পাঠ ৩গণিত

আবৃত্ত দশমিক থেকে সাধারণ ভগ্নাংশ

পাঠের সারাংশ

আবৃত্ত দশমিককে ১০-এর উপযুক্ত ঘাত দিয়ে গুণ করে বিয়োগ করলে পুনরাবৃত্ত অংশটি বাদ পড়ে, থাকে একটি সাধারণ ভগ্নাংশ।

আগে পড়ে নাওভগ্নাংশ থেকে দশমিক: থামে, নাকি ঘুরে আসে?

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

0.333… কে ভগ্নাংশে লিখব কীভাবে?

আগের পাঠে ভগ্নাংশ থেকে দশমিক বের করেছি। এবার উল্টোটা: ক্যালকুলেটরে $0.666\ldots$ দেখলে এটা আসলে কোন ভগ্নাংশ?

সমস্যা হলো, অঙ্ক অসীম। অসীম অঙ্ক তো যোগ করে শেষ করা যায় না। তাই একটা কৌশল লাগে: একই দশমিকের দুটো কপি নাও, যাদের লেজ (বিন্দুর পরের ঘোরা অংশ) হুবহু এক। তারপর বিয়োগ দাও। লেজ কেটে গিয়ে পড়ে থাকে একটা সাধারণ সংখ্যা।

নিজে দেখে বুঝো

নিজে বদলে দেখো

পূর্ণ অংশ

অনাবৃত্ত অংশ

আবৃত্ত অংশ (ঘোরে)

x = 0.83…ধরি সংখ্যাটাই x। বিন্দু-দেওয়া অঙ্কগুলো ঘুরে ঘুরে আসছে।

আগে ভাবো: কত দিয়ে গুণ করলে দুটো সংখ্যার লেজ হুবহু এক হবে?

অনাবৃত্ত আর আবৃত্ত অংশ বদলে বদলে দেখো। প্রতি ধাপের আগে ভাবো, তারপর 'পরের ধাপ' চাপো।

একটা ধাপ-তালিকা। প্রথমে x এর মান, তারপর x কে দশের ঘাত দিয়ে গুণ করে পাওয়া দুটো সংখ্যা যাদের বিন্দুর পরের অংশ এক। তারপর বিয়োগ করে লেজ কেটে ফেলা, শেষে x এর মান সাধারণ ভগ্নাংশে।

নিজে চেষ্টা করো: প্রথম বাটনটা ( $0.\dot{3}$ ) দিয়ে সব ধাপ দেখো। তারপর $0.8\dot{3}$ দেখো। কোনটায় ১০ দিয়ে গুণ করলেই লেজ মিলে যায়? কোনটায় আরও গুণ করতে হয়?

১০ দিয়ে গুণ করে লেজ কেটে ফেলার কৌশল কেন কাজ করে

১) একটা অঙ্ক ঘুরছে: $x = 0.\dot{3}$

ধাপ	লেখা
১	$x = 0.3333\ldots$
২	১০ দিয়ে গুণ করি (বিন্দু এক ঘর ডানে যায়): $10x = 3.3333\ldots$
৩	দুটো পাশাপাশি দেখো: বিন্দুর পরের অংশ $0.3333\ldots$ দুই জায়গাতেই হুবহু এক
৪	বিয়োগ করি: $10x - x = 3.3333\ldots - 0.3333\ldots$ , অর্থাৎ $9x = 3$
৫	$x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

২) দুটো অঙ্ক ঘুরছে: $x = 0.\dot{2}\dot{7}$

এখানে ১০ দিয়ে গুণ করলে লেজ মেলে না: $10x = 2.7272\ldots$ আর $x = 0.2727\ldots$ । বিন্দুর পরে একটায় ৭২ ৭২ ৭২ … আর অন্যটায় ২৭ ২৭ ২৭ …, দুটো এক নয়। এক পুরো আবর্তন (২ অঙ্ক) সরাতে হবে, তাই ১০০ দিয়ে গুণ করি:

$100x = 27.2727\ldots$ আর $x = 0.2727\ldots$ । এবার লেজ এক। বিয়োগ: $99x = 27$ , তাই $x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$ ।

৩) আগে একটা অঙ্ক, তারপর ঘুরছে: $x = 0.8\dot{3}$

আগে ঘোরা অংশটাকে বিন্দুর ঠিক পরে আনি। ১০ দিয়ে গুণ: $10x = 8.333\ldots$ । তারপর এক আবর্তন আরও সরাই: $100x = 83.333\ldots$ । এখন দুটোর লেজ এক। বিয়োগ: $100x - 10x = 83.333\ldots - 8.333\ldots$ , অর্থাৎ $90x = 75$ । তাই $x = \frac{75}{90} = \frac{5}{6}$ ।

৪) সব মিলিয়ে একটাই নিয়ম

ধরো অনাবৃত্ত অঙ্ক $m$ টি, আবৃত্ত অঙ্ক $n$ টি। তাহলে সবসময় এই দুটো কপির পার্থক্য নিই: $10^{m+n} x$ আর $10^m x$ । তখন

(10^{m+n} - 10^m)\, x = (\text{সব অঙ্ক একসাথে পড়ে পাওয়া সংখ্যা}) - (\text{অনাবৃত্ত অঙ্ক পর্যন্ত পড়ে পাওয়া সংখ্যা})

বাম পাশের সংখ্যা $10^{m+n} - 10^m$ আসলে $n$ টা ৯ আর তার পরে $m$ টা ০। যেমন $0.8\dot{3}$ এ $m = 1$ , $n = 1$ , তাই হর ৯০। লব: সব অঙ্ক একসাথে ৮৩, অনাবৃত্ত পর্যন্ত ৮, পার্থক্য $83 - 8 = 75$ । ফল $\frac{75}{90} = \frac{5}{6}$ ।

এটা মুখস্থ করার সূত্র নয়। ওপরের তিনটা উদাহরণ করলে নিজেই বেরিয়ে আসে।

আবৃত্ত দশমিক থেকে ভগ্নাংশ নিয়ে ছয়টা পরিস্থিতি

চেনা জীবন

আম ভাগ

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

তিন বন্ধু ২ কেজি আম সমান ভাগ করল। ক্যালকুলেটরে প্রত্যেকের ভাগ দেখাল $0.666\ldots$ কেজি। এটা আসলে কত ভগ্নাংশ কেজি?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা: একই দশমিকের দুটো কপি নিয়ে বিয়োগ করলে লেজ কাটে।

$x = 0.666\ldots$ । ১০ দিয়ে গুণ: $10x = 6.666\ldots$ । বিয়োগ: $9x = 6$ , তাই $x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ ।

উত্তরের মানে কী: প্রত্যেকে পেল $\frac{2}{3}$ কেজি। মিলিয়ে দেখো: 2 কেজি ÷ 3 জন $= \frac{2}{3}$ কেজি ✓। ক্যালকুলেটর ভগ্নাংশটাকেই দশমিকে বলছিল।

ছবি / গ্রাফ

লেজ কেটে যাওয়ার ছবি

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

নিজে দেখে বুঝো

যে অঙ্ক ঘোরে সেটা লেখো, তারপর ধাপে ধাপে দেখো লেজ কীভাবে কেটে যায় আর ভগ্নাংশ কীভাবে বের হয়।

দুটো সংখ্যা ওপর নিচে লেখা: 10x = 3.33333… আর x = 0.33333…। বিন্দুর পরের পাঁচটা ৩ হলুদ ঘরে ঘেরা, মানে দুই সারিতে এক। তার নিচে বিয়োগ করে লেখা 9x = 3।

ছবি দেখে বলো: এখানে কেন ১০ দিয়ে গুণ করলাম, ১০০ নয়?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা: একটা অঙ্ক ঘুরছে বলে এক আবর্তন সরাতে এক ঘর সরানোই যথেষ্ট। এক ঘর সরাতে ১০ দিয়ে গুণ।

১০০ দিয়ে গুণ করলে $100x = 33.333\ldots$ , লেজ তখনও এক থাকে, আর বিয়োগে $99x = 33$ হতো, ফল একই $\frac{1}{3}$ । কিন্তু সংখ্যা বড় হতো। যত কম ঘর সরানো যায়, হিসাব তত সহজ।

সংখ্যা

তিন রকম আবৃত্ত দশমিক

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

দেওয়া আছে: তিনটি আবৃত্ত দশমিক: $0.\dot{2}\dot{7}$ (দুই অঙ্ক ঘোরে), $0.4\dot{6}$ (একটা আগে, একটা ঘোরে), $2.1\dot{4}\dot{5}$ (পূর্ণ অংশসহ)
খুঁজতে হবে: প্রতিটাকে সরল ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।
কোন সূত্র কেন: লেজ মেলাতে দশমিক বিন্দু সরাই: অনাবৃত্ত অঙ্ক সরাতে এক ধাপ, এক আবর্তন সরাতে আরেক ধাপ। তারপর বিয়োগ।

১) $x = 0.\dot{2}\dot{7}$ : অনাবৃত্ত অঙ্ক নেই, আবৃত্ত ২টি।

$100x = 27.2727\ldots$ , $x = 0.2727\ldots$
বিয়োগ: $99x = 27$
$x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$ (দুটোকে ৯ দিয়ে ভাগ করে)

২) $x = 0.4\dot{6}$ : অনাবৃত্ত ১টি (৪), আবৃত্ত ১টি (৬)।

$10x = 4.666\ldots$ (বিন্দুর ঠিক পর থেকে ঘোরা শুরু)
$100x = 46.666\ldots$ (এক আবর্তন আরও সরলাম)
বিয়োগ: $90x = 46 - 4 = 42$
$x = \frac{42}{90} = \frac{7}{15}$ (৬ দিয়ে ভাগ করে)

৩) $x = 2.1\dot{4}\dot{5}$ : অনাবৃত্ত ১টি (১), আবৃত্ত ২টি (৪৫)।

$10x = 21.4545\ldots$
$1000x = 2145.4545\ldots$
বিয়োগ: $990x = 2145 - 21 = 2124$
$x = \frac{2124}{990} = \frac{118}{55}$ (১৮ দিয়ে ভাগ করে) $= 2\frac{8}{55}$

উত্তরের মানে কী: দ্বিতীয়টা $\frac{7}{15}$ , আর আগের পাঠে আমরা দেখেছিলাম $\frac{7}{15} = 0.4\dot{6}$ । দুই পাঠের দুই দিক মিলে গেল ✓। তৃতীয়টায় পূর্ণ অংশ ২ থাকায় ভগ্নাংশটা ১ এর চেয়ে বড়, তাই মিশ্র রূপ $2\frac{8}{55}$ ।

উল্টো করে

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

(ক) কোনো আবৃত্ত দশমিক $x$ থেকে $100x - x$ করে পাওয়া গেছে $99x = 72$ । দশমিকটা কী?

(খ) $\frac{19}{90}$ কে ভাগ না করেই বলো, এর দশমিকে কয়টা অঙ্ক একবার আসে আর কয়টা ঘোরে।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা (ক): ৯৯ এ দুটো ৯, মানে দুটো অঙ্ক ঘুরছে। ৭২ হলো ঘোরা অঙ্ক। $x = \frac{72}{99} = \frac{8}{11}$ আর দশমিকটা $0.\dot{7}\dot{2}$ । যাচাই: $0.7272\ldots \times 11 = 7.9992\ldots$ , যা ৮ এর কাছে ✓।

ধারণা (খ): হর 90 = একটা ৯ আর একটা ০। একটা ৯ মানে ১টি অঙ্ক ঘোরে। একটা ০ মানে ১টি অঙ্ক আগে একবার আসে। তাই $\frac{19}{90} = 0.2\dot{1}$ ( $0.2111\ldots$ )। (যাচাই: 19 ÷ 90 ✓)

উত্তরের মানে কী: হরের দিকে তাকিয়েই বলা যায় দশমিকের চেহারা কেমন হবে। ৯ এর সংখ্যা = আবৃত্ত অঙ্ক, ০ এর সংখ্যা = অনাবৃত্ত অঙ্ক।

ভুল ধরো

ভুলটা ধরো

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

দুজনের সমাধান। দুটোই ভুল।

ক: $0.8333\ldots$ এ ৩ ঘুরছে, তাই হর ৯৯ আর লব ৮৩। উত্তর $\frac{83}{99}$ ।

খ: $0.\dot{1}\dot{2}$ এ দুটো অঙ্ক ঘুরছে। ১০ দিয়ে গুণ করে বিয়োগ দিয়ে পেলাম $9x = 12 - 1.2$ , তাই উত্তর $\frac{12}{9}$ ।

ভুল কোথায়?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ক এর ভুল: ঘুরছে একটা অঙ্ক, ৩। হর ৯৯ হবে না। আর ৮ আগে একবারই এসেছে। যাচাই করো: $\frac{83}{99} = 0.838383\ldots$ , কিন্তু আমাদের সংখ্যা $0.8333\ldots$ । ঠিক কাজ: $100x - 10x = 83 - 8$ , অর্থাৎ $90x = 75$ , উত্তর $\frac{75}{90} = \frac{5}{6}$ ।

খ এর ভুল: দুই অঙ্ক ঘুরলে লেজ মেলাতে ১০০ দিয়ে গুণ করতে হয়, ১০ দিয়ে নয়। ঠিক: $100x - x = 12$ , $99x = 12$ , $x = \frac{12}{99} = \frac{4}{33}$ । একটা সহজ সতর্কতা: $0.1212\ldots$ ১ এর চেয়ে ছোট, কিন্তু $\frac{12}{9}$ ১ এর চেয়ে বড়। তাই উত্তরটা ভুল, সঙ্গে সঙ্গে ধরা পড়ে।

ঠিক নিয়ম: আবৃত্ত অঙ্ক যতটা, ততটা ঘর সরাও। শেষে ভগ্নাংশটার মান দশমিকের সঙ্গে মিলিয়ে নাও।

পরীক্ষার ধরন

পরীক্ষার ধরনে

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

পরীক্ষায় এই ধারণা সাধারণত তিন চেহারায় আসে:

(ক) “সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ করো”, দশমিক বিশুদ্ধ আবৃত্ত।
(খ) একই প্রশ্ন, কিন্তু মিশ্র আবৃত্ত বা পূর্ণ অংশসহ।
(গ) কয়েকটা আবৃত্ত দশমিক নিয়ে যোগ-গুণের আগের ধাপ হিসেবে ভগ্নাংশে বদলানো (পরের পাঠে)।

সময় কম থাকলে ওপরের ৪ নম্বর নিয়মে সরাসরি লব আর হর বসাও। নিচে (খ) এর নমুনা।

দেওয়া আছে: আবৃত্ত দশমিক $3.0\dot{4}$ (অর্থাৎ $3.04444\ldots$ )
খুঁজতে হবে: সরল ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।
কোন সূত্র কেন: অনাবৃত্ত অঙ্ক ১টি (০), আবৃত্ত অঙ্ক ১টি (৪)। তাই হর = একটা 9 আর তার পরে একটা 0 = 90। লব = সব অঙ্ক একসাথে − অনাবৃত্ত পর্যন্ত।

সব অঙ্ক একসাথে (পূর্ণ অংশ, অনাবৃত্ত, আবৃত্ত): ৩০৪
অনাবৃত্ত পর্যন্ত (পূর্ণ অংশ ও অনাবৃত্ত): ৩০
লব $= 304 - 30 = 274$ , হর $= 90$
$x = \frac{274}{90} = \frac{137}{45}$ (২ দিয়ে ভাগ করে)
$137 \div 45$ : ভাগফল ৩, বাকি ২, তাই $x = 3\frac{2}{45}$

যাচাই: $\frac{2}{45} = 0.0444\ldots$ (2 ÷ 45), তাই $3\frac{2}{45} = 3.0444\ldots$ ✓

উত্তরের মানে কী: পূর্ণ অংশ ৩ থেকে গেছে, আর বাকি $0.0444\ldots$ হলো $\frac{2}{45}$ । ভগ্নাংশ অংশটা ১ এর চেয়ে ছোট, দশমিকের সঙ্গে ঠিকঠাক মেলে।

খাতায় যেভাবে লিখবে

0.2444… (শুধু 4 ঘুরছে) কে ভগ্নাংশে প্রকাশ করো

সমাধান: ধরি, $x = 0.2\dot{4} = 0.2444\ldots$ …(১)

(১) এর উভয় পক্ষকে $10$ দিয়ে গুণ করে, $10x = 2.444\ldots$ …(২)

(১) এর উভয় পক্ষকে $100$ দিয়ে গুণ করে, $100x = 24.444\ldots$ …(৩)

(৩) থেকে (২) বিয়োগ করে, $90x = 22$

$\therefore x = \dfrac{22}{90} = \dfrac{11}{45}$

উত্তর: $0.2\dot{4} = \dfrac{11}{45}$

উত্তর পূর্ণ হলো কি না, মিলিয়ে নাও:

‘ধরি’ দিয়ে শুরু করো আর প্রতিটা সমীকরণে নম্বর দাও: (১), (২), (৩)।
কোন সমীকরণকে কত দিয়ে গুণ করলে, লেখো।
কোনটা থেকে কোনটা বিয়োগ, লেখো।
ভগ্নাংশ লঘিষ্ঠ আকারে লেখো।

একই ধারণা, নানা রকম অঙ্ক

অঙ্কগুলো সহজ থেকে ধীরে ধীরে কঠিন হয়েছে, আর সবগুলো একই পথে সমাধান করা। প্রতিটিতে আগে নিজে চেষ্টা করো। আটকে গেলে নিচের পাঁচটি ধাপ মিলিয়ে নাও, তারপর সমাধান দেখো।

আটকে গেলে এই পাঁচটি ধাপ

পড়ো: প্রশ্নটা দুবার পড়ো। নিজের ভাষায় বলো, কী ঘটছে?
লেখো: কী দেওয়া আছে, আর কী চাওয়া হয়েছে?
চেনো: কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে?
করো: ধাপে ধাপে, কিছু বাদ না দিয়ে।
মেলাও: উত্তরটা যুক্তিসঙ্গত কি না দেখো, আর উত্তরের মানে বলো।

অঙ্ক ১সহজসংখ্যা

দুটো সহজ ঘোরা দশমিক

$0.\dot{4}$ আর $0.\dot{0}\dot{9}$ কে সরল ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $0.\dot{4}$ আর $0.\dot{0}\dot{9}$
খুঁজতে হবে: সরল ভগ্নাংশ
কোন ধারণা কাজ করছে: যতটা অঙ্ক ঘোরে, ততটা ঘর সরিয়ে গুণ করি, তারপর বিয়োগ।

$x = 0.\dot{4}$ : $10x - x = 4$ , $9x = 4$ , $x = \frac{4}{9}$ ।
$y = 0.\dot{0}\dot{9}$ (দুই অঙ্ক ঘোরে): $100y - y = 9$ , $99y = 9$ , $y = \frac{9}{99} = \frac{1}{11}$ ।

যাচাই: $4 \div 9 = 0.444\ldots$ ✓ আর $1 \div 11 = 0.0909\ldots$ ✓

উত্তরের মানে কী: $0.\dot{0}\dot{9}$ লেখায় প্রথম অঙ্ক ০ হলেও সেটা ঘুরছে, তাই দুই অঙ্ক ধরতে হয়।

অঙ্ক ২সহজসংখ্যা

দুই অঙ্কের ঘূর্ণি

$0.\dot{1}\dot{5}$ কে সরল ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $0.\dot{1}\dot{5}$
খুঁজতে হবে: সরল ভগ্নাংশ
কোন ধারণা কাজ করছে: দুই অঙ্ক ঘোরে, তাই ১০০ দিয়ে গুণ করে বিয়োগ।

$x = 0.151515\ldots$
$100x = 15.1515\ldots$
বিয়োগ: $99x = 15$
$x = \frac{15}{99} = \frac{5}{33}$ (৩ দিয়ে ভাগ করে)

যাচাই: $5 \div 33 = 0.1515\ldots$ ✓

উত্তরের মানে কী: হর ৯৯ ছিল বলে সরল করতে হলো। উত্তর সবসময় সরল করে লেখো।

অঙ্ক ৩মাঝারিগল্পের অঙ্ক

ক্যালকুলেটর থেকে ফিরে আসা

ক্যালকুলেটরে $5 \div 18$ চেপে $0.2777\ldots$ পেলে। উল্টো পথে গিয়ে দেখাও যে এটা সত্যিই $\frac{5}{18}$ ।

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $0.2\dot{7}$
খুঁজতে হবে: ভগ্নাংশ, এবং তা $\frac{5}{18}$ কি না
কোন ধারণা কাজ করছে: অনাবৃত্ত ১টি (২), আবৃত্ত ১টি (৭)। হর ৯০, লব $27 - 2$ ।

$x = 0.2777\ldots$
$10x = 2.777\ldots$ আর $100x = 27.777\ldots$
বিয়োগ: $90x = 27 - 2 = 25$
$x = \frac{25}{90} = \frac{5}{18}$ ✓

যাচাই: ঠিক $\frac{5}{18}$ ফিরে এল, যেটা দিয়ে শুরু করেছিলাম।

উত্তরের মানে কী: ভগ্নাংশ থেকে দশমিক (পাঠ ২) আর দশমিক থেকে ভগ্নাংশ (পাঠ ৩) একে অপরের উল্টো পথ।

অঙ্ক ৪মাঝারিসংখ্যা

অনেক অঙ্কের মিশ্র আবৃত্ত

$0.5\dot{1}\dot{8}$ কে সরল ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $0.5\dot{1}\dot{8}$
খুঁজতে হবে: সরল ভগ্নাংশ
কোন ধারণা কাজ করছে: অনাবৃত্ত ১টি (৫), আবৃত্ত ২টি (১৮)। হর ৯৯০ (দুটো ৯, একটা ০)।

সব অঙ্ক একসাথে: ৫১৮। অনাবৃত্ত পর্যন্ত: ৫।
লব $= 518 - 5 = 513$ , হর $= 990$
$x = \frac{513}{990}$ । ৯ দিয়ে ভাগ: $\frac{57}{110}$

যাচাই: $57 \div 110 = 0.51818\ldots$ ✓

উত্তরের মানে কী: অঙ্ক বেশি হলেও কাজ একই: লব = সব অঙ্ক − অনাবৃত্ত অঙ্ক, হর = 9 আর 0 গুনে।

অঙ্ক ৫মাঝারিসংখ্যা

পূর্ণ অংশ সমেত

$6.\dot{3}$ আর $3.1\dot{6}$ কে সরল ভগ্নাংশে (অপ্রকৃত ভগ্নাংশে) প্রকাশ করো।

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $6.\dot{3}$ আর $3.1\dot{6}$
খুঁজতে হবে: অপ্রকৃত ভগ্নাংশ
কোন ধারণা কাজ করছে: লব = সব অঙ্ক একসাথে − অনাবৃত্ত পর্যন্ত (পূর্ণ অংশসহ)।

$6.\dot{3}$ : সব অঙ্ক ৬৩, অনাবৃত্ত পর্যন্ত ৬। লব $63 - 6 = 57$ , হর ৯। $\frac{57}{9} = \frac{19}{3}$ ।
$3.1\dot{6}$ : সব অঙ্ক ৩১৬, অনাবৃত্ত পর্যন্ত ৩১। লব $316 - 31 = 285$ , হর ৯০। $\frac{285}{90} = \frac{19}{6}$ ।

যাচাই: $19 \div 3 = 6.333\ldots$ ✓ আর $19 \div 6 = 3.1666\ldots$ ✓

উত্তরের মানে কী: দুটো উত্তরেই লব ১৯, কিন্তু হর আলাদা, তাই সংখ্যা দুটো আলাদা। দুটোই ১ এর চেয়ে বড়, কারণ পূর্ণ অংশ আছে।

অঙ্ক ৬কঠিনতুলনা

কোনটা বড়?

$0.\dot{7}\dot{2}$ আর $0.7\dot{2}$ এর মধ্যে কোনটা বড়? ভগ্নাংশে বদলে প্রমাণ করো।

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $0.727272\ldots$ আর $0.72222\ldots$
খুঁজতে হবে: কোনটা বড়
কোন ধারণা কাজ করছে: দুটোকে ভগ্নাংশ বানাই, তারপর ক্রস-গুণ করে তুলনা।

$0.\dot{7}\dot{2} = \frac{72}{99} = \frac{8}{11}$
$0.7\dot{2} = \frac{72 - 7}{90} = \frac{65}{90} = \frac{13}{18}$
তুলনা: $\frac{8}{11}$ আর $\frac{13}{18}$ । ক্রস-গুণ: $8 \times 18 = 144$ আর $13 \times 11 = 143$ ।
$144 > 143$ , তাই $\frac{8}{11} > \frac{13}{18}$ ।

যাচাই: $0.7272\ldots > 0.7222\ldots$ ✓ (দ্বিতীয় অঙ্কে 7 > 2)

উত্তরের মানে কী: $0.\dot{7}\dot{2}$ বড়। দুটো সংখ্যা চোখে প্রায় এক, তাই ভগ্নাংশে বদলে ক্রস-গুণ নির্ভরযোগ্য।

অঙ্ক ৭কঠিনবীজগণিত

সমীকরণে আবৃত্ত দশমিক

$3x + 0.\dot{6} = 5$ হলে $x$ এর মান কত? উত্তর ভগ্নাংশে ও দশমিকে লেখো।

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $3x + 0.\dot{6} = 5$
খুঁজতে হবে: $x$
কোন ধারণা কাজ করছে: আগে আবৃত্ত দশমিককে ভগ্নাংশ বানাই, তারপর সমীকরণ সমাধান।

$0.\dot{6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
$3x + \frac{2}{3} = 5$
$3x = 5 - \frac{2}{3} = \frac{15}{3} - \frac{2}{3} = \frac{13}{3}$
$x = \frac{13}{3} \div 3 = \frac{13}{9}$
দশমিকে: $13 \div 9 = 1.444\ldots = 1.\dot{4}$

যাচাই: $3 \times 1.4444 + 0.6667 = 4.3333 + 0.6667 = 5$ ✓

উত্তরের মানে কী: সমীকরণে আবৃত্ত দশমিক থাকলে আগে ভগ্নাংশ বানালে বাকিটা সাধারণ সমীকরণ।

নিজে করো

০.777… (৭ ঘুরছে) কে ভগ্নাংশে লিখলে কোনটা পাবে?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) 7/9। x = 0.777…, 10x = 7.777…। বিয়োগ করে 9x = 7, তাই x = 7/9।

০.1222… (১ একবার, ২ ঘুরছে) কে ভগ্নাংশে লিখতে সরল করার আগে হর কত পাবে?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) ৯০। 100x − 10x = 12.222… − 1.222… = 11, তাই 90x = 11 আর হর ৯০। (x = 11/90)

প্রশ্ন ১. সরল ভগ্নাংশে প্রকাশ করো: (ক) $0.\dot{5}\dot{4}$ (খ) $0.7\dot{2}$ (গ) $1.\dot{2}\dot{7}$

ইঙ্গিত দেখো

আগে গুনে নাও কয়টা অঙ্ক একবার আসে আর কয়টা ঘোরে। তারপর সেই অনুযায়ী ১০, ১০০ বা ১০০০ দিয়ে গুণ করে বিয়োগ দাও।

উত্তর দেখো

(ক) $99x = 54$ , $x = \frac{54}{99} = \frac{6}{11}$ ।

(খ) $100x - 10x = 72 - 7$ , অর্থাৎ $90x = 65$ , $x = \frac{65}{90} = \frac{13}{18}$ ।

(গ) $100x - x = 127 - 1$ , অর্থাৎ $99x = 126$ , $x = \frac{126}{99} = \frac{14}{11} = 1\frac{3}{11}$ । (পূর্ণ অংশ আলাদা করেও করা যায়: $1 + \frac{27}{99} = 1 + \frac{3}{11}$ ।)

প্রশ্ন ২. ক্যালকুলেটরে $5 \div 11$ চেপে $0.454545\ldots$ পাওয়া গেল। গুণ আর বিয়োগ করে দেখাও যে এটা সত্যিই $\frac{5}{11}$ ।

ইঙ্গিত দেখো

দুটো অঙ্ক ঘুরছে, তাই ১০০ দিয়ে গুণ করো।

উত্তর দেখো

$x = 0.4545\ldots$ , $100x = 45.4545\ldots$ । বিয়োগ: $99x = 45$ , $x = \frac{45}{99} = \frac{5}{11}$ ✓। (৯ দিয়ে ভাগ করে সরল করেছি।)

মনে রাখো

আবৃত্ত দশমিককে ভগ্নাংশে বদলাতে একই দশমিকের দুটো কপি নাও, যাদের লেজ এক। আবৃত্ত অঙ্ক যতটা, ততটা ঘর সরিয়ে গুণ করো, তারপর বিয়োগ করলে লেজ কেটে যায়। হর হয় আবৃত্ত অঙ্ক যতটা ততটা ৯, তারপর অনাবৃত্ত অঙ্ক যতটা ততটা ০। সাবধান: আবৃত্ত অঙ্কের সংখ্যা গুনে ঘর সরাও, আর শেষে ভগ্নাংশটা দশমিকের সঙ্গে মিলিয়ে দেখো।

আবৃত্ত দশমিক থেকে সাধারণ ভগ্নাংশ

MCQ ও সৃজনশীল শর্টকাট

উত্তর যাচাইয়ের কৌশল

এই পাঠের সূত্রপত্র

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবে

0.333… কে ভগ্নাংশে লিখব কীভাবে?

১০ দিয়ে গুণ করে লেজ কেটে ফেলার কৌশল কেন কাজ করে

আবৃত্ত দশমিক থেকে ভগ্নাংশ নিয়ে ছয়টা পরিস্থিতি

আম ভাগ

লেজ কেটে যাওয়ার ছবি

তিন রকম আবৃত্ত দশমিক

উল্টো করে

ভুলটা ধরো

পরীক্ষার ধরনে

0.2444… (শুধু 4 ঘুরছে) কে ভগ্নাংশে প্রকাশ করো

একই ধারণা, নানা রকম অঙ্ক

দুটো সহজ ঘোরা দশমিক

দুই অঙ্কের ঘূর্ণি

ক্যালকুলেটর থেকে ফিরে আসা

অনেক অঙ্কের মিশ্র আবৃত্ত

পূর্ণ অংশ সমেত

কোনটা বড়?

সমীকরণে আবৃত্ত দশমিক

নিজে করো

মনে রাখো