, তাই একটুখানি কম পেয়েছে। ভগ্নাংশের পথে কাটার দরকারই পড়ে না।

ছবি / গ্রাফ

পথ ধরে হিসাব

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

ওপরের পথের ছবি দেখো। $0.\dot{6} \times 0.\dot{3}$ এর মান ছবির পথ ধরে বের করো। ফল দশমিকে কত?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা: প্রথম ঘর থেকে শুরু করে ঘরে ঘরে নামি।

দুটি আবৃত্ত দশমিক: $0.\dot{6}$ আর $0.\dot{3}$ ।
ভগ্নাংশে বদলাই (পাঠ ৩): $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ আর $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ ।
গুণ: $\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$ । এটাই ফল (ভগ্নাংশ)।
দশমিকে চাইলে ভাগ করি (পাঠ ২): $2 \div 9 = 0.222\ldots = 0.\dot{2}$ ।

উত্তরের মানে কী: দুটো আবৃত্ত দশমিকের গুণফল আবার আবৃত্ত দশমিক হলো। ছবির শেষ ঘরটা প্রশ্নে না চাইলে দরকার নেই।

সংখ্যা

চার ক্রিয়া একসাথে

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

দেওয়া আছে: $x = 0.\dot{6}$ আর $y = 0.8\dot{3}$
খুঁজতে হবে: $x + y$ , $y - x$ , $xy$ আর $y \div x$ । প্রতিটা সরল ভগ্নাংশে ও দশমিকে।
কোন সূত্র কেন: আগে দুটোকেই ভগ্নাংশ বানাই, তারপর ভগ্নাংশের নিয়মে হিসাব, শেষে দশমিকে।

ভগ্নাংশে বদল (পাঠ ৩):

$x = 0.\dot{6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
$y = 0.8\dot{3} = \frac{83 - 8}{90} = \frac{75}{90} = \frac{5}{6}$

১) যোগ: $\frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5$

২) বিয়োগ: $x - y$ ঋণাত্মক হবে ( $y$ বড়), তাই $y - x$ করি: $\frac{5}{6} - \frac{4}{6} = \frac{1}{6} = 0.1\dot{6}$

৩) গুণ: $\frac{2}{3} \times \frac{5}{6} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9} = 0.\dot{5}$

৪) ভাগ: $y \div x = \frac{5}{6} \div \frac{2}{3} = \frac{5}{6} \times \frac{3}{2} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1.25$

উত্তরের মানে কী: একই দুটো আবৃত্ত দশমিক থেকে চার রকম ফল এল: $1.5$ (সসীম), $0.1\dot{6}$ (মিশ্র আবৃত্ত), $0.\dot{5}$ (বিশুদ্ধ আবৃত্ত), $1.25$ (সসীম)। দুটো আবৃত্ত দশমিক যোগ করলেই যে আবার আবৃত্ত হবে, তা নয়।

উল্টো করে

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

(ক) দুটি আবৃত্ত দশমিকের যোগফল $1.5$ । এমন একজোড়া আবৃত্ত দশমিক বানাও।

(খ) দুটি আবৃত্ত দশমিকের গুণফল কি অমূলদ সংখ্যা হতে পারে?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা (ক): একটা আবৃত্ত দশমিক নিজের পছন্দমতো বেছে নাও, বাকিটা ওলটপালট করে বের করো। ধরি $x = 0.\dot{3} = \frac{1}{3}$ । তাহলে $y = 1.5 - \frac{1}{3} = \frac{3}{2} - \frac{1}{3} = \frac{9}{6} - \frac{2}{6} = \frac{7}{6} = 1.1\dot{6}$ । জোড়াটা $0.\dot{3}$ আর $1.1\dot{6}$ । যাচাই: $0.3333\ldots + 1.1666\ldots = 1.5$ ✓

ধারণা (খ): না। প্রতিটা আবৃত্ত দশমিক একটা ভগ্নাংশ, ধরি $\frac{a}{b}$ আর $\frac{c}{d}$ । গুণফল $\frac{ac}{bd}$ , এটাও দুটি পূর্ণসংখ্যার ভাগ। তাই মূলদ, অমূলদ নয়। যোগ, বিয়োগ আর ভাগের (ভাজক শূন্য না হলে) বেলাতেও একই কথা।

উত্তরের মানে কী: আবৃত্ত দশমিক নিয়ে যত হিসাবই করো, পরিবার থেকে বেরোতে পারবে না। অমূলদ সংখ্যায় পৌঁছাতে অন্য পথ লাগে (পরের পাঠে আসছে)।

ভুল ধরো

ভুলটা ধরো

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

দুটো সমাধান। দুটোই ভুল।

ক: $0.\dot{3} \times 0.\dot{3}$ এ 3 × 3 = 9, তাই উত্তর $0.\dot{9}$ ।

খ: $0.\dot{6} \div 0.\dot{3} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$ ।

ভুল কোথায়?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ক এর ভুল: অঙ্কে অঙ্কে গুণ করা যায় না। দশমিক আসলে ভগ্নাংশ: $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} = 0.\dot{1}$ । সহজ সতর্কতা: $0.\dot{9} = 1$ (পাঠ ৩), কিন্তু $\frac{1}{3}$ এর $\frac{1}{3}$ অংশ কখনো ১ হতে পারে না।

খ এর ভুল: ভাগের সময় ভাজককে (যার দিয়ে ভাগ) উল্টাতে ভোলা হয়েছে। ঠিক: $\frac{2}{3} \div \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{1} = 2$ । সহজ সতর্কতা: $0.666\ldots$ হলো $0.333\ldots$ এর দ্বিগুণ, তাই ভাগফল ২ হবে, $\frac{2}{9}$ নয়।

ঠিক নিয়ম: ভগ্নাংশ বানাও, ভগ্নাংশের নিয়মে হিসাব করো। আর ফলকে মোটামুটি দশমিক মানের সঙ্গে মিলিয়ে দেখো।

পরীক্ষার ধরন

পরীক্ষার ধরনে

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

পরীক্ষায় এই ধারণা সাধারণত তিন চেহারায় আসে:

(ক) “যোগ করো” বা “বিয়োগ করো”, সঙ্গে সদৃশ বা অসদৃশ আবৃত্ত দশমিক।
(খ) “গুণ করো” বা “ভাগ করো”।
(গ) $x$ আর $y$ নাম দিয়ে $x + y$ , $xy$ জাতীয় প্রশ্ন।

প্রশ্নে ফল ভগ্নাংশে না দশমিকে চাওয়া হয়েছে, সেটা আগে পড়ে নাও। নিচে (খ) এর একটা নমুনা।

দেওয়া আছে: $4.\dot{3}$ আর $1.\dot{2}$
খুঁজতে হবে: $4.\dot{3} \div 1.\dot{2}$ এর মান সরল ভগ্নাংশে ও দশমিকে।
কোন সূত্র কেন: দুটোকে ভগ্নাংশ বানাই, ভাজককে উল্টে গুণ করি, তারপর ভাগ করে দশমিকে লিখি।

$4.\dot{3} = \frac{43 - 4}{9} = \frac{39}{9} = \frac{13}{3}$
$1.\dot{2} = \frac{12 - 1}{9} = \frac{11}{9}$
$\frac{13}{3} \div \frac{11}{9} = \frac{13}{3} \times \frac{9}{11} = \frac{117}{33} = \frac{39}{11}$
দশমিকে: $39 \div 11$ । ভাগফল ৩, বাকি ৬। তারপর 60 ÷ 11 = 5 (বাকি ৫), 50 ÷ 11 = 4 (বাকি ৬)। বাকি ৬ আবার এল, তাই ৫, ৪ ঘুরবে।

$\frac{39}{11} = 3.5454\ldots = 3.\dot{5}\dot{4}$ ।

যাচাই: $4.3333 \div 1.2222 \approx 3.5454$ ✓

উত্তরের মানে কী: ভাগফল $\frac{39}{11}$ বা $3.\dot{5}\dot{4}$ । হর ১১ এ ২ বা ৫ ছাড়া উৎপাদক আছে, তাই আগেই বোঝা যায় দশমিক ঘুরবে।

একই ধারণা, নানা রকম অঙ্ক

অঙ্কগুলো সহজ থেকে ধীরে ধীরে কঠিন হয়েছে, আর সবগুলো একই পথে সমাধান করা। প্রতিটিতে আগে নিজে চেষ্টা করো। আটকে গেলে নিচের পাঁচটি ধাপ মিলিয়ে নাও, তারপর সমাধান দেখো।

আটকে গেলে এই পাঁচটি ধাপ

পড়ো: প্রশ্নটা দুবার পড়ো। নিজের ভাষায় বলো, কী ঘটছে?
লেখো: কী দেওয়া আছে, আর কী চাওয়া হয়েছে?
চেনো: কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে?
করো: ধাপে ধাপে, কিছু বাদ না দিয়ে।
মেলাও: উত্তরটা যুক্তিসঙ্গত কি না দেখো, আর উত্তরের মানে বলো।

অঙ্ক ১সহজসংখ্যা

যোগ

$0.\dot{2} + 0.\dot{5}$ এর মান কত?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $0.\dot{2}$ আর $0.\dot{5}$
খুঁজতে হবে: যোগফল
কোন ধারণা কাজ করছে: ভগ্নাংশ বানিয়ে যোগ করি।

$0.\dot{2} = \frac{2}{9}$ আর $0.\dot{5} = \frac{5}{9}$
$\frac{2}{9} + \frac{5}{9} = \frac{7}{9}$
দশমিকে: $\frac{7}{9} = 0.\dot{7}$

যাচাই: $0.2222 + 0.5555 = 0.7777$ ✓

উত্তরের মানে কী: দুটো একই ধরনের আবৃত্ত দশমিক যোগ করে আবার একই ধরনেরটা পেলাম।

অঙ্ক ২সহজসংখ্যা

বিয়োগ

$0.\dot{8} - 0.\dot{3}$ এর মান কত?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $0.\dot{8}$ আর $0.\dot{3}$
খুঁজতে হবে: বিয়োগফল
কোন ধারণা কাজ করছে: ভগ্নাংশ বানিয়ে বিয়োগ করি।

$0.\dot{8} = \frac{8}{9}$ আর $0.\dot{3} = \frac{3}{9}$
$\frac{8}{9} - \frac{3}{9} = \frac{5}{9} = 0.\dot{5}$

যাচাই: $0.8888 - 0.3333 = 0.5555$ ✓

উত্তরের মানে কী: বিয়োগেও একই পথ: ভগ্নাংশ বানাও, হিসাব করো, দশমিকে ফেরো।

অঙ্ক ৩মাঝারিগল্পের অঙ্ক

ফিতা কেনা আর খরচ

রিনা $2.\dot{3}$ মিটার ফিতা কিনল। তার মধ্যে $1.\dot{6}$ মিটার খরচ হলো। বাকি কত?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: কেনা $2.\dot{3}$ মিটার, খরচ $1.\dot{6}$ মিটার
খুঁজতে হবে: বাকি কত মিটার
কোন ধারণা কাজ করছে: বাকি $=$ কেনা $-$ খরচ। ভগ্নাংশ বানিয়ে বিয়োগ।

$2.\dot{3} = \frac{23 - 2}{9} = \frac{21}{9} = \frac{7}{3}$
$1.\dot{6} = \frac{16 - 1}{9} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$
$\frac{7}{3} - \frac{5}{3} = \frac{2}{3} = 0.\dot{6}$ মিটার

যাচাই: $2.3333 - 1.6667 = 0.6666$ ✓

উত্তরের মানে কী: প্রায় $\frac{2}{3}$ মিটার, মানে ৬৭ সেন্টিমিটারের একটু কম।

অঙ্ক ৪মাঝারিসংখ্যা

গুণ

$1.\dot{2} \times 0.\dot{3}$ এর মান ভগ্নাংশে ও দশমিকে লেখো।

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $1.\dot{2}$ আর $0.\dot{3}$
খুঁজতে হবে: গুণফল
কোন ধারণা কাজ করছে: ভগ্নাংশ বানিয়ে লবে লবে, হরে হরে গুণ।

$1.\dot{2} = \frac{12 - 1}{9} = \frac{11}{9}$ আর $0.\dot{3} = \frac{1}{3}$
$\frac{11}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{11}{27}$
দশমিকে: $11 \div 27 = 0.407407\ldots = 0.\dot{4}0\dot{7}$

যাচাই: $1.2222 \times 0.3333 \approx 0.4074$ ✓

উত্তরের মানে কী: হর ২৭ এ ৩ আছে, তাই দশমিক ঘোরে, আর তিন অঙ্ক ( $407$ ) ঘুরছে।

অঙ্ক ৫কঠিননাম দিয়ে হিসাব

ভাগ আর যোগ, দুটো সংখ্যা নিয়ে

$x = 0.\dot{6}$ আর $y = 0.\dot{1}\dot{2}$ হলে $\frac{x}{y}$ আর $x + y$ এর মান নির্ণয় করো।

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $x = 0.\dot{6}$ , $y = 0.\dot{1}\dot{2}$
খুঁজতে হবে: $\frac{x}{y}$ এবং $x + y$
কোন ধারণা কাজ করছে: আগে $x$ আর $y$ কে ভগ্নাংশ বানাই।

$x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ আর $y = \frac{12}{99} = \frac{4}{33}$
$\frac{x}{y} = \frac{2}{3} \div \frac{4}{33} = \frac{2}{3} \times \frac{33}{4} = \frac{66}{12} = \frac{11}{2} = 5.5$
$x + y = \frac{2}{3} + \frac{4}{33} = \frac{22}{33} + \frac{4}{33} = \frac{26}{33}$ । দশমিকে $0.787878\ldots = 0.\dot{7}\dot{8}$

যাচাই: $0.6667 \div 0.1212 = 5.5$ প্রায় ✓। $0.6667 + 0.1212 = 0.7879$ ✓

উত্তরের মানে কী: দুটো আবৃত্ত দশমিক ভাগ করে সসীম ( $5.5$ ) পেলাম, যোগ করে আবৃত্ত। ফল কেমন হবে তা আগে বলা যায় না, হিসাব করতে হয়।

অঙ্ক ৬কঠিনমিশ্র

বীজগণিতের সূত্র আর আবৃত্ত দশমিক

$a = 0.\dot{3}$ আর $b = 0.\dot{6}$ হলে দেখাও যে $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ।

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $a = 0.\dot{3}$ , $b = 0.\dot{6}$
খুঁজতে হবে: দুই পাশ সমান কি না
কোন ধারণা কাজ করছে: ভগ্নাংশ বানিয়ে বাম ও ডান পাশ আলাদা আলাদা বের করি।

$a = \frac{1}{3}$ , $b = \frac{2}{3}$
বাম পাশ: $(a + b)^2 = \left(\frac{1}{3} + \frac{2}{3}\right)^2 = 1^2 = 1$
ডান পাশ: $a^2 = \frac{1}{9}$ , $2ab = 2 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$ , $b^2 = \frac{4}{9}$
যোগ: $\frac{1}{9} + \frac{4}{9} + \frac{4}{9} = \frac{9}{9} = 1$

যাচাই: দুই পাশই ১ ✓

উত্তরের মানে কী: আবৃত্ত দশমিকও সাধারণ সংখ্যার মতোই বীজগণিতের সূত্র মানে। ভগ্নাংশে বদলালেই সব সহজ।

অঙ্ক ৭মাঝারিগল্পের অঙ্ক

গড়

দুটি নদীর গভীরতা $0.\dot{3}$ মিটার আর $0.\dot{6}$ মিটার। গড় গভীরতা কত?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $0.\dot{3}$ মিটার, $0.\dot{6}$ মিটার
খুঁজতে হবে: গড়
কোন ধারণা কাজ করছে: গড় $=$ যোগফল $\div$ ২।

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$
গড় $= 1 \div 2 = \frac{1}{2} = 0.5$ মিটার

যাচাই: $(0.3333 + 0.6667) \div 2 = 0.5$ ✓

উত্তরের মানে কী: দুটো ঘোরা দশমিক মিলে সসীম ও সুন্দর উত্তর। ভগ্নাংশে না এনে হাতে হাতে করলে এটা বোঝা যেত না।

নিজে করো

০.444… + 0.555… এর মান কত?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) ১। 4/9 + 5/9 = 9/9 = 1। 0.9999 শুধু কেটে নেওয়া মান, তাই একটু কম।

০.333… × 0.333… এর মান কোনটা?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) 0.111…। 1/3 × 1/3 = 1/9 = 0.111…। অঙ্কে অঙ্কে গুণ করলে ভুল হয়।

দুটি আবৃত্ত দশমিক যোগ করলে যোগফল কেমন সংখ্যা হবে?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) সবসময় মূলদ। ভগ্নাংশ যোগ করলে আবার ভগ্নাংশ পাওয়া যায়, তাই যোগফল সবসময় মূলদ। ওই যোগফল সসীম হতেও পারে, যেমন 0.333… + 0.666… = 1।

প্রশ্ন ১. সরল ভগ্নাংশে আর দশমিকে লেখো: (ক) $0.\dot{5} + 0.2\dot{7}$ (খ) $1.\dot{2} - 0.\dot{7}$ (গ) $0.\dot{4}\dot{5} \times 0.\dot{2}$ (ঘ) $0.\dot{8} \div 0.\dot{2}$

ইঙ্গিত দেখো

আগে প্রতিটা আবৃত্ত দশমিককে ভগ্নাংশ বানাও (গুণ-বিয়োগ করে লেজ কাটো)। তারপর ভগ্নাংশের নিয়মে হিসাব।

উত্তর দেখো

(ক) $\frac{5}{9} + \frac{5}{18} = \frac{10}{18} + \frac{5}{18} = \frac{15}{18} = \frac{5}{6} = 0.8\dot{3}$

(খ) $\frac{11}{9} - \frac{7}{9} = \frac{4}{9} = 0.\dot{4}$

(গ) $\frac{5}{11} \times \frac{2}{9} = \frac{10}{99} = 0.\dot{1}\dot{0}$

(ঘ) $\frac{8}{9} \div \frac{2}{9} = \frac{8}{9} \times \frac{9}{2} = 4$

প্রশ্ন ২. দেখাও যে দুটি আবৃত্ত দশমিকের গুণফল কখনো অমূলদ সংখ্যা হতে পারে না।

ইঙ্গিত দেখো

আবৃত্ত দশমিককে ভগ্নাংশ বানালে কী পাও? দুটো ভগ্নাংশ গুণ করলে কেমন সংখ্যা হয়?

উত্তর দেখো

দুটি আবৃত্ত দশমিক $\frac{a}{b}$ আর $\frac{c}{d}$ রূপে লেখা যায় ( $b, d \neq 0$ )। তাদের গুণফল $\frac{ac}{bd}$ , যেখানে $bd \neq 0$ । এটা দুটি পূর্ণসংখ্যার ভাগ, তাই মূলদ সংখ্যা। অমূলদ সংখ্যাকে $\frac{p}{q}$ আকারে লেখা যায় না, তাই গুণফল অমূলদ হতে পারে না।

মনে রাখো

আবৃত্ত দশমিকের শেষ অঙ্ক নেই, তাই অঙ্কে অঙ্কে হিসাব চলে না। একই পথ চার ক্রিয়ায়: ভগ্নাংশ বানাও (পাঠ ৩), ভগ্নাংশের নিয়মে হিসাব করো, চাইলে ভাগ করে দশমিকে ফেরো (পাঠ ২)। ফল সবসময় মূলদ হয়। সাবধান: ভাগে ভাজককে উল্টাতে ভুলো না, আর ফলকে মোটামুটি দশমিক মানের সঙ্গে মিলিয়ে দেখো।

আবৃত্ত দশমিকের চার ক্রিয়া: ভগ্নাংশ বানিয়ে হিসাব করো

MCQ ও সৃজনশীল শর্টকাট

উত্তর যাচাইয়ের কৌশল

এই পাঠের সূত্রপত্র

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবে

0.333… + 0.666… কীভাবে যোগ করব?

আগে ভগ্নাংশ বানাও, তারপর হিসাব: এই পথ কেন নিরাপদ

আবৃত্ত দশমিকের চার ক্রিয়া নিয়ে ছয়টা পরিস্থিতি

দুই টুকরো ফিতা

পথ ধরে হিসাব

চার ক্রিয়া একসাথে

উল্টো করে

ভুলটা ধরো

পরীক্ষার ধরনে

একই ধারণা, নানা রকম অঙ্ক

যোগ

বিয়োগ

ফিতা কেনা আর খরচ

গুণ

ভাগ আর যোগ, দুটো সংখ্যা নিয়ে

বীজগণিতের সূত্র আর আবৃত্ত দশমিক

গড়

নিজে করো

মনে রাখো