পাঠ ১গণিত

সংখ্যার পরিবার

পাঠের সারাংশ

যেকোনো সংখ্যা দেখে বলো সে কোন পরিবারের: স্বাভাবিক, পূর্ণ, মূলদ নাকি অমূলদ। একটি প্রশ্নের উত্তরেই পরিবার ঠিক হয়ে যায়।

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

সব সংখ্যা কি একই রকম? কে কোন পরিবারের

সংখ্যা তো কত রকমের: $7$ , $0$ , $-3$ , $\frac{3}{4}$ , $\sqrt{2}$ , $\pi$ । সবাইকে আলাদা আলাদা মনে রাখা কঠিন। কিন্তু পরিবার ধরে সাজালে দল থাকে মাত্র কয়েকটা। দল চিনলে বুঝে যাবে সংখ্যাটা নিয়ে কী করা যায়।

দল ঠিক করার জন্য একটাই প্রশ্ন লাগে:

সংখ্যাটাকে কি দুটি পূর্ণসংখ্যার ভাগ

\frac{p}{q}

(যেখানে

q \neq 0

) আকারে লেখা যায়?

যায়: সংখ্যাটা মূলদ (rational)।
যায় না: সংখ্যাটা অমূলদ (irrational)।
মূলদ আর অমূলদ একসাথে মিলে হলো বাস্তব সংখ্যা (real number)।

নিজে দেখে বুঝো

যেকোনো সংখ্যা লেখো বা নিচের বাটন চাপো। দেখো সংখ্যাটা কোন কোন ঘরে বসে।

বড় একটা ঘর বাস্তব সংখ্যা। তার ভেতরে দুটি ঘর: মূলদ আর অমূলদ। মূলদ ঘরের ভেতরে পূর্ণসংখ্যা ও ভগ্নাংশ। পূর্ণসংখ্যার ভেতরে স্বাভাবিক সংখ্যা, শূন্য ও ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা। যে সংখ্যা লেখা হয়, তার ঘরগুলো রঙিন হয় আর পাশে লেখা আসে।

নিজে চেষ্টা করো: √9 চাপো, তারপর √2 চাপো। দুটোতেই বর্গমূল চিহ্ন আছে, কিন্তু পরিবার আলাদা। কেন? উত্তর পাবে এই পাঠের শেষে।

স্বাভাবিক সংখ্যা থেকে বাস্তব সংখ্যা: ধাপে ধাপে বড় হওয়া পরিবার

প্রতিটা পরিবার তৈরি হয়েছে একটা নতুন দরকার থেকে।

মানুষ প্রথমে গুনতে শিখল: ১, ২, ৩, … এরা স্বাভাবিক সংখ্যা (natural number)।
“কিছুই নেই” বোঝাতে লাগল ০। আর ধার বা শূন্যের নিচের তাপমাত্রা বোঝাতে লাগল −1, −2, … স্বাভাবিক সংখ্যার সঙ্গে ০ আর এই ঋণাত্মক সংখ্যাগুলো মিলে হলো পূর্ণসংখ্যা (integer)।
ভাগ করতে গিয়ে দেখা গেল পূর্ণসংখ্যায় কুলায় না। ১ টাকা দুইজনে ভাগ করলে প্রত্যেকে পায় $\frac{1}{2}$ টাকা। দুটি পূর্ণসংখ্যার ভাগ $\frac{p}{q}$ ( $q \neq 0$ ) সব মিলে হলো মূলদ সংখ্যা। পূর্ণসংখ্যাও মূলদ, কারণ $3 = \frac{3}{1}$ ।
১ মিটার বাহুর একটা বর্গের কর্ণ মাপলে পিথাগোরাসের সূত্রে পাই $1^2 + 1^2 = 2$ , তাই কর্ণ $\sqrt{2}$ মিটার। এই সংখ্যাটাকে কোনো $\frac{p}{q}$ আকারে লেখা যায় না (কেন, সেটা এই অধ্যায়ের ৫ নম্বর পাঠে প্রমাণ করব)। এরা অমূলদ সংখ্যা।
মূলদ আর অমূলদ সব মিলে সংখ্যারেখার প্রতিটা বিন্দু ভরে ফেলে। এটাই বাস্তব সংখ্যা।

তাহলে প্রতিটা স্বাভাবিক সংখ্যা পূর্ণসংখ্যাও, প্রতিটা পূর্ণসংখ্যা মূলদও। আর অমূলদ সংখ্যারা আলাদা একটা দল।

যে নিয়মগুলো তুমি আগে থেকেই মানো

বাস্তব সংখ্যার যোগ-গুণ-তুলনায় কিছু নিয়ম আছে। নতুন কিছু নয়, তুমি রোজ ব্যবহার করো। মুখস্থ করতে হবে না, উদাহরণে চোখ রাখো।

নিয়ম	উদাহরণ
$a + b = b + a$	$3 + 5 = 5 + 3$
$ab = ba$	$4 \times 6 = 6 \times 4$
$a(b + c) = ab + ac$	$2(3 + 4) = 2 \times 3 + 2 \times 4 = 14$
$a + 0 = a$ এবং $a \times 1 = a$	$7 + 0 = 7$ , $7 \times 1 = 7$
$a + (-a) = 0$	$5 + (-5) = 0$
$a \neq 0$ হলে $a \times \frac{1}{a} = 1$	$4 \times \frac{1}{4} = 1$
$a < b$ হলে $a + c < b + c$	$2 < 5$ ⇒ $2 + 3 < 5 + 3$ , অর্থাৎ $5 < 8$
$a < b$ আর $c > 0$ হলে $ac < bc$	$2 < 5$ ⇒ $2 \times 3 < 5 \times 3$ , অর্থাৎ $6 < 15$
$a < b$ আর $c < 0$ হলে $ac > bc$	$2 < 5$ ⇒ $2 \times (-3) > 5 \times (-3)$ , অর্থাৎ $-6 > -15$

সংখ্যার পরিবার চেনার ছয়টা পরিস্থিতি

চেনা জীবন

টাইলসের হিসাব

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

রহিম ১ মিটার বাই ১ মিটার মাপের টাইলস কিনল। সে ১২টা টাইলস কিনেছে। একটা টাইলসের পাশে ১ মিটার ফিতা সমান ৩ ভাগ করে কাটল। আর টাইলসের এক কোণা থেকে বিপরীত কোণা পর্যন্ত (কর্ণ বরাবর) ফিতা বসাল।

তিনটা সংখ্যা: টাইলসের সংখ্যা, ফিতার এক ভাগের দৈর্ঘ্য, কর্ণের দৈর্ঘ্য। প্রতিটা কোন পরিবারের?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা: প্রতিটাকে জিজ্ঞেস করি, $\frac{p}{q}$ আকারে লেখা যায় কি?

টাইলসের সংখ্যা ১২। এটা গোনা যায়, তাই স্বাভাবিক সংখ্যা (পূর্ণসংখ্যা ও মূলদও)।
ফিতার এক ভাগ $\frac{1}{3}$ মিটার। এটা পূর্ণসংখ্যা নয়, কিন্তু দুটি পূর্ণসংখ্যার ভাগ। তাই ভগ্নাংশ, মূলদ।
কর্ণ: পিথাগোরাসের সূত্রে $1^2 + 1^2 = 2$ , তাই কর্ণ $\sqrt{2}$ মিটার। এটাকে $\frac{p}{q}$ আকারে লেখা যায় না, তাই অমূলদ।

উত্তরের মানে কী: একই টাইলসেই তিন রকম সংখ্যা পাওয়া গেল। সংখ্যার পরিবার কোনো বইয়ের জিনিস নয়, মাপজোখের ভেতরেই আছে।

ছবি / গ্রাফ

যেকোনো সংখ্যা সংখ্যারেখায় কোথায় বসে

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

নিজে দেখে বুঝো

নিজে বদলে দেখো

রেখার যেকোনো জায়গায় চাপলে সেই জায়গার মান দেখা যাবে। কোনো বিন্দু বাছতে সেটার ওপর চাপো, বা নিচের ‘ছোট থেকে বড়’ তালিকা থেকে বেছে নাও।

এখন প্রতি দাগ = 1

√2 অমূলদ সংখ্যা

মান প্রায় 1.414214

এই দৃশ্যে এটা আছে 1 আর 2 এই দুই দাগের মাঝখানে।

ছোট থেকে বড় (চাপলে সেই বিন্দু বেছে নেওয়া হয়): < <

নিজের সংখ্যা লিখে বসাও (যেমন -3.5, 3/4, √7, π)। তারপর ‘১০ গুণ বড় করে দেখো’ চেপে বিন্দুর চারপাশটা বড় করো।

একটা সংখ্যারেখা। ছাত্র যেকোনো সংখ্যা লিখে সংখ্যারেখায় বসাতে পারে, বিন্দুটা বড় করে দেখতে পারে, আর জানতে পারে সংখ্যাটা কোন দুই দাগের মাঝখানে আছে এবং কোন পরিবারের।

প্রথমে √2 বেছে নাও। ১ আর ২ এর মাঝখানে বসেছে। √2 কি ১ এর বেশি কাছে, না ২ এর? এবার “১০ গুণ বড় করে দেখো” চাপতে থাকো। √2 কি কখনো কোনো দাগের ওপর পড়ছে? তারপর 3/4 আর 1/3 নিয়ে একই কাজ করো। কী পার্থক্য দেখলে?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা: একটা সংখ্যা কোন দুটি পূর্ণসংখ্যার মাঝখানে, সেটা বের করতে বর্গ করে দেখি। $1^2 = 1$ আর $2^2 = 4$ , আর $1 < 2 < 4$ । তাই $1 < \sqrt{2} < 2$ ।

ছবিতে √2 এর বিন্দু ১ এর কাছাকাছি (মান প্রায় 1.414)। তাই সে ১ এর বেশি কাছে।

উত্তরের মানে কী: অমূলদ সংখ্যাও সংখ্যারেখার ঠিক একটা নির্দিষ্ট জায়গায় বসে। শুধু তাকে ভগ্নাংশ হিসেবে লেখা যায় না।

সংখ্যা

সংখ্যা বসিয়ে শ্রেণিবিন্যাস

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

দেওয়া আছে: ছয়টি সংখ্যা: −7, 0, 5/2, √16, √5, 0.25
খুঁজতে হবে: প্রতিটা সংখ্যা কোন কোন পরিবারের?
কোন সূত্র কেন: প্রতিটাকে তিনটা প্রশ্ন করি: (১) গোনা যায় কি (১, ২, ৩ ...)? (২) পূর্ণসংখ্যা কি? (৩) p/q আকারে লেখা যায় কি? বর্গমূল থাকলে আগে দেখি সংখ্যাটা পূর্ণবর্গ কি না।

$-7$ : ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা। স্বাভাবিক নয়। $-7 = \frac{-7}{1}$ , তাই মূলদ।
$0$ : পূর্ণসংখ্যা, কিন্তু স্বাভাবিক নয়। $0 = \frac{0}{1}$ , তাই মূলদ।
$\frac{5}{2}$ : পূর্ণসংখ্যা নয়, কিন্তু দুটি পূর্ণসংখ্যার ভাগ। ভগ্নাংশ, মূলদ।
$\sqrt{16}$ : $4 \times 4 = 16$ , তাই $\sqrt{16} = 4$ । এটা স্বাভাবিক সংখ্যা, পূর্ণসংখ্যা ও মূলদও।
$\sqrt{5}$ : $2^2 = 4$ আর $3^2 = 9$ , আর ৫ এই দুইয়ের মাঝখানে। ৫ পূর্ণবর্গ নয়, তাই $\sqrt{5}$ অমূলদ।
$0.25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ । ভগ্নাংশ, মূলদ।

উত্তরের মানে কী: ছয়টার মধ্যে অমূলদ শুধু $\sqrt{5}$ । বর্গমূল চিহ্ন দেখলেই অমূলদ ভাবা যাবে না, $\sqrt{16}$ আসলে ৪।

উল্টো করে

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

(ক) একটা সংখ্যা পূর্ণসংখ্যা, কিন্তু স্বাভাবিক সংখ্যা নয়, আবার ঋণাত্মকও নয়। সংখ্যাটা কত?

(খ) ১ থেকে ২০ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যা $n$ এর মধ্যে কয়টার জন্য $\sqrt{n}$ অমূলদ?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা (ক): শর্তগুলো একে একে বাদ দিয়ে যাই। ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা বাদ। ১, ২, ৩ … স্বাভাবিক, তাও বাদ। বাকি থাকে শুধু ০।

ধারণা (খ): $\sqrt{n}$ মূলদ হয় শুধু যখন $n$ পূর্ণবর্গ। ১ থেকে ২০ এর মধ্যে পূর্ণবর্গ চারটা: ১, ৪, ৯, ১৬। তাই বাকি $20 - 4 = 16$ টার জন্য $\sqrt{n}$ অমূলদ।

উত্তরের মানে কী: অমূলদ সংখ্যা দুর্লভ নয়। বর্গমূল নিলে বেশির ভাগ সংখ্যাই অমূলদ হয়।

ভুল ধরো

ভুলটা ধরো

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

দুজন বন্ধু দুটো দাবি করেছে। দুটোই ভুল।

রিয়া: $\sqrt{9}$ অমূলদ সংখ্যা, কারণ এতে বর্গমূল চিহ্ন আছে।

তানভীর: $0.333\ldots$ অমূলদ সংখ্যা, কারণ এর শেষ নেই।

ভুল কোথায়?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

রিয়ার ভুল: চিহ্ন দেখে সিদ্ধান্ত নিয়েছে। আগে দেখতে হতো ৯ পূর্ণবর্গ কি না। $3 \times 3 = 9$ , তাই $\sqrt{9} = 3$ । এটা স্বাভাবিক সংখ্যা, মূলদ।

তানভীরের ভুল: “শেষ নেই” মানেই অমূলদ নয়। এখানে ৩ বারবার ঘুরে ঘুরে আসছে। এই সংখ্যাটা আসলে $\frac{1}{3}$ , যা দুটি পূর্ণসংখ্যার ভাগ। তাই মূলদ।

ঠিক নিয়ম: শুধু একটাই প্রশ্ন: $\frac{p}{q}$ আকারে লেখা যায় কি? (অমূলদ সংখ্যার দশমিক অঙ্ক শেষও হয় না, ঘুরেও আসে না। কোন দশমিক শেষ হয় আর কোনটা ঘুরে আসে, তা ২ আর ৩ নম্বর পাঠে দেখবে; $\sqrt{2}$ যে $\frac{p}{q}$ আকারে লেখা যায় না, তার প্রমাণ ৫ নম্বর পাঠে।)

পরীক্ষার ধরন

পরীক্ষার ধরনে

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

এই ধারণা পরীক্ষায় সাধারণত তিন চেহারায় আসে:

(ক) বহুনির্বাচনি: “নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?” চারটা বিকল্পের প্রতিটাকে $\frac{p}{q}$ প্রশ্নটা করো।
(খ) শ্রেণিবিন্যাস: “সংখ্যাগুলোকে স্বাভাবিক, পূর্ণ, মূলদ, অমূলদে ভাগ করো।” প্রতিটাকে আলাদা করে ধরো।
(গ) প্রমাণ: সংখ্যার ধর্ম নিয়ে একটা দাবি প্রমাণ করতে বলা। নিচে (গ) এর একটা নমুনা।

দেওয়া আছে: দুটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যা।
খুঁজতে হবে: প্রমাণ করো: তাদের গুণফলের সঙ্গে ১ যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয়।
কোন সূত্র কেন: অক্ষর দিয়ে সাধারণ ধরন লিখি, তারপর বীজগণিতের সূত্র $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ ব্যবহার করি।

ক্রমিক বিজোড় সংখ্যা দুটি ধরি $2k - 1$ আর $2k + 1$ , যেখানে $k$ একটা স্বাভাবিক সংখ্যা।
গুণফল $= (2k - 1)(2k + 1) = (2k)^2 - 1^2 = 4k^2 - 1$ ।
১ যোগ করে পাই $4k^2 - 1 + 1 = 4k^2 = (2k)^2$ ।
$(2k)^2$ একটা পূর্ণসংখ্যার বর্গ, তাই এটা পূর্ণবর্গ। প্রমাণ শেষ।

যাচাই: $k = 3$ হলে সংখ্যা দুটি ৫ আর ৭। $5 \times 7 + 1 = 36 = 6^2$ ✓

উত্তরের মানে কী: একটা উদাহরণ মিলিয়ে দেখলে প্রমাণ হয় না, কারণ সব সংখ্যায় মেলে কি না তা জানা যায় না। অক্ষর ( $k$ ) ধরে লিখলে সব ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার জন্য একসঙ্গে প্রমাণ হয়ে যায়।

একই ধারণা, নানা রকম অঙ্ক

অঙ্কগুলো সহজ থেকে ধীরে ধীরে কঠিন হয়েছে, আর সবগুলো একই পথে সমাধান করা। প্রতিটিতে আগে নিজে চেষ্টা করো। আটকে গেলে নিচের পাঁচটি ধাপ মিলিয়ে নাও, তারপর সমাধান দেখো।

আটকে গেলে এই পাঁচটি ধাপ

পড়ো: প্রশ্নটা দুবার পড়ো। নিজের ভাষায় বলো, কী ঘটছে?
লেখো: কী দেওয়া আছে, আর কী চাওয়া হয়েছে?
চেনো: কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে?
করো: ধাপে ধাপে, কিছু বাদ না দিয়ে।
মেলাও: উত্তরটা যুক্তিসঙ্গত কি না দেখো, আর উত্তরের মানে বলো।

অঙ্ক ১সহজগল্পের অঙ্ক

চারটা মাপ, চার পরিবার

শীতের সকালে তাপমাত্রা $-4$ ডিগ্রি। ক্লাসে ছাত্র ৪০ জন। একটা কাপড়ের দৈর্ঘ্য $2.5$ মিটার। আর যেকোনো বৃত্তের পরিধি ÷ ব্যাস $= \pi$ । প্রতিটা সংখ্যা কোন কোন পরিবারের?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $-4$ , $40$ , $2.5$ , $\pi$
খুঁজতে হবে: প্রতিটা সংখ্যার পরিবার
কোন ধারণা কাজ করছে: প্রতিটাকে প্রশ্ন করি: $\frac{p}{q}$ আকারে লেখা যায় কি? পূর্ণসংখ্যা কি?

$-4$ : পূর্ণসংখ্যা, ঋণাত্মক, স্বাভাবিক নয়। $-4 = \frac{-4}{1}$ , তাই মূলদ।
$40$ : স্বাভাবিক সংখ্যা, তাই পূর্ণসংখ্যা ও মূলদও।
$2.5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$ : ভগ্নাংশ, মূলদ।
$\pi = 3.14159\ldots$ : অঙ্ক শেষও হয় না, ঘোরেও না। অমূলদ।

যাচাই: $\frac{5}{2} \times 2 = 5$ , তাই $2.5 = \frac{5}{2}$ ✓

উত্তরের মানে কী: চারটা মাপের তিনটা মূলদ। কিন্তু বৃত্ত মাপতে গেলেই $\pi$ এসে পড়ে, যা অমূলদ।

অঙ্ক ২সহজবহুনির্বাচনি

ফাঁদ চেনো

নিচের কোনটি অমূলদ? (ক) $\sqrt{49}$ (খ) $\sqrt{50}$ (গ) $0.\dot{4}$ (ঘ) $\frac{22}{7}$

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: চারটা সংখ্যা: $\sqrt{49}$ , $\sqrt{50}$ , $0.\dot{4}$ , $\frac{22}{7}$
খুঁজতে হবে: কোনটা অমূলদ?
কোন ধারণা কাজ করছে: একে একে সবাইকে $\frac{p}{q}$ প্রশ্ন করি।

(ক) $7 \times 7 = 49$ , তাই $\sqrt{49} = 7$ । মূলদ।
(খ) $7^2 = 49 < 50 < 64 = 8^2$ , ৫০ পূর্ণবর্গ নয়। অমূলদ।
(গ) $0.\dot{4} = \frac{4}{9}$ (পাঠ ৩)। শেষ নেই, কিন্তু ঘুরছে, তাই মূলদ।
(ঘ) $\frac{22}{7}$ একটা ভগ্নাংশ। মূলদ।

উত্তর: (খ)।

যাচাই: $7.07^2 = 49.9849$ , ৫০ এর কাছে, কিন্তু ঠিক ৫০ নয়।

উত্তরের মানে কী: তিনটা ফাঁদ ছিল: বর্গমূল চিহ্ন (ক), “শেষ নেই” (গ), আর $\pi$ এর মতো দেখতে (ঘ)।

অঙ্ক ৩মাঝারিসংখ্যারেখা

সংখ্যারেখায় ক্রমে সাজাও

$-3$ , $-\frac{1}{2}$ , $0$ , $\sqrt{2}$ , $\frac{5}{2}$ কে বড় থেকে ছোট ক্রমে সাজাও। কোনগুলো পূর্ণসংখ্যা?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: পাঁচটা সংখ্যা: $-3$ , $-\frac{1}{2}$ , $0$ , $\sqrt{2}$ , $\frac{5}{2}$
খুঁজতে হবে: বড় থেকে ছোট ক্রম, আর পূর্ণসংখ্যা কোনগুলো
কোন ধারণা কাজ করছে: সংখ্যারেখায় ডানে মানে বড়। সবাইকে দশমিক মানে এনে তুলনা করি।

$\frac{5}{2} = 2.5$ আর $-\frac{1}{2} = -0.5$ ।
$\sqrt{2}$ : $1^2 = 1 < 2 < 4 = 2^2$ , তাই $1 < \sqrt{2} < 2$ । প্রায় $1.414$ ।
ক্রম: $2.5 > 1.414 > 0 > -0.5 > -3$ ।
মানে $\frac{5}{2} > \sqrt{2} > 0 > -\frac{1}{2} > -3$ ।
পূর্ণসংখ্যা: $0$ আর $-3$ ।

যাচাই: $1.414^2 = 1.999396$ , ২ এর কাছে ✓। আর $2.5$ স্পষ্টতই 1.414 এর চেয়ে বড়।

উত্তরের মানে কী: ঋণাত্মকের বেলায় সংখ্যা যত বড় দেখায় (যেমন ৩), আসলে তত ছোট ( $-3 < -0.5$ )।

অঙ্ক ৪মাঝারিগল্পের অঙ্ক

বর্গাকার ঘরের ফিতা

বর্গাকার একটা ঘরের মেঝের ক্ষেত্রফল ২৬ বর্গমিটার। এক বাহু কত? ঘরের চার দেয়ালের গোড়ায় ফিতা লাগালে ফিতার দৈর্ঘ্য কোন দুই পূর্ণসংখ্যার মাঝে?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: বর্গের ক্ষেত্রফল $26$ বর্গমিটার
খুঁজতে হবে: বাহু আর পরিসীমা
কোন ধারণা কাজ করছে: বর্গের ক্ষেত্রফল $=$ বাহু $^2$ , তাই বাহু $= \sqrt{26}$ । অমূলদ হলে দুই পূর্ণসংখ্যার মাঝে বসাই।

বাহু $= \sqrt{26}$ মিটার।
$5^2 = 25 < 26 < 36 = 6^2$ , তাই $5 < \sqrt{26} < 6$ । ২৬ পূর্ণবর্গ নয়, তাই $\sqrt{26}$ অমূলদ।
পরিসীমা $= 4\sqrt{26}$ । ৪ দিয়ে গুণ: $4 \times 5 = 20 < 4\sqrt{26} < 24 = 4 \times 6$ ।

যাচাই: $\sqrt{26} \approx 5.099$ , আর $4 \times 5.099 = 20.396$ , যা ২০ আর ২৪ এর মাঝে ✓

উত্তরের মানে কী: ফিতা ২০ আর ২৪ মিটারের মাঝে লাগবে। ২৪ মিটার কিনলে নিশ্চয়ই যথেষ্ট হবে।

অঙ্ক ৫কঠিনগণনা

কয়টা ভগ্নাংশ?

০ আর ১ এর মাঝে হর ৮ এমন কয়টা সরল ভগ্নাংশ আছে? (সরল মানে লব আর হরের ১ ছাড়া কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই।)

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: হর $8$ , ভগ্নাংশ $0$ আর $1$ এর মাঝে, সরল
খুঁজতে হবে: এমন ভগ্নাংশ কয়টা?
কোন ধারণা কাজ করছে: লব হবে ১ থেকে ৭। যাদের হরের সঙ্গে সাধারণ উৎপাদক আছে, তাদের বাদ দিই।

লব হতে পারে $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ ।
৮ এর উৎপাদক শুধু ২ (আর ১)। যে লব ২ দিয়ে ভাগ যায়, সে ভগ্নাংশ সরল হয়ে যায়: $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ , $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ , $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ । এরা বাদ।
বাকি লব বিজোড়: $1, 3, 5, 7$ ।

ভগ্নাংশ: $\frac{1}{8}, \frac{3}{8}, \frac{5}{8}, \frac{7}{8}$ । সংখ্যায় ৪টি।

যাচাই: চারটার কোনোটাই আর সরল করা যায় না ✓

উত্তরের মানে কী: মূলদ সংখ্যা অসংখ্য, কিন্তু শর্ত দিলে গুনে ফেলা যায়।

অঙ্ক ৬কঠিনপ্রমাণ

ক্রমিক সংখ্যার যোগফল

প্রমাণ করো, যেকোনো তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল ৩ দিয়ে ভাগ যায়।

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা
খুঁজতে হবে: প্রমাণ: যোগফল ৩ দিয়ে ভাগ যায়
কোন ধারণা কাজ করছে: একটা উদাহরণে প্রমাণ হয় না। অক্ষর দিয়ে সব সংখ্যার ধরন লিখি।

মাঝের সংখ্যাটা $n$ ধরি। আগেরটা $n - 1$ , পরেরটা $n + 1$ ।
যোগফল $= (n - 1) + n + (n + 1) = 3n$ ।
$3n = 3 \times n$ , তাই ৩ দিয়ে ভাগ যায়। ∎

যাচাই: $4 + 5 + 6 = 15 = 3 \times 5$ ✓

উত্তরের মানে কী: অক্ষর ধরলে একবারেই সব সংখ্যার জন্য প্রমাণ হয়ে যায়।

নিজে করো

নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) √8। ৮ পূর্ণবর্গ নয় (৪ আর ৯ এর মাঝখানে), তাই √8 অমূলদ। √25 = 5, 0.5 = 1/2, 7/3 ভগ্নাংশ, এরা সবাই মূলদ।

কোন সংখ্যাটি পূর্ণসংখ্যা, কিন্তু স্বাভাবিক সংখ্যা নয়?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (গ) −4। −4 পূর্ণসংখ্যা, কিন্তু ঋণাত্মক বলে স্বাভাবিক সংখ্যা নয়। ৩ স্বাভাবিক সংখ্যা, 1/3 ভগ্নাংশ, √3 অমূলদ।

প্রশ্ন ১. নিচের সংখ্যাগুলোর প্রতিটা কোন কোন পরিবারের? $12$ , $-0.5$ , $\sqrt{49}$ , $\sqrt{11}$ , $2.75$ , $0$

ইঙ্গিত দেখো

দশমিকগুলোকে $\frac{p}{q}$ বানাও। আর বর্গমূল থাকলে আগে দেখো ভেতরের সংখ্যা পূর্ণবর্গ কি না।

উত্তর দেখো

$12$ : স্বাভাবিক। $-0.5 = -\frac{1}{2}$ : ভগ্নাংশ, মূলদ। $\sqrt{49} = 7$ : স্বাভাবিক। $\sqrt{11}$ : ১১ পূর্ণবর্গ নয় (৯ আর ১৬ এর মাঝখানে), তাই অমূলদ। $2.75 = \frac{11}{4}$ : ভগ্নাংশ, মূলদ। $0$ : পূর্ণসংখ্যা, স্বাভাবিক নয়, মূলদ।

প্রশ্ন ২. ১ আর ৩ এর মাঝখানে একটা অমূলদ সংখ্যা লেখো। কেন সেটা মাঝখানে, তা-ও বলো।

ইঙ্গিত দেখো

১ আর ৩ এর বর্গ নাও: ১ আর ৯। এই দুইয়ের মাঝখানে এমন একটা সংখ্যা ধরো, যা পূর্ণবর্গ নয়।

উত্তর দেখো

যেমন $\sqrt{5}$ । কারণ $1 < 5 < 9$ , তাই $1 < \sqrt{5} < 3$ । আর ৫ পূর্ণবর্গ নয়, তাই $\sqrt{5}$ অমূলদ। ( $\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ , $\sqrt{6}$ … সবই চলবে।)

মনে রাখো

সংখ্যার পরিবার ঠিক করার প্রশ্ন একটাই: দুটি পূর্ণসংখ্যার ভাগ $\frac{p}{q}$ ( $q \neq 0$ ) আকারে লেখা যায় কি? যায় হলে মূলদ, না হলে অমূলদ। দুটো মিলে বাস্তব সংখ্যা। সাবধান: বর্গমূল চিহ্ন দেখলেই অমূলদ নয় ( $\sqrt{9} = 3$ ), অঙ্ক শেষ না হলেই অমূলদ নয় ( $0.333\ldots = \frac{1}{3}$ )। আর ০ পূর্ণসংখ্যা, কিন্তু স্বাভাবিক সংখ্যা নয়।

সংখ্যার পরিবার

MCQ ও সৃজনশীল শর্টকাট

উত্তর যাচাইয়ের কৌশল

এই পাঠের সূত্রপত্র

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবে

সব সংখ্যা কি একই রকম? কে কোন পরিবারের

স্বাভাবিক সংখ্যা থেকে বাস্তব সংখ্যা: ধাপে ধাপে বড় হওয়া পরিবার

যে নিয়মগুলো তুমি আগে থেকেই মানো

সংখ্যার পরিবার চেনার ছয়টা পরিস্থিতি

টাইলসের হিসাব

যেকোনো সংখ্যা সংখ্যারেখায় কোথায় বসে

সংখ্যা বসিয়ে শ্রেণিবিন্যাস

উল্টো করে

ভুলটা ধরো

পরীক্ষার ধরনে

একই ধারণা, নানা রকম অঙ্ক

চারটা মাপ, চার পরিবার

ফাঁদ চেনো

সংখ্যারেখায় ক্রমে সাজাও

বর্গাকার ঘরের ফিতা

কয়টা ভগ্নাংশ?

ক্রমিক সংখ্যার যোগফল

নিজে করো

মনে রাখো