পাঠ ২গণিত

ভগ্নাংশ থেকে দশমিক: থামে, নাকি ঘুরে আসে?

পাঠের সারাংশ

ভাগ করার সময় বাকিটা দেখো। বাকি ০ হলে দশমিক থামে, আগের বাকি ফিরে এলে অঙ্ক ঘুরে ঘুরে আসে।

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

3/8 থামে, 1/3 ঘোরে: কেন আলাদা?

$\frac{1}{4} = 0.25$ লিখে শেষ। কিন্তু $\frac{1}{3} = 0.333\ldots$ আর শেষ হয় না। দুটোই সহজ ভাগ, তবু ফল আলাদা। কেন?

উত্তর একটাই: ভাগ করার সময় বাকিটা কী হচ্ছে। বাকি যদি ০ হয়ে যায়, ভাগ শেষ। বাকি যদি আগের মতো আবার ফিরে আসে, অঙ্কও আবার আগের মতো আসবে, চলতেই থাকবে।

নিজে দেখে বুঝো

নিজে বদলে দেখো

লবহর

3 কে 4 দিয়ে ভাগ, ধাপে ধাপে
ধাপ	বাকি	×১০	অঙ্ক	নতুন বাকি
1	3	30	7	2
2	2	20	5	0
ধাপ 3: বাকি ০। আর ভাগ করার কিছু নেই, ভাগ এখানেই শেষ।

0.75

সসীম দশমিক। ভাগ শেষ হয়েছে, বাকি ০ পাওয়া গেছে।

সরল করলে 3/4। হরের উৎপাদক: 2 × 2। শুধু ২ আর ৫ আছে, তাই থেমে যায়।

লব আর হর বদলে দেখো। প্রথমে নিজে ভাবো, তারপর 'পরের ধাপ' চাপো।

একটা ভাগের ধাপ-তালিকা। প্রতি সারিতে ধাপ নম্বর, বাকি, বাকিকে দশ দিয়ে গুণ, ভাগে পাওয়া অঙ্ক আর নতুন বাকি। শেষ সারিতে লেখা থাকে বাকি শূন্য হয়ে ভাগ শেষ হলো, নাকি আগের কোনো ধাপের বাকি ফিরে এল। নিচে দশমিকটা আর তার ধরন লেখা আসে।

নিজে চেষ্টা করো: 1/8, তারপর 1/3, তারপর 5/6 দেখো। কোনটার বাকি ০ হলো? কোনটার বাকি ফিরে এল?

ভাগ করলে কখন শেষ হয়, কখন একই অঙ্ক ফিরে আসে

$\frac{p}{q}$ কে দশমিকে লিখতে আমরা প্রতিবার একই কাজ করি: বাকিকে ১০ দিয়ে গুণ করি, $q$ দিয়ে ভাগ করি। ভাগফলটা পরের অঙ্ক, নতুন বাকিটা পরের ধাপের শুরু।

প্রতিবার ভাগ করার পর বাকি সবসময় $q$ এর চেয়ে ছোট। তাই বাকি হতে পারে শুধু $0, 1, 2, \ldots, q-1$ এর মধ্যে কোনো একটা।
কোনো ধাপে বাকি ০ হলে আর ভাগ করার কিছু থাকে না। দশমিক থামে।
বাকি ০ না হলে বাকি হতে পারে $1$ থেকে $q-1$ পর্যন্ত, মোট $q-1$ টা মান। তাই $q$ ধাপ পার হওয়ার আগেই কোনো একটা বাকি দ্বিতীয়বার আসতেই হবে। (ঘর মোটে $q-1$ টা, ধাপ তার চেয়ে বেশি।)
একটা ধাপ কী অঙ্ক দেবে আর পরের বাকি কত হবে, তা শুধু ওই ধাপের শুরুর বাকির ওপর নির্ভর করে। তাই একই বাকি ফিরে এলে পরের সব অঙ্কও আগের মতোই আসে। দশমিক ঘুরে ঘুরে আসে।

তাহলে ভগ্নাংশের দশমিক হয় থামবে, নয়তো ঘুরে আসবে। এর বাইরে তৃতীয় কিছু হতে পারে না। (এই কথাটা পাঁচ নম্বর পাঠে দরকার হবে।)

কখন বাকি ০ হয়? সরল করা ভগ্নাংশে হর যদি শুধু ২ আর ৫ দিয়ে তৈরি হয়, তাহলে হরকে ১০, ১০০, ১০০০ … বানানো যায়। যেমন $\frac{3}{8} = \frac{3 \times 125}{8 \times 125} = \frac{375}{1000} = 0.375$ । হরে ৩, ৭, ১১ … কোনো একটা উৎপাদক থাকলে ১০ এর কোনো ঘাতকেই তা দিয়ে ভাগ করা যায় না, কারণ ১০ এর ঘাত শুধু ২ আর ৫ দিয়েই তৈরি। তখন বাকি কখনো ০ হয় না, দশমিক ঘুরে আসে।

নামগুলো আর লেখার নিয়ম

নাম	মানে	উদাহরণ
সসীম দশমিক (terminating decimal)	অঙ্ক শেষ হয়ে যায়	$\frac{3}{4} = 0.75$
আবৃত্ত বা পৌনঃপুনিক দশমিক (recurring decimal)	একই অঙ্ক বা অঙ্কের দল ঘুরে ঘুরে আসে	$\frac{1}{3} = 0.333\ldots$
বিশুদ্ধ আবৃত্ত	দশমিক বিন্দুর পরেই ঘুরে আসা শুরু	$\frac{4}{11} = 0.3636\ldots$
মিশ্র আবৃত্ত	আগে কিছু অঙ্ক একবারই আসে, তারপর ঘুরে আসে	$\frac{5}{6} = 0.8333\ldots$

সংক্ষেপে লেখা: ঘুরে আসা অঙ্কের মাথায় বিন্দু দিই। একটা অঙ্ক ঘুরলে তার ওপর একটা বিন্দু: $0.333\ldots = 0.\dot{3}$ । একাধিক অঙ্ক ঘুরলে প্রথম আর শেষ অঙ্কের ওপর বিন্দু: $0.3636\ldots = 0.\dot{3}\dot{6}$ , আর $0.8333\ldots = 0.8\dot{3}$ ।

ভগ্নাংশ থেকে দশমিক নিয়ে ছয়টা পরিস্থিতি

চেনা জীবন

জুস ভাগ

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

১ লিটার জুস ৪ জনে সমান ভাগ করলে প্রত্যেকে পায় $\frac{1}{4}$ লিটার। আবার ৩ জনে ভাগ করলে পায় $\frac{1}{3}$ লিটার। মাপার জগে দশমিকে মাপতে চাইলে কোন ভাগটা ঠিকঠাক মাপা যাবে? কেন?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা: দশমিক থামবে কি না, তা ঠিক হয় বাকি ০ হয় কি না তাতে।

$1 \div 4$ : 10 ÷ 4 = 2, বাকি ২। তারপর 20 ÷ 4 = 5, বাকি ০। ভাগ শেষ। $\frac{1}{4} = 0.25$ লিটার, জগে ঠিকঠাক মাপা যায়।
$1 \div 3$ : 10 ÷ 3 = 3, বাকি ১। বাকি আবার ১, যেটা শুরুতেও ছিল। তাই ৩, ৩, ৩ … চলতেই থাকবে। $\frac{1}{3} = 0.333\ldots$

উত্তরের মানে কী: ৩ জনে সমান ভাগ ঠিকই হয়, কিন্তু দশমিকের মাপে পুরোপুরি ধরা যায় না। তখন আমরা কাছাকাছি একটা মান (যেমন 0.33 লিটার) নিয়ে কাজ চালাই।

ছবি / গ্রাফ

বাকিগুলোর চক্র

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

নিজে দেখে বুঝো

নিজে বদলে দেখো

লব ÷হর

1 ÷ 7 = 0.142857…

বাকি 1 আবার ফিরে এসেছে (1 নম্বর ধাপে প্রথম পেয়েছিলাম)। তাই 6টা অঙ্ক বারবার ঘুরবে। 7 দিয়ে ভাগে বাকি হতে পারে ১ থেকে 6, তাই 7 ধাপের মধ্যে কেউ না কেউ ফিরবেই।

যেকোনো লব আর হর দাও, তারপর ‘পরের ধাপ’ চেপে দেখো বাকিগুলো কীভাবে ঘোরে। বাকি ফিরে এলেই অঙ্ক ফিরে আসে।

ছয়টা বৃত্ত একটা বড় বৃত্তাকারে সাজানো, তির দিয়ে জোড়া। বৃত্তগুলোর ভেতরে বাকি: ১, ৩, ২, ৬, ৪, ৫। বাইরে অঙ্ক: ১, ৪, ২, ৮, ৫, ৭। শেষ বৃত্ত ৫ থেকে তির আবার প্রথম বৃত্ত ১ এ ফিরে গেছে।

1/7 বসিয়ে বলো: বাকি আবার ১ এ ফিরতে কয় ধাপ লাগল? অঙ্কগুলো কী কী, কোন ক্রমে?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা: বাকি ফিরে এলে অঙ্কও ফিরে আসে। ছবিতে ৬ ধাপের পর বাকি আবার ১ হয়েছে।

অঙ্কগুলো ক্রমানুসারে ১, ৪, ২, ৮, ৫, ৭। তাই $\frac{1}{7} = 0.142857142857\ldots = 0.\dot{1}4285\dot{7}$ ।

উত্তরের মানে কী: ৭ দিয়ে ভাগে বাকি হতে পারে শুধু ১ থেকে ৬। ছয়টা বাকিই একবার করে ব্যবহার হয়ে গেছে। এরপর একটা বাকি ফিরতেই হবে। এই কারণেই আবৃত্ত অংশে ৬ এর বেশি অঙ্ক হয়নি।

সংখ্যা

তিনটা ভগ্নাংশ ধাপে ধাপে

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

দেওয়া আছে: তিনটি ভগ্নাংশ: 7/8, 5/6 ও 4/11
খুঁজতে হবে: প্রতিটার দশমিক রূপ আর ধরন
কোন সূত্র কেন: প্রতিবার বাকিকে ১০ দিয়ে গুণ করে হর দিয়ে ভাগ করি। বাকি ০ হলে থামি। আগের কোনো বাকি ফিরে এলেও থামি, কারণ তখন অঙ্ক ঘুরে আসবে।

১) $\frac{7}{8}$ : 7 < 8, তাই পূর্ণ অংশ ০, বাকি ৭।

70 ÷ 8 = 8 (8 × 8 = 64), বাকি ৬
60 ÷ 8 = 7 (8 × 7 = 56), বাকি ৪
40 ÷ 8 = 5, বাকি ০ → ভাগ শেষ

$\frac{7}{8} = 0.875$ । সসীম। (হর 8 = 2 × 2 × 2, শুধু ২ আছে।)

২) $\frac{5}{6}$ : বাকি ৫ দিয়ে শুরু।

50 ÷ 6 = 8 (6 × 8 = 48), বাকি ২
20 ÷ 6 = 3 (6 × 3 = 18), বাকি ২ → বাকি ২ আবার এল

$\frac{5}{6} = 0.8333\ldots = 0.8\dot{3}$ । মিশ্র আবৃত্ত। ৮ একবার এসেছে, ৩ ঘুরছে। (হর 6 = 2 × 3, ৩ আছে বলে ঘোরে।)

৩) $\frac{4}{11}$ : বাকি ৪ দিয়ে শুরু।

40 ÷ 11 = 3 (11 × 3 = 33), বাকি ৭
70 ÷ 11 = 6 (11 × 6 = 66), বাকি ৪ → বাকি ৪ আবার এল, যেটা শুরুতেও ছিল

$\frac{4}{11} = 0.3636\ldots = 0.\dot{3}\dot{6}$ । বিশুদ্ধ আবৃত্ত। ৩ আর ৬ দুটোই ঘুরছে।

উত্তরের মানে কী: তিনটার তিন রকম ফল। কোন রকম হবে তা বোঝা যায় ভাগের শুরুতেই, হর দেখে। শুধু ২ আর ৫ থাকলে থামে, নইলে ঘোরে।

উল্টো করে

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

(ক) ১ থেকে ২০ পর্যন্ত কোন কোন $n$ এর জন্য $\frac{1}{n}$ এর দশমিক থামে? বাকি কয়টার জন্য ঘুরে আসে?

(খ) কোনো ভগ্নাংশের হর ১৩, আর লব ১৩ এর গুণিতক নয়। দশমিকে ঘুরে আসা অংশে সর্বোচ্চ কয়টা অঙ্ক থাকতে পারে?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা (ক): $n$ শুধু ২ আর ৫ দিয়ে তৈরি হলে থামে। ২০ পর্যন্ত এমন সংখ্যা: ১, ২, ৪, ৫, ৮, ১০, ১৬, ২০। মোট ৮টা। বাকি ১২টার জন্য ঘুরে আসে (3, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19)।

ধারণা (খ): হর ১৩ হলে বাকি হতে পারে ১ থেকে ১২, মোট ১২টা। লব ১৩ এর গুণিতক নয় বলে বাকি ০ হবে না। ১২ ধাপে সবগুলো বাকি ব্যবহার হয়ে গেলেও ১৩তম ধাপে একটা পুরোনো বাকি ফিরবেই। তাই ঘুরে আসা অংশে সর্বোচ্চ ১২টা অঙ্ক। (আসলে $\frac{1}{13} = 0.\dot{0}7692\dot{3}$ , ঘুরছে ৬টা অঙ্ক।)

উত্তরের মানে কী: হর দেখেই বলে দেওয়া যায়, আবৃত্ত অংশ কত বড় হতে পারে। হর $q$ হলে সর্বোচ্চ $q-1$ টা অঙ্ক।

ভুল ধরো

ভুলটা ধরো

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

দুটো সমাধান। দুটোই ভুল।

ক: $\frac{1}{6} = 0.1666\ldots$ , তাই আমি লিখলাম $0.\dot{1}\dot{6}$ ।

খ: $\frac{3}{12}$ এর হর 12 = 2 × 2 × 3। এতে ৩ আছে, তাই এটা আবৃত্ত দশমিক।

ভুল কোথায়?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ক এর ভুল: $0.\dot{1}\dot{6}$ মানে ১৬ দুটো অঙ্কই ঘুরছে: $0.161616\ldots$ । কিন্তু আমাদের মান $0.1666\ldots$ , যেখানে ১ একবারই এসেছে, ঘুরছে শুধু ৬। ঠিক লেখা: $0.1\dot{6}$ ।

খ এর ভুল: সরল না করেই হর দেখেছে। $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ আর 4 = 2 × 2, তাই এটা থামে: $0.25$ । (যাচাই: 3 ÷ 12 = 0.25।)

ঠিক নিয়ম: আগে সরল করো, তারপর হর দেখো। আর বিন্দু বসাও শুধু যে অঙ্ক সত্যিই ঘুরছে তার ওপর।

পরীক্ষার ধরন

পরীক্ষার ধরনে

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

পরীক্ষায় এই ধারণা সাধারণত তিন চেহারায় আসে:

(ক) “ভগ্নাংশটিকে দশমিকে প্রকাশ করো।” ভাগ করো, বাকি দেখো, আবৃত্ত হলে বিন্দু বসাও।
(খ) “দশমিকের ধরন বলো” বা “কোনটি আবৃত্ত দশমিক?” হর সরল করে ২ আর ৫ ছাড়া উৎপাদক আছে কি না দেখো।
(গ) আবৃত্ত অংশ দেখিয়ে সংকেতে লেখো। নিচে এর একটা নমুনা।

দেওয়া আছে: ভগ্নাংশ 3/7
খুঁজতে হবে: দশমিকে প্রকাশ করো, আবৃত্ত অংশ দেখাও আর সংকেতে লেখো।
কোন সূত্র কেন: বাকিকে ১০ দিয়ে গুণ করে ৭ দিয়ে ভাগ করতে থাকি, যতক্ষণ না আগের বাকি ফিরে আসে।

বাকি ৩ দিয়ে শুরু।

30 ÷ 7 = 4, বাকি ২
20 ÷ 7 = 2, বাকি ৬
60 ÷ 7 = 8, বাকি ৪
40 ÷ 7 = 5, বাকি ৫
50 ÷ 7 = 7, বাকি ১
10 ÷ 7 = 1, বাকি ৩ → বাকি ৩, যেটা শুরুতেও ছিল

অঙ্কগুলো ৪, ২, ৮, ৫, ৭, ১ ঘুরে ঘুরে আসবে।

$\frac{3}{7} = 0.428571428571\ldots = 0.\dot{4}2857\dot{1}$ । আবৃত্ত অংশ ৪২৮৫৭১। এটা বিশুদ্ধ আবৃত্ত দশমিক।

যাচাই: $0.428571 \times 7 = 2.999997$ , যা ৩ এর খুব কাছে। (ছয় অঙ্ক পর্যন্ত নিয়েছি বলে সামান্য ফারাক।)

উত্তরের মানে কী: ৭ দিয়ে ভাগে ছয়টা অঙ্ক ঘোরে, আর লব বদলালে ওই একই ছয়টা অঙ্ক অন্য জায়গা থেকে শুরু হয়। ( $\frac{1}{7}$ এ শুরু ১ থেকে, $\frac{3}{7}$ এ ৪ থেকে।)

একই ধারণা, নানা রকম অঙ্ক

অঙ্কগুলো সহজ থেকে ধীরে ধীরে কঠিন হয়েছে, আর সবগুলো একই পথে সমাধান করা। প্রতিটিতে আগে নিজে চেষ্টা করো। আটকে গেলে নিচের পাঁচটি ধাপ মিলিয়ে নাও, তারপর সমাধান দেখো।

আটকে গেলে এই পাঁচটি ধাপ

পড়ো: প্রশ্নটা দুবার পড়ো। নিজের ভাষায় বলো, কী ঘটছে?
লেখো: কী দেওয়া আছে, আর কী চাওয়া হয়েছে?
চেনো: কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে?
করো: ধাপে ধাপে, কিছু বাদ না দিয়ে।
মেলাও: উত্তরটা যুক্তিসঙ্গত কি না দেখো, আর উত্তরের মানে বলো।

অঙ্ক ১সহজগল্পের অঙ্ক

চাল ভাগ

৩ কেজি চাল ৮ জনে সমান ভাগ করা হলো। প্রত্যেকে কত কেজি পাবে (দশমিকে)?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: ৩ কেজি, ৮ জন
খুঁজতে হবে: প্রত্যেকের ভাগ, দশমিকে
কোন ধারণা কাজ করছে: ভাগফল $= \frac{3}{8}$ । বাকিকে ১০ দিয়ে গুণ করে ৮ দিয়ে ভাগ করি।

30 ÷ 8 = 3, বাকি ৬
60 ÷ 8 = 7, বাকি ৪
40 ÷ 8 = 5, বাকি ০ → থামল

$\frac{3}{8} = 0.375$ কেজি। সসীম, কারণ 8 = 2 × 2 × 2।

যাচাই: $0.375 \times 8 = 3$ ✓

উত্তরের মানে কী: প্রত্যেকে ৩৭৫ গ্রাম পাবে, ঠিকঠাক।

অঙ্ক ২সহজসংখ্যা

কোনগুলো থামবে?

$\frac{7}{20}$ , $\frac{5}{12}$ , $\frac{9}{25}$ , $\frac{11}{15}$ এর কোনগুলোর দশমিক থামবে? সবগুলোকে দশমিকে লেখো।

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: চারটা ভগ্নাংশ (সবগুলোই সরল)
খুঁজতে হবে: কোনগুলো থামে, আর দশমিক
কোন ধারণা কাজ করছে: হরের উৎপাদকে শুধু ২ আর ৫ থাকলে থামে।

$20 = 2 \times 2 \times 5$ : শুধু ২, ৫। থামে। $\frac{7}{20} = \frac{35}{100} = 0.35$
$12 = 2 \times 2 \times 3$ : ৩ আছে। ঘোরে। $\frac{5}{12} = 0.41\dot{6}$
$25 = 5 \times 5$ : শুধু ৫। থামে। $\frac{9}{25} = \frac{36}{100} = 0.36$
$15 = 3 \times 5$ : ৩ আছে। ঘোরে। $\frac{11}{15} = 0.7\dot{3}$

যাচাই: $0.35 \times 20 = 7$ ✓, $0.36 \times 25 = 9$ ✓

উত্তরের মানে কী: ভাগ করার আগেই হর দেখে বলা যায় কোনটা থামবে। থামে $\frac{7}{20}$ আর $\frac{9}{25}$ ।

অঙ্ক ৩মাঝারিসংখ্যা

একটা বড় ভগ্নাংশ

$\frac{25}{11}$ কে দশমিকে প্রকাশ করো। ধরন বলো।

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $\frac{25}{11}$
খুঁজতে হবে: দশমিক রূপ ও ধরন
কোন ধারণা কাজ করছে: পূর্ণ অংশ আগে, তারপর বাকি নিয়ে ভাগ।

$25 \div 11 = 2$ , বাকি ৩। পূর্ণ অংশ ২।
30 ÷ 11 = 2, বাকি ৮
80 ÷ 11 = 7, বাকি ৩ → বাকি ৩ আবার এল (শুরুতেও ছিল)

$\frac{25}{11} = 2.2727\ldots = 2.\dot{2}\dot{7}$ । বিশুদ্ধ আবৃত্ত, কারণ ঘোরা শুরু বিন্দুর পরেই।

যাচাই: $2.2727 \times 11 = 24.9997$ , যা ২৫ এর খুব কাছে ✓

উত্তরের মানে কী: ১১ দিয়ে ভাগে বাকি ঘোরে, তাই দশমিকও ঘোরে।

অঙ্ক ৪মাঝারিগল্পের অঙ্ক

মিনিট থেকে ঘণ্টা

৫ মিনিট কত ঘণ্টা? ৪০ মিনিট কত ঘণ্টা? দশমিকে লেখো।

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: ৫ মিনিট, ৪০ মিনিট (১ ঘণ্টা = 60 মিনিট)
খুঁজতে হবে: ঘণ্টায় মান, দশমিকে
কোন ধারণা কাজ করছে: মিনিটকে ৬০ দিয়ে ভাগ করলে ঘণ্টা। ভগ্নাংশ সরল করে ভাগ।

৫ মিনিট $= \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$ ঘণ্টা। 10 ÷ 12 = 0, বাকি ১০। 100 ÷ 12 = 8, বাকি ৪। 40 ÷ 12 = 3, বাকি ৪ → বাকি ৪ আবার। $\frac{1}{12} = 0.08\dot{3}$ ।
৪০ মিনিট $= \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ ঘণ্টা। $\frac{2}{3} = 0.\dot{6}$ ।

যাচাই: $0.0833 \times 60 = 4.998$ , প্রায় ৫ ✓। $0.6667 \times 60 = 40.002$ ✓

উত্তরের মানে কী: ঘড়ির হিসাবে প্রায়ই ঘোরা দশমিক আসে। তখন কাজ চালাতে প্রায় মান নিই: ৪০ মিনিট ≈ 0.67 ঘণ্টা।

অঙ্ক ৫কঠিনযুক্তি

ঘূর্ণি কত বড় হতে পারে?

$\frac{1}{17}$ এর দশমিকে ঘুরে আসা অংশে সর্বোচ্চ কয়টা অঙ্ক হতে পারে? আসলে কয়টা?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $\frac{1}{17}$
খুঁজতে হবে: আবৃত্ত অংশে সর্বোচ্চ কয় অঙ্ক হতে পারে, আর আসলে কয়টা
কোন ধারণা কাজ করছে: হর $q$ হলে বাকি হতে পারে $1$ থেকে $q-1$ পর্যন্ত। তাই আবৃত্ত অংশে সর্বোচ্চ $q-1$ টা অঙ্ক।

হর ১৭, বাকি হতে পারে ১ থেকে ১৬, মোট ১৬টা। তাই আবৃত্ত অংশে সর্বোচ্চ ১৬টা অঙ্ক।
ভাগ করে দেখি, প্রতি ধাপের পর বাকি: ১ → ১০ → ১৫ → ১৪ → ৪ → ৬ → ৯ → ৫ → ১৬ → ৭ → ২ → ৩ → ১৩ → ১১ → ৮ → ১২ → আবার ১। ১৬টা ধাপেই নতুন নতুন বাকি এসেছে, ১৭তম ধাপের শুরুতে প্রথম বাকি ১ ফিরে এল।
অঙ্কগুলো: $\frac{1}{17} = 0.0588235294117647\ldots$ (ঘুরছে ১৬টা অঙ্ক)।

যাচাই: ১৬টা অঙ্ক গুনে দেখো: ০৫৮৮২৩৫২৯৪১১৭৬৪৭ ✓

উত্তরের মানে কী: ১৭ এমন হর, যেখানে সম্ভাব্য সব ১৬টা বাকিই ব্যবহার হয়। অন্য অনেক হরে কম অঙ্ক ঘোরে (যেমন ১১ এ মাত্র ২টা)।

অঙ্ক ৬কঠিননিয়ম আবিষ্কার

ভাগ না করেই আঁচ করো

$\frac{24}{35}$ কে দশমিকে প্রকাশ করো। ভাগ শুরুর আগেই বলো দশমিকে কয়টা অঙ্ক একবার আসবে।

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $\frac{24}{35}$
খুঁজতে হবে: দশমিক রূপ, আর অনাবৃত্ত অঙ্ক কয়টা
কোন ধারণা কাজ করছে: হরে ২ বা ৫ থাকলে তাদের ঘাত যত, অনাবৃত্ত অঙ্ক তত (দুটো থাকলে বড় ঘাতটা)। হরে অন্য উৎপাদক থাকলে বাকিটা ঘোরে।

$35 = 5 \times 7$ । ৫ এর ঘাত ১, ২ নেই। তাই অনাবৃত্ত অঙ্ক ১টি। ৭ আছে, তাই বাকিটা ঘোরে।
ভাগ: 240 ÷ 35 = 6, বাকি ৩০। 300 ÷ 35 = 8, বাকি ২০। 200 ÷ 35 = 5, বাকি ২৫। 250 ÷ 35 = 7, বাকি ৫। 50 ÷ 35 = 1, বাকি ১৫। 150 ÷ 35 = 4, বাকি ১০। 100 ÷ 35 = 2, বাকি ৩০ → বাকি ৩০ আবার।
অঙ্ক ৬ একবার, তারপর ৮, ৫, ৭, ১, ৪, ২ ঘুরছে।

$\frac{24}{35} = 0.6857142857142\ldots = 0.6\dot{8}5714\dot{2}$ ।

যাচাই: $0.685714 \times 35 = 23.99999$ ✓

উত্তরের মানে কী: আঁচ ঠিক ছিল: ৬ একবারই এসেছে। এই নিয়মটা ভাগ করেই বোঝা যায়, মুখস্থের দরকার নেই।

নিজে করো

নিচের কোন ভগ্নাংশের দশমিক থামে?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) 3/8। 8 = 2 × 2 × 2, শুধু ২ আছে, তাই 3/8 = 0.375 থামে। ৩, ৯ আর ১১ এ ২ বা ৫ ছাড়া উৎপাদক আছে, তাই বাকিগুলো ঘোরে।

2/15 কে দশমিকে লিখলে কোন অঙ্কটা ঘুরে ঘুরে আসে?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) ৩। 2/15 = 0.1333…। ১ একবারই এসেছে, ৩ ঘুরছে। সংকেতে লিখতে ৩ এর ওপর একটা বিন্দু দিতে হয়।

প্রশ্ন ১. $\frac{9}{16}$ , $\frac{7}{15}$ আর $\frac{5}{27}$ কে দশমিকে প্রকাশ করো। প্রতিটার ধরন বলো।

ইঙ্গিত দেখো

আগে হরের উৎপাদক দেখো: ১৬, 15 = 3 × 5, 27 = 3 × 3 × 3। তারপর ভাগ করো। বাকি ০ হয় কি না, না আগের বাকি ফিরে আসে, খেয়াল রাখো।

উত্তর দেখো

$\frac{9}{16} = 0.5625$ , সসীম (16 = 2⁴, শুধু ২)।

$\frac{7}{15} = 0.4666\ldots = 0.4\dot{6}$ , মিশ্র আবৃত্ত (১৫ এ ৩ আছে, ৪ একবার আসে, ৬ ঘোরে)।

$\frac{5}{27} = 0.185185\ldots = 0.\dot{1}8\dot{5}$ , বিশুদ্ধ আবৃত্ত (১৮৫ ঘুরছে)।

প্রশ্ন ২. $\frac{1}{12}$ , $\frac{1}{16}$ , $\frac{1}{24}$ এর মধ্যে কোনটার দশমিক থামে? কেন?

ইঙ্গিত দেখো

তিনটা হরকে উৎপাদকে ভাঙো।

উত্তর দেখো

শুধু $\frac{1}{16}$ । কারণ 16 = 2⁴, শুধু ২ আছে, আর $\frac{1}{16} = 0.0625$ । 12 = 2 × 2 × 3 আর 24 = 2 × 2 × 2 × 3, দুটোতেই ৩ আছে, তাই ঘোরে: $\frac{1}{12} = 0.08\dot{3}$ আর $\frac{1}{24} = 0.041\dot{6}$ ।

মনে রাখো

ভগ্নাংশকে দশমিকে লিখতে বাকিকে ১০ দিয়ে গুণ করে হর দিয়ে ভাগ করো। বাকি ০ হলে থামে (সসীম)। আগের বাকি ফিরে এলে অঙ্ক ঘুরে ঘুরে আসে (আবৃত্ত)। সরল করা হরে শুধু ২ আর ৫ থাকলে থামে, অন্য উৎপাদক থাকলে ঘোরে। হর $q$ হলে ঘুরে আসা অংশে সর্বোচ্চ $q-1$ টা অঙ্ক। সাবধান: আগে সরল করো, আর বিন্দু বসাও শুধু যে অঙ্ক সত্যিই ঘুরছে তার ওপর।

ভগ্নাংশ থেকে দশমিক: থামে, নাকি ঘুরে আসে?

MCQ ও সৃজনশীল শর্টকাট

উত্তর যাচাইয়ের কৌশল

এই পাঠের সূত্রপত্র

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবে

3/8 থামে, 1/3 ঘোরে: কেন আলাদা?

ভাগ করলে কখন শেষ হয়, কখন একই অঙ্ক ফিরে আসে

নামগুলো আর লেখার নিয়ম

ভগ্নাংশ থেকে দশমিক নিয়ে ছয়টা পরিস্থিতি

জুস ভাগ

বাকিগুলোর চক্র

তিনটা ভগ্নাংশ ধাপে ধাপে

উল্টো করে

ভুলটা ধরো

পরীক্ষার ধরনে

একই ধারণা, নানা রকম অঙ্ক

চাল ভাগ

কোনগুলো থামবে?

একটা বড় ভগ্নাংশ

মিনিট থেকে ঘণ্টা

ঘূর্ণি কত বড় হতে পারে?

ভাগ না করেই আঁচ করো

নিজে করো

মনে রাখো