পাঠ ৬গণিত

বর্গমূল ও আসন্ন মান: ধাপে ধাপে বের করো

পাঠের সারাংশ

ক্যালকুলেটর ছাড়া √2 এর দশমিক অঙ্কগুলো একটি একটি করে বের করো। আর 'মান' আর 'আসন্ন মান' এর পার্থক্য বুঝে নাও।

আগে পড়ে নাওঅমূলদ সংখ্যা: √2 কেন ভগ্নাংশ নয়

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবেদেখো

লম্বা বর্গমূল বের করতে ভয় কোথায়?

গত পাঠে দেখলাম $\sqrt{2}$ অমূলদ, এর অঙ্ক কখনো শেষ হয় না। তাহলে হিসাবে একে কীভাবে ব্যবহার করব? উত্তর: পুরোটা লেখা যায় না, কিন্তু যত অঙ্ক দরকার, ততটা বের করা যায়। ক্যালকুলেটর ঠিক এটাই করে।

এই পাঠে আমরা সেই কাজটা নিজের হাতে শিখব। আর দুটো প্রশ্নের উত্তর পাব:

অঙ্কগুলো কীভাবে একটা একটা করে বের হয়?
দুই বা তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত লিখতে বললে কোথায় থামব, আর শেষ অঙ্ক কী হবে?

নিজে দেখে বুঝো

নিজে বদলে দেখো

সংখ্যা:

দশমিক স্থান = 3

দশমিক বিন্দু থেকে দুই দুই অঙ্কের জোড়া: 07 . 00 00 00 00

ধাপে ধাপে বর্গমূল
ধাপ	নামানো সংখ্যা	ভাজক × অঙ্ক	বাকি	মূল (এ পর্যন্ত)
1	7	2 × 2 = 4	3	2

আগে ভাবো: পরের অঙ্ক কত হবে? ভাজকের পাশে কোন অঙ্ক বসালে গুণফল নামানো সংখ্যার চেয়ে বড় হয় না?

সবগুলো ধাপ দেখলে মান আর আসন্ন মান এখানে আসবে।

একটা সংখ্যা আর দশমিক স্থান বেছে নাও। প্রতি ধাপের আগে ভাবো, পরের অঙ্ক কী হবে, তারপর 'পরের ধাপ' চাপো।

বর্গমূল বের করার ধাপের একটা তালিকা। ওপরে সংখ্যাটা দুই দুই অঙ্কের জোড়ায় ভাগ করা। প্রতি সারিতে ধাপ নম্বর, নামানো সংখ্যা, ভাজক গুণ অঙ্ক, বাকি আর এ পর্যন্ত পাওয়া মূল। সবগুলো ধাপ শেষ হলে নিচে মূল, কেটে নেওয়া মান আর রাউন্ড করা আসন্ন মান লেখা আসে।

নিজে চেষ্টা করো: ১৪৪ দিয়ে দেখো, বাকি কখন ০ হলো। তারপর ২ দিয়ে দেখো, বাকি কখনো ০ হচ্ছে কি?

জোড়া ভাগ করে বর্গমূল: পদ্ধতিটা কোথা থেকে এল

১) চেপে ধরার কৌশল। $\sqrt{2}$ এর অঙ্ক একটা একটা করে ধরি। প্রতিবার দুটো সংখ্যা খুঁজি, যাদের বর্গের মাঝখানে ২ আছে।

ধাপ	দুটো বর্গ	মাঝখানে ২	ফল
পূর্ণ অংশ	$1^2 = 1$ , $2^2 = 4$	$1 < 2 < 4$	$1 < \sqrt{2} < 2$ , অঙ্ক ১
প্রথম দশমিক	$1.4^2 = 1.96$ , $1.5^2 = 2.25$	$1.96 < 2 < 2.25$	$\sqrt{2}$ আছে $1.4$ আর $1.5$ এর মাঝে, অঙ্ক ৪
দ্বিতীয় দশমিক	$1.41^2 = 1.9881$ , $1.42^2 = 2.0164$	$1.9881 < 2 < 2.0164$	অঙ্ক ১
তৃতীয় দশমিক	$1.414^2 = 1.999396$ , $1.415^2 = 2.002225$	২ মাঝখানে	অঙ্ক ৪

প্রতিবার একটা করে অঙ্ক বেড়ে যায়। ভাগ পদ্ধতি আসলে এই চেপে ধরার কাজটাই, শুধু অনেক সংক্ষেপে।

২) বর্গ বড় করলে কত বাড়ে। ধরো এ পর্যন্ত মূল পেয়েছি $a$ । এর বর্গ হলো একটা বর্গক্ষেত্র, বাহু $a$ । পরের অঙ্ক $d$ যোগ করলে বাহু হয় $a + d$ , আর নতুন বর্গের ক্ষেত্রফল $(a+d)^2 = a^2 + 2ad + d^2$ । ছবিতে দেখো:

নিজে দেখে বুঝো

নিজে বদলে দেখো

a = 5

b = 3

(5 + 3)² = 8² = 64

টুকরো যোগ করে: 25 + 30 + 9 = 64

দুই পাশ সমান ✓ (64 = 64)

বড় বর্গের বাহু a + b। এটা চার টুকরো: a² আর b² বর্গ, আর দুটো ab আয়তক্ষেত্র।

বীজগণিতে প্রমাণ: (a + b)² কে খুলে

(a + b)²← বর্গ মানে নিজের সঙ্গে গুণ
= (a + b)(a + b)← বর্গ মানে নিজের সঙ্গে গুণ
= a(a + b) + b(a + b)← প্রথম বন্ধনীর প্রতিটা পদ দিয়ে দ্বিতীয় বন্ধনীকে গুণ (বণ্টন)
= a × a + a × b + b × a + b × b← বন্ধনী খুলি
= a² + 2ab + b²← ba = ab, তাই দুটো ab যোগ হয়ে 2ab

তাই (a + b)² = a² + 2ab + b² ∎

এই প্রমাণ সব সংখ্যার জন্য খাটে, কারণ কোথাও কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা বসাইনি। ওপরে সংখ্যা বসানো যাচাই শুধু কয়েকটা সংখ্যায়।

এখানে b-ই আমাদের d। a আর b বদলাও: বাহু a থেকে a + b করলে নতুন যুক্ত হয় দুটো আয়তক্ষেত্র (a·b) আর একটা ছোট বর্গ (b²)।

বাঁ ওপরে বড় বর্গ a বাহুর, ক্ষেত্রফল a²। তার ডানে আর নিচে দুটো আয়তক্ষেত্র, প্রতিটার ক্ষেত্রফল a গুণ d। ডান নিচের কোণায় ছোট বর্গ, বাহু d, ক্ষেত্রফল d²। রঙিন অংশ নতুন যুক্ত হওয়া অংশ।

নতুন যুক্ত অংশ $= 2ad + d^2 = d\,(2a + d)$ । এই $d \times (2a + d)$ ই ভাগ পদ্ধতির “ভাজক × অঙ্ক”।

৩) দশ গুণ বড় করলে (এক ধাপ পরের অঙ্ক)। প্রতি ধাপে মূলে একটা অঙ্ক যোগ হয়, মানে মূল $a$ থেকে $10a + d$ হয়। তখন বর্গ বাড়ে $100a^2$ থেকে $(10a + d)^2 = 100a^2 + d\,(20a + d)$ । তাই বাকিকে ১০০ গুণ করি (দুই অঙ্ক নামাই), আর ভাজক হয় $20a + d$ । এই কারণেই আমরা দুই অঙ্ক করে জোড়া নামাই, আর মূলকে দ্বিগুণ করে পাশে অঙ্ক বসাই ( $20a + d$ আসলে ” $2a$ এর পাশে $d$ ”)।

৪) পদ্ধতির ধাপগুলো

দশমিক বিন্দু থেকে ডানে-বামে দুই দুই অঙ্কের জোড়া করো। দশমিকের পরে বিজোড় অঙ্ক থাকলে শেষে একটা ০ বসাও।
প্রথম জোড়ার সমান বা ছোট সবচেয়ে বড় বর্গ নাও। তার বর্গমূল প্রথম অঙ্ক। বিয়োগ করো।
বাকির পাশে পরের জোড়া নামাও।
এ পর্যন্ত পাওয়া মূলকে (দশমিক বিন্দু ছাড়া ধরে) দ্বিগুণ করো, তার ডানে একটা অঙ্ক $d$ বসাও। এটাই ভাজক। সবচেয়ে বড় $d$ নাও, যাতে ভাজক × $d$ নামানো সংখ্যার চেয়ে বড় না হয়। $d$ ই মূলের পরের অঙ্ক।
বিয়োগ করো, আবার জোড়া নামাও। ৩ আর ৪ বারবার। মূলে দশমিক বিন্দু বসাবে তখন, যখন সংখ্যার দশমিক বিন্দু পেরোলে।
বাকি ০ হলে থামো, তখন মান ঠিক (পূর্ণবর্গ)। না হলে দরকার মতো ০০ নামিয়ে চালাও।

শব্দ: মান ও আসন্ন মান (value and approximate value)

কয় দশমিক স্থান পর্যন্ত মান মানে অঙ্কগুলো ততটা পর্যন্ত রেখে বাকি কেটে ফেলা। আসন্ন মান মানে কেটে ফেলার আগের অঙ্ক দেখে শেষ অঙ্ক ঠিক করা: পরের অঙ্ক ৫, ৬, ৭, ৮ বা ৯ হলে শেষ অঙ্কে ১ যোগ, ০ থেকে ৪ হলে শেষ অঙ্ক যেমন আছে তেমন। তাই $n$ দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান জানতে অঙ্ক বের করতে হবে $n + 1$ স্থান পর্যন্ত।

বর্গমূল ও আসন্ন মান নিয়ে ছয়টা পরিস্থিতি

চেনা জীবন

বর্গাকার জমি

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

একটা বর্গাকার জমির ক্ষেত্রফল ৭০ বর্গমিটার। বেড়া দিতে এক বাহুর দৈর্ঘ্য দরকার, সেন্টিমিটার পর্যন্ত (দুই দশমিক স্থান)। কত নেবে: 8.36 না 8.37 মিটার?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা: $\sqrt{70}$ বের করি। ভাগ পদ্ধতিতে $\sqrt{70} = 8.3666\ldots$

দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত মান 8.36 (কেটে নেওয়া)। কিন্তু পরের অঙ্কটা ৬, তাই আসন্ন মান 8.37। কোনটা সত্যিকারের কাছে, মিলিয়ে দেখি:

$8.36^2 = 69.8896$ , ৭০ থেকে $0.1104$ কম
$8.37^2 = 70.0569$ , ৭০ থেকে $0.0569$ বেশি

8.37 এর বর্গ ৭০ এর বেশি কাছে।

উত্তরের মানে কী: আসন্ন মান 8.37 মিটার নেওয়াই ভালো। আসন্ন মান আসলে “সবচেয়ে কাছের” মান, আর পরের অঙ্ক দেখে ঠিক করার নিয়মটা সেটাই নিশ্চিত করে।

ছবি / গ্রাফ

উইজেটে দুটো সংখ্যা

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

ওপরের উইজেটে $144$ লেখো, তারপর $2$ লেখো। কোনটায় বাকি ০ হয়? কোনটায় অঙ্ক চলতেই থাকে?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা: বাকি ০ হওয়া মানে ঠিকঠাক মিলে গেছে।

$144$ : জোড়া ০১ | ৪৪। প্রথম ধাপে ১ নিয়ে বাকি ০। ৪৪ নামিয়ে ভাজক $2 \times 1 = 2$ , এর পাশে ২ বসিয়ে ২২, আর $22 \times 2 = 44$ । বাকি ০। মূল ১২। ১৪৪ পূর্ণবর্গ, মূলদ।

$2$ : প্রতিটা ধাপে বাকি ০ ছাড়া অন্য কিছু থাকে। ০০ নামাতেই থাকলে অঙ্ক 1.41421… চলতেই থাকে। ২ পূর্ণবর্গ নয়, অমূলদ।

উত্তরের মানে কী: ভাগ পদ্ধতি পূর্ণবর্গ চেনারও উপায়। বাকি ০ হলে মূলদ, না হলে (অঙ্ক বাড়ালেও) অমূলদ।

সংখ্যা

√7 এর অঙ্ক বের করো

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

দেওয়া আছে: সংখ্যা $7$ । তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত মান ও আসন্ন মান চাই।
খুঁজতে হবে: $\sqrt{7}$ এর তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত মান ও আসন্ন মান।
কোন সূত্র কেন: ভাগ পদ্ধতি। আসন্ন মানের জন্য পরের অঙ্কটাও লাগবে, তাই চার দশমিক স্থান পর্যন্ত বের করি।

৭ কে জোড়ায় লিখি: $07 \mid 00 \mid 00 \mid 00 \mid 00$ (পূর্ণ অংশে একটা জোড়া, বাকিগুলো দশমিকের জন্য)।

ধাপ	নামানো সংখ্যা	ভাজক × অঙ্ক	বাকি	মূল
১	৭	$2 \times 2 = 4$	৩	২
২	৩০০	$46 \times 6 = 276$	২৪	2.6
৩	২৪০০	$524 \times 4 = 2096$	৩০৪	2.64
৪	৩০৪০০	$5285 \times 5 = 26425$	৩৯৭৫	2.645
৫	৩৯৭৫০০	$52907 \times 7 = 370349$	২৭১৫১	2.6457

ধাপ ২ এর খুঁটিনাটি: মূল এখন ২, দ্বিগুণ ৪, এর পাশে $d$ বসাই: 46 × 6 = 276 ≤ 300, কিন্তু 47 × 7 = 329 > 300। তাই $d = 6$ ।

ধাপ ৩ এর খুঁটিনাটি: মূল ২৬ (বিন্দু ছাড়া), দ্বিগুণ ৫২, পাশে $d$ : 524 × 4 = 2096 ≤ 2400, 525 × 5 = 2625 > 2400। তাই $d = 4$ ।

তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত মান: $2.645$ (চতুর্থ অঙ্ক ৭ কেটে ফেলা)
চতুর্থ অঙ্ক ৭, যা ৫ এর বেশি, তাই শেষ অঙ্ক ৫ এর সঙ্গে ১ যোগ: আসন্ন মান $2.646$

উত্তরের মানে কী: মান আর আসন্ন মান এখানে আলাদা, কারণ পরের অঙ্ক ৭। পরের অঙ্ক ০ থেকে ৪ হলে দুটো একই হতো।

উল্টো করে

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

(ক) একটা বর্গের ক্ষেত্রফল ৫০ বর্গমিটার। বাহুর দৈর্ঘ্য মিলিমিটার পর্যন্ত (তিন দশমিক স্থান) মিটারে কত?

(খ) এমন একটা স্বাভাবিক সংখ্যা $n$ বলো, যার এক দশমিক স্থান পর্যন্ত $\sqrt{n}$ এর মান 3.1 আর আসন্ন মান 3.2।

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ধারণা (ক): $\sqrt{50} = 7.0710678\ldots$ তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত মান 7.071। চতুর্থ অঙ্ক ০, ৫ এর কম, তাই আসন্ন মানও 7.071। (মিলিয়ে দেখো: $7.071^2 = 49.999041$ , ৫০ এর কাছে।)

ধারণা (খ): মান 3.1 মানে $3.1 \le \sqrt{n} < 3.2$ । আসন্ন মান 3.2 মানে দ্বিতীয় দশমিক অঙ্ক ৫ বা তার বেশি, অর্থাৎ $3.15 \le \sqrt{n} < 3.2$ । বর্গ করি: $3.15^2 = 9.9225 \le n < 10.24 = 3.2^2$ । স্বাভাবিক সংখ্যা মাত্র একটা: $n = 10$ । যাচাই: $\sqrt{10} = 3.1622\ldots$ , মান 3.1, পরের অঙ্ক ৬, আসন্ন মান 3.2 ✓

উত্তরের মানে কী: মান আর আসন্ন মান তখনই আলাদা হয়, যখন পরের অঙ্ক ৫ বা তার বেশি।

ভুল ধরো

ভুলটা ধরো

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

দুটো সমাধান। দুটোই ভুল।

ক: $\sqrt{7} = 2.6457\ldots$ এর তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান 2.645, কারণ তিনটা অঙ্ক রেখে বাকি ফেলে দিয়েছি।

খ: $\sqrt{7}$ এর তৃতীয় ধাপে মূল 2.6। দ্বিগুণ করে 5.2, তাই ভাজক 5.2 $d$ ।

ভুল কোথায়?

নিজে ভেবেছ? এবার সমাধান দেখো

ক এর ভুল: অঙ্ক কেটে ফেলা হলো মান। আসন্ন মান পেতে পরের অঙ্কটা দেখতে হয়। এখানে পরের অঙ্ক ৭ (≥ 5), তাই শেষ অঙ্কে ১ যোগ করে 2.646। যাচাই: $2.646^2 = 7.001316$ আর $2.645^2 = 6.996025$ । 2.646 এর বর্গ ৭ এর বেশি কাছে ✓

খ এর ভুল: মূলকে দ্বিগুণ করার সময় দশমিক বিন্দু বাদ দিয়ে পূর্ণসংখ্যা ধরতে হয়। 2.6 হলো ২৬, দ্বিগুণ ৫২, ভাজক ৫২ $d$ । ঠিক: $524 \times 4 = 2096 \le 2400$ ।

ঠিক নিয়ম: আসন্ন মানের জন্য এক অঙ্ক বেশি বের করো। ভাজক বানানোর সময় বিন্দু ভুলে যাও।

পরীক্ষার ধরন

পরীক্ষার ধরনে

কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে? আগে নিজে একটু ভাবো, তারপর দেখো।

পরীক্ষায় এই ধারণা সাধারণত তিন চেহারায় আসে:

(ক) “বর্গমূল নির্ণয় করো” (পূর্ণবর্গ, যেমন ১২৯৬), যেখানে বাকি ০ হয়।
(খ) “দুই বা তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত মান ও আসন্ন মান নির্ণয় করো”, আর সংখ্যাটা দশমিকও হতে পারে।
(গ) অমূলদ সংখ্যা নিয়ে প্রমাণ, যেমন ” $2 + \sqrt{3}$ অমূলদ”।

নিচে (খ) এর নমুনা, সংখ্যাটা দশমিক।

দেওয়া আছে: সংখ্যা $0.2$
খুঁজতে হবে: $\sqrt{0.2}$ এর দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত মান ও আসন্ন মান।
কোন সূত্র কেন: ভাগ পদ্ধতি। 0.2 কে 00.20 ধরে জোড়া করি। আসন্ন মানের জন্য তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত বের করি।

জোড়া: ০০ | ২০ | ০০ | ০০ (বিন্দুর আগে একটা, পরে তিনটা)।

জোড়া ০০: অঙ্ক ০, মূল ০
জোড়া ২০: ভাজক $d$ , $d \times d \le 20$ হলে $d = 4$ ( $4 \times 4 = 16$ , কিন্তু $5 \times 5 = 25 > 20$ )। বাকি ৪, মূল 0.4
০০ নামিয়ে ৪০০: মূল ৪, দ্বিগুণ ৮, ভাজক ৮ $d$ । $84 \times 4 = 336 \le 400$ , $85 \times 5 = 425 > 400$ । বাকি ৬৪, মূল 0.44
০০ নামিয়ে ৬৪০০: মূল ৪৪, দ্বিগুণ ৮৮, ভাজক ৮৮ $d$ । $887 \times 7 = 6209 \le 6400$ , $888 \times 8 = 7104 > 6400$ । বাকি ১৯১, মূল 0.447

দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত মান: $0.44$
তৃতীয় অঙ্ক ৭ (≥ 5), তাই আসন্ন মান: $0.45$

যাচাই: $0.44^2 = 0.1936$ , $0.45^2 = 0.2025$ । 0.2 এর কাছে 0.2025 (পার্থক্য $0.0025$ ), 0.1936 এর পার্থক্য $0.0064$ ✓

উত্তরের মানে কী: মান 0.44, আসন্ন মান 0.45। উত্তর লেখার সময় প্রশ্নে কোনটা চাওয়া হয়েছে তা ঠিক করে লিখবে।

একই ধারণা, নানা রকম অঙ্ক

অঙ্কগুলো সহজ থেকে ধীরে ধীরে কঠিন হয়েছে, আর সবগুলো একই পথে সমাধান করা। প্রতিটিতে আগে নিজে চেষ্টা করো। আটকে গেলে নিচের পাঁচটি ধাপ মিলিয়ে নাও, তারপর সমাধান দেখো।

আটকে গেলে এই পাঁচটি ধাপ

পড়ো: প্রশ্নটা দুবার পড়ো। নিজের ভাষায় বলো, কী ঘটছে?
লেখো: কী দেওয়া আছে, আর কী চাওয়া হয়েছে?
চেনো: কোন ধারণাটা এখানে কাজ করছে?
করো: ধাপে ধাপে, কিছু বাদ না দিয়ে।
মেলাও: উত্তরটা যুক্তিসঙ্গত কি না দেখো, আর উত্তরের মানে বলো।

অঙ্ক ১সহজসংখ্যা

পূর্ণবর্গের বর্গমূল

ভাগ পদ্ধতিতে $\sqrt{1521}$ নির্ণয় করো।

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $1521$
খুঁজতে হবে: $\sqrt{1521}$
কোন ধারণা কাজ করছে: দুই অঙ্কের জোড়া: ১৫ | ২১। প্রথম জোড়ার সমান বা ছোট বর্গ নিই।

প্রথম জোড়া ১৫। $3^2 = 9 \le 15$ , $4^2 = 16 > 15$ , তাই প্রথম অঙ্ক ৩। বাকি $15 - 9 = 6$ ।
২১ নামাই: ৬২১। মূল ৩, দ্বিগুণ ৬, ভাজক ৬ $d$ । $69 \times 9 = 621$ । বাকি ০।
$d = 9$ । মূল $= 39$ ।

যাচাই: $39 \times 39 = 1521$ ✓

উত্তরের মানে কী: বাকি ০, তাই ১৫২১ পূর্ণবর্গ আর বর্গমূল ৩৯ (মূলদ)।

অঙ্ক ২সহজসংখ্যা

দশমিকের বর্গমূল

$\sqrt{0.0144}$ নির্ণয় করো।

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $0.0144$
খুঁজতে হবে: $\sqrt{0.0144}$
কোন ধারণা কাজ করছে: দশমিক বিন্দু থেকে জোড়া: ০০ . ০১ | ৪৪।

জোড়া: ০০ | ০১ | ৪৪। প্রথম জোড়া ০০, অঙ্ক ০।
০১: $1^2 = 1$ , অঙ্ক ১, বাকি ০। (মূল $0.1$ )
৪৪ নামাই: মূল ১, দ্বিগুণ ২, ভাজক ২ $d$ । $22 \times 2 = 44$ । বাকি ০। অঙ্ক ২।

মূল $= 0.12$ ।

যাচাই: $0.12 \times 0.12 = 0.0144$ ✓

উত্তরের মানে কী: দশমিকের পরে ৪টা অঙ্ক, মূলে ২টা। দশমিক অঙ্ক অর্ধেক হয়ে যায়।

অঙ্ক ৩মাঝারিগল্পের অঙ্ক

বাগানের বেড়া

বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ৩৬৯ বর্গমিটার। এক বাহু কত (দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান)? বেড়ার প্রায় দৈর্ঘ্য কত?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: ক্ষেত্রফল $369$ বর্গমিটার
খুঁজতে হবে: বাহু, দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান, আর পরিসীমা
কোন ধারণা কাজ করছে: বাহু $= \sqrt{369}$ । ভাগ পদ্ধতিতে তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত বের করি।

$19^2 = 361 \le 369 < 400 = 20^2$ , তাই পূর্ণ অংশ ১৯।
ভাগ পদ্ধতিতে $\sqrt{369} = 19.209\ldots$
দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত মান 19.20। তৃতীয় অঙ্ক ৯ (≥ 5), তাই আসন্ন মান 19.21।
পরিসীমা $\approx 4 \times 19.21 = 76.84$ মিটার।

যাচাই: $19.21^2 = 369.0241$ , ৩৬৯ এর খুব কাছে ✓

উত্তরের মানে কী: বেড়া প্রায় 76.84 মিটার। ঠিক মান $4\sqrt{369} = 76.837\ldots$ , তাই 76.84 মিটার কিনলে সামান্য বেশি হবে, কাজ চালানো যায়।

অঙ্ক ৪মাঝারিতুলনা

আগে রাউন্ড, না পরে?

$\sqrt{3} + \sqrt{5}$ এর দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান বের করো, দুই উপায়ে: (ক) প্রতিটা বর্গমূলের আসন্ন মান নিয়ে যোগ (খ) আগে যোগ, পরে আসন্ন মান।

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $\sqrt{3} = 1.7320508\ldots$ , $\sqrt{5} = 2.2360679\ldots$
খুঁজতে হবে: যোগফলের দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান
কোন ধারণা কাজ করছে: আসন্ন মান: তৃতীয় অঙ্ক ৫ বা বেশি হলে শেষ অঙ্কে ১ যোগ।

(ক) $\sqrt{3} \approx 1.73$ (তৃতীয় অঙ্ক ২), $\sqrt{5} \approx 2.24$ (তৃতীয় অঙ্ক ৬, তাই 2.23 থেকে 2.24)। যোগ: $1.73 + 2.24 = 3.97$ ।
(খ) আগে যোগ: $1.7320508 + 2.2360679 = 3.9681187$ । দুই দশমিক স্থানে 3.96, তৃতীয় অঙ্ক ৮, তাই আসন্ন মান 3.97।

যাচাই: দুই উপায়েই 3.97 ✓

উত্তরের মানে কী: এবার দুটো উত্তর মিলেছে। কিন্তু সবসময় মেলে না, কারণ ছোট ছোট ত্রুটি যোগ হয়ে যেতে পারে। বেশি নির্ভুলতা চাইলে শেষে আসন্ন মান নাও।

অঙ্ক ৫কঠিনবীজগণিত

x যখন √2

$x = \sqrt{2}$ হলে $x^2 + \frac{1}{x^2}$ আর $\left(x + \frac{1}{x}\right)^2$ এর মান কত? $x + \frac{1}{x}$ এর আসন্ন মান কত?

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $x = \sqrt{2}$ , অর্থাৎ $x^2 = 2$
খুঁজতে হবে: $x^2 + \frac{1}{x^2}$ , $\left(x + \frac{1}{x}\right)^2$ আর $x + \frac{1}{x}$ এর আসন্ন মান
কোন ধারণা কাজ করছে: $x^2 = 2$ বসাই, আর $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ সূত্র।

$x^2 = 2$ , তাই $\frac{1}{x^2} = \frac{1}{2}$ । $x^2 + \frac{1}{x^2} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ ।
$\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = \frac{5}{2} + 2 = \frac{9}{2}$ ।
$x + \frac{1}{x} = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = 2.1213\ldots$ । দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান $2.12$ ।

যাচাই: $x = 1.4142$ , $\frac{1}{x} = 0.7071$ । যোগ $= 2.1213$ ✓

উত্তরের মানে কী: $\sqrt{2}$ এর অঙ্ক না জেনেও শুধু $x^2 = 2$ জেনে বীজগণিতের সূত্রে অনেক কিছুর মান বের হয়।

অঙ্ক ৬কঠিনমিশ্র

হর থেকে বর্গমূল সরানো

$\frac{1}{\sqrt{7} - 2}$ এর মান নির্ণয় করো ( $\sqrt{7} \approx 2.646$ ধরে), দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মানে।

নিজে চেষ্টা করেছি, সমাধান দেখাও

দেওয়া আছে: $\frac{1}{\sqrt{7} - 2}$ , $\sqrt{7} \approx 2.646$
খুঁজতে হবে: মান, দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান
কোন ধারণা কাজ করছে: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ সূত্র দিয়ে হর থেকে বর্গমূল সরাই।

$\frac{1}{\sqrt{7} - 2} \times \frac{\sqrt{7} + 2}{\sqrt{7} + 2} = \frac{\sqrt{7} + 2}{(\sqrt{7})^2 - 2^2} = \frac{\sqrt{7} + 2}{7 - 4} = \frac{\sqrt{7} + 2}{3}$
মান বসাই: $\frac{2.646 + 2}{3} = \frac{4.646}{3} = 1.5486\ldots$
তৃতীয় অঙ্ক ৮ (≥ 5), তাই দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান $1.55$ ।

যাচাই: সরাসরি: $\sqrt{7} - 2 = 0.646$ , $1 \div 0.646 = 1.548$ ✓

উত্তরের মানে কী: হরে বর্গমূল থাকলে ভাগ করা কঠিন। সূত্র দিয়ে সরিয়ে নিলে হর সাধারণ সংখ্যা ৩ হয়ে গেল, তখন সহজ।

নিজে করো

√11 = 3.31662… এর দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান কত?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) 3.32। পরের অঙ্ক ৬, যা ৫ এর বেশি, তাই শেষ অঙ্ক ১ এর সঙ্গে ১ যোগ করে 3.32। 3.31 হলো মান (কেটে নেওয়া)।

দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান বের করতে প্রথমে কত দশমিক স্থান পর্যন্ত অঙ্ক বের করতে হয়?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) ৩। দুই স্থান পর্যন্ত আসন্ন মানের জন্য তৃতীয় স্থানের অঙ্ক দেখতে হয়, তাই তিন স্থান পর্যন্ত বের করতে হয়।

ভাগ পদ্ধতিতে বর্গমূল বের করতে সংখ্যাটাকে দশমিক বিন্দু থেকে কয় অঙ্কের জোড়ায় ভাগ করা হয়?

উত্তর দেখো

সঠিক উত্তর: (খ) ২। মূলে এক অঙ্ক বাড়লে বর্গে দুই অঙ্ক (১০০ গুণ) বাড়ে। তাই দুই অঙ্ক করে জোড়া নামাই।

প্রশ্ন ১. ভাগ পদ্ধতিতে $\sqrt{15}$ বের করো। তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত মান ও আসন্ন মান লেখো।

ইঙ্গিত দেখো

প্রথম অঙ্ক: $3^2 = 9 \le 15$ আর $4^2 = 16 > 15$ , তাই ৩। আসন্ন মানের জন্য চার দশমিক স্থান পর্যন্ত যাও।

উত্তর দেখো

$\sqrt{15} = 3.8729\ldots$ তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত মান 3.872। চতুর্থ অঙ্ক ৯ (≥ 5), তাই আসন্ন মান 3.873।

প্রশ্ন ২. $\sqrt{0.5}$ এর দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত মান ও আসন্ন মান বের করো।

ইঙ্গিত দেখো

0.5 কে 00.50 লিখে জোড়া করো: ০০ | ৫০ | ০০ | ০০।

উত্তর দেখো

$\sqrt{0.5} = 0.7071\ldots$ দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত মান 0.70। তৃতীয় অঙ্ক ৭ (≥ 5), তাই আসন্ন মান 0.71।

প্রশ্ন ৩. প্রমাণ করো যে $2 + \sqrt{3}$ একটি অমূলদ সংখ্যা।

ইঙ্গিত দেখো

বিরোধ দেখিয়ে প্রমাণ। ধরো $2 + \sqrt{3} = \frac{p}{q}$ । তাহলে $\sqrt{3}$ কে $p$ আর $q$ দিয়ে লেখো। পাঠ ৫ এ $\sqrt{3}$ সম্পর্কে কী প্রমাণ করেছিলে?

উত্তর দেখো

ধরি $2 + \sqrt{3}$ মূলদ, $= \frac{p}{q}$ ( $p$ , $q$ পূর্ণসংখ্যা, $q \neq 0$ )। তাহলে $\sqrt{3} = \frac{p}{q} - 2 = \frac{p - 2q}{q}$ । ডান পাশ দুটি পূর্ণসংখ্যার ভাগ, তাই মূলদ। কিন্তু $\sqrt{3}$ অমূলদ (পাঠ ৫)। বিরোধ। তাই $2 + \sqrt{3}$ অমূলদ। ∎

মনে রাখো

ভাগ পদ্ধতিতে বর্গমূল: দশমিক বিন্দু থেকে দুই দুই অঙ্কের জোড়া নামাও, মূলকে দ্বিগুণ করে ( $20a$ ) পাশে অঙ্ক $d$ বসাও, এমন সবচেয়ে বড় $d$ নাও যাতে ভাজক × $d$ নামানো সংখ্যার চেয়ে বড় না হয়। বাকি ০ হলে মূলদ, কখনো ০ না হলে অমূলদ। $n$ দশমিক স্থান পর্যন্ত মান মানে কেটে নেওয়া, আসন্ন মান মানে পরের অঙ্ক ৫ বা তার বেশি হলে শেষ অঙ্কে ১ যোগ। আসন্ন মানের জন্য এক অঙ্ক বেশি বের করতে হয়। সাবধান: ভাজক বানানোর সময় মূলের দশমিক বিন্দু ধরো না।

বর্গমূল ও আসন্ন মান: ধাপে ধাপে বের করো

MCQ ও সৃজনশীল শর্টকাট

উত্তর যাচাইয়ের কৌশল

এই পাঠের সূত্রপত্র

এই পাঠ শেষে তুমি যা পারবে

লম্বা বর্গমূল বের করতে ভয় কোথায়?

জোড়া ভাগ করে বর্গমূল: পদ্ধতিটা কোথা থেকে এল

বর্গমূল ও আসন্ন মান নিয়ে ছয়টা পরিস্থিতি

বর্গাকার জমি

উইজেটে দুটো সংখ্যা

√7 এর অঙ্ক বের করো

উল্টো করে

ভুলটা ধরো

পরীক্ষার ধরনে

একই ধারণা, নানা রকম অঙ্ক

পূর্ণবর্গের বর্গমূল

দশমিকের বর্গমূল

বাগানের বেড়া

আগে রাউন্ড, না পরে?

x যখন √2

হর থেকে বর্গমূল সরানো

নিজে করো

মনে রাখো